Linear Operator

Chapter 3

Linear Operator

當 V 是一個 vector space 時, 從 V 到 V 的 linear transformation, 就稱為是一個 linear operator on V . 當 T : V → V 是一個 linear operator 時, 我們很自然的可以考慮其合成 T^◦2= T◦ T, 以及 T^◦3= T◦ T^◦2, . . . 這樣一直下去對任意 i∈ N 都可以定出 T^◦i= T◦ T^◦i−1 (T^◦0= id). 如此一來賦予 V 一個很豐富的代數結構 (稱為 F[T ]-module), 所以我們可以進 一步去了解 T 和 V 的關係. 這就是我們這一章進一步談 linear operator 的原因. 由於大家 可能對代數不是很熟悉, 所以我們會避免使用太多額外的代數語言, 用大家熟悉的方法 (藉 由矩陣, 行列式) 來介紹相關的理論.

3.1. Basic Concept

一個 linear operator 就是一個 linear transformation 所以前一章的理論我們都可以利用.

由於定義域和對映域是同一個 vector space, 我們可以選相同的 ordered basis, 這會讓矩陣表 示法變得較簡單. 也就是說若 T : V→ V 是一個 linear operator, 要得到 T 的 representative matrix, 我們可以選定 V 的一個 ordered basisβ = (v1, . . . , v_n),兩邊都用β, 得β[T ]_β 這一個 n× n matrix. 為了方便起見當兩邊選的 ordered basis 相同時, T 的 representative matrix, 我們就會用 [T ]_β 來表示, 也就是說

[T ]_β =(

τβ(T (v₁)), . . . ,τβ(T (v_n))) .

例如若 T₁, T₂ 皆為 V 的 linear operator, 由 Chapter 2 的 Proposition 2.4.5 我們知

[T2◦ T1]_β= [T2]_β· [T1]_β. (3.1) 另外依此表法, 我們有 [id]_β = I_n.

習慣上我們會把 V 的 linear operators 所成的 vector space L (V,V) 簡化成 L (V). 又 因為這裡的矩陣皆為 n×n 的方陣, 所以我們用 Mn(F) 來表示所有 over F 的 n×n matrices.

利用這些符號, 當固定一個 V 的 ordered basisβ 時, Theorem 2.4.4 告訴我們可以得到一個 L (V) 到 Mn(F) 的 isomorphism, 即 Φ : L (V) → Mn(F), T 7→ [T]_β. 特別的由於 [id]_β = I_n, 我們有 [T ]_β= I_n 若且唯若 T = id. 同理 [T ]_β 是一個 zero matrix 若且唯若 T : V → V 是 zero 45

46 3. Linear Operator

mapping, 即 T (v) = O_V,∀v ∈ V. 為了方便起見, 我們將 zero matrix 和 zero mapping 都用 O 表示. 所以我們有以下之結論.

Lemma 3.1.1. 假設 V 為 finite dimensional vector space, dim(V ) = n 且 β 為 V 的一個 ordered basis. 設 T : V → V 為 linear operator, 我們有以下結果:

[T ]_β= In⇔ T = id and [T]_β = O⇔ T = O.

前面說過考慮 linear operator 時, 我們幾乎都會選定義域和對映域有相同的 ordered basis. 不過有一個例外, 就是 identity 這個 linear operator, id : V→ V. 因為對同一個 linear operator 若換另外的一個 ordered basis 來處理, 它的 representative matrix 就可能不一樣 了, 我們需了解這樣的 matrices 之間有何關係, 就得靠_β′[id]_β 這樣的 change of basis matrix 來幫忙了. 利用 Proposition 2.4.6, 我們有以下之結果.

Lemma 3.1.2. 設 β,β^′ 為 V 的 ordered bases, T : V → V 為 linear operator, 則 [T ]_β′=_β[id]⁻¹_β′ · [T]_β·_β[id]_β′.

Proof. 利用 Proposition 2.4.6, 我們知 [T ]_β′ =_β′ [id]_β· [T]_β·_β[id]_β′. 然而若 dim(V ) = n, 由 式子 (2.6) 我們知

β^′[id]_β·_β[id]_β′=_β[id]_β′·_β^′[id]_β = In,

亦即_β′[id]_β=_β[id]⁻¹_β′ , 得證本定理. 

當 A, B∈ Mn(F), 而 P 為 M_n(F) 中的 invertible matrix, 若 B = P⁻¹· A · P, 則稱 A,B 為 similar matrix, 用 A∼ B 來表示. 此時因 det(P⁻¹) = det(P)⁻¹ 知

det(B) = det(P⁻¹· A · P) = det(P⁻¹) det(A) det(P) = det(A).

由 Lemma 3.1.2 我們知道 [T ]_β ∼ [T]_β^′, 故得 det([T ]_β) = det([T ]_β′). 也就是說不管用哪一個 ordered basis, T 的 representative matrix 的 determinant 皆相同, 我們也因此定義這就是 T 的 determinant, 也就是說 det(T ) = det([T ]_β).

Lemma 3.1.2 反過來是對嗎? 有就是說若 A∼ [T]_β, 是否可找到 V 的一個 ordered basis β^′ 使得 A = [T ]_β′ 呢? 事實上, 若 P 是一個 invertible matrix 使得 A = P⁻¹· [T]_β· P, 則由 Proposition 2.4.7, 我們能找到 V 的一個 ordered basis β^′ 滿足 P =_β [id]_β′, 故由 Lemma 3.1.2 知

A = P⁻¹· [T]_β· P =_β [id]⁻¹_β′ · [T]_β·_β[id]_β′ = [T ]_β′. 因此我們有以下之結論.

