附錄一 卷二 10 個容圓公式
以下表內主題幹與子題幹「法曰」 、 「草曰」的部分忠於文本的敘述，這是為 了方便讀者作原始資料的比對。
「翻譯」的部分則是筆者特別增補上去的，
1這是分別將《測圓海鏡》 「法曰」
中的公式與《海鏡細艸解》 「草」中的證明翻譯成現代數學語言，其中參考的圖 形是圖【1】與圖【2】 ，
2圖【1】是《測圓海鏡》卷一之首的「圓城圖示」 ，圖【2】
是為了翻譯成現代數學語言的方便，將圖【1】的「圓城圖示」用英文字母及阿 拉伯數碼表示，其中阿拉伯數碼 n 代表 n 所在直角頂點的勾股形，在文本上所對 應的名稱，茲條列如下：
1. 通（或大）勾股形 2. 邊勾股形 3. 底勾股形 4. 黃廣勾股形 5. 黃長勾股形 6. 上高勾股形 7. 下高勾股形 8. 上平勾股形 9. 下平勾股形 10. 大差勾股形 11. 小差勾股形 12. 皇極勾股形 13. 太虛勾股形 14. 明勾股形 15. 叀勾股形
《測圓海鏡》 「法曰」中容圓公式的「翻譯」是以 d 表示圓的直徑，a
n、b
n、c
n分 別表示第 n 個三角形的勾、股、弦，另外在《海鏡細艸解》 「草」中證明的部分，
巽
北
西 天
乾 地
心
泉
金 坤
艮 夕
日 旦
川
月
山 泛 朱
青 南
東
圖【1】
甲
E
S
R
L M
K G
Q
D J
I U
H
P
V
O
B C
A
W
N F
16
15
14
13 12
11
10
9
8 7
6
5
4
3
2
1
圖【2】
x
則使用現代數學的符號來表示。
比對 《測圓海鏡》 《海鏡細艸解》
第 二 卷
主題幹 假令圓城一所，
不知周徑，四面 開門，門名縱橫 各有十字大道。
其西北大道頭定 為乾地，其東北 十字道頭定為艮 地，其東南十字 道頭定為巽地，
其南十字道頭定 為坤地。所有測 望雜法，一一設 問如後。
無
子題幹 或問：甲乙二人 俱在乾地，乙東 行三百二十步而 立，甲南行六百 步望見乙。問徑 幾里？
答曰：城徑二百 四十步。
第一：甲乙二人俱在乾，乙東行三百二十步，甲 南行六百步望見乙，與城參直，問城徑幾何？下 諸條問皆倣此。
法曰 法曰：此為勾股 容圓也。以勾股 相乘倍之為實，
并勾股冪以求 弦，復加入勾股 共以為法。
勾股容圓法，天地乾通勾股形，內容東南西北之 圓，其徑即東西或南北，與乾坤、乾艮、坤艮俱 等，即弦和較名黃方也。蓋心西、心北、心甲三 線各為三邊之垂線，則天西與天甲等，北地與甲 地等，西乾與北乾等，於天乾股、乾地勾相併，
內減去天地弦，即如天乾股內減去與天甲等之天 西，乾地勾內減去與甲地等之北地，所餘者止，
西乾與北乾皆為圓之半徑，二半徑相併即全徑，
故容圓全徑為弦和較也。
第 1 問
草曰 草曰：置南步在 地。以乙東行三
草置甲南行，股天乾以乙東行勾乾地乘
百二十步乘之，
得一十九萬二千 步，倍之得三十 八萬四千步為 實。以乙東行步 自之，得一十萬 零二千四百步為 勾冪，以甲南行 步自之，得三十 六萬步為股冪，
二冪相并得四十 六萬二千四百步 為弦方實，以平 方開之，得六百 八十步則弦也。
以弦加勾股共，
共得一千六百步 以為法。如法而 一，得二百四十 步則城徑也。合 問。
之，勾股相乘，倍之為實，為得全徑，以 東行南行各自之相併，開方得弦天地，乃以弦加 勾股共為法，弦和和為法，蓋弦和和與弦和較相 乘積，即勾股和乘弦和和積，內減弦乘弦和和積 之餘，而和乘弦和和積，即和及和弦相乘積也，
弦乘弦和和積，即及和弦相乘積也，二積相減，
則和弦相乘積，相當減盡，而和內減弦，所餘為 勾股相乘積二段，故今以勾股相乘，倍之為實，
以弦和和為法，除之得弦和較也，又自圓心抵三 角作心天、心地、心乾分角線，則分天地乾勾股 形為天心地、天心乾、地心乾三三角形，勾、股、
弦三線各為底邊，心甲、心西、心北半徑各為垂 線，各以垂線乘底邊，則三三角形之共積比勾股 積大一倍，故勾股相乘得勾股積二倍為實，併勾 股弦得三三角形底邊之總為法，除之得垂線，即 容圓半徑也。
翻譯 勾股容圓公式
d＝1 1 1
1
2
1c b a
b a
+ +
引理：
a1+
b1−
c1＝d pf：
1.
