圍 1-3 橢圓(2) 班級二年____班姓座號名

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：100.03.24 範

圍 1-3 橢圓(2) 班級二年____班姓座號名

一、填充題 (每題 10 分 )

1.設一個拋物線方程式為y²=8x﹔今有一橢圓與拋物線的準線相切且拋物線的焦點為橢圓中心﹐拋物線的頂點為橢圓之一焦點﹐則此橢圓的短軸長為___﹒

解答 4 3

解析 y²=8x⇒ −(y 0)² = × × − ﹐4 2 (x 0) c=2 4

a= ﹐∴b= a²−c² = 16 4− =2 3﹐故短軸長為 4 3 ﹒

2.在坐標平面上﹐O

( )

0, 0 ﹐F

(

−40, 0

)

﹐P a b 為橢圓

( )

, 9x²+25y²=22500上的點且∠PFO=60° ﹐a 為整數且b> ﹐則 PF = ____________﹒ 0

解答 30

解析 ∵ 3

60 40 1

PFO b

∠ = ° ⇒a =

+ ﹐^b⁼ ³

(

^a⁺⁴⁰

)

^﹐

又9a²+25b² =22500

代入

^⇒⁹^a²⁺²⁵^_ ³

(

^a⁺⁴⁰

)

^_²⁼²²⁵⁰⁰

⇒7a²+500a+8125=0^⇒

(

^a⁺^{25 7}

)(

^a⁺³²⁵

)

^{= ⇒ = − ﹐}⁰ ^a ²⁵

∴b=15 3﹐∴^P

(

⁻^{25,15 3}

)

^⇒^PF⁼³⁰^﹒

3.已知 F 是橢圓的一個焦點﹐B ﹑₁ B 是短軸的兩個端點且₂ ∠B FB₁ ₂= ° ﹐90 A 是₁ 長軸上距離 F 較近的一個端點﹐若A F₁ = 2 1− ﹐則橢圓長軸長為_________﹒

解答 2 2

解析設OF =OB OA, = 2OB，設 b c k= = ﹐∴a= 2k﹐

又OA₁= ⇒ +a k ( 2 1)− = 2k ⇒ 2k− = 2 1k − ﹐∴k= ﹐ 1 故長軸長為 2a=2 2﹒

4.設^A

( )

^{1, 0} ^﹐^B

(

⁻^{1, 0}

)

^{為平面兩定點﹐}P x y 為動點﹐若△ PAB 的周長為 8 且△ PAB 的面積為 2﹐

( )

^,

則x²+y²= ____________﹒

解答 17 2

解析 △ PAB 的周長為 2+PA+PB= ⇒8 PA+PB= =6 2a﹐

∴ 6

2 3

a= = ﹐ 1

2

c= AB= ﹐b= a²−c² = 8﹐

(2)

∴橢圓方程式為

2 2

9 8 1

x + y = ﹒

∵△ PAB 的面積為 2﹐∴1 1

2 2 2

2×AB y = ⇒ × ×2 y = ﹐∴y= ± 2 代回

2 2

9 8 1

x + y = ² 4 9 8 1

⇒ x + = ﹐∴ ² 9

x = ﹐故2 ² ² 9 17 2 4 2 x +y = + = ﹒

5.某行星繞太陽的軌道為如圖之橢圓﹐太陽位於橢圓軌道之一焦點處﹒據觀測﹐此行星與太陽的最 近距離為 a 萬公里﹐最遠距離為 b 萬公里﹐則

(1)行星位於____________時﹐距太陽的距離恰為 a ﹑ b 平均值﹒

(2)又已知此軌道的正焦弦長為短軸長的3

5﹐則太陽位置為___________﹒

解答 (1) G 點;(2) B 點

解析 (1)橢圓上一點距兩焦點距離和為定值﹐假設太陽在 P 點上﹐

知此定值為 a b+ ﹐故行星距離太陽 2 a+b

萬公里時﹐其位置在 G 點，此時

' 2

PG=P G=a b+ ﹒

(2)正焦弦長為短軸長的3

5﹐假設長軸為 2α ﹐短軸長為 2β﹐則有 ² ² ³

( )

