圍 1-1 三角函數 班級 二年____班 姓 座號 名

範

圍 1-1 三角函數 班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

三角函數

 ^sin cos tan

30

45

60

解答

三角函數

 ^sin cos tan

30 1

2

3 2

3 3

45 2

2

2

2 1

60 3

2

1

2 3

2.如圖﹐△ABC 中﹐ ADBC﹐已知AB15﹐ 3

sinB ﹐5 1

cotC ﹐則 BC  ____________﹒ 3

解答 15 解析 3

sin 5 , 3 , 4

B 5 AB k AD k BD k，所以AD ﹐9 BD12﹐

cot 1 3 , , 10

C 3 AD s CDs AC s，故CD 3 12 3 15

BC BD CD

      ﹒

3.求 tan²30  sin45  cos45  cos²60  ____________﹒

解答 13 12

1 2 2 1 1 1 1 13

       

解答 5 2

解析 原式 1 1 1 2 5

2 3 3 2

2 2 3 2 2

         ﹒

5.設 a  cos30  sin30﹐b  cos30  sin30﹐求 a³  b³  ____________﹒

解答 5 2

解析 3 1 3 1

cos 30 sin 30

2 2 2

a         a  b  1

3 1 3 1

cos 30 sin 30

2 2 2

b         1

a b  2

3 3 3 3 1 3 5

( ) 3 ( ) 1 3 1 1

2 2 2

a b  ab  ab a        ﹒ b 6.設∠A  15﹐求 sin²2A  cos²3A  tan²4A  ____________﹒

解答 15 4

解析 ^{2 2 2 2 2 2} 1 ² 2 ^{2 2}

sin 2 cos 3 tan 4 sin 30 cos 45 tan 60 ( ) ( ) ( 3)

2 2

A A A        

1 1 15 4 2 3 4

    ﹒

7.設 A﹐B﹐C 均為銳角﹐若 2

sinA 2 ﹐ 1

cosB ﹐ tan2 C 3﹐求∠A ∠B ∠C  ____________﹒

解答 165

解析 2

sinA 2 ∠A  45 ； 1

cosB ∠B  60； tan2 C 3∠C  60

∴ ∠A  ∠B  ∠C  45  60  60  165﹒

8.log2sin30  log₃tan30  ____________﹒

解答 3

 2

解析 _{2 3 2}1 ₃ 1 1 3

log sin 30 log tan 30 log log 1 ( )

2 3 2 2

           ﹒

9.設 為一銳角且 tan  2﹐求2sin cos 2sin cos

 

 

 

 ____________﹒

解答 3 5

解析 ∵ tan 

2

1 

  ﹐ 1

cos 5 ；原式

4 1

5 5 3

4 1 5

5 5



 



﹒

10.設 為銳角﹐已知 3 2 2

1 tan  ^{ } ﹐求 sin   cos   ____________﹒

解答 3 6 3



解析 1 tan

3 2 2 1 tan





  

 ，設 tan



去分母  1  t 3 2 2 (3 2 2)t  (4 2 2) t 2 2 2

∴ 2 2 2 2(1 2) 2 2

4 2 2 2 2( 2 1) 2 2

t  

   

 

∴ 2

tan 2  2

sin 6 ﹐ 2

cos 6 ，即 2 2 3 6

sin cos

6 3

   ^  ^ ﹒

11.若 3

sin ﹐求5 cos(90 ) sin(90 )





  

  ____________﹒

解答 3 4

解析 原式 sin 3 cos tan 4

 

    ﹒

12.等腰直角△ABC 中﹐在直線 BC 上取一點 D 使 CD CA ﹐求

(1)sin22.5  ____________﹒(2)cos22.5  ____________﹒(3)tan22.5  ____________﹒

解答 (1) 2 2 2

 ;(2) 2 2 2

 ;(3) 2 1

解析 如圖﹐△ACD 為等腰△

2 2 2 2

1 (1 2) 4 2 2

AD AB BD      ∴ AD 42 2

(1) 1 1 4 2 2 4 2 2 2 2

sin 22.5

8 2

4 2 2 4 2 2 4 2 2 AB

AD

  