Θ OW⊥
AC，
ON⊥
BC，
OX⊥
AB∴ AW ＝AX
，
BX＝ BN ， CN ＝ CW
2.
a1+
b1−
c1＝ CN + CW
＝r + r（r 為半徑）
＝d
方法一：
（
a1+
b1+
c1） （
a1+
b1−
c1）
＝（
a1+
b1+
c1） （
a1+ ）－（
b1 a1+
b1+
c1）
c 1＝（
a1+ ）
b1 2＋
c （1 a1+ ）－
b1 c （1 a1+ ）－
b1 c12＝（
a1+ ）
b1 2－
c12＝2
a1b1∴a1
+
b1−
c1＝
1 1 1
1
2
1c b a
b a
+ + 由引理得 d＝
1 1 1
1
2
1c b a
b a
+ + 方法二：
1 1b
a
＝ r
a1＋ r
b1＋ r
c11 1b
a
＝r（
a1+
b1+
c1）
r＝1 1 1
1 1
c b a
b a
+ +
子題幹 或問：甲乙二人 俱在西門，乙東 行二百五十六 步，甲南行四百 八十步望見乙。
問答同前。
第二：甲乙俱在西，乙東行二百五十六步，甲南 行四百八十步。
法曰 法曰：此為勾上 容圓也。以勾股 相乘倍之實，并 勾股冪以求弦，
加入股以為法。
勾上容圓法：圓心切於勾上也，天川西邊勾股形 之西川勾上，東南西北圓之心相切也。
第 2 問
草曰 草日：置甲南行 四百八十步在 地，以目東行二 百五十六步乘 之，得一十二萬 二千八十步，倍 之得二十四萬五
草：置甲南行股天西為三率，其數與高股弦和等，
蓋天日朝高勾股形以半徑朝日為勾，日心甲勾股
形亦以半徑心甲為勾，則天日與日心等，而日心
又與朝西等，故邊股天西與高股弦和等也。以乙
東行勾西川為二率，乘之，二、
千七百六十步為 實。以乙東行步 自之，得六萬五 千五百三十六步 為冪，以甲南行 步自之，得二十 三萬零四百步為 股冪，勾股冪相 并得二十九萬五 千九百三十六步 為弦方實。以平 方開之，得五百 四十四步弦也。
以加入甲南行 步，共得一千零 二十四步以為 溾。奴法而一，
得二百四十步則 城徑也。合問。
三率相乘，倍之為實，為得全徑。如法得弦天川，
加入甲南行為法，天川天西邊股弦和為一率，蓋 邊股弦和天川天西與邊勾西川之比同於高股弦和 天日天朝與高勾朝日之比，故為相當比例四率也。
翻譯 勾上容圓公式
d＝2 2
2
2
2c b
b a
+
引理：
c6+ ＝
b6 b 2pf：1.∵
∆ADJ ≅ DXO∆，∴
AD＝ DO ＝ JW 2.
AP＝ AJ ＋ JW
＝
AJ ＋AD即
c6+ ＝
b6 b 2定理：d＝
2 2
2
2
2c b
b a
+
pf：1.∵
∆ADJ∼
∆AQW∴
AQ＋ AW ：
QW＝
AD＋ AJ ： DJ
⇒
b2+ ：
c2 a ＝2 c6+ ：OW
b6⇒
b+ ：
c a ＝b ：r （由引理）⇒ d＝
2 2
2
2
2c b
b a
+
子題幹 或問：甲乙二人 俱在北門，乙東 行二百步而止，
甲南行三百七十 五步望見乙。問 答同前。
第三：甲乙俱在北，乙東行二百步，甲南行三百 七十五步
法曰 法曰：此為股上 容圓也。以勾股 相乘倍之為實。
以勾、股冪求 弦，加入勾以為 法。
股上容圓法：圓心切於股上也，日地北底勾股形 之日北股上，東南西北圓之心相切也。
第 3 問
草曰 草曰：置甲南行 三百七十五步，
以乙東行二百步 乘之，得七萬五 千步，倍之得一 十五萬步為實。
以乙東行自之，
得四萬步為勾 冪，以甲南行自 之，得一十四萬 零六百二十五步 為股冪，勾、股 冪相并得一十八 萬零六二十五步 弦方實。如平方 而一，得四百二 十五步則弦也。
草：置甲南行股日北為二率，以乙東行勾北地為 三率，其數與平勾弦和等，蓋川地夕平勾股形以 半徑川夕為股，心川甲勾股形亦以半徑心甲為 股，則川地與心川等，而心川又與北夕等，故底 勾北地與平勾弦和等也，乘之，二、三率相乘，
倍之為實，為得全徑。如法得弦日地，加入以東
行為法，日地北地底勾弦和為一率，蓋底勾弦和
日地北地與底股日北之比同於平勾弦和川地夕地
與平股川夕之比，故為相當比例四率也。
加入乙東行二百 步共得六百二十 五步以為法，以 法除之，得二百 四十步則城徑 也。合問。
∴ BN ＋
BD： DN ＝
BI＋
QB：
QI⇒
a3+ ：
c3 b ＝3 a9+ ：ON
c9⇒
a3+ ：
c3 b ＝3 a ：r （由引理） 3⇒ r＝
3 3
3 3
b a
b a
+
⇒ d＝
3 3
3
2
3b a
b a
+ 翻譯 股上容圓公式
d＝
3 3
3
2
3b a
b a
+
引理：
a9+ ＝
c9 a 3pf：1.∵
∆QBI ≅ OQX∆，∴
QB＝
OQ＝ NI
2.
