+ 2x − b整除，則a + b = 。

高雄市明誠中學 高一數學複習測驗 日期：95.12.21 班級 普一 班

範 圍

3-1,2 多項式 2、

餘式、因式定理 座號

姓 名 一、填充題( 每題 10 分)

1. 多項式f (x)滿足 8 f (x) − 5x⁶ f (x³) − 2 f (x²) + 18 = 0，則f (x)的常數項為 。

【解答】− 3

【詳解】

(1) f (x)的常數項為f (0)

(2)由 8 f (x) − 5x⁶ f (x³) − 2 f (x²) + 18 = 0，令x = 0

∴ 8 f (0) − 0 − 2 f (0) + 18 = 0 ∴ f (0) = − 3

2. 若b < − 2 且x⁴ + 2x³ + 7x²

+ ax + 10 可被x

²

+ 2x − b整除，則a + b = 。

【解答】− 1

【詳解】

⇒ (a，b) = (4，−5)，(10，− 2)（不合）， a + b = 4 − 5 = − 1

⎩⎨

⎧

= + +

=

−

−

0 7

10

0 14 2

b

2

b b a

3. 設x⁴ = (x + k)(x − 1)(x + 2)(x − 2) + a(x − 1)(x + 2) + b(x − 1) + c，則a + b + c + k = 。

【解答】2

【詳解】

令 x = 1 ⇒ 1 = c；x = − 2 ⇒ 16 = − 3b + 1 ∴ b = − 5

x = 2 ⇒ 16 = 4a − 5 + 1 ∴ a = 5；x = 0 ⇒ 0 = 4k − 10 + 5 + 1

∴ k = 1，則 a + b + c + k = 2 3. 設f (x)以x −

a

b

除之商為q(x)，餘式為r，則x f (x) + 2 被(ax − b)除之商式為 。

【解答】

a

x q(x) + a r

【詳解】

f (x) = (x − a

b

) q(x) + r ⇒ x f (x) + 2 = (x −

a

b

) xq(x) + xr + 2

= (ax − b)

a

x q(x) + (ax − b) a r

+

a

br

+ 2 (除法原理)

= (ax − b)(

a x q(x) +

a r

) +

a br

+ 2

∴ x f (x) + 2 被(ax − b)除之商式為

a x q(x) +

a r

4. 7⁵ − 6 × 7⁴ − 4 × 7³ − 26 × 7² + 33 × 7 + 21 = 。

【解答】7

【詳解】

令f (x) = x⁵ − 6x⁴ − 4x³ − 26x² + 33x + 21，所求為 f (7)

由綜合除法

∴ 所求 = f (7) = 7

5. 設多項式f (x)除以x³

− 1 之餘式為x

²

− 1，則f (x)除以x

²

+ x + 1 之餘式為 。

【解答】− x − 2

【詳解】

f (x) = (x

³

− 1) q(x) + ( x

²

− 1) = (x − 1)(x

²

+ x + 1) q(x) + x

²

− 1

= (x²

+ x + 1) [(x − 1) q(x)] + (x

²

+ x + 1) − x − 2 (除法原理)

= (x²

+ x + 1) [(x − 1) q(x) + 1] − x − 2 ⇒ 餘式− x − 2

6. 設f (x) = x⁵

− 7x

⁴ − 58x³ + 16x² − 460x − 200，則f (12) = 。

【解答】40

【詳解】

f (x) = x

⁵

− 7x

⁴ − 58x³ + 16x² − 460x − 200

以x −12 除f (x)的餘式即為f (12)，用綜合除法得

故f (12) = 40

7. f (x) = x⁶ − 5x⁵ + 4x⁴

− 50x

³

+ 49x

² + 110x − 107，則f ( f (1)) = 。

【解答】− 123

【詳解】由綜合除法先求 f (1) = 2 ∴再用綜合除法求 f ( f (1)) = f (2) = − 123 8. 若x³ + 3x² + mx + 2 可被x² + nx + 1 整除，則(m，n) = 。

【解答】(3，1)

【詳解】

1 + 3

+

m _{+ 2}

−

n

−

n

(3−

n

) −

n

− 1

− −(3

n

)

