第 4 章 數據分析

高中數學(2)‧習作甲 第 4 章 數據分析 52

第 4 章 數據分析

4-1 一維數據分析

重點一 平均數、中位數、眾數 例題 1

某次考試，10 位學生數學成績如下：79，85，50，56，78，63，65，73，46，49，則算術平 均數為 分。（8 分）

解 算術平均數 μ＝（79＋85＋50＋56＋78＋63＋65＋73＋46＋49）÷10

＝644

10 ＝64.4（分）

例題 2

某公司 55 位職員的月薪及人數分配表如下，則平均月薪為 元。（8 分）

月薪（元） 30000 32000 35000 40000 50500

人 數 5 10 20 18 2

解 平均月薪為

（30000×5＋32000×10＋35000×20＋40000×18＋50500×2）÷55

＝1991000÷55＝36200（元）

例題 3

(1) 6，27，60，10.8 的幾何平均數為 。（4 分）

(2) 琳珺開設一公司，營業額連續三年的成長率依序為－20％，20％，80％，則此公司這三年 的平均營業額年成長率為 。（4 分）

解 (1) 所求的幾何平均數為

4 6 27 60 10.8  

＝⁴ 6 27 6 108  

＝⁴（2 3    ）3³ （2 3）（2²3³）

＝⁴ 2⁴3⁸

＝2×3²＝18

(2) 設平均營業額年成長率為 r

得 1＋r＝³（－ ）（＋ ）（＋ ） 1 0.2  1 0.2  1 0.8

＝³0.8 1.2 1.8 

＝³0.001 8 12 18   ＝³（ ）0.1³    2³ 2² 3 2 3²

＝³（ ）0.1³ 2⁶ 3³＝³（0.1 2 ² 3） ＝1.2 ³ 故平均營業額年成長率為 20％

例題 4

某次考試甲、乙兩組的數學分數如下：

甲組：49，40，46，45，31，50，75，53，70，55，58，60，57 乙組：64，50，81，73，85，59，64，77，70，79

則：(1)甲組之中位數為 分。（4 分）

高中數學(2)‧習作甲 第 4 章 數據分析 53

(2)乙組之中位數為 分。（4 分）

解 (1) 將數據由小到大排列得 31，40，45，46，49，50，53，55，57，58，60，70，75，

共 13 個分數

∴中位數為第 7 位同學的分數即 53 分

(2) 將數據由小到大排列得 50，59，64，64，70，73，77，79，81，85，共 10 個分數

∴中位數為第 5 位、第 6 位同學的平均分數 即70 73

2

＋ ＝71.5（分）

例題 5

右表為某班 37 個學生家庭人口數的次數分配表，

則：

(1) 中位數為 人。（4 分）

(2) 眾數為 人。（4 分）

解 (1) 中位數為 5 人 (2) 眾數為 6 人 重點二 變異數與標準差 例題 6

十位學生的數學測驗分數分別為 62，82，61，85，67，79，80，73，86，95，則此資料的 (1) 算術平均數為 分。（3 分）

(2) 變異數為 。（3 分）

(3) 標準差為 分。（四捨五入取到小數點後第一位）（3 分）

解 (1) 算術平均數μ＝62 82 61 85 67 79 80 73 86 95 10

＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋

＝77（分）

(2) 變異數 σ²＝ 1

10×〔（62－77）²＋（82－77）²＋（61－77）²＋（85－77）²

＋（67－77）²＋（79－77）²＋（80－77）²＋（73－77）²

＋（86－77）²＋（95－77）²〕

＝ 1

10×（225＋25＋256＋64＋100＋4＋9＋16＋81＋324）

＝ 1

10×1104＝110.4 (3) 標準差 σ＝ 110.4 10.5（分）

例題 7

有一分組資料如右表，則：

(1) 算術平均數為 。（3 分）

(2) 變異數為 。（3 分）

(3) 標準差為 。（四捨五入取到小數點後第二位）（3 分）

解 (1) 算術平均數μ＝ 1

12（6×1＋12×3＋18×4＋24×3＋30×1）

＝ 1

12×216＝18

家庭人數 3 4 5 6 7 次 數 4 5 10 12 6

數 值 6 12 18 24 30 次 數 1 3 4 3 1