BN ＝BI＋ NI ＝
BI＋
QB即
a9+ ＝
c9 a 3定理：d＝
3 3
3
2
3b a
b a
+
pf：1.∵
∆QBI∼
∆DBN子題幹 或問：甲乙二人 俱在圓城中心而 立，乙穿城向東 行一百三十六步 而止，甲穿城南 行二百五十五步 望見乙。問答同 前。
第四：甲乙俱在心，乙東行一百三十六步，甲南 行二百五十五步。
第 4 問
法曰 法曰：此為勾股 上容圓也。以 勾、股相乘倍之 為實，并勾、股 冪，如法求弦以
勾股上容圓法：圓心切於勾股之矩也，日川心皇
極勾股矩之心即東南西北圓之心。
草曰 草曰：以二行步 相乘得三萬四千 六百八十步，倍 之得六萬九千三 百六十步為實。
置乙東行自之，
得一萬八千四百 九十六步為勾 冪；又以甲南行 自之，得六萬五 千零二十五步為 股冪，二冪相并 得八萬三千五百 二十一步為弦方 實。以平方開 之，得二百八十 九步即弦也，便 以為法。如法除 實得二百四十步 即城徑也。合 問。
草：二行相乘東行勾心川為二率，南行股日心為 三率，其數與高弦等，蓋天日朝高勾股形以半徑 朝日為勾，日心甲勾行亦以半徑心甲為勾，則天 日與日心等，故皇極股日心與高弦等也，倍之為 實，為得全徑。如法得弦日川為法，皇極弦為一 率，蓋皇即弦日川與皇極勾心川之比同於高弦天 日與高勾朝日之比，故為相當比例四率也。
翻譯 勾股上容圓公式
d＝12 12
2
12c b
a
定理：d＝
12 12
2
12c b a
pf： ∵
∆DQO∼
∆ADJ∴
DQ：
QO＝
AD： DJ
DQ
：
QO＝ DO ： OW
c ： 12 a ＝ 12 b ： r 12r＝
12 12 12
c b a
d＝
12 12
2
12c b a
子題幹 或問：甲乙二人 同立于乾地，乙 東行一百八十步 遇塔而止，甲南 行三百六十步，
回望其塔正居城 徑之半。問答同 前。
第五：甲乙俱在乾，乙東行一百八十步遇塔而止，
甲南行三百六十步，回望塔居城徑之半。
法曰 法曰：此為弦上 容圓也。勾、股 相乘倍之為實，
以勾、股和為 法。
弦上容圓法：圓心切於弦上，城半徑為勾股容方 之一邊，此城圖十五形中所無也。
草曰 草曰：以二行步 相乘得六萬四千 八百步，倍之得 一十二萬九千六 百步為實。并二 行步，得五百四 十步以為法。以 法除實，得二百 四十步即城徑 也。合問。
草以二行相乘，南行股為三率，東行勾為二率，
倍之為實為得全徑，併二行為法，勾股和為一率，
此用勾股求容方法，蓋以勾股和為同式形之勾，
則此股必為容方之一邊，又以勾股和為同式形之 股，則此勾必為容方之一邊，故互為相當比例四 率也。
第 5 問
翻譯
弦上容圓公式
d＝a bab + 2
定理：d＝
b a
ab + 2
pf： ∵ 2（
∆BOC＋
∆AOC）
＝ACBD
∴（
a+b） ： a ＝b：r
r＝a bab + d＝a b
ab + 2
a
b
a b A
B C D
O
子題幹 或問：甲乙二人俱 在坤地，乙東行一 百九十二步而 止，甲南行三百六 十步望乙，與城參 相直。問答同前。
第六：甲乙俱在坤，乙東行一百九十二步，甲 南行三百六十步
法曰 法曰：此為勾外容 圓也。以勾股相乘 倍之為實，以弦較 共為法。
勾外容圓法：圓界切於勾邊之外也，天月坤大 差勾股形，月坤勾外東南西北圓之南界相切 也，蓋勾股較名大差，天地通弦、乾地通勾內 各減甲地及相等之北地，則弦餘天甲與天西等 勾餘乾北，即半徑，又於天西內減半徑坤西，
則餘天坤，為通勾弦較，即大差減股也，其大 差弦較較即全徑，蓋凡勾與股弦較共原為弦較 較，大差股天坤比邊股天西少半徑，大差弦天 月比邊股天甲少明勾，月甲乙明勾減半徑，則 餘虛勾，然則虛勾必為大差股弦較，而大差勾 比全徑圓少虛勾，今以大差勾坤月與虛勾月巽 相加，則為全徑坤巽也，又凡勾弦和內減股，
則原為弦較較，而大差勾坤月比半徑坤南多明 勾，大差弦天月比邊股天甲少明勾，則大差勾 弦和必為邊股半徑共，即通股天乾也，內減大 差股天坤，則餘為坤乾全徑也，故大差弦較較，
即全徑也。
第 6 問
草曰 草曰：以二行步相 乘，得六萬九千一 百二十步，倍之得 一十三萬八千二 百四十步為實。置 乙東行自之，得三 萬六千八百亡十 四步為勾冪。又置 南行之，得一十二 萬九千六百步為 股冪。二冪相并，
得一十六萬六千 四百六十四
草二行：東行勾坤月，南行股天坤，相乘倍之
為實，如法得弦天月，又二行相減，以其較加
弦為法，大差弦較和為法，蓋凡弦較和與弦較
較相乘積即弦乘弦較和積內減勾股較乘弦較和
積之餘，而弦乘弦較和積，即弦幂及弦較相乘
積也，二積相減，則弦較相乘積相當減盡，而
弦幂內減較幂所餘應為勾股相乘積二段，故今
以大差勾股相乘，倍之為實，以大差弦較和為
法，除之得大差弦較較也。
