中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書
排版\030419-封面
國中組 數學科 佳作
030419-封面
由繁化簡～鏡射多邊形退化之探討
學校名稱：新竹市立光武國民中學
作者： 指導老師：
國二 林瓚平 國二 王慈緁
魏子超 蔡淑貞
關鍵詞：鏡射多邊形、退化點、棒圓
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摘要
本作品主要研究多邊形與其重複疊作鏡射多邊形之退化關係。經過探討，我們發現多邊 形的退化點必在多邊形各邊、各邊的延長線、外接圓、棒圓、近棒圓、遠棒圓上。同時，我 們也找出了多邊形退化樣貌規則，和次數疊加性質及提早退化性質，並藉此製造任意 N 邊形 的任意退化點及最終退化圖形。
壹、研究動機
在上專題課時，老師提到了一篇科展：「多邊形與其中重、頂重多邊形之性質探討」，其 中內容使我們感到好奇。上網查了一些資料後，發現還有幾篇科展也是在做類似的主題，因 此，我們想要再探討看看有沒有其他性質，經過我們研究與討論之後發現有些特殊的點會出 現特別的情況，因此我們想研究這些點有沒有組成一條特殊的軌跡。
貳、研究目的
一、鏡射三角形退化點性質之研究與探討。
二、鏡射凸 N 邊形退化點及其圖形變化之探討。
三、鏡射凸 N 邊形之退化樣貌之探討。
四、製造任意 N 邊形的任意退化點及最終退化圖形。
參、研究設備及器材
紙、筆、GeoGebra
肆、文獻探討
一、第 54 屆 全國科展作品(多邊形與其中重、頂重多邊形之性質探討)。
二、第 57 屆 全國科展作品(頂圓多邊形之性質研究與探討)。
三、第 60 屆 全國科展作品(數學畢卡索－多邊形疊作之性質探討)。
四、第 38 屆 新竹市科展作品(數學畢卡索－多邊形疊作之性質探討)。
本文引用
第 57 屆 全國科展國中組數學科「頂圓多邊形之性質研究與探討」的作品中的：
p.3 n 階交點(本文中改名為棒點)。
第 54 屆 全國科展國中組數學科「多邊形與其中重、頂重多邊形之性質探討」的作品中的：
p.11 第 m 層與第（m+n）層相似。
p.15 角度轉換性質。
第 38 屆 新竹市科展作品「數學畢卡索－多邊形疊作之性質探討」的作品中的：
p.27 重複疊作頂垂、內三角形性質表。
p.28 重複疊作頂外三角形性質表。
2
伍、研究過程或方法
一、名詞定義：
(一)鏡射三角形：已知△ 𝐴𝐵𝐶及任意點 P，P 點分別對𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐵𝐶̅̅̅̅、𝐶𝐴̅̅̅̅作鏡射得三點𝐴1、𝐵1、 𝐶1，這三點連成的三角形∆𝐴1𝐵1𝐶1即為∆𝐴𝐵𝐶的第一層鏡射三角形，若 P 點再對
∆𝐴1𝐵1𝐶1三邊作鏡射，所得的鏡射三角形∆𝐴2𝐵2𝐶2即為∆𝐴𝐵𝐶的第二層鏡射三角形(圖 1-1)，以此類推，且原△ 𝐴𝐵𝐶定義為第 0 層。
(二)鏡射多邊形：任意 P 點對多邊形各邊作鏡射，各鏡射點依序連線所形成的圖形為該多 邊形的鏡射多邊形。(圖 1-2)
(三){3k}：P 點對原三角形作鏡射三角形，重複疊作後的三角形之疊作層數，除以三整除 的層數皆屬於{3k}這組，例：第
0 , 3 , 6
層(圖 1-3)(四){3k+1}：P 點對原三角形作鏡射三角形，重複疊作後的三角形之疊作層數，除以三餘 一的層數皆屬於{3k+1}這組，例：第
1 , 4 , 7
層(圖 1-3)(五){3k+2}：P 點對原三角形作鏡射三角形，重複疊作後的三角形之疊作層數，除以三餘 二的層數皆屬於{3k+2}這組，例：第
2 , 5 , 8
層(圖 1-3)圖 1-1 鏡射多邊形 圖 1-2 鏡射多邊形 圖 1-3 分組相似
(六)退化點：P 點對一多邊形重複疊作鏡射多邊形，若重複疊作圖形之對應頂點有兩點 共點或相鄰三頂點共線之狀況，則此 P 點稱為退化點。若重複疊作數次後之圖形為 一點，則此 P 點稱為完全退化點。(圖 1-4)
(七)退化點軌跡：任意多邊形的所有退化點所形成的軌跡，稱為該多邊形之退化點軌跡。
(圖 1-5 中粉紅色部分為退化點軌跡)
圖 1-4 退化點 圖 1-5 退化點軌跡 圖 1-6 三角形角度轉換
3
二、鏡射三角形性質之觀察與分析：
從之前科展中，我們知道有{3k}、{3k+1}、{3k+2}相似性質，但我們想尋找看有沒有 其他性質，所以我們決定要從之前的科展作品看起。以下為我們參考的科展作品觀察與 分析。
(一)三角形角度轉換性質：
已知：△ ABC為原圖形、△ 𝐴1𝐵1𝐶1第一層鏡射多邊形，P 點為任意點，F 為圓 B 上但 不在𝑃𝐴̂ 上的任意點(圖 1-6) 1
求證：∠PAB = ∠P𝐶1𝐴1, ∠PAC = ∠P𝐴1𝐶1, ∠PBA = 180° − ∠P𝐵1𝐴1,
∠PBC = ∠P𝐴1𝐵1, ∠PCA = 180° − ∠P𝐵1𝐶1, ∠PCB = ∠P𝐶1𝐵1 證明：分別以 A、B、C 為圓心，𝐴𝑃̅̅̅̅、𝐵𝑃̅̅̅̅、𝐶𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓
∠PAB = ∠𝐴1AB =1
2∠𝑃𝐴𝐴1 =1
2𝑃𝐴̂ = ∠P𝐶1 1𝐴1
∠PBA = ∠AB𝐴1 =1
2∠𝑃𝐵𝐴1 =1
2𝑃𝐴̂ =1 1
2(360° − 𝑃𝐹𝐴̂ ) = 180° − ∠P𝐵1 1𝐴1 同理得證：
∠PAC = ∠P𝐴1𝐶1,∠PBC = ∠P𝐴1𝐵1,∠PCA = 180° − ∠P𝐵1𝐶1,∠PCB = ∠P𝐶1𝐵1
圖 1-7 三角形分組相似 (0、1 層)
圖 1-8 三角形分組相似 (1、2 層)
圖 1-9 三角形分組相似 (2、3 層)
(二){3k}、{3k+1}、{3k+2}相似性質之證明：
已知：△ ABC 為任意三角形，P 為平面上任一點(圖 1-7、1-8、1-9) 求證：原圖形與外翻三次圖形為相似圖形
證明：設∠PAB = ∠1, ∠PAC = ∠2, ∠PBA = ∠3, ∠PBC = ∠4, ∠PCA = ∠5, ∠PCB = ∠6 由角度轉換可得知
∠PA1𝐵1 = ∠4, ∠P𝐴1𝐶1 = ∠2, ∠P𝐵1𝐴1 = 180° − ∠3
∠P𝐵1𝐶1 = 180° − ∠5, ∠P𝐶1𝐴1 = ∠1, ∠P𝐶1𝐵1 = ∠6
∠PA2𝐵2 =1
2∠P𝐵1𝐵2 = 1
2(360° − 2∠P𝐵1𝐶1) =1
2(360° − 2(180° − ∠5)) = ∠5
∠P𝐴2𝐶2 = 180° − ∠2
4
∠P𝐵2𝐴2 =1
2∠P𝐵1𝐴2 =1
2(360° − 2∠P𝐵1𝐴1) =1
2(360° − 2(180° − ∠3)) = ∠3
∠P𝐵2𝐶2 = 180° − ∠1, ∠P𝐶2𝐴2 = ∠4, ∠P𝐶2𝐵2 = ∠6
∠PA3𝐵3 = ∠1, ∠P𝐴3𝐶3 = ∠2, ∠P𝐵3𝐴3 = ∠3
∠P𝐵3𝐶3 = ∠4, ∠P𝐶3𝐴3 = ∠5, ∠P𝐶3𝐵3 = ∠6
在△ ABC與△ 𝐴3𝐵3𝐶3中
∵ ∠BAC = ∠1 + ∠2 = ∠𝐵3𝐴3𝐶3,
∠ABC = ∠3 − ∠4 = ∠𝐴3𝐵3𝐶3,
∠BCA = ∠5 − ∠6 = ∠𝐵3𝐶3𝐴3
∴△ ABC~△ 𝐴3𝐵3𝐶3(AA 相似
∴{3k}、{3k+1}、{3k+2}各組都分別相似 三、三角形退化點之探討：
經過我們觀察，任意三角形的外接圓及三角形三邊及三邊延長線即為退化點軌跡(圖 1-5)，同時我們發現 P 點在不同特定位置時，退化情形也不太一樣。因此，我們分成 P 點在三頂點退化、三邊延長線退化、外接圓退化分別進行證明。
圖 1-10 三角形頂點退化 圖 1-11 三角形邊退化 圖 1-12 三角形外接圓退化 (一)性質一頂點退化：
當 P 在三角形之頂點上時第一層開始退化
已知：△ ABC為原圖形，△ 𝐴1𝐵1𝐶1為第一層，P 在 A 點上 求證：𝐴1、𝐵1、𝐶1共線
證明：P 在 A 上，所以 P 等於是在𝐶𝐴̅̅̅̅及𝐵𝐴̅̅̅̅兩對稱軸上