²

=5

β β

α 5 3 : 5 : 3

⇒ β = α ⇒α β = ⇒ 焦距²=α²−β²﹐焦距為4 4

5α =5AE⇒焦點 B 點﹒

6.設 ^x²⁺^y² ⁺

(

^x⁻⁵

) (

²⁺ ^y⁺¹²

)

² = 的圖形是一線段﹐則常數 k 的值為____________﹒ ^k 解答 k=13

解析設F₁

( )

0, 0 ﹐F₂

(

5, 12−

)

﹐ 2a k= ﹐2c=F F₁ ₂=13﹐∵為一線段﹐∴ 2a=2c﹐故k=13﹒ 7.設 k 為一常數﹐若方程式

2 2

6 4 1

x y

k +k =

− − ﹐表長軸在 y 軸上的一橢圓﹐試求 k 的範圍為___________﹒

解答 5< < k 6

解析 a²

= − >

k

4 0,

b²

= − > 6

k

0,

且a² >b²⇒

6 0

4 0 5 6

4 6 k

k k

− >

 − > ⇒ < <

 − > −



﹒

8.橢圓2x²+y²= 與直線3 y=2x+ 交於兩點﹐則 k (1) k 值範圍為____________﹒

(2)若此橢圓在直線x+2y=10上的投影為 AB ﹐則 AB 中點坐標為____________﹒

解答 (1) 3− < < ;(2)k 3

( )

^{2, 4}

解析 (1)y=2x+ 代入橢圓方程式 k

(3)

^⇒²^x²⁺

(

²^x⁺^k

)

²^{= ⇒}³ ⁶^x²⁺⁴^kx⁺^k²^{− = ﹐}³ ⁰

∵有兩相異實根﹐∴D> 0

^⇒¹⁶^k²^{− ×}^{4 6}

(

^k²^{− > ⇒}³

)

⁰ ²^k²⁻³

(

^k²^{− > ⇒}³

)

⁰ ^k²^{< ﹐∴ 3}⁹ − < < ﹒ ^k ³ (2)

2 2

: 1

3 3 2 x y

Γ + = ﹐x+2y=10之 1 m= − ﹐ 2

∴m= 的兩條切線﹕2 3 ²

2 2 3 2 3 0

y= x± 2× + ⇒ x− ± = ﹐ y

∴過中點 M 且與切線平行的直線﹕ 2x− = ﹐ 故y 0 ^: ² ⁰

( )

^{2, 4}

2 10 x y

M M

x y

 − =

 + = ⇒

 ﹒

9.設橢圓

2 2

16 7 1

x + y = 的兩焦點為F ﹑₁ F ﹐ AB 為通過2 F 的一焦弦﹐則 1

(1)△ABF 的周長為____________﹒ ₂

(2)若∠F AF₁ ₂= ° ﹐則△60 AF F 的面積為____________﹒ ₁ ₂ 解答 (1)16;(2)7 3

3

解析 (1)由圖可知﹐周長=AF₂+AF₁+BF₁+BF₂ = ×2 2a= × =4 4 16﹒ (2)F F₁ ₂=2c= ×2 16 7− = ﹐ 6

設AF₁=  ﹐AF2= −  ﹐ 由餘弦定理知﹐8

( )

²

( )

2 2

6 = + −8  − × × − ×2  8  cos 60°

⇒36=²+²−16+64+²−8⇒3²−24+28=0﹐

² 28 28

8 0 (8 )

3 3

⇒ − + = ⇒ − = ^﹐

△ ₁ ₂ 1 1 28 3 7 3

(8 )sin 60

2 2 3 2 3

AF F =  − ° = × × = ﹒

10.設圓^C^:

(

^x⁺¹

) (

²⁺ ^y⁻²

)

²⁼³⁶^{及圓 C 內一定點}^A

( )

^{3, 2} ﹐通過 A 點且與圓 C 相（內）切的所有圓之 圓心的軌跡（即圓心所成的圖形）的方程式為____________﹒

解答

(

¹

)

²

9 x−

+

(

²

)

²

5 1 y−

=

解析如圖﹐內切﹕ 6

6 4

OC r

OC OA OA r

 = −

 ⇒ + = >

 =

 ﹐

知 O 表橢圓軌跡

⇒ 中心

( )