步為弦方實。以平 方開之，得四百零 八步即弦也。又置 甲南行步，內減乙 東行步，余一百六 十八步即較也。以 較加弦，共得五百 七十六步為法。實 如法而一，得二百 四十步為城徑 也。合問。
翻譯 勾外容圓 d＝
) (
2
10 10 10
10 10
a b c
b a
− +
定理 1：
AH＝
AB－ BC
（天坤為通勾弦較，即大差股也）
pf：
AB－ BC ＝
AF＋
BF－ BN － CN
＝ AW －r
＝ AW － HW
＝
AH定理 2： GH ＋ AG －
AH＝d
（大差弦較較即全徑）
（方法一） ：
pf：
AH＝ AW － r ……（1）
AG ＝AX
－ GS ……（2）
GS － r ＝ － FG ……（3）
⇒
AH－ AG ＝－ FG ……（4）
又 GH ＋ FG ＝d ……（5）
由（4）（5）
⇒ GH ＋ AG －
AH＝d
方法二：
pf：
GH ＝r ＋ GS ……（1）AG ＝AX
－ GX ……（2）
又
GS ＝ GX（1）＋（2）
⇒ GH ＋ AG ＝ r ＋
AX⇒ GH ＋ AG ＝ r ＋ AW ＝
AH＋d
⇒ GH ＋ AG －
AH＝ d
（方法三） ：
pf： （
a10+
c10−
b10） （
c10+
b10−
a10）
＝
c （10 c10+
b10−
a10）－（
b10−
a10） （
c10+
b10−
a10）
＝
c102＋
c （10 b10−
a10）－
c （10 b10−
a10）－
（
b10−
a10）
2＝2
a10b10由前知（
a10+
c10−
b10）＝d
⇒ d＝
) (
2
10 10 10
10 10
a b c
b a
−
+
子題幹 或問：甲乙二人 同立于艮地，用 南行一百五十步 而止，乙東行八 十步，望甲與城 參相直。問答同 前。
第七：甲乙俱在艮，甲南行一百五十步，乙東行 八十步。
法曰 法曰：此為股外 容圓也。以勾股 相乘倍之為實，
以弦較較為法。
股外容圓法：圓界切於股邊之外也，山地艮小差 勾股形，山艮股外東南西北圓之東界相切也，蓋 股弦較名小差，天地通弦天乾通股內減天甲及相 等之天西，則弦餘甲地與北地等股餘西乾，即半 徑，又於北地內減半徑北艮，則餘艮地為通股弦 較，即小差勾也，其小差弦較和即全徑，蓋凡股 與勾弦叫共原為弦較和，而小差勾艮地比底勾北 地少半徑，小差弦山地比底勾甲地少叀股，甲山 以叀股減半徑則餘虛股，然則虛股必為小差勾弦 較，而小差股比全徑原少虛股，今以小差股山艮 與虛股巽山相加，則為全徑巽山也，又凡股弦和 內減勾股，則原為弦較和，而小差股山艮比半徑 東艮多叀股，小差弦山地比底勾甲地少叀股，則 小差股弦和必為底勾半徑共，即通勾乾地也，乾 地內減少小差勾艮地，則餘為乾艮，全徑也，故 小差弦較和即全徑也。
第 7 問
草曰 草曰：二行步相 乘得一萬二千，
倍之得二萬四千 步為實。以甲南 行自之，得二萬 二千五百步為 冪；又以乙東行 步自之，得六千 四百步為冪；勾 股冪相并，得二
草二行：東行勾艮地，南行股山艮，相乘倍之為 實，如法得弦山地，又二行相減，以其較減弦為 法，小差弦較較為法，蓋凡弦較和與弦較較相乘 積為勾股相乘積二段，故以小差勾股相乘倍之為 實，以小差弦較較為法，除之得小差弦較和也，
解見上勾外容圓法
十步即弦也。以 二行步相減，余 七十步為勾股較 也，以此較又減 弦余一百步即弦 較較也，便以為 法。實如法而 一，得二百四十 步即城徑也。合 問。
〔 （案）此題系弦 較和為城徑。其 用法實，以較取 和之意，與上題 同。〕
翻譯 股外容圓 d＝
) (
2
11 11 11
11 11
a b c
b a
−
−
定理 1：UB ＝
AB－ AC
（艮地為通股弦較，即小差勾也）
pf：
AB－ AC ＝
AX＋
BX－ AW － CW
＝ NB －r
＝UB 定理 2：
c11+
b11−
a11=
d（小差弦較和即全徑）
（方法一） ：
pf：
BU ＝ BN － r ……（1）BK
＝
BX－
KX……（2）
（1）－（2）
⇒
BK－ BU ＝ r －
KX＝
r －EK＝ GL ……（3）
又 KU ＋ GL ＝d
由（3） ⇒ KU ＋
BK－ BU ＝d ⇒
c11+
b11−
a11=
d方法二：
pf：
KU ＝r ＋EK……（1）
BK
＝
BX－
KX……（2）
又
EK＝
KX（1）＋（2）
⇒
BK＋ KU ＝ r ＋
BX＝ r ＋ BN ＝ BC
∴ c11
+
b11−
a11＝
BK＋ KU － BU
＝
BC － BU ＝ d（方法三） ：
pf： 【
c11− (
b11−
a11) 】 （
c11+
b11−
a11）＝2
a11b11由前知
c11+
b11−
a11＝d
⇒ d＝
