x − y − z = 24 距離最小時，點P之坐標為 。

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.02.10 班級

範

圍 3-4 球與平面

座號

姓 名 一、填充題(每題 10 分)

1. 球面S：x² + y² + z² + 2x + 4y + 4 = 0 上任一點P到平面E：2x − y + 2z = 6 的最大距離 = ， 最小距離 = 。

【解答】(1) 3 (2) 1

【詳解】S：(x + 1)² + (y + 2)² + z² = 1，球心S( − 1，− 2，0)，半徑r = 1 S到平面E：2x − y + 2z = 6 的距離d(S，E) = 2

3 6 4

1 4

| 6 0 2 2

| = =

+ +

− + +

−

則球面S上任一點P到E的距離最大值 = d(A，E) + r = 2 + 1 = 3，

最小值 = d(A，E) − r = 2 − 1 = 1 2. 點P是球面S：x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 11 = 0 的動點，當P到平面E：

x − y − z = 24 距離最小時，點P之坐標為 。

【解答】(2，− 3，2)

【詳解】

S：(x − 1)

² + (y + 2)² + (z − 3)² = 3

∴ 球心為Q(1，− 2，3)，半徑r = 3

球心Q到平面E：x − y − z − 24 = 0 距離為d(Q，E) =|1 2 3 24 | 1 1 1 + − − =

+ + 8 3

24 =3

∵ PQ= r= 3 ∴

PH

=8 3− 3=7 3

： PQ HJJG

1 3 1

2 1

1

−

= −

−

= +

− y z

x ，令H(t + 1，− t − 2，− t + 3) ∈ L

∴ H ∈ E ⇒ t = 8 ⇒ H(9，− 10，− 5)

∵QP ： PH = 3 ： 7 3= 1：7 ⇒ 1 9 7 1 1 ( 10) 7 ( 2) 1 ( 5) 7 3

( , ,

1 7 1 7 1 7

× + × × − + × − × − + × =

+ + + )

P(2，− 3，2)

3. 已知一球面S：x² + y² + z² − 2x + 4y − 2z − 3 = 0，

(1)球心坐標為 。(2)若平面x + y + z + k = 0 與S相切，則實數k之值 = 。

【解答】(1) (1，− 2，1) (2)±3 3

【詳解】S：(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 3² (1)球心P(1，− 2，1)，半徑 3

(2)平面E：x + y + z + k = 0 與球面S相切 ⇒ 球心P到E的距離 = S的半徑

⇒ 3 3 3

1 1 1

| 1 2 1

| = ⇒ =±

+ +

+ +

−

k k

　 　　

4. 球面S：x² + y² + z² + 2x − 4y − 4 = 0，一點P(1，0，1)，過P點與S相切的平面方程式為 。

【解答】2x − 2y + z − 3 = 0

【詳解】1² + 0² + 1² + 2 × 1 − 0 − 4 = 0 ⇒ P點在球面上

1 0

1 0 1 2( ) 4( ) 4

2 2

x y

x y z + +

⋅ + ⋅ + ⋅ + − − = 0⇒ 2x − 2y + z − 3 = 0 為所求

5. 已知球面S：(x − 1)² + (y − 1)² + z² = 9，求過點P(2，− 1，− 2)且與球面S相切的平面方程式為 。

【解答】x − 2y − 2z − 8 = 0

【詳解】

球面S： (x − 1)² + (y − 1)² + z² = 9，

又(2 − 1)² + ( − 1 − 1)² + ( − 2)² = 9 ∴ P(2，− 1，− 2)在球面上

所求之切平面方程式為(2 − 1)(x − 1) + ( − 1 − 1)(y − 1) + ( − 2)z = 9，即x − 2y − 2z − 8 = 0 6. 平面E：x − 2y + 2z + k = 0，球面S：x²

+ y

²

+ z

²

+ 2x − 2y + 4z + 5 = 0，若E與S相交成一圓，則k

值範圍為 。

【解答】4 < k < 10

【詳解】

球面S：(x + 1)² + (y − 1)² + (z + 2)² = 1 ⇒ 球心A(−1，1，− 2)，半徑r = 1 若E與S相交成一圓 ⇒ 0 d(A；E) < 1 ⇒ 0 <≤