_{− 1} 1

+ −(3

n

)

+ 0 + 0

∵ 整除， (3 ) 1 0，得 ，故數對(m，n) = (3，1)

2 (3 ) 0

m n n

n

− − − =

⎧⎨ − − =

⎩ ⎩⎨⎧

=

= 1

3

n m

9. 已知f (x) = (x² + 1)(x¹⁰ + 1) + x − 1，則

(1) f (x)除以x + 1 得餘式為 。 (2) (x + 1) f (x)除以x² + 1 得商式為 。

【解答】(1) 2 (2) x¹¹ + x¹⁰ + x + 2

【詳解】

(1)所求 = f ( − 1) = [( − 1)² + 1][( − 1)¹⁰ + 1] − 1 − 1 = 2．2 − 1 − 1 = 2 (2) (x + 1) f (x) = (x + 1)(x² + 1)(x¹⁰ + 1) + (x + 1)(x − 1)

= (x² + 1)(x + 1)(x¹⁰ + 1) + (x² + 1) − 2 = (x² + 1)[(x + 1)(x¹⁰ + 1) + 1] − 2

得商式為(x + 1)(x¹⁰ + 1) + 1 = x¹¹ + x¹⁰ + x + 2

10.設f (x) = x⁴ − 8x³ + 25x² − 30x + 8 = a(x − 2) ⁴ + b(x − 2) ³ + c(x − 2) ² + d(x − 2) + e，則 (1) a + b + c + d + e之值為 。

(2) f (1.99)的近似值為 。（至小數點以下第二位，第三位四捨五入）

【解答】(1) 8 (2) − 0.06

【詳解】

(1)

⇒ a = 1，b = 0，c = 1，d = 6，e = 0， a + b + c + d + e = 8

(2) f (1.99) = 1．(1.99 − 2) ⁴ + 0．(1.99 − 2) ³ + 1．(1.99 − 2) ² + 6．(1.99 − 2) + 0 = (− 0.01) ⁴ + (− 0.01) ²+ 6 (− 0.01) 6 (− 0.01) − 0.06

11. f (x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = (x − 2)⁴ − 2(x − 2)³ + 3(x − 2)² − 2(x − 2) + 1，則d = 。

【解答】− 70

【詳解】

令(x − 2) = t ⇒ x = t + 2

原式 ⇒ t⁴ − 2t³ + 3t² − 2t + 1 = a(t + 2)⁴ + b(t + 2)³ + c(t + 2)² + d(t + 2) + e

12.求 81(0.666) ⁴ − 54(0.666) ³ − 63(0.666) ² + 39(0.666) + 5 之近似值到小數點後第三位

（第四位以後四捨五入）。

【解答】3.014

【詳解】

令f (x) = 81x⁴ − 54x³ − 63x²

+ 39x + 5；因為 3(0.666) = 1.998

由綜合除法可知f (x) = 1．(3x − 2)⁴ + 6(3x − 2)³ + 5(3x − 2)²

− 7(3x − 2) + 3

∵ 3x − 2 = 3(0.666) − 2 = 1.998 − 2 = − 0.002 故f (0.666) 3.014（只取後二項之值即可）

13.設f (x) = 81x⁴ − 63x² + 39x + 5，則f (0.334)之近似值至小數點第三位為 。

【解答】12.006

【詳解】因為 3(0.334) = 1.002

f (x) = (3x − 1)

⁴ + 4(3x − 1) ³ − (3x − 1) ² + 3(3x − 1) + 12

∴ f (0.334) = (0.002) ⁴ + 4(0.002) ³ − (0.002) ² + 3(0.002) + 12 3(0.002) + 12 12.006 14.f (x) = (x⁵

