成功高中 略解 101 ò 年台北市成功高中教師甄選數學科試題網路版 101

18

18

P E

C D

A B

101 年台北市成功高中教師甄選數學科試題網路版

1. 設^{O G H, ,} 分別為三角形ABC的外心、重心、垂心，試證明:

(1) ^{O G H, ,} 共線 (2) ²

GH 3OG

2. 如圖，已知正方形ABCD中，作^{DAE ACE 18} , 其中^E為兩射線的交點，設

,

BE AC交於^P, 求^CPE.

3. 設數列an為集合^{{1, 2, , }K n} 中分成三個互斥的非空集合 的方法數，例如a4=6, 其分法為

{{1, 2},{3},{4} , {1,3},{2},{4} , {1, 4},{2},{3}} { } { }, {{2,3},{1},{4} , {2, 4},{1},{3} , {3, 4},{1},{2}} { } { }. 試求 (1) a5 (2) an的遞迴式

4. 待補（怎麼想都想不起來 XD）

5. 試求出積分 ²

0

1

1 tan dx x

p

ò +

6. 試敘述微積分基本定理並證明之

7. （數據跟題意待確認）已知有兩道排列組合的題目及甲乙兩名學生：

(1) 「有學生⁹人共4男5女，從其中任取4人，求男生至少2人的方法數。」

甲生回答：考慮4男先取2人，再從剩下5人任取2人，方法數為C C2⁴×2⁵. (2) 有⁶件相異的禮物欲平分成3堆求方法數

乙生回答：平分成3堆，每堆數量為2, 方法數為C C C2⁶× ×2⁴ 2². 你認為甲乙兩生的觀念正確嗎？你的看法為何？

101 成功高中 略解

1. 主要是利用OHuuur=OA OB OCuur uuur uuur+ +

的性質（要先證明）再跟 ^{1( )}

OGuuur=3 OA OB OCuur uuur uuur+ +

作比較 得到OHuuur=3OGuuur

即可得證。

2. 待補

3. (1) 討論一下得到a5=25

(2) 考慮集合^{{1, 2, , }K n} 中之元素ⁿ, 分兩種情況：

若ⁿ在其他的分割集合中，有3種選擇，此時方法數為3a_n-1；

若ⁿ自己成一個獨立集合，此時考慮剩下來的^{{1, 2, ,(K n- 1)}}欲分割成兩個互斥的 非空集合，此方法數為

1 1 1 1

1 2 2 2 2 2

2 1

2 2

n n n n

n n

C ^- +C ^- + +K C_-^- = ^- - = _- -

所以 a_n =3a_n-1+(2^n-2- 1), " ³n 4

4. 完全沒印象囧 5. 因為

2

lim 1 1

1 tan

x®^p x

+ = , 所以 ²

0

1

1 tan dx x

p

ò + 存在，並不是瑕積分。考慮變數變換，

令u_{ }2 x

, 則原式為

0 2 2

0 0

2

1 1 1

( )

1 cot 1 cot

1 tan( ) 2

du du dx

u x

u

 

    

 

 

   _,

所以 ₀^{2 1 1(} ₀^{2 1} ₀^{2 1 ) 1} ₀^{2( 1 1 )}

2 2

1 tan dx 1 tan dx 1 cot dx 1 tan 1 cot dx

x x x x x

   

   

    

   

¹ ₀^{2(1 tan 1 cot ) 1}

2 (1 tan )(1 cot ) 2 2 4

x x

x x dx

     

   

 



6. 略（請參閱課本）

7. 略