因此 P 對𝐶𝐴̅̅̅̅及𝐵𝐴̅̅̅̅作出的𝐵1、𝐶1及 P 共點，所以𝐴1、𝐵1、𝐶1共線(圖 1-10) 第一個角(∠B𝑛𝐴𝑛𝐶𝑛) 第二個角(∠A𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛) 第三個角(∠A𝑛𝐶𝑛𝐵𝑛) n=0 ∠1 + ∠2 ∠3 − ∠4 ∠5 − ∠6 n=1 ∠2 − ∠4 360° − (180° − ∠3) − (180° − ∠5)
= ∠3 + ∠5 ∠1 − ∠6 n=2 (180°− ∠2) − ∠5 (180°− ∠1) − ∠3 ∠4 + ∠6 n=3 ∠1 + ∠2 ∠3 − ∠4 ∠5 − ∠6
表 1：三角形角度轉換各分角移動過程
圖 1-5 退化點軌跡
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(二)性質二邊退化：當 P 在三角形之邊及邊延長線上時第一層開始退化
已知： △ ABC為原圖形，△ 𝐴1𝐵1𝐶1為第一層，△ 𝐴2𝐵2𝐶2為第二層，P 在𝐴𝐵⃡ 上 求證： 𝐴2、𝐵2、𝐶2共線
證明： ∵P 在𝐴𝐵⃡ 上, ∴P 對𝐴𝐵⃡ 作鏡射出來的𝐴1與 P 點共點⇒P 在△ 𝐴1𝐵1𝐶1的頂點上 由性質一可得知𝐴2、𝐵2、𝐶2共線(圖 1-11)
(三)性質三外接圓退化：
已知：△ ABC為原圖形，△ 𝐴1𝐵1𝐶1為第一層，G 為圓 A 上但不在𝑃𝐶̂ 上的一點 1𝐵1 會造成退化的兩角關係為∠PBC + ∠PAC = 180°(屬於後面提到的情況二) 求證：∠𝐴1𝐶1𝐵1 = 180°
證明：分別以 A、B 為圓心，𝐴𝑃̅̅̅̅及𝐵𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓 𝐵𝐶⃡ 為𝐴̅̅̅̅̅之中垂線 又𝐵𝑃1𝑃 ̅̅̅̅ = 𝐵𝐴̅̅̅̅̅ 1
則∠𝑃𝐵𝐶 = ∠𝐴1𝐵𝐶 =1
2𝑃𝐶̂ =1𝐴1 1
2(360° − 𝑃𝐴̂ ) = 180° − ∠𝑃𝐶1 1𝐴1
⇒ ∠𝑃𝐶1𝐴1 = 180° − ∠𝑃𝐵𝐶
𝐶𝐴⃡ 為𝐵̅̅̅̅̅之中垂線 又𝐵1𝑃 ̅̅̅̅̅ = 𝐴𝑃1𝐴 ̅̅̅̅，則∠PAC = ∠CA𝐵1
𝑃𝐺𝐵̂ = 360° − 2∠PAC = 2∠P𝐶1 1𝐵1, ∠P𝐶1𝐵1 = 180° − ∠PAC
∵ ACBP為一圓內接四邊形，則∠PBC + ∠PAC = 180°
∠𝐴1𝐶1𝐵1 = ∠𝑃𝐶1𝐵1+ ∠𝑃𝐶1𝐴1 = 180° − ∠PAC + 180° − ∠𝑃𝐵𝐶
= 360° − (∠PBC + ∠PAC) = 360° − 180°
⇒ ∠𝐴1𝐶1𝐵1 = 180°(圖 1-12) (四)結論：
1.由(一)、(二)、(三)得知，三角形的退化點必在三角形的邊及邊延長線與外接圓上。
2.由(一)、(二)，在我們往後發展時發現多邊形皆有此性質、皆可用此方法證明。
四、四邊形退化點之探討：
(一)名詞定義：
1.退化：N 邊形經過重複疊作鏡射後的圖形，若鏡射圖形邊數少於 N，則稱此情形為 退化。若 N 邊形作出之重複疊作鏡射圖形為 N-1 邊形，則此情形為退化一次，
以此類推。
2. k 次退化：P 點對一多邊形重複疊作鏡射多邊形，重複疊作後之圖形為(N-k)邊形，
則此 P 點為此 N 邊形的 k 次退化點。
例：四邊形退化成三角形，為一次退化。七邊形退化成四邊形，為三次退化。
3.a 層 b 次退化：P 點對一多邊形重複疊作鏡射多邊形，在第 a 層鏡射多邊形時開始 退化，最終退化 b 次，則此 P 點為此 N 邊形之 a 層 b 次退化點。
例：(圖 2-1)為 1 層 1 次退化
6
4.m 階棒點：若一 N 邊形兩邊之延長線交於一點 Q，且此兩邊最小相隔 m 個邊，則 Q 點稱為此多邊形的 m 階棒點。
註：頂點即為 0 階棒點
例：(圖 2-2-1)𝐴′1﹑𝐵′1﹑𝐶′1﹑𝐷′1﹑𝐸′1﹑𝐹′1為一階棒點、
(圖 2-2-2)𝐵′2﹑𝐷′2﹑𝐹′2為二階棒點。
5.⊙ 𝐀𝐁𝐂：ABC三點所連成的圓即為⊙ ABC。(圖 2-3)
圖 2-1 一次退化 圖 2-2-1 一階棒點 圖 2-2-2 二階棒點 圖 2-3 ⊙ ABC 6.棒圓：已知一多邊形的任意三個相鄰頂點畫圓，則此圓稱為棒圓。
(圖 2-4 中⊙ 𝐴𝐵𝐶﹑ ⊙ 𝐵𝐶𝐷﹑ ⊙ 𝐶𝐷𝐸 ⊙ 𝐷𝐸𝐴﹑ ⊙ 𝐸𝐴𝐵均為棒圓，以藍色表示) 註 1：在平行四邊形中的四個棒圓又分成兩個銳角棒圓(淡藍⊙ ABC﹑ ⊙ ACD)和兩
個鈍角棒圓(深藍⊙ ABD﹑ ⊙ BCD)(圖 2-5) 註 2：經過探討，我們發現棒圓即為 0 階遠棒圓。
7.近棒點、遠棒點：若一多邊形之兩邊延長線交於一點，對此點而言，此兩邊上(線 段)分別離此點較近的兩頂點是近棒點；較遠的兩點是遠棒點。
例：四邊形 ABCD 中兩邊𝐴𝐷̅̅̅̅、𝐵𝐶̅̅̅̅延長線交於𝐴′1點，對𝐴′1點而言，A、B 兩點為 近棒點；C、D 兩點為遠棒點。(圖 2-6)
圖 2-4 棒圓 圖 2-5 銳角棒圓、鈍角棒圓 圖 2-6 近棒點、遠棒點 8.近棒圓(綠)：多邊形任意一階棒點與交出該棒點的兩邊延長線上
近棒點畫圓，即為近棒圓。即為 57 屆科展(頂圓多邊形之
性質研究與探討)所提的邊界圓。(圖 2-7 中,⊙ 𝐴′1𝐴𝐵﹑ ⊙ 𝐵′1𝐵𝐶﹑ ⊙ 𝐶′1𝐶𝐷﹑
⊙ 𝐷′1𝐷𝐸﹑ ⊙ 𝐸′1𝐴𝐸均為近棒圓，以綠色表示)
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9.m 階近棒圓：在一多邊形中，任意一個 m 階棒點及兩個近棒點所畫的圓即為 m 階 近棒圓。例：二階近棒圓，一個二階棒點及其近棒點所畫的圓。
10.遠棒圓：多邊形任意一階棒點與交出該棒點的兩邊延長線上遠棒點畫圓。
(圖 2-8 中⊙ 𝐴′1𝐶𝐸﹑ ⊙ 𝐵′1𝐴𝐷﹑ ⊙ 𝐶′1𝐵𝐸﹑ ⊙ 𝐷′1𝐴𝐶﹑ ⊙ 𝐸′1𝐵𝐷均為近棒圓，
以紫色表示)
11.m 階遠棒圓：在一多邊形中，任意一個 m 階棒點及兩個遠棒點所畫的圓即為 m 階 遠棒圓。例：二階遠棒圓：一個二階棒點及其遠棒點所畫的圓。
12.交點圓：在一多邊形中，取兩個不相鄰的一階棒點，與這兩棒點不相同的兩延長 線之 0 階棒點畫圓。(圖 2-9 中⊙ 𝐴′1𝐸𝐶′1即為五邊形 ABCDE 的其中一個交點圓，
以粉紅色表示)
圖 2-7 近棒圓 圖 2-8 遠棒圓 圖 2-9 交點圓 13.圖形樣貌符號：
為了方便之後的圖形退化證明，我們將其變形退化後所有會出現的圖形定義符 號，內容如下：
(1)[4]：一般凸四邊形 (2)[3]：一般三角形 (3)[2]：四點共線 (4)[1]：四點共點 (5)[&]：蝴蝶形 (6)[#]：內三點共線 (7)[%]：外三點共線 (8)[$]：凹四邊形 (9)[*]：兩點共點 (10)[^]：鄰邊重合(表 2)
(二)P 點在特殊四邊形、不同位置退化圖形之觀察：
經過探討，我們發現和四邊形退化最有關的是邊，其次是外接圓，邊的平行與否及 外接圓的有無便是重複疊作鏡射四邊形的分類依據。
因此，我們將四邊形分成以下四種情況來進行觀察與討論，分別是：
表 2：圖形樣貌符號圖
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矩形(兩對平行+有外接圓)、平行四邊形(兩對平行+無外接圓)、
等腰梯形(一對平行+有外接圓)、梯形(一對平行+無外接圓)。
圖 3-1 矩形 0 層 圖 3-2 矩形 1 層 圖 3-3 形 2 層 圖 3-4 矩形 3 層 圖 3-5 矩形 棒圓上 1.矩形：P 點位置：
(1)頂點上：各層退化過程分別為[4][*][2][1]，若原四邊形 ABCD 是一一般凸四邊形，
則計為[4]，當 P 點為 A 點(頂點)時。(圖 3-1)
第一層鏡射圖形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中𝐴1、𝐷1共點，因此𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1為兩點共點，計為[*]。
𝐴1、𝐷1共點，因此無法作出鏡射點𝐷2。(圖 3-2)
第二層鏡射圖形中𝐴2、𝐶2共點，因此𝐴2𝐵2𝐶2為一條線，計為[2]。𝐴2、𝐶2共點，
