第 4 章 數據分析

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高中數學(2)‧習作甲 第 4 章 數據分析 52

第 4 章 數據分析

4-1 一維數據分析

重點一 平均數、中位數、眾數 例題 1

某次考試,10 位學生數學成績如下:79,85,50,56,78,63,65,73,46,49,則算術平 均數為 分。(8 分)

解 算術平均數 μ=(79+85+50+56+78+63+65+73+46+49)÷10

=644

10 =64.4(分)

例題 2

某公司 55 位職員的月薪及人數分配表如下,則平均月薪為 元。(8 分)

月薪(元) 30000 32000 35000 40000 50500

人 數 5 10 20 18 2

解 平均月薪為

(30000×5+32000×10+35000×20+40000×18+50500×2)÷55

=1991000÷55=36200(元)

例題 3

(1) 6,27,60,10.8 的幾何平均數為 。(4 分)

(2) 琳珺開設一公司,營業額連續三年的成長率依序為-20%,20%,80%,則此公司這三年 的平均營業額年成長率為 。(4 分)

解 (1) 所求的幾何平均數為

4 6 27 60 10.8  

4 6 27 6 108  

4(2 3    )33 (2 3)(2233

4 2438

=2×32=18

(2) 設平均營業額年成長率為 r

得 1+r=3(- )(+ )(+ ) 1 0.2  1 0.2  1 0.8

30.8 1.2 1.8 

30.001 8 12 18   =3( )0.13    23 22 3 2 32

3( )0.13 26 333(0.1 2 2 3) =1.2 3 故平均營業額年成長率為 20%

例題 4

某次考試甲、乙兩組的數學分數如下:

甲組:49,40,46,45,31,50,75,53,70,55,58,60,57 乙組:64,50,81,73,85,59,64,77,70,79

則:(1)甲組之中位數為 分。(4 分)

(2)

高中數學(2)‧習作甲 第 4 章 數據分析 53

(2)乙組之中位數為 分。(4 分)

解 (1) 將數據由小到大排列得 31,40,45,46,49,50,53,55,57,58,60,70,75,

共 13 個分數

∴中位數為第 7 位同學的分數即 53 分

(2) 將數據由小到大排列得 50,59,64,64,70,73,77,79,81,85,共 10 個分數

∴中位數為第 5 位、第 6 位同學的平均分數 即70 73

2

+ =71.5(分)

例題 5

右表為某班 37 個學生家庭人口數的次數分配表,

則:

(1) 中位數為 人。(4 分)

(2) 眾數為 人。(4 分)

解 (1) 中位數為 5 人 (2) 眾數為 6 人 重點二 變異數與標準差 例題 6

十位學生的數學測驗分數分別為 62,82,61,85,67,79,80,73,86,95,則此資料的 (1) 算術平均數為 分。(3 分)

(2) 變異數為 。(3 分)

(3) 標準差為 分。(四捨五入取到小數點後第一位)(3 分)

解 (1) 算術平均數μ=62 82 61 85 67 79 80 73 86 95 10

+ + + + + + + + +

=77(分)

(2) 變異數 σ2= 1

10×〔(62-77)2+(82-77)2+(61-77)2+(85-77)2

+(67-77)2+(79-77)2+(80-77)2+(73-77)2

+(86-77)2+(95-77)2

= 1

10×(225+25+256+64+100+4+9+16+81+324)

= 1

10×1104=110.4 (3) 標準差 σ= 110.4 10.5(分)

例題 7

有一分組資料如右表,則:

(1) 算術平均數為 。(3 分)

(2) 變異數為 。(3 分)

(3) 標準差為 。(四捨五入取到小數點後第二位)(3 分)

解 (1) 算術平均數μ= 1

12(6×1+12×3+18×4+24×3+30×1)

= 1

12×216=18

家庭人數 3 4 5 6 7 次 數 4 5 10 12 6

數 值 6 12 18 24 30 次 數 1 3 4 3 1

(3)