4 4 1

| 4 2 1

|

+ +

+

−

−

−

k < 1，

0 ≤<^{| 7} 3

k− | 10

< 1 0 7 3 7 7

0 | 7 | 3

3 7 0 4

k k

k k k

≤ − < ≤ <

⎧ ⎧

⇒ ≤ − < ⇒⎨⎩− < − ≤ ⇒⎨⎩ < ≤ ，即 4 < k < 10

7. 空間中，球面S：(x − 3)² + y² + (z + 4)² = 25 被平面x = 2 切割的截面圓方程式為 。

【解答】⎩⎨⎧

=

= + +

2

24 ) 4

( ²

2

x z y

【詳解】

，d代入c ⇒ y

⎩⎨

⎧S：(x − 3)² + y² + (z + 4)² = 25……c

E：x = 2……d

² + (z + 4)² = 24

∴ 截圓方程式為

⎩⎨

⎧

=+ + = 2

24 ) 4

( ²

2

x z y

8. 一球面與xy平面交於圓 ，且過點(4，4，3)，則此球面方程式為

⎩⎨

⎧

=

=

− +

− 0

16 ) 2 ( ) 1

( ^{2 2}

z

y

x

。

【解答】(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 17

【詳解】交圓 交圓圓心 ，球心

設球面S：(x − 1)

⎩⎨

⎧

=

=

− +

− 0

16 ) 2 ( ) 1

( ^{2 2}

z

y

x

⇒ (1, 2, 0) (1, 2, )t

2 + (y − 2)² + (z − t)² = R²，球心S(1，2，t)，半徑R

z = 0 代入S

⇒ (x − 1)² + (y − 2)² = R²

− t

²與(x − 1)² + (y − 2)² = 16 比較係數 得R²

− t

²

= 16 ⇒ R

²

= t

²

+ 16……c

又球面S過P(4，4，3)，故R²

= AP

² = 9 + 4 + (c − 3)^{2 由c}

c

²

+ 16

得c = 1 代入c ⇒ R²

= 17，故球面S：(x − 1)

² + (y − 2)² + (z − 1)² = 17

9. 通過點A(2，1，0)與B(

2

1，0，1)的平面E，若與球面S：x² + y² + z² = 1 相切，則平面E的方程 式為 。

【解答】2x − y + 2z = 3 或 2x + 3y + 6z = 7

【詳解】 ⎩⎨⎧

=

− +

=

−

⇔ −

= −

= −

−

0 1

0 1 3 2

2

2 1 3

2

y z

y AB x

z y

AB

：

x

　 　 ：

設E：(2x − 3y − 1) + t(y + z − 1) = 0，即E：2x + (t − 3)y + tz − (1 + t) = 0

∵ E與S：x² + y² + z² = 1 相切 ∴ 球心O(0，0，0)到E的距離 = 半徑

⇒ 2 2

) 3 ( 4

| 1

|

t t

t

+

− +

+ = 1 ⇒ t = 2 或t = 6 ∴ E：2x − y + 2z = 3 或 2x + 3y + 6z = 7

10. 設A(1，− 1，− 2)，B(1，2，1)，通過A與B的平面E與球面S：x² + y² + z² = 2 截出的所有圓中，面積最小值 = ，此時平面E 的方程式為 。

【解答】2

1

π

，2x + y − z − 3 = 0

【詳解】

____\

AB= (0，3，3) = 3(0，1，1)，直線AB的方程式 代入x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

−

= +

−

=

=

t z

t y

x

2 1 1

2 + y² + z² = 2

1 + ( − 1 + t)² + ( − 2 + t)² = 2 ⇒ t² − 3t + 2 = 0 ⇒ (t − 1)(t − 2) = 0 ⇒ t = 1，2

∴ 直線AB與球面S的交點為P(1，0，− 1)，Q(1，1，0)，則包含A，B的平面E，與球面截圓 面積最小時，即以PQ為直徑的圓

(1)若最小圓的半徑r，則r² =

2 ) 1 2 2 (1 2 )

(1PQ ² = ² = ∴ 圓面積為 2 1

π

(2)PQ中點 (1, ,^{1 1})

2 2

M − ，此時平面E以 )