      

   ﹒

(2)

1 2 (1 2)2 3 2 2 4 2 2 4 2 2 cos 22.5

4 2 2 4 2 2 4 2 2 8 4 2 2

BD AD

    

      

  



2 2 2

  ﹒

(3) 1

tan 22.5 2 1

2 1 AB

  BD  

 ﹒

12.如圖△ABC 中﹐ ADBC﹐已知AB25﹐ 3

sinB ﹐5 15

sinC17﹐求 BC ____________﹒

解答 28

解析 三角函數做法，△ABD 中﹐ cos BD B AB

 4

cos 25 20

BDAB B  5  ADABsinB15ACsinC ∴ AC17 cos 8

DCAC C ∴ BCBDDC20 8 28﹒ 13.直角△ABC 中﹐∠C  90﹐若BC20﹐ 4

sinA ﹐則△ABC 的周長為____________﹒ 5 解答 60

解析 如圖﹐ 4

sinA  AB ： BC ：5 CA ：4：3 5

設AB5t﹐BC4t﹐CA 3t BC204t  t  5﹐所以周長  12t  60﹒

14.下圖為單位圓﹐ AT ﹐ BS 均與圓相切﹐ PQ 垂直 x 軸﹐ PR 垂直 y 軸﹐∠AOP   ﹐若 4 BS ﹐求3 矩形 OQPR 的周長為____________﹒

解答 5

解析 4 3

, cot cot , tan

1 3 4

OBS  BS BS  

      ﹐ 3

sin ﹐5 4 cos 5

, cos 1 OQP  OQ

   OQRPcos﹐同理PQORsin

∴ 矩形 OQPR 周長 14

2(sin cos )

  5

   ﹒

15.如圖﹐正方形 ABCD﹐M 為 BC 中點﹐∠MAC   ﹐求 tan  ____________﹒

解答 1 3

解析 設ABBC ﹐則2 BM CM  延長 AM 1 作 CHAM



於 H﹐△ABM～△CHM MH CM

BM  AM  1

MH 5； 2 CH 5

△ACH 中﹐

2 2

5 5 1

tan 5 1 6 3

5 5

HC

 AH   



﹒



解答 4 3 2



解析 ∵ 2cos²  3cos  2 0

 (2cos  1)(cos  2)  0  1

cos  或 cos2    2（不合）∴   60

故 3 4 3

sin tan sin 60 tan15 ( ) (2 3)

4 2 2

          ^ ﹒

17.設 0    90且 6 2 tan 6^ 2

 ﹐則(1)sin   ____________﹐(2)cos   ____________﹒

解答 (1) 6 2 4

 ;(2)

解析 由於 6 2 tan 6^ 2

 ﹐作直角△ABC﹐∠C  90﹒

如圖﹐AC 6 2﹐BC 6 2

故AB ( 6 2)²( 6 2)²  16 因此(1)4 6 2

sin 4^ ﹐(2) 6 2 cos ^4 ﹒ 18.已知凸四邊形 ABCD 中﹐AC ﹐8 BD ﹐ AC 與 BD 的一個夾角為 60﹐求四邊形 ABCD 的面積 6

 ____________﹒

解答 12 3

解析 四邊形 ABCD 的面積  △ACD 面積  △ACB 面積

1 1 1 1

sin 60 sin 60

2 AC DE 2 AC BF 2 AC OD 2 AC OB

               

1 1 1 3

sin 60 ( ) sin 60 8 6 12 3

2 AC OD OB 2 AC BD 2 2

              ﹒

19.如下圖﹐直角△ABC﹐∠A  90﹐若∠ADB   ﹐BCCD﹐且 1

tan ﹐求 tan22   ____________﹒

6 2

4



解答 3 解析 設 tan 2

1

  ﹐則設 AB xx  ﹐CA  1 BC 1x² ∴ CD 1x²

因此

2

tan 1

1 1 2

AB x

AD x

  

