1.若平面曲線為 y  y x ( ) 之顯示式，其曲率半徑為

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河工系 工數二 B 第一次作業解答 擺線曲率計算：(假設 ^{y dy}

 dt , ^{y dy}

  dx )

1.若平面曲線為 y  y x ( ) 之顯示式，其曲率半徑為

2 3/ 2

(1 y )

  ^ y ^

 ，

當 ^{( )} ( ) y y t x x t

 

   求   ?

 

3/ 2 3/ 2 3/ 2

2 2 2

2 3/ 2 2 2 3/ 2

2

1 1 1

1 ( ) ( )

( ) 1

y y y

y x x x x x y

y y yx xy

y x yx xy

d d

x x dt x x

dx dt dx

              

           

     

                  

  

2.利用上題求得結果計算單位圓曲率半徑為?

1 2 ( )

y   x 老師上課講過  ( ) cos ? ( ) sin

x t t

y t t ^

 

 





2 2 3/ 2

2 2

(( sin ) cos ) ( sin ) cos 1

t t

t t

  

 

3.若一運動曲線(擺線) ( ) sin ( ) 1 cos

x t t t

y t t

 



 

 

求 A 點曲率半徑(由 1 所推導的來計算)

2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 3/ 2

2 2

sin 1 cos sin

1 cos sin cos

( ) ((1 cos ) sin ) (2 2 cos )

cos cos sin cos 1

2 2 2 cos

x t t x t x t

y t y t y t

x y t t t

yx xy t t t t

t

    

  

 

       

  

     

   

  

　

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4.請將上述擺線方程式的參數 t 消除，改造成 y  y x ( ) 或 x  x y ( ) 之顯示式，並利 用此顯示式計算上題曲率半徑，比較結果是否一樣?

1

1 2

2 2

2

2 3/ 2 2 3/ 2 2

2 3/ 2

2 2

2 3/ 2

sin 1 cos

1 cos cos (1 )

cos (1 ) 2 ( )

1 1

1 (1 ) 2

1 (2 2 ) 1

(1 (1 ) ) 4(2 ) 2

1 1

1

1 (1 ) 2

(1 )

1 (1 (1

x t t

y t

y t t y x

x y y y

x y

y y y

y y

x y y y y y

y

y y y

x

y

 x





  

  



    

   

   

  

 

    

   

    

     

 

      

   

 

  

 

帶回 　 備註

 

3/ 2

2

2 3/ 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2

1 2 (2 2 ) 1 2 2

) ) 4(2 ) 2 2

y

y y

y y

y y y y y y y

  

  

 

 

  

  

備註

1 2

sin(cos (1 　 ^  y ))  y  2 y

1

y ²  2 y

t

1 y 

補充

3 與 4 的結果可看出是相同的嗎?

1 cos

2 2 2 cos 2 2

y t

t y

 

   

5.將方法推到三維可用嗎?

否