1, 2 ﹐左右型 2a=6⇒ = ﹐ 2a 3 c= ⇒ = ﹐4 c 2 ⇒ =b 3²−2² = 5﹐

(4)

∴所求軌跡方程式為

(

¹

) (

² ²

)

²

9 5 1 x− y−

+ = ﹒

11.設^{P a b 為橢圓}

( )

^, ² ² ¹

4 9

x + y = 上的一點﹐則

(1) 2a b− 的最大值為____________﹒(2)此時 P 點的坐標為____________﹒

解答 (1)5;(2) 8 9 5, 5

 − 

 

 

解析 SOL 一

( )

^,

P a b 代入橢圓得

2 2

4 9 1

a +b = ﹐

利用柯西不等式 ² ² ⁴²

( )

³ ²

(

²

)

² ⁵ ² ⁵

2 3

a b

a b a b

  +   + − ≥ − ⇒ − ≤ − ≤

        

 

  ﹐

(1) 2a b− 的最大值為 5﹒

(2) “= ”成立 ⇔ 2 3 8

4 3 9

b a

a b

= ⇒ = −

− ﹐

代入 2a− = 得b 5 16 9 8 9 b b 5 b 5 a 5

− − = ⇒ = − ⇒ = ﹐∴ 8 9 5, 5 P − ﹒ SOL 二

設參數式

2 cos 3sin

a b

= θ

  = θ



^，

0 ≤ θ < π 2

，P a b( , )

(1) 4 3

2 4 cos 3sin 5(cos sin ) 5 cos( )

5 5

a b− = θ − θ = θ⋅ − θ⋅ = θ + φ ，

其中 4 3 cos , sin

5 5

φ = φ =

− ≤1 cos(θ + φ ≤) 1⇒cos(θ + φ =) 1時，

2

a b

− = 5

最大 (2) 當cos(θ + φ =) 1時，θ + φ = π ⇒ θ = π − φ2 2

4 3

cos cos(2 ) cos , sin sin(2 ) sin

5 5

θ = π − φ = φ = θ = π − φ = − φ = −

即 8 9

(2 cos , 3sin ) ( , )

5 5

P θ θ = −

12.若 P 點為橢圓

2 2

36 11 1

x + y = 上的一點且 P 在第一象限﹒今已知 P 到焦點

( )

^{5, 0 的距離是}⁷

2﹐則 P 點的坐標為_______﹒

解答 33 3, 2

 

 

 

解析設P

(

6 cos , 11sinθ θ

)

﹐

(5)

∵ ² ² 7 (6 cos 5) 11sin

θ − + θ =2

2 2 49

36cos 60cos 25 11sin

θ θ θ 4

⇒ − + + =

( )

2 2

144 cos θ 240 cosθ 100 44 1 cos θ 49

⇒ − + + − =

20 cos2 48cos 19 0

⇒ θ− θ+ = ^⇒

(

^{10 cos}^θ⁻^{19 2 cos}

)(

^θ^{− =}¹

)

⁰﹐又 | cos | 1θ ≤

∴ 1

cosθ=2﹐而 3

sinθ = 2 ﹐故 33 3, 2 P 

 

 ﹒

13.橢圓Γ : 4x²+9y²=36﹐則

(1)若 P 為橢圓Γ 上的動點且^A

(

⁻^{3, 0}

)

^﹐^B

(

^{0, 2}− ﹐則△ PAB 面積最大值為____________﹒

)

(2)橢圓Γ 的內接正方形面積為____________﹒

解答 (1)³

(

^{2 1}^{+ ;(2)}

)

¹⁴⁴₁₃

解析 (1)

2 2

: 1

9 4 x y

Γ + = ﹐設P

(

3cos , 2sinθ θ

)

﹐

^AB



⁼

(

^{3, 2}⁻

)

_﹐_AP



=

₍

_3cos_θ+_{3, 2sin}_θ

₎

_﹐

∴△ ABP 1 3 2 1

| | 6sin 6 cos 6 3 sin cos 1 3cos 3 2sin

2 2

= − = + + = + +

+ θ θ θ θ

θ θ

1 1

3 2(sin cos ) 1

2 2

= θ⋅ + θ⋅ +

3 2 sin( ) 1 4

= θ +π + ，

又 1 sin( ) 1

− ≤ θ+π4 ≤ ﹐∴△ PAB 面積最大值為³

(

^{2 1}^{+ ﹒}

)