因此無法作出鏡射點𝐶3。(圖 3-3)
第三層鏡射多邊形𝐴3、𝐵3為一點，則計為[1]因此 P 在頂點時的退化過程記為 [4][*][2][1] (圖 3-4)
以下也用相同方式表示：
(2)邊上：[4][%][*][2][1],(3)邊延長線上：[4][#][*][2][1],(4)棒圓上：[4][$][2][1](圖 3-5) 綜合上述討論，我們將矩形退化情形整理成下表(3)
矩形 頂點 邊 邊延長 棒圓 近棒圓 遠棒圓
開始退化層數 1 1 1 2
最後退化層數 2 3 3 2
最終退化圖形 點 點 點 點
退化原因 2 點共點 3 點共線 3 點共線 4 點共線
2.利用上述作法討論後，針對平行四邊形、(非等腰)梯形、(等腰)梯形整理出下表：
表(4)、表(5)、表(6)，以表示退化點在不同位置探討。
平行四邊形 頂點 邊 邊延長 鈍角棒圓 銳角棒圓 近棒圓 遠棒圓
開始退化層數 1 1 1 2 2
最後退化層數 2 3 3 2 2
最終退化圖形 點 點 點 三角形 三角形 退化原因 2 點共點 3 點共線 3 點共線 3 點共線 3 點共線
表 3：P 點在矩形上的不同位置之退化情形
表 4：P 點在矩形上的不同位置之退化情形
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(非等腰)梯形 頂點 邊 邊延長 棒圓 近棒圓 遠棒圓
開始退化層數 1 2 2 3 1 1
最後退化層數 2 3 3 3 1 1
最終退化圖形 點 點 點 三角形 三角形 三角形
退化原因 2 點共點 2 點共點 2 點共點 3 點共線 3 點共線 3 點共線
(等腰)梯形 頂點 邊 邊延長 棒圓 近棒圓 遠棒圓
開始退化層數 1 2 2 2 1 1
最後退化層數 2 3 3 2 1 1
最終退化圖形 點 點 點 點 三角形 三角形
退化原因 2 點共點 2 點共點 2 點共點 4 點共線 3 點共線 3 點共線
3.結論：由上面 1.、2.點可得知，
(1)若 P 點在四邊形的邊、邊延長線及外接圓(棒圓重合)上，則最終退化圖形為 點。
(2)若 P 點在四邊形的棒圓(棒圓不重合)、近棒圓(非交點)、遠棒圓(非交點)上，
則最終退化圖形為三角形。
五、五邊形退化情形之探討：
和四邊形一樣，我們分外接圓的有無及邊是否平行的兩種分類，代表分別是：有平 行邊+無外接圓(圖 3-6)，無平行邊+有外接圓(圖 3-7)，有平行邊+有外接圓(圖 3-8)
圖 3-6 五邊形 1 圖 3-7 五邊形 2 圖 3-8 五邊形 3
圖 3-6 頂點 邊 邊延長 棒圓 近棒圓 遠棒圓
開始退化層數 1 2 2 3 1 2
最後退化層數 4 4 4 3 1 2
最終退化圖形 點 點 點 四邊形 四邊形 四邊形
退化原因 2 點共點 2 點共點 2 點共點 3 點共線 3 點共線 3 點共線 表 7：P 點在(圖 3-6)上的不同位置之退化情形
表 6：P 點在等腰梯形上的不同位置之退化情形 表 5：P 點在非等腰梯形上的不同位置之退化情形
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圖 3-7 頂點 邊 邊延長 棒圓 近棒圓 遠棒圓
開始層數 1 2 2 3 1 2
最後退化層數 4 4 4 3 1 2
最終退化圖形 點 點 點 點 四邊形 四邊形
退化原因 2 點共點 2 點共點 2 點共點 5 點共線 3 點共線 3 點共線
圖 3-8 頂點 邊 邊延長 棒圓 近棒圓 遠棒圓
開始層數 1 2 2 3 1 2
最後退化層數 4 4 4 4 1 2
最終退化圖形 點 點 點 點 四邊形 四邊形
退化原因 3 點共點 2 點共點 2 點共點 5 點共線 3 點共線 3 點共線 結論：由(表 7)、(表 8)、(表 9)可知，
(1)若 P 點在五邊形的邊、邊延長線及外接圓(棒圓重合)上，則最終退化圖形為點。 (2)若 P 點在五邊形的棒圓(棒圓不重合)、近棒圓(非交點)、遠棒圓(非交點)上，
則最終退化圖形為四邊形。
六、六邊形退化情形之探討：
在上述討論中，可以歸納出頂點、邊延長及 棒圓的退化規則，而m 階的近棒圓及小小棒在 六邊形以後才會出現，所以以下在六邊形的探討中，
我們將(圖 3-9)針對不同階的近棒圓及遠棒圓做討論。
圖 3-9 近棒圓 遠棒圓 二階近棒圓 二階遠棒圓
開始層數 1 3 2 2
最後退化層數 1 3 2 2
最終退化圖形 五邊形 五邊形 五邊形 五邊形
退化原因 3 點共線 3 點共線 3 點共線 3 點共線
結論：由(表 10)可知，
若 P 點在五邊形的二階近棒圓(非交點)、二階遠棒圓(非交點)上，則最終退化 型態為二層一次。
表 10：P 點在(圖 3-9)上的不同位置之退化情形 圖 3-9 六邊形-例 表 8：P 點在(圖 3-7)上的不同位置之退化情形
表 9：P 點在(圖 3-8)上的不同位置之退化情形
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陸、 研究分析與討論
一、鏡射多邊形之性質與探討：
(一)角度轉換性質：
角度轉換是指 P 點對 N 邊形的個頂點連線後，將那個頂點的內角或外角分割成 兩個角，同樣以 P 點對第一層鏡射多邊形連線，分割出的角，會與原圖形分割出的 角存在的特殊關係，我們發現之前的作品裡面都有提到角度轉換的現象，而且後續 證明也會重複提到。下方以五角形為例，說明角度轉換和證明角度轉換(圖 4-1) 已知：ABCDE原圖形、𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1第一層鏡射多邊形，P 點為任意點
求證：∠PAE = ∠P𝐴1𝐸1, ∠PAB = ∠P𝐸1𝐴1, ∠PBA = ∠P𝐵1𝐴1, ∠PBC = ∠P𝐴1𝐵1,
∠PCB = 180°− ∠P𝐶1𝐵1, ∠PCD = ∠P𝐵1𝐶1, ∠PDC = ∠P𝐷1𝐶1
∠PDE = 180°− ∠P𝐶1𝐷1, ∠PED = ∠P𝐸1𝐷1, ∠PEA = ∠P𝐷1𝐸1 證明：分別以 A、C 為圓心，𝐴𝑃̅̅̅̅、𝐶𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓
∠PAE = ∠𝐸1AE =1
2∠𝑃𝐴𝐸1 = 1
2𝑃𝐸̂ = ∠P𝐴1 1𝐸1∠PCB = ∠𝐵1CB
=1
2(360° − ∠𝑃𝐶𝐵1) = 180° −1
2𝑃𝐵̂ = 180° − ∠P𝐶1 1𝐵1 同理得證
∠PAB = ∠P𝐸1𝐴1, ∠PBA = ∠P𝐵1𝐴1, ∠PBC = ∠P𝐴1𝐵1, ∠PCD = ∠P𝐵1𝐶1
∠PDC = ∠P𝐷1𝐶1, ∠PDE = 180° − ∠P𝐶1𝐷1,∠PED = ∠P𝐸1𝐷1, ∠PEA = ∠P𝐷1𝐸1
圖 4-1 五邊形角度轉換 圖 4-2 五邊形分組相似(0、1 層) 圖 4-3 五邊形分組相似(1、2 層)
圖 4-4 五邊形分組相似(2、3 層) 圖 4-5 五邊形分組相似(3、4 層) 圖 4-6 五邊形分組相似(4、5 層)
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(二)分組相似性質：
分組相似是指 P 點對 N 邊形重複疊作鏡射多邊形後，特定層數會有相似情形。為了 方便解釋以下用五邊形為例。(圖 4-2、4-3、4-4、4-5、4-6)
已知：一五邊形 ABCDE 為原圖形，P 點為任意點 求證：原圖形與第五層圖形相似
證明：設∠PAE = ∠1, ∠PAB = ∠2, ∠PBA = ∠3, ∠PBC = ∠4, ∠PCB = ∠5
∠PCD = ∠6, ∠PDC = ∠7, ∠PDE = ∠8, ∠PED = ∠9, ∠PEA = ∠10 角度轉換可得知：
觀察 1：每個內角都有分成兩個角，這 10 個角有一部份會轉換到下一層的對應角上(淡藍 色底)，另一部份會轉換到下一層的上一個對應角。
為了方便以下解釋，定義以下名詞：
1.分角：用 P 點和頂點相連線段與邊所夾出的角皆稱為分角 2.駐留分角：成為下一層對應角一部分的這些角為駐留分角