) (
2
11 11 11
11 11
a b c
b a
−
−
第 8 問
子題幹 或問：甲乙二人 同立于巽地，乙 西行四十八步而 止，甲北行九十 步，望乙與城參 相直。問答同 前。
第八：甲乙俱在巽，乙西行四十八步，甲北行九
十步。
法曰 法曰：為弦外容 圓也。勾股相乘 倍之為實，以弦 和較為法。
弦外容圓法：圓界切於弦邊之外也，月山巽虛勾 股形月山弦外東南西北圓之甲界相切也，虛弦和 和即全徑，蓋明勾南月、虛勾巽月共為半徑，叀 股山東、虛股巽山共亦為半徑，且月川青與心川 甲兩形相等，而心川弦內減川青勾所餘心青與南 月等，則月川弦內減甲川勾所餘月甲必與南月等 也，日山朱與日心甲兩形相等，而日薪弦內減日 朱股所餘心朱與山東等，則日山弦內減日甲股所 餘山甲必與山東等，故明勾叀股共為虛弦月山 也，日山內之月甲得虛勾成半徑甲山，得虛股成 半徑，而兩半徑為全徑，故虛三事和為全徑也。
草曰 草曰：以二行步 相乘，得四千三 百二十步，倍之 得八千六百四十 步為實。以甲北 行自之，得八千 一百步為股冪；
又以乙西行自 之，得二千三百 零四步為勾冪；
二冪共得一萬零 四百零四步為弦 方實。以平方開 之，得一百零二 步為弦也。又并 二行步得一百三 十八步為和，以 弦減和余三十六 步，得黃方以為 溾。實如法而 一，得二百四十 步即城徑也。合 問。
草：二行西行勾巽月、北行股巽山相乘，倍之為 實，如法得弦月山，又併二行以弦減之得黃方為 法，虛弦和較為法，蓋凡弦和和與弦和較相乘積 為勾股相乘積二段，故以太虛勾股相乘，倍之為 實，以太虛弦和較為法除之，得太虛弦和和也，
解見上勾股容圓法。
翻譯 弦外容圓 d＝
13 13 13
13 13
) (
2
c b a
b a
− +
Lemma1：
GS ＝ GXpf：
∆GQR
≅∆OQX
GX QX GQ QR OQ OR
GS = = − = − =
⇒
Lemma2：
EK＝
KXpf：
∆DKM
≅∆DOX
KX DX DK DM DO MO
EK
= = − = − =
⇒
定理一：
c16+
b16+
a16=
d（虛弦和和即全徑）
pf：
c16+
b16+
a16
＝（
GX+
KX）＋
FG+
FK＝（
GS+
FG）＋（
KE+FK） ＝
r ＋ r＝
d定理二：d＝
13 13 13
13 13
) (
2
c b a
b a
− +
pf： （
c16+
b16+
a16） （
a16+
b16−
c16）＝ 2
a16b16⇒ d（
a16+
b16−
c16）＝ 2
a16b16⇒ d＝
13 13 13
13 13
) (
2
c b a
b a
− +
第 9 問
子題幹 或問：甲乙二人 俱在南門，乙東 行七十二步而 止，甲南行一百 三十五步，望乙 與城參相直。問 答同前。
第九：甲、乙二人俱在南，乙東行七十二步，甲
南行一百三十五步。
法曰 法曰：此為勾外 容圓半也。以勾 股相乘倍之為 實，以大差為 法。
勾外容圓半法：圓界切於勾邊之矩也，日月南明 勾股形，南月勾外之矩，東南北半圓之南界相切 也。
草曰 草曰：以二行步 相乘得九千七百 二十步，倍之得 一萬九千四百四 十步為實。又以 乙東行自之，得 五千一百八十四 步為勾冪；又以 甲南行自之，得 一萬八千二百二 十五步為冪；二 冪相并得二萬三 千四百零九步為 弦方實。以平方 開之，得一百五 十三步即弦也。
以乙東行七十二 步為勾，以減 弦，余八十一步 即勾弦差也，便 以為法。如法而 一，得二百四十 步即城徑也。合 問。
草：以二行勾南月為二率，股日南為三率，其數 與高勾弦較等，蓋日新甲高勾股形以心甲半徑為 勾，其弦日心內減勾心甲相等之半徑心南，則所 餘日南即明股也，相乘倍之為實，為得全徑，如 法得弦日月，以東行減弦為法明勾弦較為一率，
蓋明勾弦較與明勾南月之比同於勾弦較與高勾心
甲或朱山之比故為相當比例四率也。
翻譯 勾外容圓半 d＝
14 14
14
2
14a c
b a
−
Lemma：
DS ＝DK−
KM（股日南與高勾弦較等）
pf：∵
∆DOX
≅∆DKM
DS r DO OX DO KM
DK
− = − = − =
⇒
定理：d＝
14 14
14
2
14a c
b a
− pf：∵
∆DGS∼
∆DKM
KM KM DK GS GS
DG
− : = − :
⇒
r DS GS GS
DG
− : = :
⇒
r b a a
c14
−
14:
14=
14:
⇒
⇒ r＝
14 14
14 14
a c
b a
−
⇒ d＝
14 14
14
2
14a c
b a
−
子題幹 或問：甲乙二人 俱在東門，甲南 行三十步而止，
乙東行一十六 步，回望甲與城 參相直。問答同 前。
第十：甲乙二人俱在東，甲南行三十步，乙東行 一十六步。