Proposition 3.1.3. 假設 V 為 finite dimensional vector space, dim(V ) = n 且β 為 V 的一 個 ordered basis. 設 T : V→ V 為 linear operator 且 A ∈ Mn(F), 則 A∼ [T]_β 若且唯若存在 V 的一個 ordered basisβ^′ 使得 A = [T ]_β′.

3.1. Basic Concept 47

當我們要探討一個 linear operator 的性質時, 我們可以固定一個 ordered basis 將之轉 換成 square matrix 的問題, 而 Proposition 3.1.3 告訴我們這些性質應對於 similar matrices 應是不變的, 以後我們會看到許多例子和這事實相呼應. 我們先看一個簡單的情形.

Lemma 3.1.4. 假設 V 為 finite dimensional vector space,β 為 V 的一個 ordered basis 且 T : V → V 為 linear operator, 則下列是等價的:

(1) T 是一個 isomorphism.

(2) [T ]_β 是一個 invertible matrix.

(3) det(T )̸= 0.

Proof. 我們知 [T ]_β 是一個 invertible matrix 若且唯若 det([T ]_β)̸= 0, 所以僅要證 (1) ⇔ (2).

假設 dim(V ) = n, 由 T 是 isomorphism, 知 T^◦−1 存在且為 linear operator, 故由 [T^◦−1]_β· [T]_β = [id]_β= [T ]_β· [T^◦−1]_β 以及 [id]_β = I_n

知 [T ]_β 為 invertible. 反之, 若 A· [T]_β = I_n, 由 Φ : L (V) → Mn(F), 為 isomorphism, 知存 在 T^′: V → V 使得 Φ(T^′) = [T^′]_β= A. 故由 [T^′◦ T]_β = [T^′]_β· [T]_β = I_n 以及 Lemma 3.1.1 得 T^′◦ T = id, 同理由 [T]_β· [T^′]_β= I_n 得 T◦ T^′= id, 得證 T 為 isomorphism.  Question 3.1. 可否從 Lemma 3.1.4 知若 A∼ B 則 A 是 invertible 若且唯若 B 是 invertible.

由這裡我們可以看出求一個談論 linear operator 的性質離不開 determinant, 我們在這 裡複習一個求 determinant 的方法. 若 A∈ Mn(F), 令 a_ik∈ F 表示在 A 的 (i,k)-th entry (即 在 A 的 i-th row 及 k-th column 位置的元素), 且令 A_ik∈ Mn−1(F) 為將 A 的 i-th row 和 k-th column 刪除後所得的 (n− 1) × (n − 1) matrix. 我們可以用降階的方法求 det(A) 即對 i-th row 降階, 得

det(A) =

∑

(−1)^i+kaikdet(Aik), 也可對 j-th column 降階得

det(A) =

∑

(−1)^{k+ j}a_{k j}det(A_{k j}).

我們也可定義一個 n×n matrix 稱為 adjoint matrix of A, 用 adj(A) 來表示, 其定義為 adj(A) 的 (i, j)-th entry 為

adj(A)i j= (−1)^{i+ j}det(Aji).

利用此矩陣我們有以下的結果.

Lemma 3.1.5. 假設 A 為 n× n matrix, 令 adj(A) 為 A 的 adjoint matrix, 則 A· adj(A) = adj(A) · A = det(A)In.

48 3. Linear Operator

Proof. det(A)I_n 是一個 diagonal matrix, 即在對角線的位置是 det(A) 而其他非對角線位置 為 0. 先檢查 A· adj(A) 的 (i,i)-th entry, 依矩陣乘法定義此即

∑

aikadj(A)ki=

∑

(−1)^k+iaikdet(Aik) = det(A).

另一方面當 i̸= j, A · adj(A) 的 (i, j)-th entry, 依矩陣乘法定義為

∑

a_ikadj(A)_{k j}=

∑

(−1)^{k+ j}a_ikdet(A_jk).

若將矩陣 A 的 j-th row 用 i-th row 取代, 所得的矩陣用 A^′ 表示, 由於 A^′ 的 i-th row 和 j-th row 相同, 我們知 det(A^′) = 0. 然而利用 A^′ 的 ( j, k)-th entry a^′_jk 為 a_ik 以及 A^′_jk= A_jk, 對 A^′ 的 j-th row 降階, 我們有

0 = det(A^′) =

∑

(−1)^j+ka^′_jkdet(A^′_jk) =

∑

(−1)^j+ka_ikdet(A_jk), 故知當 i̸= j 時 A · adj(A) 的 (i, j)-th entry 為

∑

aikadj(A)k j=

∑

(−1)^{k+ j}aikdet(Ajk) = 0.

得證 A· adj(A) = det(A)In. 同理, 利用對 column 降階求 determinant, 可得 adj(A)· A =

det(A)In. 

Exercise 3.1. Let V be a finite dimensional vector space,L (V) be the vector space of F- linear operator and M_n(F) be the vector space of n× n matrices over F. For T1, T₂∈ L (V), define the “multiplication” of T1, T2 by T1◦ T2.

(1) Prove that under this multiplication and the original addition, L (V) is a ring.

(2) For an ordered basis β of V, let Φ : L (V) → Mn(F) be the linear transformation defined byΦ(T) = [T]_β. Prove thatΦ is a ring isomorphism.

———————————– 03 November, 2017