例：上表中的∠1、∠3、∠5、∠7、∠9
3.移動分角：會移動到下一層的上一個對應角的分角為移動分角 例：上表中的∠2、∠4、∠6、∠8、∠10
4.間隔邊數：若任選兩個分角∠A及∠B，∠A的頂點順著移動分角移動的方向數到∠B的 頂點，中間隔的邊數就是∠A對∠B的間隔邊數。
結論：1.移動分角會到下一層的上一個對應角
⇒移動分角移動的方向會和頂點編號順序相反 2.駐留分角的開口方向和頂點編號方向相反 3.移動分角的開口方向和頂點編號方向同向
4.由 1、3 兩點可得之移動分角的開口會背對移動的方向
第一個角 (∠𝑬
𝒏𝑨
𝒏𝐁
𝒏)
第二個角 (∠𝑨
𝒏𝑩
𝒏𝐂
𝒏)
第三個角 (∠𝑩
𝒏𝑪
𝒏𝐃
𝒏)
第四個角 (∠𝑪
𝒏𝑫
𝒏𝐄
𝒏)
第五個角 (∠𝑫
𝒏𝑬
𝒏𝐀
𝒏)
n=0
∠𝟏＋∠𝟐 ∠3＋∠𝟒 ∠𝟓－∠𝟔 ∠𝟖－∠𝟕 ∠𝟗＋∠𝟏𝟎
n=1
∠𝟏＋∠𝟒 ∠𝟑－∠𝟔
360° − (180° − ∠5)
− (180° − ∠8)
=∠𝟓＋∠𝟖
∠𝟏𝟎－∠𝟕 ∠𝟗＋∠𝟐
n=2
∠𝟏－∠𝟔
360° − (180° − ∠3)
− (180° − ∠8)
＝∠𝟑＋∠𝟖
360° − (180° − ∠5)
− (180° − ∠10)
=∠𝟓＋∠𝟏𝟎
∠𝟐－∠𝟕 ∠𝟗＋∠𝟒
n=3
(180° − ∠1) + (180° − ∠8)
= 𝟑𝟔𝟎° − ∠𝟏－∠𝟖
(180° − ∠3) + (180° − ∠10)
= 𝟑𝟔𝟎° − ∠𝟑 −
∠𝟏𝟎
(180° − ∠5) + (180° − ∠2)
= 𝟑𝟔𝟎°－∠𝟓－∠𝟐
∠𝟕－∠𝟒 ∠𝟔－∠𝟗
n=4
(𝟏𝟖𝟎° − ∠𝟏) − ∠𝟏𝟎 (𝟏𝟖𝟎° − ∠𝟐) − ∠𝟑 (𝟏𝟖𝟎° − ∠𝟓) − ∠𝟒
360° − (180° − ∠6)
− (180° − ∠7)
＝∠𝟔＋∠𝟕
(𝟏𝟖𝟎° − ∠𝟖)－∠𝟗
n=5
∠𝟏＋∠𝟐 ∠𝟑＋∠𝟒 ∠𝟓－∠𝟔 ∠𝟖－∠𝟕 ∠𝟗＋∠𝟏𝟎
表 11：三角形角度轉換各分角移動過程
13
二、四邊形退化點之探討：
經由上述的性質探討，我們發現四邊形的退化點只出現在頂點、邊延長線(包含頂點)及棒 圓、近棒圓、遠棒圓上，以下將會對這些位置進行證明。
圖 4-7 四邊形頂點退化 圖 4-8 四邊形邊退化 圖 4-9 四邊形 棒圓退化 1
圖 4-10 四邊形 棒圓退化 2 圖 4-11 四邊形 棒圓退化 3 圖 4-12 四邊形 棒圓退化 4 (一)P 點在頂點(0 階棒點)上：
已知：ABCD 為原圖形，𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1為疊作第一層圖形，
𝐴2𝐵2𝐶2為疊作第二層圖形，P 在 A 點上 求證： 𝐴2、𝐵2、𝐶2共線(圖 4-7)
證明：由性質一頂點退化可得知當 P 在頂點上時 P 在𝐷𝐴̅̅̅̅及𝐵𝐴̅̅̅̅兩對稱軸上 則 P 對𝐷𝐴̅̅̅̅及𝐵𝐴̅̅̅̅作出的𝐷1、𝐴1及 P 共點, ∴ 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1為三角形 由性質一頂點退化可得知 P 點在𝐴1、𝐷1上時，
相當於 P 在𝐴̅̅̅̅̅̅̅及𝐶1𝐵1 ̅̅̅̅̅̅兩對稱軸上 1𝐷1
則 P 對𝐴̅̅̅̅̅̅̅及𝐶1𝐵1 ̅̅̅̅̅̅作出的𝐴1𝐷1 2、𝐶2及 P 共點, ∴ 𝐴2、𝐵2、𝐶2三點共線 (二)P 點在邊及邊延長線上：
已知：ABCD 為原圖形，A1B1C1D1為疊作第一層圖形，A2B2C2D2為疊作第二層圖形，
A3B3C3為疊作第三層圖形，P 在AB⃡ 點上 求證： 𝐴3、𝐵3、𝐶3共線(圖 4-8)
證明：由性質二邊退化可得知當 P 在𝐴𝐵⃡ 上時 P 對𝐴𝐵⃡ 作出的 對稱點𝐴1與 P 共點，因此 P 在𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的頂點上 由上面證明可得知𝐴3、𝐵3、𝐶3三點共線
14
(三)P 點在棒圓上：
已知：四邊形 ABCD 為原圖形，四邊形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1為第一層鏡射四邊形，四邊形 𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2為第二層鏡射四邊形，P 點在棒圓⊙ ADC上
求證：𝐴2、𝐷2、𝐵2三點共線
證明：在四邊形的棒圓上時會有兩種情況發生，以下所有圓皆會有兩種情況：
情況一 P 在棒圓⊙ ADC的𝐴𝐷𝐶̂ 上時，參與角度轉換的角關係為
∠PCD = ∠PAD(圖 4-9、4-10)
1.∵ PADC為一圓內接四邊形, ∴ ∠PCD = ∠PAD 分別以 A、C 圓心，𝐴𝑃̅̅̅̅、𝐶𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓 由角度轉換可得知：∠PCD = ∠DCC1 =1
2∠PCC1 =1
2PĈ = ∠PB1 1C1
∠PAD = ∠DA𝐷1 =1
2∠𝑃𝐴𝐷1 = 1
2𝑃𝐷̂ = ∠𝑃𝐴1 1𝐷1 又∠PCD = ∠PAD ⇒ ∠PB1C1 = ∠PA1D1
2.分別以𝐴1、𝐵1圓心，𝐴̅̅̅̅̅、𝐵1𝑃 ̅̅̅̅̅為半徑畫圓 1𝑃
由角度轉換可得知：∠𝑃𝐴1𝐷1 = ∠𝑃𝐴2𝐷2, ∠P𝐵1𝐶1 = ∠𝑃𝐴2𝐵2 又∠P𝐵1𝐶1 = ∠𝑃𝐴1𝐷1, ∴ ∠𝑃𝐴2𝐷2 = ∠𝑃𝐴2𝐵2
⇒ 𝐷2必在𝐴̅̅̅̅̅̅̅上, 得證𝐴2𝐵2 2 、𝐵2、𝐷2三點共線
圖 4-13 四邊形 近棒圓退化 圖 4-14 四邊形 遠棒圓退化
情況二 P 在棒圓⊙ACD 的𝐴𝐶̂ 上時，參與角度轉換的角關係為
∠PCD + ∠PAD = 180°(圖 4-11、4-12)
1.∵ PADC為一圓內接四邊形, ∴ ∠PCD + ∠PAD = 180°
分別以 A、C 圓心，𝐴𝑃̅̅̅̅、𝐶𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓, 𝐶𝐷⃡ 交圓 C 於 H 由角度轉換可得知：∠PCD = ∠DCC1 = 1
2𝑃𝐻Ĉ = ∠PB1 1C1
∠PAD = ∠DA𝐷1 =1
2𝑃D̂ = ∠𝑃𝐴1 1𝐷1 又∠PCD + ∠PAD = 180° ⇒ ∠PB1C1+ ∠PA1D1 = 180°
15
2.分別以𝐴1、𝐵1圓心，𝐴̅̅̅̅̅、𝐵1𝑃 ̅̅̅̅̅為半徑畫圓 1𝑃 由角度轉換可得知：
∠𝑃𝐴1𝐷1 = ∠𝑃𝐴2𝐷2, ∠P𝐵1𝐶1 = ∠𝑃𝐴2𝐵2
又∠PB1C1+ ∠PA1D1 = 180°, ∴ ∠𝑃𝐴2𝐵2+ ∠𝑃𝐴2𝐷2 = 180°
⇒ ∠𝐷2𝐴2𝐵2 = 180°, 得證𝐴2、𝐵2、𝐷2三點共線
結論：兩情況差別在角度轉換後造成退化的角的關係，但在中間的證明都是利用角 度轉換性質來證明。
觀察 2：1.在上面的證明中∠PAD 屬於駐留分角∠PCD 屬於移動分角，∠PCD對∠PAD間 隔邊數為兩個邊，和棒圓外的邊數相同，也和退化層數相同。
2.四邊形 ABCD 的𝐴𝐷̅̅̅̅、𝐷𝐶̅̅̅̅兩邊為棒圓⊙ADC 的弦
3.造成退化的兩分角開口方向都朝向圓內，移動分角只經過圓外的邊。
(四)P 點在四邊形近棒圓上退化證明(同棒圓之證明以下皆舉情況一來討論)：
已知：ABCD 為原四邊形，𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1為第一層四邊形，P 在近棒圓⊙ 𝐴𝐷D′1 求證：𝐴1、𝐶1、𝐷1共線(圖 4-13)
證明：參與角度轉換的兩角關係為∠PDE = ∠PAE，所以此情況為情況一 分別以 A、D 為圓心，𝐴𝑃̅̅̅̅、𝐷𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓
∵ ADPD′1為一圓內接四邊形, ∴ ∠PDD′1 = ∠PAD′1
⇒ 180° − ∠PDD′1 = 180° − ∠PAD′1 ⇒ ∠PD𝐶 = ∠PAB
由角度轉換可得知：∠PD𝐶 = ∠PD1C1, ∠PAB = ∠PD1A1, 又∠PD𝐶 = ∠PAB