2 1 2 1 1 (

_____\

−

= ， ，

OM

為法向量且過A(1，− 1，− 2)

∴ E的方程式為(x − 1) + 2

1(y + 1) − 2

1(z + 2) = 0，即 2x + y − z − 3 = 0

【P.S】

c直線AB與球面不相交時，沒有最小圓。

d通過A，B之平面E與球面所交最大圓為球的大圓，即平面E通過球心時所截出的圓。

11. 若x² + y² + z² − 2x + 4y − 4z − 55 = 0，則

(1) x + 2y + 2z的最大值為 。(2) (x − 3)² + (y + 1)² + (z − 4)²之最小值為 。

【解答】(1) 25 (2) 25

【詳解】x² + y² + z² − 2x + 4y − 4z − 55 = 0

⇒ (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 2)² = 64，球心O(1，− 2，2)，半徑r = 8

(1)利用柯西不等式得(1² + 2² + 2²)[(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 2)²] ≥ [(x − 1) + 2(y + 2) + 2(z − 2)]²

⇒ 9 × 64 ≥ (x + 2y + 2z − 1)² ⇒ − 24 ≤ x + 2y + 2z − 1 ≤ 24

⇒ − 23 ≤ x + 2y + 2z ≤ 25 ∴ x + 2y + 2z的最大值為 25

(2)設A(3，− 1，4)，則OA= (3−1)²+(−1+2)² +(4−2)² = 3

∴ (x − 3)² + (y + 1)² + (z − 4)²的最小值= (r −OA)² = (8 − 3)² = 25 12.以A(10，2，5)，B( − 6，10，11)為直徑兩端點的球面S，求

(1) S的方程式為 。

(2) S被xy平面截出圓的面積為 。 (3) S截出z軸的線段長為 。

【解答】(1) x² + y² + z² − 4x − 12y − 16z + 15 = 0 (2) 25

π

(3) 14

【詳解】

(1)(x − 10)(x + 6) + (y − 2)(y − 10) + (z − 5)(z − 11) = 0 ⇒ x² + y² + z² − 4x − 12y − 16z + 15 = 0

(2)令z = 0 得x² + y² − 4x − 12y + 15 = 0 ⇒ (x − 2)² + (y − 6)² = 5² ∴ 圓面積 25

π

(3)設與z軸交點(0，0，t)代入，t² − 16t + 15 = 0 ⇒ t = 1，15

得兩交點(0，0，1)，(0，0，15)，此線段長為 15 − 1 = 14

13.球面S過點A( − 1，2，1)，又與平面E：x + 2y + z = 7 相切於點B(1，3，0)，則球面S的方程式 為 。

【解答】x² + (y − 1)² + (z + 1)² = 6

【詳解】

過B而垂直平面E的直線L：

1 2

3 1

1 y z

x− = − =

， 令球心Q( 1+ t，3 + 2t，t )

∵ QA=QB

∴ (t + 2)² + (2t + 1)² + (t − 1)² = t² + (2t)² + t² ∴ t = − 1

∴ 球心Q(0，1，− 1)，半徑為 6 ，S：x² + (y − 1)² + (z + 1)² = 6

14.兩球面S1：x² + y² + z² = 16 與S2：x² + y² + z² − 2x + 2y − 2z − 4 = 0 相交成一圓C，則圓C所在的 平面E方程式為 。

【解答】x − y + z = 6

【詳解】

由(x² + y² + z² − 16) − (x² + y² + z² − 2x + 2y − 2z − 4) = 0

⇒ 2x − 2y + 2z − 12 = 0 ⇒ x − y + z = 6

15. 一平面 3x + 6y + 2z − 18 = 0 與三坐標軸相交於A，B，C三點，O為原點，則四面體O-ABC之 內切球之球心為 。

【解答】(1，1，1)

【詳解】內切球與三坐標平面皆相相切

設球心為(r，r，r)，半徑為 r，r > 0， r r

r r r

r = ⇒ − =

+ +

− + +

7

| 18 11

| 2

6 3

| 18 2 6 3

|

2 2 2

∵ 球心與原點在平面之同側 ⇒ 18 − 11r = 7r ⇒ r = 1，故球心為(1，1，1)