− 2x

³ + x + 1)²⁰⁰¹展式中之係數和為 。

【解答】1

【詳解】

f (x)的各項係數和為f (1) = (1

⁵ − 2．1³ + 1 + 1)²⁰⁰¹ =1 ∴ f (x)的各項係數和為 1

15.k為整數，設f (x) = x⁴

− 3x

³ + 2x² + kx − 1，g (x) = x³ + kx²

+ 2x + 3，若f (x)．g (x)之展式中

所有偶次項係數和為所有奇次項係數和的二倍，則k = 。

【解答】k = 3

【詳解】

∵ f (x) = x⁴

− 3x

³ + 2x² + kx − 1，g (x) = x³ + kx²

+ 2x + 3

∴ f (1) = k − 1，f (−1) = − k + 5，g (1) = k + 6，g (−1) = k

由

2

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

( g + f − g −

f

= 2 ×

2

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

( g − f − g − f

⇒ (k − 1)(k + 6) + (k + 5)k = 2[(k − 1)(k + 6) − ( − k + 5)k]

⇒ k² + 5k − 6 − k² + 5k = 2(k² + 5k − 6 + k² − 5k)

⇒ 10k − 6 = 2(2k² − 6) ⇒ 5k − 3 = 2k² − 6

⇒ 2k² − 5k − 3 = 0 ⇒ (2k + 1)(k − 3) = 0

∴ k = −

2

1

或 3 ∵ k ∈ Z ∴ k = 3

16.(x − 1)h(x)被x² + x + 1 除的餘式為 6x + 3，則多項式h(x)被x² + x + 1 除的餘式為 。

【解答】− 3x

【詳解】

設h(x) = (x² + x + 1)q(x) + ax + b

(x − 1)h(x) = (x − 1)(x² + x + 1)q(x) + (x − 1)(ax + b)

= (x² + x + 1)(x − 1)q(x) + [ax² + (b − a)x − b]

= (x² + x + 1)(x − 1)q(x) + [a(x² + x + 1) + (b − 2a)x + ( − a − b)] (除法原理)

= (x² + x + 1)[(x − 1)q(x) + a] + (b − 2a)x + ( − a − b)

⇒ (b − 2a)x + ( − a − b) = 6x + 3 ， 得 ，故餘式r(x) = ax + b = − 3x

⎩⎨

⎧

=

−

−

=

−

3 6 2

b a

a b

⎩⎨

⎧

=

−

= 0

3

b

a

17.設(x⁵ − 3x⁴ + 4x³ − 2x² + 6)(2x⁴ + x³ − 4x² − 3x + 5) = a9

x

⁹ + a8

x

⁸ + a7

x

⁷ + … + a1

x + a

0，則 (1) a8 + a6 + a4 + a2 + a0 之值 = 。

(2) a9 + a7 + a5 + a3 + a1 之值 = 。

【解答】(1) − 7 (2) 13

【詳解】

f (x) = (x

⁵ − 3x⁴ + 4x³ − 2x² + 6)(2x⁴ + x³ − 4x² − 3x + 5) = a9

x

⁹ + a8

x

⁸ + a7

x

⁷ + … + a1

x + a

0

則f (1) = a9 + a8 + a7 + … + a1 + a0 = (1 − 3 + 4 − 2 + 6)(2 + 1 − 4 − 3 + 5) = 6

f (− 1) = − a9 + a8 − a7 + a6 − … − a1 + a0 = (− 1 − 3 − 4 − 2 + 6)(2 − 1 − 4 + 3 + 5) = − 20 (1) 偶次項係數和a₈ + a6 + a4 + a2 + a0 =

2 ) 1 ( ) 1

( + f −

f

=

2 20 6 −

= − 7

(2) 奇次項係數和a9 + a7 + a5 + a3 + a1 =

2 ) 1 ( ) 1

( − f −

f

=

2 20 6 +

= 13 18.設f (x)為一多項式，已知(x −1) f (x)除以x² − 2x + 2 的餘式為 3x + 4，求

f (x)除以x

² − 2x + 2 的餘式_____________________。

【解答】− 7x + 10

【詳解】

設 f (x) = (x² − 2x + 2) Q (x) + ax + b

∴ (x −1) f (x) = (x −1)(x² − 2x + 2) Q (x) + (x −1)(ax + b) = (x −1)(x² − 2x + 2) Q (x) + ax² + (b − a) x − b

= (x −1)(x² − 2x + 2) Q (x) + a(x² − 2x + 2) + [(a + b) x − (2a + b)]

