反應擴散偏微分方程簡介

(1)

反應擴散偏微分方程簡介

羅主斌

反應擴散方程 (Reaction Diffusion Partial Differential Equation) 是非常重要且應用廣泛的一類偏微分方程式, 它描述了生態學中物種數量的遷徙變化, 人體或動物等複雜的組織的發育形成過程, 人體的生理學中種種的現象以及許多有趣的化學反應。

(一)

首先我們藉著生態學的例子來導出此類方程的一般形式: 令 uj(x, t) 代表某一個空間區域 Ω ⊆

R

ⁿ 中的第 j 種物種在位置 x, 時刻 t 的數量的密度, 其中j = 1, . . . , N, 純量 Qj(x, t)代表第j物種在位置 x , 時刻 t 的單位區域的出生率減死亡率。向量−⇀

Jj (x, t) 代表第 j 物種在位置 x, 時刻 t 的單位區域的流動率 (flux density)。則在一個固定的區域 Ω 中, 第 j 物種數量的變化必導因於出生, 死亡的因素 Qj , 以及第 j 物種從 Ω 遷出或從 Ω 外遷入的因素 −⇀

Jj 的影響。寫成數學式子如下:

d dt

Z

Ωuj(x, t)dx (1)

=−

Z

∂Ω

−⇀

Jj (x, t)·−n⇀(x)dS(x) +

Z

ΩQj(x, t)dx

其中j = 1, . . . , N , 向量 −n⇀(x) 代表在 Ω 邊界上的某個位置 x 的向外單位法向量,

−⇀

Jj (x, t) ·−n⇀(x) 代表在邊界點 x 上每單位邊界區域 j 物種的流出率。

我們利用數學上所謂的 divergence theorem, 得到

Z

∂Ω

−⇀

Jj (x, t) ·−n⇀(x)dS(x)

=

Z

Ω n

X

i=1

∂Jji

∂xi

(x, t)dx, 其中−⇀

Jj ≡(Jj₁, Jj₂, . . . , Jjn) 因此 (1) 變成:

Z

Ω

∂

∂tuj(x, t)+

n

X

i=1

∂Jji

∂xi

(x, t) −Qj(x, t)

dx= 0 因為 Ω 是任意的, 所以有:

∂uj(x, t)

∂t +

n

X

i=1

∂Jji

∂xi

(x, t) − Qj(x, t) = 0 (2) 關於 flux density−⇀

Jj (x, t) 的形式, Fick’s Law 說,−⇀

Jj (x, t) 比例於數量梯度

∇uj(x, t) ≡ (∂uj

∂x₁,∂uj

∂x₂, . . . ∂uj

∂xn

)(x, t), 亦即:

−⇀

Jj (x, t) = −dj(x)∇uj(x, t), (3) 其中 j = 1, . . . , N, 且 dj(x) ≥ 0 稱為擴散係數 (diffusion coefficient)。

46

(2)

反應擴散偏微分方程簡介

⁴⁷

上式直觀上很容易理解, 因為物種的移動總是由擁擠的地方往數量少的地方移動。

將 (3) 代入 (2) 得到:

∂uj(x, t)

∂t =

n

X

i=1

∂

dj(x)^∂u_∂x^j

i(x, t)

∂xi

+Qj(x, t), (4) j= 1, . . . , N, x ∈Ω, t ≥ 0.

而一般來說, j 物種的出生或死亡除了自然原因外, 也有可能是因為其他物種的捕食或合作共生或同一物種數量增多後, 食物的缺乏所導致的。故 Qj 比較正確的說, 應為 x, t, u₁, u₂, . . . , uN 的函數才對。亦即 Q = Q(x, t, u1, u2, . . . , uN) 。因此所謂的反應擴散 (Reaction Diffusion) 方程即為:

∂uj

∂t (x, t) =

n

X

i=1

∂

dj(x)^∂u_∂x^j

i(x, t)

∂xi

+ Qj(x, t, u₁, u₂, . . . , uN) (5) 其中 j = 1, . . . , N, x ∈ Ω, t ≥ 0, 右邊第一項為擴散項 (diffusion term), 右邊第二項為反應項 (reaction term)。當 dj(x) 為常數時

n

X

i=1

∂

dj(x)^∂u_∂x^j

i(x, t)

∂xi

= dj

∂²uj

∂x²₁ + ∂²uj

∂x²₂ +· · ·+∂²uj

∂x²_n

!

≡dj∆uj(x, t)。

通常除了上述的方程式 (5) 之外, 還會給定適當的邊界條件, 例如在一個封閉的區域 (如海島) 時, 物種不會流進流出區域 Ω, 所以 _∂n^∂u ≡ ∇u · −n⇀ 在邊界為零。此條

件數學上稱為Neumann boundary condi- tion。當然在其他情況下, 還有其他的邊界條件。 Qj(x, t, u1, . . . , uN) 的具體形式會因為不同的問題或現象而不同。例如考慮如下的形式: N = 2,

Q₁= Q1(u1, u₂)

≡α₁u₁(b1−d₁₁u₁−d₁₂u₂) (6) Q₂= Q₂(u₁, u₂)

≡α2u2(b2−d21u1−d22u2) 其中係數 α1, α2, b1, b2, d11, d22 是正的常數。

而依係數 d₁₂ 與 d₂₁ 的情況, 可區分為下列三種:

•合作系統 (Cooperative system):

d₁₂<0, d₂₁ <0

•競爭系統 (Competitive system):

d₁₂>0, d₂₁ >0

•捕食-被捕食系統(predator-prey system):d12d21 <0

在 (6) 中 b1α1u1 與 b2α2u2 代表物種自然的出生減掉死亡的因素, −α₁d₁₁u²₁ 與 −α₂d₂₂u²₂ 代表物種各自因為數量的增加, 食物不夠等原因而導致的死亡。而

−α1d12u1u2, −α2d21u1u2 代表 2 個物種間的交互作用。在合作系統中一個物種增加, 另一個亦增加, 競爭系統相反, 而 predator- prey 系統中, prey 的數量增加, predator 就增加, 而 predator 增加, prey 數量就減少。

(二)

(3)

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數學傳播

²⁴

卷

³

期民

⁸⁹

年

⁹

月

在人類或動物的發育過程中, 如何由一個受精卵長成一個形態複雜的成熟個體呢?