法曰 法曰：此為股外 容圓半也。以勾 股相乘倍之為 實，以小差為 法。
股外容圓半法：圓界切於股邊之矩也，山川東叀 勾股形，山東股外之矩，東南西半圓之東界相切 也。
第 10 問
草曰 草曰：以二行步 相乘，得四百八 十步，倍之得九 百六十步為實。
又東行自之，得
草：以二形股山東為二率，勾東川為三率，其數
與平股弦較等，蓋心川甲平勾股形以心甲半徑為
股，其弦心川內減股心甲相等之半徑心東，則所
餘東川即叀勾也，相乘倍之為實，為得
勾冪；又以甲南 行自之，得九百 步為股冪，二冪 相并得一千一百 五十六步為弦方 實。以平方開 之，得三十四步 即弦也。以甲南 行三十步為股，
以減弦，余四步 以為法。以法除 實，得二百四十 步即城徑也。合 問。
全徑。如法得弦山川，以南行減弦為法，叀股弦 較為一率，蓋叀股弦較與叀股山東之比同於平股 弦較與平股心甲或川夕之比，故為相當比例四率 也。
翻譯 股外容圓半 d＝
15 15
15
2
15b c
b a
−
Lemma：
EQ＝
OQ−OX（勾東川與平股弦較等）
pf：
OQ−OX =OQ−r =EQ定理：d＝
15 15
15
2
15b c
b a
− pf：∵
∆EKQ∼
∆XOQ
OX OX OQ KE KE
KQ− : = − :
⇒
r EQ KE KE
KQ− : = :
⇒
r a b b
c15
−
15:
15=
15:
⇒
⇒ r＝
15 15
15 15
b c
b a
−
⇒ d＝
15 15
15
2
15b c
b a
−
附錄二 高一新生數學相見歡（HPM 觀點）
教學目標 老師活動 學生活動 備註
目標 1：
使 學 生 了 解 課 程 的 主 題 是 國 中 數 學 V.S.高中數學。
[5 分鐘]
秀出投影片 7~9
注視 聆聽
1. 由老師提出上課的主題，並 利用投影片 7~9 簡介上課的 內容以及流程。
2. 第 9 頁中的主目錄全都有超 連結。
目標 2：
透 過 活 動 使 學 生 很 快 融 入 學 習 的 情 境 中。
[10 分鐘]
秀出投影片 10 Mission one：
秀出投影片 11 Mission two：
秀出投影片 12 Mission three：
秀出投影片 13~14
注視 聆聽 分組討論
1. 經由三個活動的暖身，使學 生彼此認識，方便進行接續 的正式課程。
2. 第 10 頁中的
Mission one、Mission two 和 Mission three，第 13 頁中的 範例，都有超連結。
3. 各頁中的 超連結至 第 9 頁的主目錄。
4. 各頁中的 超連結至 上一頁。
目標 3：
使 學 生 了 解國小、中的數 學 大 部 分 在 處 理數的＋、－、
×、÷。
活動 1：例 1
[1 分鐘]
（1） 秀 出 投 影 片 15 的例 1
（2） 搶答
（3） 秀 出 投 影 片 15 的解
（4） 引 導 進 入 活 動 2
活動 2：拋出問題 2 並作結論
[5 分鐘]
（1） 秀 出 投 影 片 16 的問題 2
（2） 各 組 發 表 討 論結果
（3） 總 結 各 組 的 注視 搶答 聆聽提問 聆聽
注視思考 分組討論 聆聽提問
1. 該題非常容易，若學生舉手 搶答答對，可給予適當的獎 勵，藉此可引發全班學習此 節的興趣。
2. 問題 1 只是課程的一個暖身 活動，可以不必花費太多的 時間。
3. 問題 2 是總結國中數學的重 要問題可經由分組討論、發 表結果並帶領學生進入高中 課程。
4. 第 18 頁中的例 2 有超連結。
5. 各頁中的 超連結至
第 9 頁的主目錄。
（5） 引 導 進 入 活 動 3
活動 3：拋出問題 3
[1 分鐘]
（1） 秀 出 投 影 片 17 的問題 3
（2） 秀 出 投 影 片 18
（3） 引 導 進 入 活 動 4
注視思考 聆聽
目標 4：
使 學 生 了 解 除 了 計 算 能 力之外，必須具 備 合 理 的 推 理 能力。
活動 4：例 2
[5 分鐘]（1） 秀 出 投 影 片 19 的例 2
（2） 搶答
（3） 秀 出 投 影 片 19 的解
（4） 引 導 進 入 活 動 5
活動 5：拋出問題「為 什 麼 答 案 是 不 確 定 呢？」
[5 分鐘]（1） 秀 出 投 影 片 19 的問題
（2） 各 組 發 表 討 論結果
（3） 總 結 各 組 的 討論結果
（4） 秀 出 投 影 片 20 的解 活動 6：拋出問題 5
[10 分鐘]
（1） 秀 出 投 影 片 21 的問題 5
（2） 各 組 發 表 討 論結果
（3） 總 結 各 組 的 注視 搶答 聆聽提問 聆聽
注視思考 分組討論 聆聽提問 注視提問
注視思考 分組討論 聆聽提問