(2)設P k k 代入

( )

, 4x²+9y²=36⇒13k²=36﹐∴ ² 36

k =13﹐∴所求為 ² 144 4k = 13 ﹒

14.已知一橢圓Γ 的兩焦點為^F

( )

^{3, 7} ^﹐^F^{' 9,1}

( )

^﹐若直線^x^{+ = − 為}^y ² ^Γ ^{的一切線﹐則}^Γ ^{的長軸長為}

____________﹒

解答 6 10

解析 _' 7 1 3 9 1 mFF = − = −

− ﹐且m_切= −1﹐表示切線過短軸的一端點且與長軸平行﹐

長軸方程式為y− = −6 ( 1)(x− ⇒4) x+ =y 10﹐

∴兩平行線之距離為 ²

(

¹⁰

)

2 6 2 b − −

= = ﹐²^c⁼^FF^'⁼ ⁶²^{+ −}

( )

⁶ ² ⁼^{6 2}^{⇒ =}^c ^{3 2}^﹐

(6)

又

^a² ⁼^b²⁺^c²⁼

( ) ( )

^{6 2} ²⁺ ^{3 2} ²⁼⁹⁰^{⇒ =}^a ^{3 10}^{﹐∴ 2}^a⁼^{6 10}^﹒

15.與直線x− − = 垂直且與橢圓y 2 0 ² ² 1 4 1

x + y = 相切的兩直線距離為____________﹒

解答 10

解析 x− − = ⇒ = ﹐切線斜率y 2 0 m 1 m= − 1

∴m= − 的切線﹕1 y= − ±x 4 ( 1)× − ²+1 ⇒ + =x y 5與x+ = −y 5﹐

∴所求兩切線距離為| 5 5 | 2 5 2 2 10

+ = = ﹒

16.設

2 2

25 18 1

x + y = 上一點 P 與兩焦點 F ﹑ 'F ﹐夾角為 60 度﹐求△PFF 的面積為____________﹒ '

解答 6 3

解析設 PF= ﹐x PF' 10= − ﹐ x

2 2 2

7 7 ' 2 7

c =a −b = ⇒ =c ⇒FF = ﹐

△PFF 中'

( ) ( )

( )

2 2

2 10 2 7

cos 60

2 10

x x

+ − −

° = × × −

2 10 24 0

x x

⇒ − + = ^⇒

(

^x⁻⁶

)(

^x⁻⁴

)

^{= ⇒ = 或}⁰ ^x ⁶ x= ﹐ 4

∴△PFF 面積為' 1

6 4 sin 60 6 3 2 × × ° = ﹒

17.已知 P 為橢圓

(

¹

) (

² ²

)

²

4 9 1 x− y+

+ = 上的一點﹐則

(1) P 到直線 2x− + = 的最長距離為____________﹒(2)此時 P 點的坐標為____________﹒ y 6 0 解答 (1) 3 5 ;(2) 13 19

5 , 5

 − 

 

 

解析設P

(

1 2 cos , 2 3sin+ θ − + θ

)

﹐

( ) ( )

2 2

5cos 10

2 4 cos 2 3sin 6

, 2 1 5

d P L + θ+ − θ+ θ α⁺ ⁺

= =

+ ﹐其中 4

cosα= ﹐5 3 sinα = ﹐ 5

當^cos

(

^{θ α}⁺

)

^{= 時﹐有最大值}¹ ¹⁵ ^{3 5}

5 = ﹐

此時θ α+ = ⇒ = − ﹐0 θ α ^cos ^cos

( )

^cos ⁴

θ = −α = α= ﹐5 ^sin ^sin

( )

^sin ³

θ = −α = − α = − ﹐ 5

∴ 13 19 5 , 5 P − ﹒

18.設橢圓兩焦點為

(

^{7, 25 ﹑}

) (

47,50 ﹐若此橢圓與 x 軸相切﹐則此橢圓的長軸長為____________﹒

)

解答 85

(7)

解析設切點^{P x}

( )