這過程的指令或許在基因之中, 但基因中的指令如何被細胞來執行這仍然是個謎, 在人類基因草圖完成的今日, 這個課題是科學家下一個要面對的挑戰。但反應擴散方程的方法, 或許是個途徑, 這理論是由 A. Turing 在 1952 年提出的。之後 A. Gierer 與 H.

Meinhardt 寫下了具體的反應擴散方程:







∂u

∂t= d1∆u+ρ1

u² (1+ku²)v

−µ₁u+σ1

∂v

∂t = d2∆v+ρ2u²−µ₂v+σ2

(7)

其中

di, ρi, µi

皆為大於

0

的常數

, k, σi

是非負常數

,

∆u(x, t) ≡

n

X

i=1

∂²u

∂x²_i (x, t),

∆v(x, t) ≡

n

X

i=1

∂²v

∂x²_i(x, t)

。

(7)

中的

u, v

分別代表

2

種不同類型的化學物質

, activator

與

inhibitor

。

activator

有自我催化的作用

, v

有抑制

u

的作用。我們想藉

(7)

的例子來說明形態生成

(pattern forma-

tion)

的概念。一個圖案或

形態之所以能被我們辨識出來

,

乃是因為它跟周圍不一樣之故

,

有黑的顏色

,

我們才知道什麼是白

,

另外這圖案或形態能被我們觀察到

,

代表它是不會隨

時間而變化並且是穩定的

,

不會因為周圍環境稍微的變動

,

就使得這圖案消失了。而我們人體的細胞或動物的細胞的分化或許是因為諸如

(7)

中的化學物質

(

通稱為

morphogens)

濃度在各處分佈的不同

,

而在一處長成某器官

,

在另外一處長成另一種器官

,

這理論被稱為

morphogenesis

。因此我們在數學上感興趣的問題就是尋找

(7)

中不隨時間變化

,

穩定的非常數的解。用專用的術語講就是找

(7)

的

“stable and noncon- stant equilibrium solution” A. Turing

等人的想法是說在一個反應擴散方程之中

,

若一個解的擴散係數比另一個大很多

,

則會有上述我們希望的解存在。這想法很直觀

,

打個比喻

,

今有一大片的乾燥草原起火了

, u

代表起火的草原的數量或面積

,

若在這片草原周圍灑水並

令

v

代表水量的多寡

,

水

會擴散到這片著火的草原

區域

,

當然

,

著火的草原也

會一直擴散出去

,

並且隨

著著火面積的增加

,

溫度

上升的更高

,

因此著火草

原面積增加的速率又更快

(4)

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⁴⁹

了

,

此即為一種自我催化作用。此處的

v

有抑制

u

的作用

,

若

v

的擴散速率比

u

小

,

則火會一直漫延開來

,

最後整片草原都燒掉了

,

黑黑的一片看不到任何圖案

,

但若

v

的擴散速率比

u

大很多

,

則火就不會漫延開來

,

因此草原上形成一片綠

,

一片黑的圖案。以

上就是

Turing

等人所提出

的形成

pattern

的機制

,

稱為

“Turing instability”mechanism,

在數學上的嚴格論證是用所謂的分叉理論

(bifurcation the- ory)

來證明其存在的。分叉理論是一個很重要的數學工具

,

在一個諸如

(7)

的微分方程之中常會有一些參數

,

例如

d₁, d₂

。我們令此參數連續的變化

,

會發覺當到達一個臨界值之時

,

方程式的解會發生本質的變化。打個比方

,

將一片柔軟的鋼片在兩頭用力擠壓

,

本來在同一高度的扁平鋼片

,

隨著力道的增加

,

當到達某一關鍵值之時

,

鋼片會被我們擠得突然往上或下彎曲

,

因此鋼片的高度就不是常數了

(

常數高度

狀態不穩定

)

。用這套工具

,

確實的

,

當

(7)

中的

d₂

與

µ₂

比

d1, µ1

大很多時

,

會有

pattern

出現。附帶一提的

,

這分叉理論可用所謂的對稱破缺的框架來陳述

(Symme- try breaking),

如前所述一張白紙上任一點跟另外一點沒有什麼不同

,

故到處對稱

,

但若是在此張紙上畫一個圓

,

此圓上之任何一點對圓心來說仍是對稱的

,

故彼此沒有任何分別。但在圓外一點與圓上一點與圓心的距離就不同了

,

故不對稱了

,

就因為此對稱破缺的緣故

,

我們才得以辨識出此圓

pattern

。

目前市面上有一本科普讀物

[1]

就是以此觀點來探討

pattern formation

的。在附圖

1, 2, 3

中就是以

A. Turing

的精神發展出的各樣模型

,

經電腦模擬後所得的圖案

,

是不是與一些動物花紋很相像呢

?

附圖 1, 2, 3. 電腦模擬動物表面的花紋。來源: Greg Turk, Computer Graphics, Vol.

25, No. 4, July, 1991 (G. Turk ^同意刊登)

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