⇒ ∠PD1C1 = ∠PD1A1, ∴ C1在A̅̅̅̅̅̅̅(得證) 1D1
觀察3：1.∠PDC為駐留分角，∠PAB為移動分角，∠PAB對∠PDC的間隔邊數為一邊，
和圓內的邊數一樣，也和退化層數相同。
2.四邊形 ABCD 的𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐷𝐶̅̅̅̅兩邊之延長線為近棒圓⊙ 𝐴𝐷D′1上的兩弦，因為 近棒圓⊙ 𝐴𝐷D′1為此四邊形之一階近棒圓，所以⊙ 𝐴𝐷D′1上的兩弦所夾的 邊數為一邊。
3.造成退化的兩分角開口方向皆背對圓內，移動分角只經過圓內的邊。
(五)P 點在四邊形遠棒圓上退化證明：
已知：ABCD 為原四邊形，𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1為第一層四邊形，P 在遠棒圓⊙ 𝐶𝐷A′1 求證：𝐵1、𝐶1、𝐷1共線(圖 4-14)
證明：參與角度轉換的兩角關係為∠PDA′1 = ∠PAA′1，所以此情況為情況一 分別以 C、D 為圓心，𝐶𝑃̅̅̅̅、𝐷𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓
∴ ∠PCA′1 = ∠PDA′1 ⇒ ∠PCB = ∠PDA
由角度轉換可得知：∠PC𝐵 = ∠𝑃𝐶1𝐵1, ∠PD𝐴 = ∠𝑃𝐶1𝐷1 又∠PCB = ∠PDA ⇒ ∠𝑃𝐶1𝐵1 = ∠𝑃𝐶1𝐷1, ∴ 𝐵1在𝐷̅̅̅̅̅̅(得證) 1𝐶1
16
觀察4：1.∠PC𝐵為駐留分角，∠PD𝐴為移動分角，∠PD𝐴對∠PC𝐵的間隔邊數為一邊，
和圓外的邊數一樣，也和退化層數相同。
2.四邊形 ABCD 的𝐴𝐷̅̅̅̅、𝐵𝐶̅̅̅̅兩邊之延長線為遠棒圓⊙ 𝐶𝐷A′1上的兩弦，因為 遠棒圓⊙ 𝐶𝐷A′1為此四邊形之一階遠棒圓，所以⊙ 𝐶𝐷A′1上的兩弦所夾的 邊數為一邊，則圓內有2+1=3 個邊。
3.造成退化的兩分角開口方向皆面向圓內，移動分角只經過圓外的邊。
結論：由上面(一)、(二)、(三)、(四)、(五)點及前段所敘的三角形邊退化證明可得知 1.四邊形的退化點必在四邊形的邊及邊延長線與棒圓、近棒圓、遠棒圓上 2.造成退化的兩角皆是一個駐留分角,一個移動分角
3.間隔邊數和退化樣貌的層數一樣
三、五邊形退化點之探討：
經由上述的性質探討，我們發現五邊形的退化點只出現在頂點、邊延長線(包含頂點)及棒 圓、近棒圓、遠棒圓上，以下將會對這些位置進行證明。
圖 5-1 五邊形 頂點退化 圖 5-2 五邊形 邊退化 圖 5-3 五邊形 棒圓退化 1
圖 5-4 五邊形 棒圓退化 2 圖 5-5 五邊形 棒圓退化 3 圖 5-6 五邊形 棒圓退化 4
17
圖 5-7 五邊形 棒圓退化 5 圖 5-8 五邊形 棒圓退化 6 圖 5-9 五邊形 近棒圓退化 (一)P 點在五邊形頂點上：
已知：五邊形 ABCDE 為原圖形，𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1為疊作第一層圖形，𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2為疊作 第二層圖形，𝐴3𝐵3𝐶3為疊作第三層圖形，P 在 A 點上
求證：𝐴3、𝐵3、𝐶3共線(圖 5-1)
證明：由性質一頂點退化可得知當 P 在頂點上時 P 在EA̅̅̅̅及BA̅̅̅̅兩對稱軸上 則 P 對EA̅̅̅̅及BA̅̅̅̅作出的𝐸1、𝐴1及 P 共點、𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1為五邊形
由性質一頂點退化可知 P 點在𝐴1、𝐸1上時相當於 P 在𝐴̅̅̅̅̅̅̅及𝐷1𝐵1 ̅̅̅̅̅̅兩對稱軸上 1𝐸1 則 P 對𝐴̅̅̅̅̅̅̅及𝐷1𝐵1 ̅̅̅̅̅̅作出的𝐴1𝐸1 2、𝐷2及 P 共點，𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2為一三角形
由性質一頂點退化可知 P 點在𝐴1、𝐷1上時相當於 P 在𝐴2𝐵2及𝐶2𝐷2兩對稱軸上 則 P 對𝐴2𝐵2及𝐶2𝐷2作出的𝐴3、𝐶3及 P 共點，𝐴3、𝐵3、𝐶3三點共線
(二)P 點在五邊形邊及邊延長線上：
已知：ABCDE 為原圖形，𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1為疊作第一層圖形，𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2𝐸2為疊作第二 層圖形，𝐴3𝐵3𝐶3𝐷3為疊作第三層圖形，𝐴4𝐵4𝐶4為疊作第四層圖形，P 在𝐴𝐵⃡ 上 求證： 𝐴4、𝐵4、𝐶4共線(圖 5-2)
證明：由性質二邊退化可得知當 P 在𝐴𝐵⃡ 上時 P 對𝐴𝐵⃡ 作出的對稱點𝐴1與 P 共點 因此 P 在𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1的頂點𝐴1上，由上面證明可得知𝐴4、𝐵4、𝐶4三點共線 (三)P 點在五邊形棒圓上：
已知：五邊形 ABCDE 為原圖形，五邊形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1為第一層鏡射五邊形，五邊形 𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2𝐸2為第二層鏡射五邊形，五邊形𝐴3𝐵3𝐶3𝐷3𝐸3為第三層鏡射五邊形，
P 點在棒圓⊙BAE 上，H 為⊙BAE 上且不再𝐵𝐴𝐸̂上的點 求證：𝐴3、𝐵3、𝐶3三點共線 (圖 5-1、5-2)
證明：在五邊形的棒圓上時會有兩種情況發生，以下所有圓皆會有兩種情況：
情況一 P 在棒圓⊙ BAE的𝐵𝐴𝐸̂上時，參與角度轉換的角關係為∠PBA = ∠PEA 1.∵ PABE為一圓內接四邊形(圖 5-3), ∴ ∠PBA = ∠PEA
分別以 B、E 圓心，𝐵𝑃̅̅̅̅、𝐸𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓
18
由角度轉換可得知：∠PBA = ∠ABA1 =1
2∠PBA1 = ∠PB1A1
∠PEA = ∠AE𝐸1 = 1
2∠𝑃𝐸𝐸1 = ∠𝑃𝐷1𝐸1 又∠PBA = ∠PEA ⇒ ∠PB1A1 = ∠𝑃𝐷1𝐸1 2.分別以𝐵1、𝐷1圓心，𝐵̅̅̅̅̅、𝐷1𝑃 ̅̅̅̅̅為半徑畫圓 1𝑃
由角度轉換可得知(圖 5-4)
∠𝑃𝐵1𝐴1 = ∠𝑃𝐵2𝐴2, ∠P𝐷1𝐸1 = ∠𝑃𝐶2𝐷2又∠PB1A1 = ∠𝑃𝐷1𝐸1
∴ ∠𝑃𝐵2𝐴2 = ∠𝑃𝐶2𝐷2
3.分別以𝐵2、𝐶2圓心，𝐵̅̅̅̅̅、𝐶2𝑃 ̅̅̅̅̅為半徑畫圓 2𝑃 由角度轉換可得知(圖 5-5)
∠𝑃𝐵2𝐴2 = ∠𝑃𝐵3𝐴3, ∠P𝐶2𝐷2 = ∠𝑃𝐵3𝐶3, 又∠𝑃𝐵2𝐴2 = ∠𝑃𝐶2𝐷2
∴ ∠𝑃𝐵3𝐴3 = ∠𝑃𝐵3𝐶3 ⇒ 𝐶3必在𝐴̅̅̅̅̅̅̅上，得證𝐴3𝐵3 3、𝐵3、𝐶3三點共線 情況二 P 在棒圓⊙BAE 的𝐵𝐻𝐸̂ 上時，
參與角度轉換的角關係為∠PEA + ∠PBA = 180°
1.∵ PBAE為一圓內接四邊形(圖 5-6), ∴ ∠PEA + ∠PBA = 180°
分別以 B、E 圓心，𝐵𝑃̅̅̅̅、𝐸𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓 𝐴𝐵⃡ 交圓 B 於 N
由角度轉換可得知：∠PBA = ∠ABA1 =1
2𝑃𝑁Â = ∠PB1 1A1
∠PEA = ∠AE𝐸1 = 1
2∠𝑃𝐸𝐸1 = ∠𝑃𝐷1𝐸1 又∠PEA + ∠PBA = 180°
2.分別以𝐵1、𝐷1圓心，𝐵̅̅̅̅̅、𝐷1𝑃 ̅̅̅̅̅為半徑畫圓由 1𝑃 角度轉換可得知(圖 5-7)
∠𝑃𝐵1𝐴1 = 180° − ∠𝑃𝐵2𝐴2, ∠P𝐷1𝐸1 = 180° − ∠𝑃𝐶2𝐷2 又∠PD1E1+ ∠PB1A1 = 180°
∴ (180° − ∠𝑃𝐶2𝐷2) +(180° − ∠𝑃𝐵2𝐴2) = 180°