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(2) 變異數 σ2= 1

12〔1×(6-18)2+3×(12-18)2+4×(18-18)2+3×(24-18)2

+1×(30-18)2

= 1

12(144+108+0+108+144)

= 1

12×504=42 (3) 標準差 σ= 42 6.48 例題 8

某班學生 50 人,分成甲、乙兩組,其成績如右表,

則全班之

(1) 算術平均數為 分。(4 分)

(2) 若標準差為 A分,則 A= 。(4 分)

解 (1) μ=20 75 30 80 20 30

 + 

+ =78(分)

(2) 8=σ1 2 752

20

x

x2=113780

6=σ1 2 802

20

x

x2=193080

σ1 113780 193080 782

50( + )- = 53.2 (分)

 A=53.2

重點三 數據的伸縮與平移 例題 9

根據統計資料,1 月分臺北地區的平均氣溫是攝氏 16 度,標準差是攝氏 3.5 度。一般外國朋 友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱,已知當攝氏溫度為x 度時,華氏溫度為 y=9

5x+32 度;

若用華氏溫度表示,則 1 月分臺北地區的 (1) 平均氣溫是華氏 度。(3 分)

(2) 標準差是華氏 度。(3 分)

解 (1) μy=9

5μx+32=9

5×16+32=60.8(度)

(2) σy=9 5σx=9

5×3.5=6.3(度)

例題 10

n 個數值 x1,x2,……,xn的算術平均數為 40,中位數為 45,眾數為 43,標準差為 3,求

-4x1+3,-4x2+3,……,-4xn+3 的

(1) 算術平均數為 。(3 分) (2) 中位數為 。(3 分)

(3) 眾數為 。(3 分) (4) 標準差為 。(3 分)

解 (1) (-4)×40+3=-157 (2) (-4)×45+3=-177

組別 人數 平均成績 標準差

甲 20 75 8

乙 30 80 6

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(3) (-4)×43+3=-169 (4) |(-4)|×3=12 重點四 數據的標準化 例題 11

已知五位同學的身高與體重如下表所示:

身高x(公分) 163 165 167 171 174 體重y(公斤) 48 54 62 66 70 試求這兩組的標準化數據。(8 分)

解 (1) 算術平均數μx=1

5(163+165+167+171+174)=168

標準差σx= 1 2 2 2 2 2

163 168 165 168 167 168 171 168 174 168 5〔( - )+( - )+( - )+( - )+( - )〕

1 25 9 1 9 36

5( + ++ + )= 16 =4

將各身高的數據減去算術平均數得-5,-3,-1,3,6,再除以標準差 4 故得出身高的標準化數據為-1.25,-0.75,-0.25,0.75,1.5

(2) 算術平均數 μy=1

5(48+54+62+66+70)=60

標準差σy1 48 60 2 54 60 2 62 60 2 66 60 2 70 60 2 5〔( - )+( - )+( - )+( - )+( - )〕

1 144 36 4 36 100

5( + + + + )= 64 =8

將各體重的數據減去算術平均數得-12,-6,2,6,10,再除以標準差 8 故得出體重的標準化數據為-1.5,-0.75,0.25,0.75,1.25

例題 12

輊翔班上期中考試的算術平均數為 80 分,標準差為 5 分,期末考試的算術平均數為 72 分,

標準差為 4 分,又輊翔期中考試成績為 84 分,期末考試成績為 77 分,試問輊翔哪一次考試 的班級排名較佳?(8 分)

解 期中考的算術平均數 μ=80,標準差 σ=5 期末考的算術平均數μ=72,標準差 σ=4 將成績經標準化後

期中考84 80 5

- =0.8,表成績比平均多 0.8 個標準差

期末考77 72 4

- =1.25,表成績比平均多 1.25 個標準差

∴期末考的班級排名較佳

數據

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參考文獻

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