返回
1.2 1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换 高斯消元法与矩阵的初等变换
一 一
. .引 入 引 入
二 二
. .初等变换与高斯消元法 初等变换与高斯消元法 三 三
. .初 等 矩 阵 初 等 矩 阵
返回
一 . 引入
b AX
方程组
， 其中
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 1
2 22
21
1 12
11
2 ,
1
xn
x x
X
bm
b b
b
2 1
m n
mn m
m
n n
n n
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
2 2 1
1
2 2
2 22 1
21
1 1
2 12 1
11
就就
1.2
高斯消元法与矩阵的初等变换
返回
齐次方程组： AX = 0;
非齐次方程组： AX = b, b
0(b 中至少有一分量不为零 )
xn
x x
X
2 1
为 AX = b 的解： AX = b 成立 .
. ,...,
1
使得方程组成立 即
x xn问题
方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？
例 1
. 考虑方程组的如下同解变换： ，
2 1 2
3 1
3 2
1
x x
x x
x
2 1
0 1
1 1
1 2
—A
，
1 2
2
3 2
1
3 1
x x
x
x
x
1 1
1 2
2 1
0 1
，
7 3
2
3 2
3 1
x x
x
x
7 3
1 0
2 1
0 1
（
行（简化）阶梯形矩阵
） 得一般解（无穷多组解）： ，
7 3
2
3 2
3 1
x x
x x
自由未知量
二 . 初等变换与高斯消元法
返回
例 2
. 若某方程组经同解变换化为
5 1 1 2
3 3 2
3 2
1
x x x
x x
x
5 1
0 0
1 1
1 0
1 1
2
__ 1 A
（
行阶梯形矩阵
） 显然，有唯一解 .例 3
. 若某方程组经同解变换化为
5 1 1 2
3 2
3 2
3 2
1
x x
x x
x x
x
5 1
1 0
1 1
1 0
1 1
2
__ 1 A
即
6 0
1 1 2
3 3 2
3 2
1
x x x
x x
x
6 0
0 0
1 1
1 0
1 1
2 1
显然，无解 .
定义 1 （初等变换）矩阵的行（列）初等变换
：• 交换两行（列）的位置；
• 用一非零数乘某一行（列）的所有元；
• 把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一 行（列）上去 .
高斯消元法就是对增广矩阵实施
行初等变换化为
行行（简化）阶梯形
.，
1 0
1 0
0
4 0
1 0
0
9 6
5 0
2
，
1 2
0 0
0
2 3
4 0
0
3 2
0 5
2
0 0
0
0 0
0
0 0
0
2 3
0
0 1
例 4
. 是否为行（简化）阶梯形？ 1返回
例 5
. 解方程组
5 4
3 2
2 5
2
1
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
解
5 4
3 2
2 5
2 1
1 1
1
__ 1
A
3 6
1 0
1 6
1 0
1 1
1 1
2 0
0 0
1 6
1 0
1 1
1 1
2 0
0 0
1 6
1 0
0 7
0 1
无解 .
例 6
. 解方程 组
2 8
3 5
4 3
3
2 4
2 2
2
1 3
5 4
3 2
1
5 4
3 2
1
5 4
3 2
1
5 3
2 1
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
解
2 8
1 1
1 1
3 5
4 1
3 3
2 4
2 1
2 2
1 3
0 1
1 1
__A
3 5
1 2
0 0
0 4
4 2
0 0
0 2
2 1
0 0
1 3
0 1
1 1
3 9
3 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 2
2 1
0 0
1 3
0 1
1 1
0 0
0 0
0 0
1 3
1 0
0 0
0 2
2 1
0 0
1 3
0 1
1 1
返回
0 0
0 0
0 0
1 3
1 0
0 0
2 4
0 1
0 0
1 3
0 1
1 1
0 0
0 0
0 0
1 3
1 0
0 0
2 4
0 1
0 0
1 7
0 0
1 1
任意（自由未知量）
， 2 5
5 4
5 3
5 2
1
, 3
1 4 2
7 1
x x
x x
x x
x x
x
为方程组的全部解 .