⇒ ∠𝑃𝐶2𝐷2+ ∠𝑃𝐵2𝐴2 = 180°
3.分別以𝐴2、𝐵2圓心，𝐴̅̅̅̅̅、𝐵2𝑃 ̅̅̅̅̅為半徑畫圓由角度轉換可得知(圖 5-8) 2𝑃
∠𝑃𝐵2𝐴2 = ∠𝑃𝐵3𝐴3, ∠P𝐶2𝐷2 = ∠𝑃𝐵3𝐶3又∠𝑃𝐶2𝐷2+ ∠𝑃𝐵2𝐴2 = 180°
∴ ∠𝑃𝐵3𝐶3+ ∠𝑃𝐵3𝐴3 = 180° ⇒ ∠𝐴3𝐵3𝐶3 = 180°
得證𝐴3、𝐵3、𝐶3三點共線
結論：在五邊形時兩情況一樣差別在角度轉換後造成退化的角 的關係，但在中間的證明都是利用角度轉換性質來證明。
19
觀察5：1.∠P𝐵𝐴為駐留分角，∠PE𝐴為移動分角，∠PE𝐴對∠P𝐵𝐴的 間隔邊數為三邊，和圓外的邊數一樣。
2.五邊形 ABCDE 的𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐴𝐸̅̅̅̅兩邊為棒圓⊙ 𝐵𝐴𝐸上的兩弦。
3.造成退化的兩分角開口方向皆面向圓內，移動分角只經過圓外的邊。
(四)P 點在五邊形近棒圓上退化(同棒圓之證明以下皆舉情況一來討論)：
已知：ABCDE 為原五邊形，𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1為第一層五邊形，P 在近棒圓⊙AE𝐸′1 求證：𝐴1、𝐷1、𝐸1共線(圖 5-9)
證明：參與角度轉換的兩角關係為∠PE𝐸′1 = ∠PA𝐸′1，所以此情況為情況一 分別以 A、E 為圓心，𝐴𝑃̅̅̅̅、𝐸𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓
∵ AEP𝐸′1為一圓內接四邊形, ∴ ∠PE𝐸′1 = ∠PA𝐸′1
⇒ 180° − ∠PEE1 = 180° − ∠PAE′1 ⇒ ∠PED = ∠PAB 由角度轉換可得知
∠PED = 180° − ∠P𝐸1𝐷1, ∠PAB = 180° − ∠𝑃𝐸1𝐴1, 又∠PE𝐸′1 = ∠PA𝐸′1
⇒ ∠PED = ∠PAB ⇒ 180° − ∠P𝐸1𝐷1 = 180° − ∠𝑃𝐸1𝐴1 ⇒ ∠P𝐸1𝐷1 = ∠𝑃𝐸1𝐴1
∴ 𝐷1在𝐴̅̅̅̅̅̅(得證) 1𝐸1
觀察6：1.∠PED為駐留分角，∠PAB為移動分角，∠PAB對∠PED的間隔邊數為一邊，
和圓外的邊數一樣，也和退化層數相同。
2.五邊形 ABCDE 的𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐷𝐸̅̅̅̅兩邊之延長線為近棒圓⊙ 𝐴𝐸E′1上的兩弦，因 為近棒圓⊙ 𝐴𝐸E′1為此五邊形之一階近棒圓，所以⊙ 𝐴𝐸E′1上的兩弦所夾 的邊數為一邊。
3.造成退化的兩分角開口方向皆背對圓內，移動分角只經過圓內的邊。
圖 5-10 五邊形 遠棒圓退化 1
圖 5-11 五邊形
遠棒圓退化 2 圖 6-1 交點圓圖形
(五) P 點在五邊形五邊形遠棒圓：
已知：ABCDE 為原五邊形，𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1為疊作第一層五邊形，𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2𝐸2為疊作 第二層五邊形，P 在遠棒圓⊙BE𝐶′1
求證：𝐴2、𝐷2、𝐸2共線(圖 5-10、5-11)
20
證明：參與角度轉換的兩角關係為∠PE𝐶′1 = ∠PB𝐶′1，所以此情況為情況一 1.分別以 B、E 為圓心，𝐵𝑃̅̅̅̅、𝐸𝑃̅̅̅̅為半徑畫圓
∴ ∠PE𝐶′1 = ∠PB𝐶′1 ⇒ ∠PED = ∠PBC 由角度轉換可得知
∠PED = ∠𝑃𝐸1𝐷1, ∠PBC = ∠𝑃𝐴1𝐵1 ⇒ ∠𝑃𝐸1𝐷1 = ∠𝑃𝐴1𝐵1 2.分別以𝐴1、𝐸1為圓心，𝐴̅̅̅̅̅、𝐸1𝑃 ̅̅̅̅̅為半徑畫圓 1𝑃
由角度轉換可得知：∠𝑃𝐸1𝐷1 = ∠P𝐸2𝐷2, ∠𝑃𝐴1𝐵1 = ∠𝑃𝐸2𝐴2 又由 1.得知∠𝑃𝐸1𝐷1 = ∠𝑃𝐴1𝐵1
∵ ∠P𝐸2𝐷2 = ∠𝑃𝐸2𝐴2 ∴ 𝐴2在𝐷̅̅̅̅̅̅̅(得證) 2𝐸2
觀察7：1.∠PED為駐留分角，∠PBC為移動分角，∠PBC對∠PED的間隔邊數為兩邊，
和圓外的邊數一樣，也和退化層數相同。
2.五邊形 ABCDE 的𝐵𝐶̅̅̅̅、𝐸𝐷̅̅̅̅兩邊之延長線為遠棒圓⊙ BEC′1上的兩弦，因為 遠棒圓⊙ BEC′1為此五邊形之一階遠棒圓，所以⊙ BEC′1上的兩弦所夾的 邊數為一邊，則圓內有2+1=3 個邊。
3.造成退化的兩分角開口方向皆面向圓內，移動分角只經過圓外的邊。
結論：由上面(一)到(五)點及前段所敘的三角形邊退化證明可得知，
1.五邊形的退化點必在五邊形的邊及邊延長線與棒圓、近棒圓、遠棒圓上。
2.五邊形的退化點若在五邊形的邊及邊延長線上，則最終退化圖行為點；若 在五邊形的棒圓、近棒圓、遠棒圓上，則最終退化圖行為點。
3.每個圓上造成退化的兩角，一個都是駐留分角，另一個都是移動分角，間 隔層數會等於退化樣貌的層數。
四、N 邊形退化樣貌之探討：
在研究過程中，我們發現 P 點在一 N 邊形退化點軌跡上有些位置會有一些特例，以下將 分兩部分來探討。
第一部分：有些情況雖然會出現三點共線的情形，但因為不會有邊重合或消失，所以不會退 化，這也就是我們為何要在退化的定義中強調要三相鄰頂點共線。
第二部分：我們發現當退化點軌跡有交點時則退化樣貌會有改變，相同種類的退化點軌跡有 疊加的性質，不同種類的退化點軌跡會依性質的強度而有不同結果。
以下我們分別針對這兩個部分進行探討：
第一部分：P 點在交點圓上時，三個不相鄰的頂點共線，不退化(圖 6-1)。
例：P 點在 ABCDE 之交點圓⊙ A𝐵′1𝐷′1上
∴ A1、C1、E1三不相鄰頂點共線，但A2B2C2D2E2不退化 因此交點圓⊙ A𝐵′1𝐷′1不為五邊形 ABCDE 之退化點軌跡
21
第二部分：P 點在不同的退化點軌跡上時會有不同的退化樣貌，若 P 點在退化點軌跡的交點 上時退化樣貌會有改變，所以以下我們分成四種情況討論：
(一)一般退化樣貌(非特殊交點) (二)直線與所有退化點軌跡之交點 (三)同類圓交點
(四)不同類圓交點
接下來我們針對以上四種情況分別討論 (一)一般退化樣貌(非特殊交點)：
經過探討，我們發現退化點在不同位置時，有不同退化情形，驗證後得到以下結果。
圖 6-2 頂點退化樣貌 例 圖 6-3 邊延長線退化樣貌 例
P 點位置 退化型態 說明
頂點 (0 階棒點)
1 層 N 次 (完全退化)
若 P 在一 N 邊形 ABCD…的頂點 C 上(圖 6-2)
則由性質一頂點退化可得知 P 在𝐵𝐶⃡ 及𝐶𝐷⃡ 兩對稱軸上 因此在 P 對𝐵𝐶⃡ 及𝐶𝐷⃡ 之對稱點𝐵1、𝐶1和 P 點重和
⇒N 邊形在第一層開始退化
重複疊作後第 N-1 層的所有頂點都和 P 點共點
因此此 N 邊形退化為 1 點 ⇒此 P 點為此 N 邊形的 N 次退化點
∴此 P 點在此 N 邊形之頂點上時為此 N 邊形的 1 層 N 次退化點
邊及邊延長 2 層 N 次 (完全退化)
若 P 在一 N 邊形 ABCD…的邊延長𝐶𝐷⃡ 上(圖 6-3) 則由性質二邊退化可得知 P 在𝐶𝐷⃡ 對稱軸上 因此在 P 會在第一層鏡射 N 邊形的頂點𝐶1上
由性質一頂點退化可知 P 對 N 邊形作第二層鏡射多邊形時會退化
⇒N 邊形在第二層開始退化
重複疊作後第 N 層的所有頂點都和 P 點共點
因此此 N 邊形退化為 1 點⇒此 P 點為此 N 邊形的 N 次退化點
∴此 P 點在此 N 邊形之邊及邊延長線上時為此 N 邊形的 1 層 N 次退化點 表 12 一般退化樣貌(非特殊交點)
22
1.若 P 點在邊及邊延長線上，則最終退化圖形為點。
2.若 P 點在棒圓、近棒圓、遠棒圓(非交點)上，則最終退化圖形為 N-1 邊形。
表 13 整理了 P 在 N 邊形不同退化點軌跡上的退化情況(不包括退化點軌跡的交點)
邊及邊延長 棒圓 m 階近棒圓 m 階遠棒圓 一般情況 2 層 N 次 N-2 層 1 次 m 層 1 次 N-m-2 層 1 次
(二)直線與所有退化點軌跡之交點：