16. 如下圖，在球面S中，球心O的同一側有距離為 9 的兩平行截面（E1，

E

2距離為 9），所截圓的面積各為 49

π

，400

π

，求S半徑 = 。

【解答】25

【詳解】

設球心 O 與平面

E

₂距離

x ，球半徑

則 ，d − c得 x = 15 代入c得 r = 25

r

+ +

= +

2 2 2

49 ) 9 (

400 x

r

x c

⎪⎩ d

⎪⎨

⎧

=r²

……

……

17.點P(1，2，3)到球面S：(x + 1)² + y² + z² = 10 的切線段長為 ，所 有切點形成一個圓，此圓所在平面方程式為 ，圓的圓心坐標為 。

【解答】(1) 7 (2) 2x + 2y + 3z = 8 (3) ) 17 30 17 20 17

3， ，

(

【詳解】S：(x + 1)² + y² + z² = 10 的球心Q( − 1，0，0)，

過P(1，2，3)作球的切線，一切點T

(1)切線段長PT = PQ² −r² = (4+4+9)−10 = 7 (2)所有切點所成的圓所在平面E即為兩球的根平面，

亦即切點面平面E的方程式為(1 + 1) (x + 1) +2 y + 3z = 10，即 2x + 2y + 3z = 8 (3)切點圓的圓心為直線PQ與平面E的交點，直線PQ的方程式：

3 2 2

1 y z x+ = =

設圓心C( − 1 + 2t，2t，3t)代入E：2x + 2y + 3z = 8 得 2( − 1 + 2t) + 2(2t) + 3(3t) = 8 ⇒ t =

17

10 ，故C )

17 30 17 20 17

( 3， ，

18.設點A(1，1，− 2)在球面S上，若另兩球面S₁：x² + y² + z² − 16 = 0 與S₂：x² + y² + z² + 3x − 4y − 12z

− 34 = 0 的交點都在球面S上，則球面S的方程式為 。

【解答】x² + y² + z² + 6x − 8y − 24z − 52 = 0

【詳解】∵ S包含S₁與S₂的交圓，根據球係

設S：(x² + y² + z² − 16) + t(x² + y² + z² +3x − 4y − 12z − 18) = 0

∵ A(1，1，− 2) ∈ S ∴ t = 2

⇒ S：x

⇒(1 1 4 16)+ + − +t(1 1 4 6 8 24)+ + + − + =0 −

2 + y² + z² + 6x − 8y − 24z − 52 = 0

19.球面S切xy平面於點(1，2，0)且過點(3，1，2)，則S的方程式為 。

【解答】(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 4 9 )² =

16 81

【詳解】

球面S切xy平面於A(1，2，0)，設球心Q，則QA垂直xy平面且QA為球之半徑

設Q(1，2，k)，又B(3，1，2)，則QA=QB= | k | ⇒ (3 − 1)² + ( − 1)² + (k − 2)² = k²

⇒ k = 4

9，故球面S的方程式為(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 4 9)² =

16 81

20.設一球面S：(x − 3)² + y² + (z + 2)² = 49，

(1)過點(1，− 3，4)與S相切的平面方程式為 。 (2)點Q(1，2，− 2)到球面S的最短距離為 。

【解答】(1) 2x + 3y − 6z + 31 = 0 (2) 7 − 2 2

【詳解】

(1) P(1，− 3，4) ∈ S，得切平面方程式為(1 −3) (x −3) −3 y +6(z + 2) = 49⇒2x + 3y − 6z + 31 = 0 (2)最短距離 = |AQ− r | = | 2 2 − 7 | = 7 − 2 2

21.球面S切平面E：2x − y + z = 0 於點P(1，2，0)，且過點Q(0，1，0)，則球面S方程式為 。

【解答】(x + 1)² + (y − 3)² + (z + 1)² = 6

【詳解】

AP

⊥ E ⇒ ^____

AP //平面法向量

^\ nK= (2，−1，1)，

設球心A(1 + 2t，2 − t，t)

AP

2=

AQ

² ⇒ 4t²

+ t

²

+ t

²

= (1 + 2t)

