0 稱為實係數n次多項式不等式，包含 f (x)＞0、f (x

(1)

108 上高一數學 Ch3 多項式不等式 cjt 第 1 頁泰宇版 Ch3.4

Ch 3.4 多項式不等式一年____班座號：____ 姓名：

重點 1：多項式不等式、數線上區間的表示法

1.意義：設 f (x)為實係數n次多項式函數，則 f (x) ≠ 0 稱為實係數n次多項式不等式，包含 f (x)＞0、f (x) ≥ 0、f (x)＜0、

f (x) ≤ 0 四種型式

2.解多項式不等式：意即求出「使不等式成立的所有 x 值」，一般其解為一個範圍(或區間) 3.數線上坐標與區間的表示法：

A：數線上 P(a)表是一點，其幾何意義如圖圖圖(1) 圖 B：區間的表示法

(1)閉區間[a，b]表示 a ≤ x ≤ b，其幾何意義如圖圖圖(2) 圖 (2)開區間(a，b)表示 a＜x＜b，其幾何意義如圖圖圖(3) 圖

(3)半開區間[a，b]表示 a ≤ x＜b，其幾何意義如圖圖圖(4) 圖 半開區間(a，b)表示 a＜x ≤ b，其幾何意義如圖圖圖圖(5) (4) [a，∞∞∞)表示 a ≤ x，其幾何意義如圖∞ 圖圖圖(6)

(a，∞∞∞)表示 a＜x，其幾何意義如圖∞ 圖圖圖(7)

(5) (－∞∞∞，b]表示 x ≤ b，其幾何意義如圖∞ 圖圖圖(8) (－∞∞∞，b)表示 x＜b，其幾何意義如圖∞ 圖圖圖(9)

(6) (－∞∞∞，∞∞ ∞∞)表示 x∈R (即整條數線)，其幾何意義如圖∞ 圖圖圖(10)

例 1.1：請以區間符號表示下列各不等式的解之範圍：

(5) 92 ≤ x＜107 (6) x ≥ 2017

例 1.2：在數線上標出以下範圍：

(1) x＞2 或 x＜－3 (2) x＞0 且 x ≤ 3 (3) x＜－1 且 x＞2 (4) x＜3 或 x＞0

重點 2：一次不等式

1.意義：設 a ≠ 0，則 f (x)＝y＝ax＋b ≠ 0，稱為多項式一一一一次次次次不等式不等式不等式不等式

註：一次不等式包含 ax＋b＞0、ax＋b ≥ 0、ax＋b＜0、ax＋b ≤ 0 四種型式 2.解一次不等式 ax＋b＞0 (或 ax＋b ≥ 0，ax＋b＜0，ax＋b ≤ 0)，則：

(1)加、減法：只要移項即可，即 ax＞－b (或 ax ≥－b，ax＜－b，ax ≤－b) (2)乘、除法：

同乘或同除一個正數正數正數正數時，不等號不改變不改變不改變不改變方向同乘或同除一個負數負數負數負數時，不等號要改變要改變要改變要改變方向

x

−1 0 1 2 (1)

−2 −1 0 1 2

(2) x x

0 1 2 (3)

x 0 1 2 (4)

a b

(2)

a b

(3) °°°° °°°°

a b

(4) °°°°

a b

(5) °°°°

a (6)

a (7) °°°°

b (8)

b (9) °°°°

a b

(10) a

(1) •

(2)

例 2.1：試求一次不等式 f (x)＝2x－3＞0，且繪圖說明不等式解的意義(以區間表示)

重點 3：二次不等式

1.意義：設 a ≠ 0，則 f (x)＝ax²＋bx＋c ≠ 0 (包含 f (x)＞0、f (x) ≥ 0、f (x)＜0、f (x) ≤ 0 四種型式)，稱為二次二次二次不等式二次不等式不等式不等式 註：當 k＞0 時，則 k f (x)＞0 與 f (x)＞0 意義相同

當 k＜0 時，則 k f (x) ≥ 0 與 f (x) ≤ 0 意義相同

2.解多項式二次不等式：意即求出「使不等式成立的所有 x 值」，一般其解為一個範圍(或區間) 步驟 1：調整使得最高次方項的係數為正正正數正數數數

步驟 2：因式分解完畢，求出其關鍵點(正負變化的點)

註：對 y＝ax²＋bx＋c 作因式分解時，設判別式 D＝b²－4ac，則：

(1)D＞0 但不是完全平方數時，利用公式法 x＝

a D b

2

±

− 分解

(2)D＝0 或 D 為完全平方數時，利用十字交乘法分解 (3)D＜0 時，直接判定為「恆正」

步驟 3：將關鍵點標示在數線上，由右至左依序為＋、－、＋、－、…，如圖步驟 4：根據不等式之型式，求出其解

註：依判別式 D＝b²－4ac 的正負，可得圖形及相應的函數值正負號，如下表所示：

D＝b －² 4ac＞0 D＝b －² 4ac＝0 D＝b －² 4ac＜0

a＞0

a＜0

例 3.1：求解下列各二次不等式：

(1) f (x)＝(－x＋2)(2x＋1) ≤ 0 (2) g(x)＝(x＋1)²＜0 (3) h(x)＝x²＋2x＋3 ≥ 0 x1

x2

x3

x4

＋

－＋

－

＋－

＋

＋＋

－－

＋＋

關鍵點

… …

• x

• －－－－＋＋＋＋

＋

＋＋

＋

• ＋＋＋＋ x

－－

＋

＋ x

＋

＋＋

＋

＋＋

＋

• x

－•

－

－＋＋＋＋－－－－ • x

－

－－

－ x

－

－－

－

恆正恆正恆正恆正

恆負恆負恆負恆負

(3)

例 3.2：求解下列各二次不等式：

(1) f (x)＝(－x＋1)(x－3) ≤ 0 (2) g(x)＝(－2x＋2)(x－3)＜0 (3) h(x)＝x²＋x＋3＞0

例 3.3：試求解下列各二次不等式，並繪圖說明不等式解的意義(以區間表示) (1) x²－4x＋3≤ 0 (2)－2x²＋5x＋3≤ 0 (3) x²－x－3＞0

例 3.4：解二次不等式x²－4x＋3＜2x－2

例 3.5：設 ax²＋5x＋b＞0 的解為 3 1＜x＜

2

1，試求 x²－ax－5b ≤ 0 的解

Ex3.5：設 f (x)為二次函數，且不等式 f (x)＞0 之解為－2＜x＜4，則 f (2x)＜0 之解為多少？

(1)－2＜x＜4 (2) x＜－1 或 x＞2 (3) x＜－2 或 x＞4 (4)－4＜x＜8 (5) x＜－4 或 x＞8

(4)

重點 4：一元高次不等式

1.意義：一元三次以上之不等式，統稱為一元高次不等式。求解高次不等式的原理與二次不等式是相同的。

2.求解步驟：最高次項係數化為正→因式分解→得關鍵點→在數線上求解→驗證

例 4.1：解下列各不等式：

(1) f (x)＝(x－1)(x－2)(x－3)＜0 (2) g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)²≥ 0

例 4.2：解不等式(x＋1)(x＋2)(x²＋x＋3)＞0

例 4.3：解不等式 2

1x³－x²－ 2

5x＋3 ≥ 0