108 上高一數學 Ch3 多項式函數及其圖形 cjt 第 1 頁 泰宇版 Ch3.1
Ch 3.1 多項式(polynomial) 一年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：多項式 1.意義：
設 n 為 0 或正整數，形如 P(x)＝anxn＋an−1xn−1＋……＋a1x＋a 的式子稱為 x 的多項式，簡稱多項式 0 其中ai∈R，i＝0，1，2，…，n。常用 f (x)、g(x)、P(x)、Q(x)、…等符號表示
2.多項式函數：
對任意多項式 P(x)，當x的值確定時，函數值 y＝P(x)也唯一確定，故將多項式視為函數，稱為多項式函數多項式函數多項式函數多項式函數 3.當多項式 P(x)的次數為 n 時，稱 P(x)為x的n 次多項式，記為 deg P(x)＝n
註：當 deg P(x)＝n 時，anxn項的係數a 稱為領導係數 n
註：n 次多項式包含常數、一次、二次、…等多項式，而三次或以上多項式通稱為高次多項式 4.常數多項式：
形如 P(x)＝k，k 為一數值，稱 P(x)為常數多項式，可分為「零次多項式」與「零多項式」：
零次多項式：P(x)＝k，k ≠ 0，稱 P(x)為零次多項式 零多項式：P(x)＝0，稱 P(x)為零多項式
例 1.1：關於多項式 f (x)＝3x5－2x4＋x2＋5，選出正確的選項：
(1) f (x)為五次多項式 (2) deg f (x)＝5 (3) x2項的係數為 0 (4) x3項的係數為 0 (5) f (－1)＝3
例 1.2：已知 P(x)＝－4x3＋5x－2，求 P(－1)與 P(2)的值
重點 2：多項式相等
1.意義：當兩多項式 f (x)，g (x)，其相對應的每一單項的係數都相同，則稱這兩個多項式相等，表示為 f (x)＝g (x) 2.性質：兩個相等的非零多項式，其次數必相同
例 2.1：若多項式 f (x)＝ax2＋(4－b)x＋c 與 g (x)＝2x2＋(b＋2)x－3c 相等，試求 a，b，c 之值
重點 3：多項式的運算(加、減、乘法)
1.降次排列：將多項式 f (x)的每一項，按照x的次方，由高而低高而低高而低高而低排列，稱為多項式 f (x)的降次(冪)排列 升次排列：將多項式 f (x)的每一項，按照x的次方，由低而高低而高低而高低而高排列，稱為多項式 f (x)的升次(冪)排列
註：若多項式未指定排列方式，習慣上以降次(冪)排列為主 2.多項式的運算：
(1)多項式的加、減法：兩多項式相加或相減時，是把次數相同的單項係數相加或相減
(2)多項式的乘法：利用分配律展開，設ax 與n bx 相乘，則係數相乘，x 的次方相加，即m axn×bx ＝m abxn+m (3)運算方式：多項式的加、減、乘法，可以利用橫式橫式橫式橫式，直式直式直式直式或分離係數法分離係數法分離係數法分離係數法來運算
3.多項式的運算：若 deg f (x)＝m，deg g (x)＝n，則：
(1) deg (f (x)±g (x)) ≤ max (m，n)
(2) deg (f (x)⋅ g (x))＝deg f (x)＋deg g(x)＝m＋n
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例 3.1：設多項式 P(x)＝5x2＋15x3－4、Q(x)＝2－3x，請以降冪排列降冪排列降冪排列寫出下列各小題中多項式運算後的結果： 降冪排列 (1) P(x)－Q(x) (2) P(x)⋅Q(x) (3) deg (P(x)＋Q(x)) (4) deg (P(x)－Q(x))
例 3.2：設兩多項式 p(x)與 q(x)，已知 deg p(x)＝3，deg q(x)＝3，則下列情形是否有可能發生？若有，試舉實例說明：
(1) deg (p(x)＋q(x))＝4 (2) deg (p(x)－q(x))＝3 (3) deg (p(x)＋q(x))＝2 (4) deg (p(x)＋q(x))＝0
重點 4：多項式的除法運算
1.兩個單項式的除法運算：設ax 除以n bx ，則係數相除，變數m x 的次方相減，即 m
n
bx
ax ＝ xn m b a −
) ( 2.多項式的除法原理：
將多項式 f (x)除以多項式 g(x)，其中 g (x) ≠ 0，得到唯一的商式 q (x)及餘式 r (x)，可利用除法原理表示為：
f (x)＝g(x)q(x)＋r(x)，其中 deg( r(x))＜＜＜deg (g(x)) 或 r (x)＝＜ ＝＝＝0 (整除時餘式為 0 ) 註：除法原理：被除式＝(除式) × (商式) ＋ 餘式
3.運算方式：多項式的相除，利用除法原理來計算，運算至餘式的次數比除式的次數小(整除時，餘式為 0)時，
就停止計算，可得到唯一的商式及餘式
4.多項式的除法計算過程，可利用長除法長除法長除法、分離係數法長除法 分離係數法分離係數法與綜合除法分離係數法 綜合除法綜合除法(簡便的長除法)的運算 綜合除法