又(x −1) f (x)除以x² − 2x + 2 餘式為 3x + 4 ∴ (a + b) x − (2a + b) = 3x + 4

∴ ∴ a = − 7，b = 10 ∴ f (x)除以x

⎩⎨

⎧

= +

−

= +

4 ) 2 (

3

b a b

a

₂

− 2x + 2 的餘式為− 7x + 10 19.設多項式f (x)除以x² − x + 3 之餘式為x − 2，g (x)除以x² − x + 3 之餘式為 2x + 3，求

f (x)．g (x)除以x

² − x + 3 之餘式________________。

【解答】x − 12

【詳解】

設 f (x) = (x² − x + 3) m (x) + (x − 2)，g (x) = (x² − x + 3) n (x) + (2x + 3)

∴ f (x)．g (x) = (x² − x + 3)²．m (x)．n (x) + (x² − x + 3)[(2x + 3) m (x) + (x − 2) n (x)]

+ (x − 2)(2x + 3)

∴

f (x)．g (x)除以x

² − x + 3 之餘式 = (x − 2)(2x + 3)除以x² − x + 3 之餘式 = 2x² − x − 6 除以x² − x + 3 之餘式 = x − 12

20.設多項式f (x) = x⁶ + 2x⁴ + 4x³

+ ax

²

+ bx + 1，g (x) = x

⁶ + 2x⁴ + 3x³

+ x

²

+ x + 1 除以 x

²

+ x + 2 的餘式相同，求實數a，b之值。

【解答】a = 2，b = 3

【詳解】

設

f (x)

= (x²

+ x + 2)．m (x) + r (x)

　−) g (x) = (x²

+ x + 2)．n (x) + r (x)

f (x) − g (x) = (x

²

+ x + 2) [m (x) − n (x)]

即 x²

+ x + 2 | f (x) − g (x)

∴ x²

+ x + 2 | ( x

⁶ + 2x⁴ + 4x³

+ ax

²

+ bx + 1) − (x

⁶ + 2x⁴ + 3x³

+ x

²

+ x + 1)

⇒ x²

+ x + 2 | x

³

+ (a − 1) x

²

+ (b − 1)x

∴ a − 2 = 0，b − 3 = 0 ∴ a = 2，b = 3

21.設a，b為整數，若x⁴ + 6x³ + ax² − 12x + b為完全平方式，求a，b的值。

【解答】a = 5，b = 4

【詳解】

設x⁴ + 6x³ + ax² − 12x + b = (x² + mx + n) ² = x⁴ + 2mx³ + (m²

+ 2n) x

² + 2mnx + n² 比較係數得 2m = 6，a = m²

+ 2n，− 12 = 2mn，b = n

²

∴ m = 3，n = − 2，a = 5，b = 4

22.設多項式f (x)，以ax + b除之得商q(x)，餘式為r（a ≠ 0），試求以ax + b除x²

f (x)的商及餘

式。

【解答】商x² q(x) +

a r x −

₂

a

br

，餘式 ₂

2

a r b

【詳解】

已知 f (x) = (ax + b) q(x) + r，則x² f (x) = (ax + b)．x²

q(x) + rx

²

又x² = (ax + b)(

x a 1

− ₂

a

b

) + ₂²

a b

∴ x² f (x) = (ax + b) x²

q(x) + (ax + b)( x a r

− ₂

a

br

) + ²₂

a

r

b

= (ax + b) [x²

q(x) + x a r

− ₂

a

br

] + ²₂

a

r b

故x² f (x)除以ax + b的商為x² q(x) +

a r x −

₂

a

br

，餘式 ₂

2

a r b

23.設x = 1 +³ 3+³ 9 ，求x³ − 3x² − 6x + 5 的值。

【解答】9

【詳解】

x = 1 +

³ 3+³ 9 ，(x − 1) ³ = (³ 3+³ 9 )³ = 3 + 9 + 3³ 3 ³ 9 (³ 3+³ 9 ) = 12 + 9 (x −1) 故 x³ − 3x² + 3x − 1 = 12 + 9 (x −1)⇒ x³ − 3x² − 6x = 4，

所以 原式 x³ − 3x² − 6x + 5 = 4 + 5 = 9