1. 例 2 是很有趣的題目，除非 有人答對，否則可以讓同學 搶答至投降為止，這時才秀 出解，同學們一定有種被騙 的感覺。
因此，引導同學進入活動 5 時，可利用一點教育心理學 的小技巧－－同理心，然後 才秀出問題「為什麼答案是 不確定呢？」 。
2. 問題 3 與 4 是課程中很重要 的入門概念，因此不要吝惜 給同學們相互討論的時間，
若有人提問，更需耐心地引 導同學說出他們內心的想 法，在全班充分討論之後，
再給予適時的導引，因為邏 輯的基本精神在求真求實，
若能在課程的一開始讓全班 建立起共識並養成良好的習 慣，相信對於日後的學習必 能事半功倍
3. 事實上，頁 20 的解不只一 種，可請學生多舉幾個例子。
4. 問題 5 是非常具有挑戰性的
一題，應給予學生較多的時
（1） 秀 出 投 影 片 22 的結論
（2） 引 導 進 入 活 動 8
聆聽提問 注視思考
的觀念。
6. 第 21 頁中的結論有超連結。
7. 各頁中的 超連結 至下一頁。
8. 各頁中的 超連結至 第 9 頁的主目錄。
目標 5：
使 學 生 了 解訓練「邏輯」
的 推 理 能 力 是：證明。
活動 8：問題 6
[2 分鐘]（1） 秀 出 投 影 片 23 的問題 6
（2） 各 組 發 表 討 論結果
（3） 總 結 各 組 的 討論結果
（4） 秀 出 投 影 片 23 的解
（5） 引 導 進 入 活 動 9
注視思考 分組討論 聆聽提問 注視提問 聆聽
1. 老師可針對頁 23 再次強調 證明是訓練「邏輯」的推理 能力的重要方法，這是國中 數 學 與 高 中 數 學 最 大 的 不 同。
2. 各頁中的 超連結至 第 9 頁的主目錄。
目標 6：
使 學 生 了 解 證 明 一 個 敘 述 就 是 說 明 它 是 對 或 是 錯 的 過程。
活動 9：問題 7
[1 分鐘]（1） 秀 出 投 影 片 24
（2） 說明「證明」
的意義
（3） 引 導 進 入 活 動 10
注視思考
聆聽
1. 老師可緊接者補充證明一個 敘述的首要任務，就是先學 會判斷對或錯。
2. 各頁中的 超連結至 第 9 頁的主目錄。
目標 7：
使 學 生 經 由思考，了解證 明 一 個 敘 述 是 錯的方法為「舉 反例」 。
活動 10：問題 8
[5 分鐘]（1） 秀 出 投 影 片 25 的問(1)
（2） 各 組 發 表 討 論結果
（3） 總 結 各 組 的 討論結果
（4） 秀 出 投 影 片 25 的問(2)
（5） 各 組 發 表 討 論結果
注視思考 分組討論 聆聽提問 注視提問
1. 老師可先複習菱形的基本概 念。
2. 在分組討論前可鼓勵學生多 方面的思考。
3. 老師點選鳶形，可秀出鳶形 的圖形，對於增強學生文字 與圖像的連結會有幫助。
4. 第 25 頁中的鳶形有超連結。
5. 各頁中的 超連結至 上一頁。
6. 各頁中的 超連結至
26
（8） 引 導 進 入 活 動 11
目標 8：
透 過 休 息 一的挑戰題，訓 練 學 生 的 推 理 能 力 以 及 了 解 小 組 合 作 的 重 要性。
活動 11：挑戰題
[20 分鐘]
1. 秀 出 投 影 片 27~29
2. 發下「休息一」
的學習單。(頁 29)
3. 引 導 進 入 活 動 12
聆聽
分組討論
1. 經由問題解決，訓練學生的 推理能力，並使學生了解善 用下課時間及小組討論的重 要性。
2. 第 27 頁中的師曰，第 28 頁 中的休息一上的問題都有超 連結。
3. 各頁中的 超連結至 上一頁。
4. 各頁中的 超連結至 第 9 頁的主目錄。
目標 9：
複 習 上 節 課的內容，並使 學 生 體 會 中 崙 高 中 雙 語 教 育 的學習環境。
活動 12：英語教學
[10 分鐘]
1. 秀 出 投 影 片 30~34
2. 引 導 進 入 活 動 13
聆聽 注視思考
1. 使用英語教學讓學生進入雙 語的學習環境。
2. 經由超連結幫助學生回顧上 節課的教學內容，其中第 30 頁中的 that 和 notenough,第 31 頁中的 something that is wrong 都有超連結。
目標 10：
透過問題 9 的討論，使學生 了 解 證 明 一 個 敘 述 是 對 的 過 程。
活動 13：問題 9
[20 分鐘]
（1） 秀 出 投 影 片 35 的問(1)
（2） 各 組 發 表 討 論結果
（3） 總 結 各 組 的 討論結果
（4） 秀 出 投 影 片 35 的問(2)
（5） 各 組 發 表 討 論結果
（6） 總 結 各 組 的 討論結果
（7） 秀 出 投 影 片
注視思考 分組討論 聆聽提問 注視提問 聆聽提問 聆聽 注視思考
