第3章 矩 陣

第 3 章 矩陣 44

3-2 矩陣的運算

1. 已 知 A ﹐ B 都 是3 2 階 矩 陣 ﹐ 且 A   ﹐ a_{i j} B   ﹐其中 b^{i j} a^{i j}   ﹐i j

i j 2

b   ﹐求矩陣 A Bi j  ﹒

由題意，得

11 12

21 22

31 32

2 3 3 4 4 5 a a

A a a

a a

   

   

   

   

 

﹐

11 12

21 22

31 32

1 0 3 2 5 4 b b

B b b b b

   

   

   

   

 

﹒

故

3 3 6 6 9 9 A B

 

 

   

 

 

﹒

2. 已知 6 5 1 0 1 0 0 1 0 1 7 2 a 0 1 b 0 1 c 1 0 d 1 0

         

   

          

         ﹐求a﹐b﹐c﹐d的值﹒

因為 6 5 0 0 0 0

7 2 0 0 0 0

a b c d a b c d

a b c d c d a b

 

           

              

           ﹐所以

6 2 a b a b

  

  

 且 5

7 c d c d

  

  

 .

解得a ﹐4 b ﹐2 c ﹐6 d  ﹒ 1

3. 已知 2 1 A  3 5

 　 ﹐ 1 4 4 0

B  

  ﹐且³





因為³^{X A 2B}^{X ﹐所以 A}

3X3A6BX  2A X 2A6B﹒

故 2 1 3 12 1 11

3 3 5 12 0 9 5

X A B       

        　    　  ﹒

第 3 章 矩 陣

第 3 章 矩陣 45

4. 已知矩陣 1 4 A x y

 

  

 ﹐ 1

1 B x

y

 

  

 ﹐ 1 0 0 1 I  

  

 ﹐且 A2BtI﹐求 (1)實數 t ﹐x﹐ y 的值﹒ (2)矩陣3A2B﹒

(1)因為A2B ﹐所以 tI

1 4 2 2 0

2 2 0

x t

x y y t

     

     

       3 4 2 0

2 3 0

x t

x y t

    

    

   ﹒

因此 3 4 2 0

2 0 3

t x x

y t

 

  

  

 



﹐解得t ﹐3 x  ﹐2 y ﹒ 1

(2)因為 1 4

2 1

A  

  ﹐ 1 2 1 1 B   

  

 ﹐所以

3 12 2 4 1 16 3 2

6 3 2 2 8 1

A B           ﹒

5. 已知 0 1 2 2 1 0

A  

  

 ﹐ 3 2 1

1 2 3

B  

  

 ﹐且X 2Y 5A﹐2X  Y 5B﹐求矩 陣 X ﹐ Y ﹒

令 2 5

2 5

X Y A

X Y B

 

  







由  2﹐得 5X5A10B﹐即 6 5 4 2 4 5 6 X  A B  

 ﹒

由 2  ﹐得 5Y10A5B﹐即 3 0 3

2 3 0 3

Y A  B   ﹒

6. 已知 1 2 3 4

A  

  

 ﹐ 2

3 1 B k 

  

 ﹐且 ABBA﹐求k的值﹒

因為 ABBA﹐所以 1 2 2 2 1 2 3 4 3 1 3 1 3 4

k k

       

       

       ﹐即 6 4 6 2 8

3 12 10 6 10

k k k

k

  

   

    

   ﹒

因此 2 8 4 3 12 6

k k

  

  

 ﹐解得k  ﹒ 2

第 3 章 矩陣 46

7. 已知矩陣 2 1 2 1 0 3

A  

  

 ﹐ 1 1 0

1 2 2

B  

   ﹐

1 1 1

2 0 1

0 1 1

C

  

 

  

  

 

﹐求下列各

矩陣﹕

(1)





(1)由矩陣的加法與乘法定義﹐得

 

1 1 1 2 1 2 1 1 0

2 0 1

1 0 3 1 2 2

0 1 1 A B C

  

     

         

1 1 1

1 2 2 5 1 1

2 0 1

2 2 1 6 1 3

0 1 1

  

    

     

﹒

(2)因為^A^{B C} ^AC^BC﹐所以 5 1 1 6 1 3 ACBC   ﹒

8. 已知

1 2 0 1 1 0 1 4 0 A

 

 

  

 

 

﹐

1 2 3 1 1 1 1 1 1 B

 

 

  

 

 

﹐

1 2 3

1 1 1

2 2 2 C

 

 

  

 

 

﹐求矩陣ABAC﹒

ABAC ^{A B} ^C ^{11 12 00 00 00 00}

1 4 0 1 1 1

   

   

    

     

   

0 0 0 0 0 0 0 0 0

 

 

  

 

 

﹒

第 3 章 矩陣 47

9. 已知矩陣 1 1 1 1 A   

  ﹐ 1 0 I 0 1

  

 ﹐求下列各矩陣﹕

(1)A ﹒ ² (2)A ﹒ ³ (3)





(1) ² 1 1 1 1 2 2

1 1 1 1 2 2

A              ﹒

(2) ^{3 2} 2 2 1 1 4 4

2 2 1 1 4 4

A A A             ﹒ (3)因為 IAAI ﹐所以 A

^IA^{3I33I A2 3IA2A3 I 3A3A2A3}

1 0 1 1 2 2 4 4

3 3

1 1 2 2 4 4

0 1

  

       

         

1 0 3 3 6 6 4 4 14 13

3 3 6 6 4 4 13 14

0 1

   

         

               ﹒

10. 已知矩陣 



 



 4 3

2

A 1 ﹐ 



 





1 0

0

B 2 ﹐ 3

C  4

  

 ﹒選出正確的選項﹕

(1)若矩陣DCA﹐則 D 為 2 1 矩陣 (2)矩陣BC為 2 1 矩陣

(3)矩陣ABC為 2 1 矩陣 (4) AB BA (5)





(1)因為 C 的行數 1 不等於 A 的列數 2 ﹐所以 CA 不存在﹒

(2)因為 B 是 2 2 矩陣﹐ C 是 2 1 矩陣﹐所以 BC 是 2 1 矩陣﹒

(3)因為 A 是 2 2 矩陣﹐ B 是 2 2 矩陣﹐所以 AB 是 2 2 矩陣﹒

又因為 C 是 2 1 矩陣﹐所以 ABC 是 2 1 矩陣﹒

(4)因為 2 2

AB 6 4

  ﹐ 2 4 3 4 BA   

  

 ﹐所以 ABBA﹒

(5)因為^AB ^{2 AB}^AB^{A2ABBAB2﹐且 ABBA﹐}

所以^AB^{2A22ABB2﹒}

故選項(2)(3)正確﹒