 

 2x 1 1x²  (2x  1)²  1  x²  3x²  4x  0  4

x 或 0（不合）﹒ 3 20.直角△ABC 中﹐∠C 直角﹐∠A   ﹐ AB ﹐BC ac  ﹐CA b ﹐若滿足 3a  3c  5b﹐求 tan  __

解答 8 15

解析

2 2 2

5 3

3 3 5

3 b a a c b c

a b c

     



  



代入a² b²  c^{2 2 2} 5 3 ²

( )

3 b a

a b   

16

 30

 0

(8  15 )

 0

8b15a0，故 8

tan 15

a

 b ﹒ 21.利用商數關係式與平方關係式﹐完成下列空格﹕

(1)sin18 cos18



 ____________﹐tan20  cos20  ____________﹒(2)sin²43  cos²43  ____________﹒

解答 (1)tan18sin20;(2)1 解析 (1)sin18

tan18 cos18

 

 ﹐tan20  cos20  sin20﹒(2)sin²43  cos²43  1﹒

22.求(sin43  sin47)²  (cos43  cos47)²  ____________﹒

解答 2

解析 原式  sin²43  2sin43  sin47  sin²47  cos²43  2cos43  cos47  cos²47

 (sin²43  cos²43)  (sin²47  cos²47)  2sin43  sin47  2sin47  sin43  2﹒

23.求 cos²10  cos²20  cos²30  cos²40  cos²50  cos²60  cos²70  cos²80  ____________﹒

解答 4

 (cos²10  sin²10)  (cos²20  sin²20)  (cos²30  sin²30)  (cos²40  sin²40)  1  1  1  1  4﹒

24.已知 cos   tan  ﹐求 1 1

1 sin  ^1 sin  ^____________﹒

解答 1 5 解析 cos  tan

cos sin

cos

 

   cos²  sin  1  sin²  sin  sin²  sin  1  0  1 5

sin ^{ }2 （取正）

2 2

1 1 1 sin 1 sin 2 2 2 4

1 sin 1 sin 1 sin cos sin 1 5 1 5

2

 

    

  

     

      

4 1 5 4( 1 5)

1 5 1 5 1 5 1 5

   

    

     ﹒

25.設  為銳角﹐若 sin²  1  3sin   cos  ﹐求 tan   ____________﹒

解答 1 2或 1

解析 sin²  1  3sin   cos   sin²  (sin²  cos² )  3sin   cos   0  2sin²  3sin   cos   cos²  0

 (2sin   cos  )(sin   cos  )  0  2sin   cos  或 sin   cos   1

tan 或 1﹒ 2

26.直角△ABC 中﹐∠C  90﹐若AB ﹐5 AC ﹐∠A 的平分線交 BC 於 D﹐∠DAB  4  ﹐求 tan  ____________﹒

解答 1 3

解析 AB ﹐5 AC  4 BC 3

由分角線性質 5

4 BD AB

DC  AC  ∴ 5

BD ﹐3 4 CD 3

△ACD 中﹐

4 3 1

tan 4 3

CD

 AC   ﹒

_______﹒

解答 48 25

解析 令∠A   ﹐則∠CDE  

△ABC 中﹐ 3

sin 5

BC

 AB  ﹐ 4

cos 5

AC

 AB 

△ACD 中﹐ sin CD

 AC  3 12

sin 4

5 5 CDAC   

△CDE 中﹐ cos DE

CD  12 4 48

cos 5 5 25 DECD     ﹒

A D B

E C

28.矩形 ABCD﹐AB ﹐2 BC ﹐在 BC 上取一點 P﹐使∠APD  90﹐令∠BAP  6  ﹐求 tan  _______﹒

解答 3 5 2



解析 △ABP 中﹐ tan 2

   x  2tanx 

△PDC 中﹐ 2 2

tan 6 x 6 2 tan

  

 

∴ 6tan  2tan²  2  tan²  3tan  1  0  3 5 tan ^2 ﹒