1. 問題 9 的引入教學目標有 3：
(1)經由推理的過程證明一敘 述為真。
(2)了解證明的方法不限一 種。
(3)引導學生親近文本，進入 歷史脈絡中學習。
2. 問題 9 對同學應不會太容
易，所以應給予各組充分的
時間去討論，若有些組的能
力較強，則可鼓勵他們多想
幾種不同的解法。如果在各
組討論的結果中，竟然有與
活動 14 與 15 中古人的解法
有雷同處，那麼在引導進入
動 14 的成就超乎想像，待會兒就 知道了，藉此引發同學們的 好奇心與學習動機。
3. 各頁中的 超連結至 上一頁。
4. 各頁中的 超連結至 下一頁。
目標 11：
使 學 生 了 解問題 9 就是 文 本 中 的 一 個 題目。
活動 14：親近文本
[20 分鐘]
（1） 秀 出 投 影 片 37 介紹數學 家南秉哲
（2） 秀 出 投 影 片 38 說明直角 三 角 形 與 圓 城 圖 示 的 關 聯。
（3） 各 組 發 表 討 論結果
（4） 總 結 各 組 的 討論結果
（5） 秀 出 投 影 片 39、40 的文本 1，與圓城圖 示相互對照
（6） 各 組 發 表 討 論結果
（7） 總 結 各 組 的 討論結果
（8） 說明文本 1 與 問題 9 中的題 目 與 解 法 均 是一致的。
（9） 引 導 進 入 活 動 15
聆聽
注視思考
分組討論 聆聽提問 注視提問
聆聽提問 分組討論 注視思考 聆聽
聆聽
1. 發下文本的學習單(頁 39-41) 2. 文本 1 與問題 9 中的題目與 解法均是一致的，而圓城圖 示就是問題 9 中所敘述的圖 像。
3. 文本的解讀學生若有障礙，
可由老師直接引導；老師若 有 問 題 可 聯 絡 蕭 文 俊 老 師 (hsiao8ting2@tp.edu.tw) 4. 各頁中的 超連結至
上一頁。
5. 各頁中的 超連結至
下一頁。
於一種。 41，42 的文本 2、圓城圖示 與解 2 相互對 照 並 說 明 文 本 1、2 中有 不同的解法。
（2） 秀 出 投 影 片 41 由海鏡細 草 解 中 說 明 解 2 的部分
（3） 各 組 發 表 討 論結果
（4） 總 結 各 組 的 討論結果
（5） 由 投 影 片 36，41-42 的 相 互 對 照 使 學 生 知 道 南 秉哲對問題 9 的 解 法 有 兩 種。
（6） 引 導 進 入 活 動 16
聆聽提問
注視提問 聆聽提問 分組討論 注視思考 聆聽
聆聽
2. 國中課本的證法就是投影片 36 中的解法，所以同學們發 現他們的解法竟是十九世紀 朝鮮數學發展史中的一段脈 絡時，那份驚奇應是可以期 待的，因此這時加入一些數 學史的素材（李冶、南秉哲）
應是恰當的，以上素材可參 閱蕭文俊老師的論文(朝鮮 算學家學習中國古代數學文 本的轉化與提升)中的第二 章與第三章。
3. 引導進入活動 14 時，可略作 暗 示 ， 更 大 的 驚 奇 準 備 出 現，再一次振奮同學的學習 情緒。
4. 奇妙的事又發生了，文本 1、
2 中不同的解法，竟然將投 影片 35 中的問題 9 解決了。
5. 引理 a+b-c=2r 就是文本 1 中 的一句話(故容圓全徑為弦 和較也) 。
6. 解 2 的方法在文本 2 中，若 頁回顧頁 30 的解 1，其方法 在文本 2 中。
7. 當同學們能夠了解南秉哲的 第二種解法，可以給予適當 的機會教育，強調： 「一題多 解一向是古往今來人類在面 對問題時所持的基本態度，
各位同學應該珍惜並從小養 成良好的習慣。」 。
8. 第 42 頁中的結論有超連結。
9. 各頁中的 超連結至 上一頁。
10. 各頁中的 超連結至
使 學 生 了 解結論 1~3 及 HPM 的觀點。
觀點
[5 分鐘]（1） 秀 出 投 影 片 43 的結論
（2） 秀 出 投 影 片 44 結論 1
（3） 秀 出 投 影 片 45 結論 2
（4） 秀 出 投 影 片 46 一個 HPM 觀點
（5） 引 導 進 入 活 動 17
注視思考 聆聽提問 注視提問 注視思考
聆聽提問
大洪萬生教授，當初就是因 為這一段文字讓筆者感動莫 名，才會決定投身於洪老師 的門下，相信同學們在歷經 活動 12~15 之後，內心深處 應有一定程度的感覺，此時 可邀同學舒發一下內心的感 受，相信同學們都會有一個 很深刻感受的學習經驗。
2. 該停的時候還是要停，適時 拉回邏輯的主題，引導同學 進入活動 17。
3. 第 43 頁中的結論 1、結論 2、
結論 3 有超連結。
4. 各頁中的 超連結至 上一頁。
5. 各頁中的 超連結至 第 9 頁的主目錄。
目標 14：
使 學 生 反 思 課 堂 中 的 學 習 歷 程 並 留 下 紀錄。
活動 17：回饋單
[10 分鐘]