我們表 14 加入整理了 P 在 N 邊形不同退化點軌跡與直線的交點上時的退化情況
P 點位置 退化型態 說明
棒圓 N-2 層 1 次
由分組相似證明之結論可得知，動分角會背對移動的方向 又由觀察2、觀察 5 可得知，個造成退化的分角都面朝圓內
∴移動分角不會經過圓內，一定只會經過圓外的邊 又由觀察2 及觀察 5 中可得知，邊形棒圓內有兩個邊
∴圓外有 N-2 個邊 ⇒P 點在 N 邊形棒圓上時退化層數為 N-2 層 P 在 N 邊形棒圓上時，只有兩個分角相等
⇒P 點在 N 邊形棒圓上時退化次數為 1 次
∴此 P 點在此 N 邊形之棒圓上時為此 N 邊形的 N-2 層 1 次退化點
m 階近棒
圓 m 層 1 次
由分組相似證明之結論可得知，動分角會背對移動的方向 又由觀察3、觀察 6 可得知，個造成退化的分角都背對圓內
∴移動分角只會經過圓內，一定不會經過圓外的邊
又由觀察3 及觀察 6 中可得知，N 邊形 m 階近棒圓內有 m 個邊
⇒P 點在 N 邊形 m 階近棒圓上時退化層數為 m 層 P 在 N 邊形 m 階近棒圓上時，只有兩個分角相等
⇒P 點在 N 邊形棒圓上時退次數為 1 次
∴此 P 點在此 N 邊形之 m 階近棒圓上時為此 N 邊形的 m 層 1 次退化點
m 階遠棒 圓
N-m-2 層 1 次
由分組相似證明之結論可得知，移動分角會背對移動的方向 又由觀察4、觀察 7 可得知，兩個造成退化的分角都面朝圓內
∴移動分角不會經過圓內，一定只會經過圓外的邊
又由觀察4 及觀察 7 中可得知，N 邊形 m 階遠棒圓內有 2+m 個邊
∴圓外有 N-m-2 個邊
⇒P 點在 N 邊形 m 階遠棒圓上時退化層數為 N-m-2 層 P 在 N 邊形 m 階遠棒圓上時，只有兩個分角相等
⇒P 點在 N 邊形 m 階遠棒圓上時退化次數為 1 次
∴此 P 點在此 N 邊形之 m 階遠棒圓上時為此 N 邊形 N-m-2 層 1 次退化點
表 13：P 在 N 邊形不同退化點軌跡上的退化情況(不包括退化點軌跡的交點)
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邊及邊延長 棒圓 m 階近棒圓 m 階遠棒圓 一般情況 2 層 N 次 N-2 層 1 次 m 層 1 次 N-m-2 層 1 次 邊及邊延長 1 層 N 次 2 層 N 次 2 層 N 次 2 層 N 次
(三)同類圓交點：
若 P 點為兩同類圓(例：棒圓、同階近棒圓、同階遠棒圓)的交點，則退化層數不變、
次數疊加為兩次。
下表加入整理了 P 在 N 邊形不同退化點軌跡與直線的交點上時的退化情況 註：若照上表規則推測退化圖形為線，則會退化成點
(四)不同類圓交點：
我們發現當 P 點在一 N 邊形退化點軌跡的不同類圓之交點上時，會因情況不同有不 同退化樣貌，以下在兩圓有交點的情況下，分成兩圓共用 0 個、1 個、2 個頂點，這三種 情況說明。
圖 7-1 不同類圓交點 共用 0 個頂點
圖 7-2 不同類圓交點 共用 1 個頂點
共用一角
圖 7-3 不同類圓交點 共用 1 個頂點
不共用角
圖 7-4 不同類圓交點 共用 2 個頂點 退化點位置 邊及邊延長 棒圓 m 階近棒圓 m 階遠棒圓
一般情況 2 層 N 次 N-2 層 1 次 m 層 1 次 N-m-2 層 1 次 邊及邊延長 1 層 N 次 2 層 N 次 2 層 N 次 2 層 N 次
棒圓 N-2 層 2 次 不同類圓的交點退化規則
較為複雜，完整分析
近棒圓 m 層 2 次 請見下表
遠棒圓 N-m-2 層 2 次
表 14：P 在 N 邊形不同退化點軌跡與直線的交點上時的退化情況
表 15：P 點為兩同類圓的交點
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1.共用 0 個頂點：
例：已知：P 點為五邊形 ABCDE 的棒圓⊙ CDE及近棒圓⊙ A′1BA之交點(圖 7-1) 分析：1.棒圓⊙ CDE的退化樣貌為 3 層 1 次
2.近棒圓⊙ A′1BA的退化層數為 1 層 1 次
說明：1.對棒圓⊙ CDE來說，原本會重疊的兩角是∠PCD及∠PED 對近棒圓⊙ A′1BA來說，原本會重疊的兩角是∠PBA′1(∠PBC)及
∠PAA′1(∠PAD)
而兩圓原本會重疊的角並無共用
棒圓⊙ CDE及近棒圓⊙ A′1BA的兩角各自在自己原本的層數發生退化
⇒ P 點為五邊形 ABCDE之二次退化點
2.對棒圓⊙ CDE來說，原本會退化的層數是 3 層 對近棒圓⊙ A′1BA來說，原本會退化的層數是 1 層
所以在 P 點上時近棒圓⊙ A′1BA的兩個角會先合併，發生退化 棒圓⊙ CDE的兩角比較晚合併發生第二次退化
但因第一次退化後在第二層少了一個邊
因此棒圓⊙ CDE造成退化的兩角中的移動分角所經過的邊會少一個
∴第二次退化提早到第二層發生⇒ P 點的退化層數為 1 層 則 P 點的退化層數為 1 層，次數為 2 次
結論：1.共用 0 個頂點的兩圓之交點收斂層數為最低層數，次數會疊加
2.一圓造成退的兩角的移動路徑中有一邊因為退化消失了，則此圓的兩 角會提早一層合併
2.共用 1 個頂點：又分為【共用一角】及【不共用角】
情形一：P 點在不同類圓交點，共用 1 個頂點且【共用一角】
已知：P 點為五邊形 ABCDE 的棒圓⊙ 𝐴𝐸𝐷及近棒圓⊙ A′1BA之交點(圖 7-2) 分析：1.棒圓⊙ 𝐴𝐸𝐷的退化樣貌為 3 層 1 次
2.近棒圓⊙ A′1BA的退化層數為 2 層 1 次
說明：1.對棒圓⊙ 𝐴𝐸𝐷來說，原本會重疊的兩角是∠PAE及∠PDE 對近棒圓⊙ A′1BA來說，原本會重疊的兩角是∠PBA′1(∠PBC)及
∠PAA′1(∠PAD)
而兩圓原本會重疊的角中有一個角(∠PAE)共用 近棒圓⊙ A′1BA的兩角合併退化後就會消失
棒圓⊙ CDE的兩角因為其中有一角有共用，在近棒圓退化後合併消失了，
因此不會發生第二次退化 ⇒ P 點為五邊形 ABCDE之一次退化點
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2.對棒圓⊙ 𝐴𝐸𝐷來說，原本會退化的層數是 3 層 對近棒圓⊙ A′1BA來說，原本會退化的層數是 1 層
所以在 P 點上時近棒圓⊙ FBA的兩個角會先合併，發生退化
⇒ P 點的退化層數為 1 層，則 P 點的退化層數為 1 層，次數為 2 次 結論：共用 1 個頂點且共用一角的兩圓交點收斂層數為最低層數，次數不疊加。
情形二：P 點在不同類圓交點，共用 1 個頂點且【不共用角】
已知：P 點為五邊形 ABCDE 的棒圓⊙ 𝐵𝐴𝐸及遠棒圓⊙ 𝐶𝐴A′1之交點(圖 7-3) 分析：1.棒圓⊙ 𝐵𝐴𝐸的退化樣貌為 3 層 1 次
2.遠棒圓⊙ 𝐶𝐴A′1的退化層數為 2 層 1 次
說明：1.對棒圓⊙ 𝐴𝐸𝐷來說，原本會重疊的兩角是∠PBA及∠PEA 對遠棒圓⊙ 𝐶𝐴A′1來說，原本會重疊的兩角是
∠PCA′1(∠PCD)及∠PAA′1(∠PAE)
而兩圓原本會重疊的角中並無共用棒圓⊙ 𝐵𝐴𝐸及遠棒圓⊙ 𝐶𝐴A′1的兩 角各自在自己原本的層數發生退化
⇒ P 點為五邊形 ABCDE之二次退化點
2.對棒圓⊙ 𝐴𝐸𝐷來說，原本會退化的層數是 3 層 對遠棒圓⊙ 𝐶𝐴A′1來說，原本會退化的層數是 2 層
所以在 P 點上時遠棒圓⊙ 𝐶𝐴A′1的兩個角會先合併，發生退化⊙ 𝐶𝐴A′1 的兩個角雖然會造成棒圓⊙ 𝐴𝐸𝐷造成退化的兩角經過的路徑消失一個 邊，但邊還沒消失前棒圓⊙ 𝐴𝐸𝐷的兩角先合併
∴第二次退化不會提早發生，棒圓⊙ 𝐴𝐸𝐷的兩角在第 3 層時較晚合併
⇒ P 點的退化層數為 2 層，則 P 點的退化層數為 2 層，次數為 2 次 結論：共用 1 個頂點且不共用角的兩圓交點收斂層數為最低層數，次數會疊加。
3.共用 2 個頂點：
例：已知：P 點為五邊形 ABCDE 的棒圓⊙ 𝐵𝐴𝐸及近棒圓⊙ A′1BA之交點(圖 7-4) 分析：1.棒圓⊙ 𝐵𝐴𝐸的退化樣貌為 3 層 1 次
2.近棒圓⊙ A′1BA的退化層數為 1 層 1 次
說明：兩個圓最多有兩個交點，但因兩個圓已經共用兩個頂點，