² + (1 − t)² + t²

⇒ t = − 1，即球心A(− 1，3，− 1)，半徑R =AP= 6 故球面S的方程式為(x + 1)² + (y − 3)² + (z + 1)² = 6

22.設球面S：x²

+ y

²

+ z

²

− 2x − 2y + 4z − 3 = 0 與平面E：2x + y − 2z − 4 = 0

相交於一圓，則此圓的面積為 ，圓心坐標為 。

【解答】(1) 8

π

(2) ( 3 1，

3 2，

3

−4 )

【詳解】

球面S：(x − 1)² + (y − 1)² + (z + 2)² = 3²，球心A(1，1，− 2)，半徑r = 3 AB= d(A；E) =

3

| 4 4 1 2

| + + − = 1

圓半徑r = BC =

AC

² −

AB

² = 3² − = 8 ∴ 圓面積 = 1²

π r

²

= 8 π

AB ：

，t ∈ R，其中平面E之法向量

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

= +

= +

=

t z

t y

t x

2 2 1

2 1

nK= (2，1，− 2)，即為 AB 之方向向量

令B(1 + 2t，1 + t，− 2 − 2t)代入E，得t = 3

−1

，即圓心B ( 3 1，

3 2，

3

−4 )

23.球面S與xy平面截出一圓，其方程式：x²

+ y

²

+ 2x − 4y − 35 = 0，與xz平面截出一圓，其方程式

為x²

+ z

²

+ 2x + 6z − 35 = 0，試求S = 。

【解答】(x + 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = 49

【詳解】

由球面S與E_xy：z = 0 截出一圓：x²

+ y

²

+ 2x − 4y − 35 = 0⇒ 交圓圓心

( 1− , 2, 0)，半徑 40 與xz平面截出一圓x²

+ z

²

+ 2x + 6z − 35 = 0⇒ 交圓圓心

( 1, 0, 3)− − ，半徑 45

可知球心( 1− , 2, 3)− ，球半徑 ( 40)²+3² = ，故S： (x + 1)7 ² + (y − 2)² + (z + 3)² = 49

24.設球面S切平面E：x − 2y − 2z = 5 於A(3，− 2，1)，又B(2，− 3，1) ∈ S，則S之球心為 。

【解答】(4，− 4，− 1)

【詳解】可用球係(與 21 題比較作法)

視點A為一點球，可設之為過球與平面之交圓之球系 (x − 3)² + (y + 2)² + (z − 1)² + k(x − 2y − 2z − 5) = 0

∵ B(2，− 3，1) ∈ S ⇒ 1 + 1 + 0 + k(2 + 6 − 2 − 5) = 0 ⇒ k = − 2

S：x

² + y² + z² − 8x + 8y + 2z + 24 = 0，故球心為(4，− 4，− 1)

25.球面S與xy平面交於圓C1：x² + y² − 4x − 6y + a = 0，與yz平面交於圓C2：y² + z² + by − 2z + c = 0，

又圓C1與直線 2 x − y = 8 2 − 3 相切。

(1)序對(a，b，c) = 。

(2) S之中心坐標為 ，半徑 = 。 (3) S與各坐標平面截出圓面積之和 = 。

【解答】(1) (− 11，− 6，− 11) (2) (2，3，1)，5 (3) 61

π

【詳解】圓C₁整理為(x − 2)² + (y − 3)² = 13 − a，圓C2整理為(y + 2

b)² + (z − 1)² = 4

b + 1 − c

2

球面S之球心在xy平面上的正射影為(2，3，0)，

在yz平面上的正射影為(0，−

2 b，1)

∴ S之球心為Q(2，3，1)且 3 6

2

b b

− = ⇒ = −

設S之半徑r，S之方程式為(x − 2)² + (y − 3)² + (z − 1)² = r² 圓C1與直線 2 x − y = 8 2 − 3 相切

⇒ 圓心K(2，3)到直線距離

2

| 2 2 3 3 8 2 |

2 6 13 11

2 ( 1)

KP − + − a a

= = = − ⇒

+ − = − ，

∴ r =QP= QK² +KP² = 1² +(2 6)² = 5 ，

∴ 所求為(x − 2)² + (y − 3)² + (z − 1)² = 5²

於S的方程式中，令x = 0 得(y − 3)² + (z − 1)² = 21 21 ² 1 , 11 4

b c c

⇒ = + − = − 故S在三個坐標平面上截圓面積和為(24 + 16 + 21)

π

= 61

π