^{, 0} ﹐如圖﹐根據切線性質入射角=反射角

二焦半徑斜率

tan ⁵⁰

47 θ = x⁻

− ﹐ ^{tan 180}

( )

²⁵

7 θ x⁻

° − =

−

50 25 61

47 7 x 3

x x

⇒ − = ⇒ =

− − ﹐即 61

( , 0) P 3

長軸長為

2 2

1 2

61 61

2 7 25 47 50

3 3

a=PF +PF =  −  + +  −  +

2 2

40 80

25 50

3 3

   

=   + +   +

⁼ ^{ }  ⁵₃ ²

(

⁸²⁺¹⁵²

)

⁺ ^¹⁰₃ ^²

(

⁸²⁺¹⁵

)

²

5 10

17 17 85

3 3

= × + × = ﹒

19.橢圓

(

²¹

) (

² ¹⁰⁰

)

²

21 100 2100 x− y−

+ = 在第一﹑二﹑三﹑四象限內的面積依次為R ﹑₁ R ﹑₂ R ﹑₃ R ﹐₄ 則R₁−R₂+R₃−R₄ = ____________﹒

解答 8400 解析由圖可知﹐

1

R = 橢 A B E4 + + + ﹐ ₂ 1

R = 橢 A D4 − + ﹐

3

1

R = 橢 B C D4 − − − ﹐ ₄ 1

R = 橢 E C4 − + ﹐

∴R₁−R₂+R₃−R₄

= + + + − − − − + − A B E A D B C D E C

=2A+2E−2C−2D ⁼²

(

^B⁺^C

) (

⁺² ^B⁺^D

)

⁻²^C⁻²^D

=4B= × ×4 21 100=8400﹒

20.點 A 在 y 軸上移動﹐點 B 在 x 軸上移動﹐ AB 長度為 10﹐ P 在 AB 上且AP PB: =2 : 3﹐則 P 點的軌跡方程式為____________﹒

解答

2 2

16 36 1 x + y =

解析設^A

( )

^0,^{b ﹐}^{B a}

( )

^{, 0} ^﹐

3 0 2 2 5

5 5 2

: 3 2 0 3 5

3

5 5

x a a a x

P b

b y

y b

× + ×

 = =  =

 

 ⇒

 × + × 

 = =  =



 



又AB=10⇒ AB²=100⇒a²+b²=100

2 2 2 2

5 5

100 4

2 3 4 9

x y

   

⇒  +  = ⇒ + = ﹐

∴

2 2

16 36 1

x + y = 為所求﹒

(8)

21.設橢圓4x²+9y² =72﹐則此橢圓切線斜率為2

3的切線方程式為____________﹒

解答 2x−3y±12= 0 解析

2 2

18 8 1

x + y = ﹐且 2

m= ⇒3 ² 2

18 8 4 2 3 12 0

y=mx± m + ⇒ =y 3x± ⇒ x− y± = ﹒

22.設橢圓Γ: (x−1)²+(y−2)² + (x+1)²+(y+2)² =6，則 (1)在第一象限之頂點的坐標為____________﹒

(2)又Γ 內接矩形中﹐周長最大者﹐其周長為____________﹒

解答 (1) 3 6 5, 5

 

 

 ;(2) 4 13

解析 (1)F₁

( )

1, 2 ﹐F₂

(

− − ﹐中心1, 2

) ( )

0, 0 ﹐ 2 2 1 1 2 m = + =

+

長 ﹐

設 2a= ⇒ = ﹐又6 a 3 OF



₁ =(1, 2)

∴第一象限頂點 (1, 2) 3 6

: (0, 0) 3 ,

5 5 5

A  

+ × =  

 ﹒ (2)^a² ⁼^b²⁺^c²^⇒³²⁼^b²⁺

( )

⁵ ²^{⇒ = ﹐}^b ²

∴和

2 2

9 4 1

x + y = 有相同矩形周長﹐

∴周長為^{4 3cos}

(

^θ⁺^2sin^θ

)

⁼^{4 13 cos(}^{θ φ}⁻ ⁾^﹐

∵ 1 cos(− ≤ θ φ− ) 1≤ ﹐∴最大周長為 4 13 ﹒

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