◎長除法、分離係數法
例 4.1：求多項式 f (x)＝2x3－5x2＋6x＋3 除以 g(x)＝x2－4x＋2 的商式與餘式
例 4.2：已知－x3＋3x2＋ax＋1 除以 x2－x＋2 的商式為－x＋2，餘式為 x＋b，請用除法原理求實數 a、b 的值
◎綜合除法(除式一次式且領導系數為 1)
例 4.3：(1)請以綜合除法求 P(x)＝3x3－x2－14x＋11 除以 x－2 的商式與餘式 (2)請以除法原理恆等式表示(1)中的結果
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重點 5：多項式的泰勒展開式(連續使用綜合除法運算)
意義：多項式 f (x)＝anxn＋an−1xn−1＋……＋a1x＋a 在 x＝k 時作連續的綜合除法運算 0
得 f (x)＝bn(x−k)n＋bn−1(x−k)n−1＋……＋b1(x−k)＋b ，稱此式為多項式 f (x)在 x＝k 的「泰勒展開式0 泰勒展開式泰勒展開式泰勒展開式」
註：1.泰勒展開式中bi＝
! )
)(
(
n k f n
，i＝1，2，…，n 2.常數項a0＝f (k)
例 5.1：試將多項式 f (x)＝2x3＋x2－3x＋1 表示成 x－1 的多項式，即 f (x)＝a(x－1)3＋b(x－1)2＋c(x－1)＋d，
試求實數 a，b，c，d 之值
例 5.2：(1)試檢查多項式 2x3＋x2－3x＋1＝2(x－1)3＋7(x－1)2＋5(x－1)＋1 是否為恆等式？
(2)設 f (x)＝2x3＋x2－3x＋1，試求 f (0.99)的近似值？(四捨五入取至小數第二位)
重點 6：餘式定理
1.意義：多項式 f (x)除以一次式 ax－b (a ≠ 0)的餘式為 f (b
a)，稱為餘式定理餘式定理餘式定理餘式定理 如 f (x)＝x4－5x＋3 除以 x－2 的餘式為 f (2)＝24－5(2)＋3
註：多項式除法中，如果只要求餘式，而不求商式時，可利用餘式定理餘式定理餘式定理餘式定理求餘式
2.性質：求多項式函數 f (x)在 x＝k 的函數值函數值函數值函數值時，可使用餘式定理餘式定理餘式定理，利用多項式的除法，計算其餘式即為函數值餘式定理 餘式即為函數值餘式即為函數值 f (k) 餘式即為函數值
例 6.1：設多項式 f (x)＝(2x2 −x+3)3，試求下列之餘式：
(1) f (x)除以 x＋1 (2) f (x)除以 2x－1
例 6.2：(1)設 f (x)＝x4－8x3＋9x2－60x－67，試求 f (8)之值 (2)試求 34－8×33＋9×32－60×3－67 之值
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例 6.3：設多項式 f (x)除以 x－1 的餘式為 2，除以 x－2 的餘式為 4，試求多項式 f (x)除以(x－1)(x－2)的餘式
例 6.4：已知多項式 f (x)除以 x2－5x＋4 的餘式為 x＋2；除以 x2－5x＋6 的餘式為 3x＋4，試求多項式 f (x)除以 x2－4x＋3 的餘式
重點 7：因式定理
1.因式與倍式：若當多項式 f (x)除以非零多項式 g (x)的餘式為餘式為餘式為餘式為 0 時，即 f (x)可被 g (x)整除整除整除整除，則：
存在一多項式 q(x)，使得 f (x)＝g (x) q(x)，稱 g (x)為 f (x)的因式因式因式，或稱 f (x)為 g (x)的倍式因式 倍式倍式 倍式 註：若 g(x)為 f (x)的因式因式因式，記作 g(x) f (x) 因式
2.因式定理：若 f (x)有一次因式 ax－b，則 f (b
a)＝0，反之，若 f (b
a)＝0，則 f (x)有一次因式 ax－b 註：ax－b 為 f (x)的因式因式因式，記作(ax－b) f (x) 因式
3.性質：
(1)由餘式定理中，若多項式 f (x)被一次式 ax－b (a ≠ 0)整除時，則其餘式 f (b
a)＝0，稱為因式定理因式定理因式定理因式定理 (2)若 f (x)有一次因式 x－a1，x－a2，…，x－an，並且 a1，a2，…，an 兩兩互異
則 f (x)有因式(x－a1)(x－a2)…(x－an)，即可假設 f (x)＝g(x)(x－a1)(x－a2)…(x－an)，其中 g(x)為非零之多項式
例 7.1：設多項式 P(x)＝x3－4x2＋x＋6，試檢查下列各式：
(1) x－3 是否為 P(x)的因式 (2) x＋1 是否為 P(x)的因式
(3)已知 f (x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)，則 f (x)是否為 P(x)的因式
◎超高次多項式
例 7.2：設多項式 f (x)＝x15－2x3－1，試檢驗 x＋1 與 x－1 是否為 f (x)因式