返回
增广矩阵经
行
行 初等变换化为行（简化）阶梯形，该阶梯形与方程组解的关系
该阶梯形与方程组解的关系
：行（简化）阶梯形中
非零行的行数 < 未知量个数
无穷多解
0 0
0 0
0 0
1 3
1 0
0 0
2 4
0 1
0 0
1 7
0 0
1 1
__A
2 0
0 0
1 6
1 0
0 7
0
__ 1
A
该数不为零，无解
5 1
0 0
1 1
1 0
1 1
2
__ 1
A 非零行的行数 = 未知量个数行（简化）阶梯形中 唯一解
返回
问题 问题 ： 对于齐次方程组 AX = 0
？
0 0
0 0
0 0
0 3
1 0
0 0
0 4
0 1
0 0
0 7
0 0
1 1
__
A
行（简化）阶梯形中
非零行的行数 < 未知量个数
有非零解 ( 无穷多解 )
0 1
0 0
0 1
1 0
0 1
2
__ 1 A
行（简化）阶梯形中
非零行的行数 = 未知量个数
只有零解 ( 唯一解 )
返回
： 的增广矩阵为
设线性方程
一般地， AX b
m mn
m m
n n
b a
a a
b a
a a
b a
a a
b A
2 1
2 2
22 21
1 1
12 11
行初等变换
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
1 1
1
1 1
, 1
,
2 2
1 , 2
1 1
1 , 1
r r r
r r
r
n r
n r
d d c
c
d c
c
d c
c
返回
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
1 1
1
1 1
, 1
,
2 2
1 , 2
1 1
1 , 1
r r r
r r
r
n r
n r
d d c
c
d c
c
d c
c
； 无解 ,
0 .
1 dr1
： 有解
, 0 .
2 dr1
1 r n : 有唯一解：x1 d1 , x2 d2 ,, xn dn .
2 r n: 有无穷多组解：
r n
rn r
r r r
n n r
r
n n r
r
d x
c x
c x
d x
c x
c x
d x
c x
c x
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
1 1
1 1
, , ,
: ,
,
,
21 r n
r
x x
x
自由未知量 .
返回
A 与 B 等价： A B .初等变换 .
B A 记为：
矩阵等价具有以下性质 :
1 反身性 A A ;
2 对称性 A B B A ;
3 传递性 A 且B B C A C .三 . 初 等 矩 阵
例 1
4 0
3
6 2
1
2 5
2
1 0
0
0 0
1
0 1
0
4 0
3
2 5
2
6 2
1
4 0
3
6 2
1
2 5
2
1 0
0
0 5
0
0 0
1
4 0
3
6 2
1
2 5
2
1 0
5
0 1
0
0 0
1
4 0
3
30 10
5
2 5
2
11 25
13
6 2
1
2 5
2
返回
定义（初等矩阵）对单位矩阵作一次初等变换所
得矩阵。
1 1
0 1
1 1
1 0
1 1
Eij
i 行
j 行
三种初等矩阵：
1 1
) (
c c
Ei i 行
(
c 0 )
1 1
1 1
) (
c c
Eij
i 行 j 行
返回
定理 对矩阵 A 作一次行（列）初等变换，相 当于在 A 的左（右）边乘上相应的初等矩阵
.（“
左乘行，右乘列
”）定理的应用：
1. 若矩阵 B 是经有限次行初等变换得到的，则存 在 有限个初等矩阵 EB E 1E, …, Ek E, A使得k
k 1
12. 若矩阵 B 是经有限次列初等变换得到的，则存
在 有限个初等矩阵 E1, …, Ek , 使得1 1
1AQ Q Q
P P
B
k
k k
3. 若矩阵 B 是经有限次初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵 P1, …, Pk , Q1, …, Qt 使得
Ek
E AE
B
1 2
例 7
设矩阵
32 31
32 33
22 21
22 23
12 11
12 13
33 32
31
23 22
21
13 12
11
,
a a
a a
a a
a a
a a
a a
B a
a a
a a
a
a a
a A
0 0
1
0 1
0
1 0
0
1 0
0
0 1
1
0 0
1
1 0
0
0 1
0
0 1
1
3 2
1 P P
P , ,
. )
( 则 B
1 P2AP3
2 AP1P3
3 AP3P1
4 AP2P3
4 .答案 :