高中數學(2)‧習作甲 第 4 章 數據分析 54

(2) 變異數 σ²＝ 1

12〔1×（6－18）²＋3×（12－18）²＋4×（18－18）²＋3×（24－18）²

＋1×（30－18）²〕

＝ 1

12（144＋108＋0＋108＋144）

＝ 1

12×504＝42 (3) 標準差 σ＝ 42 6.48 例題 8

某班學生 50 人，分成甲、乙兩組，其成績如右表，

則全班之

(1) 算術平均數為 分。（4 分）

(2) 若標準差為 A分，則 A＝ 。（4 分）

解 (1) μ^全＝20 75 30 80 20 30

 ＋ 

＋ ＝78（分）

(2) 8＝σ^甲＝ ^{1 2} 75²

20





6＝σ乙＝ ^{1 2} 80²

20





σ^全＝ ¹ 113780 193080 78²

50（ ＋ ）－ ＝ 53.2 （分）

 A＝53.2

重點三 數據的伸縮與平移 例題 9

根據統計資料，1 月分臺北地區的平均氣溫是攝氏 16 度，標準差是攝氏 3.5 度。一般外國朋 友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱，已知當攝氏溫度為x 度時，華氏溫度為 y＝9

5x＋32 度；

若用華氏溫度表示，則 1 月分臺北地區的 (1) 平均氣溫是華氏 度。（3 分）

(2) 標準差是華氏 度。（3 分）

解 (1) μy＝9

5μx＋32＝9

5×16＋32＝60.8（度）

(2) σy＝9 5σx＝9

5×3.5＝6.3（度）

例題 10

有n 個數值 x₁，x₂，……，xn的算術平均數為 40，中位數為 45，眾數為 43，標準差為 3，求

－4x₁＋3，－4x₂＋3，……，－4xn＋3 的

(1) 算術平均數為 。（3 分） (2) 中位數為 。（3 分）

(3) 眾數為 。（3 分） (4) 標準差為 。（3 分）

解 (1) （－4）×40＋3＝－157 (2) （－4）×45＋3＝－177

組別 人數 平均成績 標準差

甲 20 75 8

乙 30 80 6

高中數學(2)‧習作甲 第 4 章 數據分析 55

(3) （－4）×43＋3＝－169 (4) ｜（－4）｜×3＝12 重點四 數據的標準化 例題 11

已知五位同學的身高與體重如下表所示：

身高x（公分） 163 165 167 171 174 體重y（公斤） 48 54 62 66 70 試求這兩組的標準化數據。（8 分）

解 (1) 算術平均數μx＝1

5（163＋165＋167＋171＋174）＝168

標準差σx＝ 1 ^{2 2 2 2 2}

163 168 165 168 167 168 171 168 174 168 5〔（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋（ － ）〕

＝ ¹ 25 9 1 9 36

5（ ＋ ＋＋ ＋ ）＝ 16 ＝4

將各身高的數據減去算術平均數得－5，－3，－1，3，6，再除以標準差 4 故得出身高的標準化數據為－1.25，－0.75，－0.25，0.75，1.5

(2) 算術平均數 μy＝1

5（48＋54＋62＋66＋70）＝60

標準差σy＝ ¹ 48 60 ² 54 60 ² 62 60 ² 66 60 ² 70 60 ² 5〔（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋（ － ）〕

＝ ¹ 144 36 4 36 100

5（ ＋ ＋ ＋ ＋ ）＝ 64 ＝8

將各體重的數據減去算術平均數得－12，－6，2，6，10，再除以標準差 8 故得出體重的標準化數據為－1.5，－0.75，0.25，0.75，1.25

例題 12

輊翔班上期中考試的算術平均數為 80 分，標準差為 5 分，期末考試的算術平均數為 72 分，

標準差為 4 分，又輊翔期中考試成績為 84 分，期末考試成績為 77 分，試問輊翔哪一次考試 的班級排名較佳？（8 分）

解 期中考的算術平均數 μ^中＝80，標準差 σ^中＝5 期末考的算術平均數μ^末＝72，標準差 σ^末＝4 將成績經標準化後

期中考84 80 5

－ ＝0.8，表成績比平均多 0.8 個標準差

期末考77 72 4

－ ＝1.25，表成績比平均多 1.25 個標準差

∴期末考的班級排名較佳