所以兩圓的交點皆為頂點 ⇒ P 點的退化樣貌和交點相同
結論：共用 2 個頂點的兩圓之交點收斂層數及次數接合頂點相同(2 層 N 次)。
綜合上述討論，我們得到以下兩點結論：
結論：1.不同類圓焦點退化樣貌規則如表 16
2.若一造成退化的移動分角的行經路線上有 n 邊因為退化而消失了，則 此次退化會提造 n 層發生
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五、N 邊形棒圓、近棒圓、遠棒圓及棒點數量之探討：
我們在探討退化點時發現，棒圓的數量會受到頂點有沒有共圓影響，而棒點個數則會因 為有無平行邊影響，此外棒點的個數會直接影響近棒圓和遠棒圓的個數，因此以下將會對這 些條件做探討。
(一)棒圓數量之探討：
由探討過程中，我們發現一 N 邊形一般情況下(頂點不共圓)最多有 N 個棒圓，若 頂點有共圓，則棒圓會完全重和、個數減少。
(二)棒點、近棒圓、遠棒圓數量之探討：
1.若無平行邊：探討過程中，我們發現一 N 邊形在一般情況下，每一階棒點都會有 N 個，只有偶數邊形最高階會是 𝑁
2 個，而一 N 邊形的最高階棒點階數為[𝑁
2] − 1階。
例：一九邊形最高階棒點為 3 階有 9 個(圖 7-5)，一八邊形最高階棒點為 3 階有 4 個 (圖 7-6)。
2.若有平行邊：由探討過程中，我們發現一對相隔一邊的平行邊會使從一階棒點開始 少一個、一對相隔兩邊的平行邊會使從二階棒點開始少一個，以此類推。
例：在圖 7-7 中𝐴𝐵̅̅̅̅ ∥ 𝐸𝐷̅̅̅̅且兩邊最小間隔兩個邊，因此此六邊形少一個二階棒點。
圖 7-5 九邊形 棒點個數探討 圖 7-6 八邊形 棒點個數探討 圖 7-7 有平行邊 棒點個數探討
六、非退化點軌跡必不退化性質之探討：
由前面探討過程中，我們發現 N 邊形的退化軌跡可分為直線(邊延長線)上的完全退化點 及圓(棒圓、n 階近棒圓、n 階遠棒圓)上的一次退化點，以下會分別討論直線及圓退化的原因，
只要符合以下的特性的圓及直線就會是此 N 邊形的退化點軌跡，反之其他點不會是退化點。
不同類圓交點的退化情形 同類圓共用頂點
與共用角情形 不共用頂點 共用一個頂點
共用兩個點 共用一個相等的角 不共用相等的角
層數 最小的為主 最小為主 最小為主 同直線
次數 2 次 1 次 2 次 同直線
表 16：P 點在不同類圓交點的退化情形
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(一)直線(完全退化)：
已知：P 點在 N 邊形的任意一條邊延長線上 求證：P 為 N 邊形的完全退化點(圖 7-8)
證明：1.因為鏡射多邊形的做法是以各邊為對稱軸，P 點為對稱點作對稱，作出各點 連線，又因為 P 點在邊延長線上，因此 P 點等於在其中一條對稱軸上，因 此對此延長線作出的對稱點會和 P 點重合。
2.到了第一層鏡射多邊形時，P 點會在第一層鏡射多邊形的其中一個頂點上，
相當於同時在兩條對稱軸上，因此重複疊作第二層時，會有兩點與 P 點重 合，出現了退化的情況。
3.到了第二層鏡射多邊形時，P 點會在二層鏡射多邊形的其中一個頂點上，相 當於同時在兩條對稱軸上，因此重複疊作第三層時，會有兩點與 P 點重合，
出現了退化的情況，以此類推。
圖 7-8 直線必退化 1 圖 7-9 直線必退化 2 例：以七邊形為例：
1.七邊形 ABCDEFG 為原圖形，P 點在𝐴𝐵⃡ 上，P 對𝐴𝐵⃡ 作的對稱點𝐴1與 P 點共點 所以 P 在第一層鏡射七邊形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1𝐺1之頂點𝐴1上。(圖 7-9)
2.P 在第一層鏡射七邊形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1𝐺1之頂點𝐴1上，則 P 對𝐴⃡ 及𝐴1𝐵1 ⃡ 兩線 1𝐺1 作的對稱點𝐴2及𝐺2與 P 點共點，因為兩頂點共點所以開始出現退化情況，所 以 P 在六邊形𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2𝐸2𝐹2之頂點𝐴2上。
3.P 在六邊形𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2𝐸2𝐹2之頂點𝐴2上，則 P 對𝐴⃡ 及𝐴2𝐵2 ⃡ 兩線作的對稱點𝐴2𝐹2 3 及𝐹3與 P 點共點，所以 P 在五邊形𝐴3𝐵3𝐶3𝐷3𝐸3之頂點𝐴3上，依此類推。
(二)圓(1 次退化)：
因為我們前面棒圓、近棒圓及遠棒圓的證明運用了圓內接四邊形的任何一條邊的兩 個端點對邊的是角相等的性質，再加上兩個相等的角會參與角度轉換的動作，當多次的 角度轉換使得兩個角重疊在一起，就會造成退化。
因此要讓圓內接四邊形相等的兩個角參與角度轉換，這兩個角的頂點必須是原四邊 形的頂點，且其中一邊是原多邊形的邊或邊延長，另一邊是 P 對原多邊形的兩個頂點連 線，且兩頂點的對邊是 P 點與第三點的連線，才會讓兩個相等的角參與角度轉換。
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例：1.P 點在⊙BCE 上，四邊形 BCEP 為一圓內接四邊形 在∠PBE和∠PCE中兩點 B、C 為原多邊形的兩頂點，
此兩頂點所對的邊為𝑃𝐸̅̅̅̅，𝑃𝐵̅̅̅̅及𝑃𝐶̅̅̅̅為 P 點對頂點 B、C 的連線，
𝐸𝐵̅̅̅̅及𝐸𝐶̅̅̅̅為𝐴𝐵̅̅̅̅及𝐷𝐶̅̅̅̅兩邊之延長線的一部份，
所以⊙BCE 為四邊形 ABCD 的退化點軌跡(圖 7-10) 2.P 點在⊙BCF 上四邊形 BCFP 為一圓內接四邊形
在∠PBF和∠PCF中兩頂點 B、C 為原多邊形的兩頂點
兩頂點所對的邊為𝑃𝐹̅̅̅̅，𝑃𝐵̅̅̅̅及𝑃𝐶̅̅̅̅為 P 點對頂點 B、C 連線，
𝐹𝐶̅̅̅̅為𝐷𝐶̅̅̅̅之延長線的一部份，但𝐹𝐵̅̅̅̅不為原圖形邊延長線的一部份，
所以⊙BCF 不為四邊形 ABCD 的退化點軌跡(圖 7-11)
圖 7-10 圓必退化 1 圖 7-11 圓必退化 2
七、N 邊形退化點性質之探討：
經由上述討論我們發現收斂層數有疊加的現象，因此在特別的情況下可以製造出任意的 幾何圖形(直線除外)。
(一)退化點軌跡性質：
1.四邊形退化點性質：
四邊形的所有近棒圓及遠棒圓會交於一點(圖 7-12) (密克點-完全四線形定理中有提出)
2.次數疊加性質：若多個圓(棒圓、近棒圓、遠棒圓)交於一點，且沒有共用造成退化 的分角，則此交點次數疊加，若一 N 邊形有 k 個圓(N-2 層 1 次退化)交於一點，此 交點退化層數為 k 次退化點。
3.提早退化性質：較晚合併的角的行徑路線上有邊因退化消失，則會提早退化。
例：若一八邊形有 2 個棒圓、1 個 1 階近棒圓、1 個 2 階遠棒圓，交於一點，且這四 個圓沒有共用造成退化的角，若 P 點在此交點上時，由上表退化樣貌規則得出退 化過程，退化過程如下表：
圖 7-12 密克點
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圖 7-17 特定退化圖形製作 退化層數 造成退化的圓及數量 退化次數 疊加退化次數 圖例
第一層 一個 1 階近棒圓 1 1 圖 7-13、圖 7-14 第四層 一個 2 階遠棒圓 1 2 圖 7-15
第五層 兩個棒圓 2 4 圖 7-16
註：原本棒圓會在第六層退化，但因為近棒圓退化使得棒圓必經路線上有邊消失，因 此提早退化。
圖 7-13 提早退化(0、1 層) 圖 7-14 提早退化(1、2 層)
圖 7-15 提早退化(4、5 層) 圖 7-16 提早退化(5、6 層)
(二)特定退化圖形製作
若原圖形為一個十邊形，要最終要退化成四邊形的話，
P 點為六次退化點，要製造出六次退化點要讓六個圓交於一 點，則六圓交點即為所求，所有圓中最好控制的就是棒圓，
要讓六個圓交於一點，只要讓組成這六個棒圓的頂點共圓，
這六個棒圓便會重疊，P 點在這個圓上時，P 點為六次退化 點。(圖 7-17)
表 17：提早退化性質的退化情形
