序論 1

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(1)

體力學是一門探討液體或氣體在靜止或運動時行為的學科,屬於廣泛應 用力學中之分支。此領域的力學包含一廣泛系列的問題,探討範圍可從 微血項項直徑僅幾微項項的血液流動,到橫越阿拉斯加州的長 800 哩、直徑 4 呎項路內原油的流動等分析。流體力學的原理可以用來解釋,為了有最佳的飛 行,飛機機身需有流線且光滑的外形;然而,高爾夫球表面作成粗糙表面項小 凹洞項則是為了提高其效能。很有可能在您身為工程師的事業中,必須充分了 解流體力學才能分析或設計一套系統。希望本書可提供您一些流體力學基本的 觀點,並為您建立良好的基礎。

我們必須探索的首要問題是─什麼是流體?或者我們可能會問─固體和流 體之間的差異是什麼?對於兩者間的差異我們會有一個普遍而不太明確的想

序論

Introduction

在流體移動層間的黏性剪應力及流體在一穴中造成在穴裡的旋轉運動(在油中顆粒;長時間曝光)(照片由 B. R. Munson 拍攝)

1.1 流觰的特性

Some Characteristics of Fluids

1

CHAPTER

(2)

法,即固體是硬而不容易變形,而流體是項而容易變形項我們可輕易地在項氣 中項動項。雖然這些文字已相當程度地描述了,但從科學或工程的觀點來項,對 固體與流體之間差異的觀察並沒有非常的完善。較明確的區別是基於物質受到 外力作用時變形的情況。流體項fluid項可定義為物質承受任意大小的剪應力作 用時產生連續的變形。每當切線力作用在表面上會產生剪應力項單位面項之 力項。當一般固體如鋼或其他金屬承受剪應力作時,開始時會產生變形項項常是 很小變形項項,但不會連續變形項流動項。但是一般流體如水、油和項氣符合流 體之定義,即它們承受一剪應力作用時會產生流動。有些物質如泥漿、瀝青、

布丁、牙膏等就很難歸類,因為作用剪應力不大時,這些物質產生反應如固體 般,但如果應力大於某極限值,這些物質將會流動。針對探討這些物質的研項 學科稱為流變學,它不在傳統流體力學的範項內。

雖然流體的分子結構在區別不同流體是十分重要。因涉及分子太多,若採 用研項個別分子間的行為,嘗試描述流體在靜止或運動時的行為是不可能。因 而,描述流體行為所用之物理項是一平均或巨觀值,是在一小容項內將大項分 子的性質取其平均值。

因此,假設所有流體的特性項壓力、項度等等項在流體內為連續地變化,

即將視流體為一連體。本書連體概念適用在所有考慮狀況。

研項流體力學將處理許多流體特性,因此必須發展一套系統,將這些特性 作定項與定性地描述。定性方面提供確項特性項如長度、時間、重力及項度項 的本質與類型。而定項方面,則提供特性的數據項測,定項的描述需要數字及 標準,藉以比較各種數據值。長度的標準可能是公尺或項呎,時間為小時或 秒,質項為斯勒克或公斤。這些標準稱為單位項unit項,在下面段項,會描述常 用的幾個單位系統。定性描述一般採用一些確定的基本項,如長度項L項、時間 項T項、質項項M項及溫度項項。這些基本項便可用以定性描述任何其他次要 項,例如,面項 L2,項度 LT1,密度 ML3等等, 符號是代表次要項 的因次以主要項表項,因此要定性地描述項度 V 可寫成

意即「項度的因次等於長度項以時間」,基本項也可稱為基本因次項basic dimensions項。

1.2 因次、因次均一性及單位

Dimensions, Dimensional Homogeneity, and Units

(3)

1.2 因次、因次均一性及單位 3

涉及流體力學的廣泛問題中,只需三個基本因次 L、T 和 M,另外 L、T 和 F 也可使用,F 代表力的基本因次。因牛頓定律敘述作用力等於質項乘以加項 度,故 F  MLT2 或 M  FL1T2 。因此,次要項以 M 表達可用上式以 F 取 代。例如,應力  是單位面項之力,所以   FL2,但等值的因次方程式為

 ML1T2,表 1.1 提供一系列常用物理項的因次。

表 1 .1 常用物理量因次

(4)

所有理論推導的方程式項是因次均一項dimensionally homogeneous項,意即 方程式等式左右兩端有相同因次,而且所有相加各項要有相同的因次。描述物 理現項的所有方程式必須是因次均一,例如一等加項運動的物體之項度方程式 為

方程式中,V0是初始項度,a 為加項度,t 為時間。以因次表項方程式為

因此,1.1 式是因次均一。

一些成立的方程式具有因次的常數。一個自由項體行經距項之方程式可寫 成

檢測其因次發現,若方程式要滿項因次均一,此常數的因次必須是 LT2,事實 上 1.2 式是物理學中自由項體著名方程式的特殊形式

方程式中,g 為重力加項度。1.3 式是因次均一且在任一單位系統項成立。當 g

 32.2 fts2時 1.3 式可項化成 1.2 式,因此 1.2 式僅在採用項呎和秒的單位系統 才成立。若方程式侷限在特定之單位系統,則稱為限制的均一方程式。相反 地,方程式在任一單位系統均成立,則稱為項用均一方程式。因此,觀念也是 形成因次分析強有力的工具之基礎,其將在項 7 章有更詳項項明。

項1.1項

項1.2項

項1.3項

E

XAMPLE 例盒 1.1

流體從一桶側邊的小孔流出,其體項流率 Q 可用下列方程式表項

方程式中,A 為孔口的斷面項,g 為重力加項度,h 為小孔中心到流體表面高度。檢 查此方程式的因次均一性。

盒答

方程式各項之因次為

Q 體項項時間  L3T1 A  面項  L2

g  重力加項度  LT2 h  高度  L

(5)

1.2 因次、因次均一性及單位 5

1.2.1 單位系統

在各種考慮的物理項中,項了定性描述之外,任何給予的數項項常必須具 有一定項的項測。例如,測項本書此頁的寬度為 10 單位寬,此項明便無意義,

項非長度單位是已知。如果長度單位是公尺,而且公尺是從一些標準長度定 出,則一單位系統中長度單位就項建立項頁寬就是數字值項,項了長度外,對於 剩下基本項項力、質項、時間和溫度項每一個也項必須建立其單位。在使用中 的許多單位系統裡,以下是在工程上常用的兩個系統。

英國重力(BG)系統。在 BG 系統中,長度單位為項呎、時間為秒、力為 磅、溫度是華氏或絕對溫度單位朗項,其中

質項單位為斯勒克,從牛頓項二定律項力 質項  加項度項可得

此關係式表項一磅的力作用在一斯勒克質項的物體將產生的加項度為 1 fts2。 這些項目,代入方程式可得因次形式為

結果清楚項項方程式是因次均一項公式兩邊有相同因次 L3T1項,而數字項0.61 和 項 是無因次項。

如果重項使用此關係式,以標準值 32 . 2 fts2取代 g 項,可項化而改寫公式為

快項檢查其因次發現

因此 1 式中數字 4.90 應有 L12T1的因次才能達到因次地正確。只要在方程式或公式 中出現的數字具有因次,即代表此數字大小將依所採用的單位系統而定。因此,本例 採項呎和秒為單位,數字 4.90 具有 ft12s 的因次。在 1 式中,當 A 為平方項呎,h 為 項呎,可求出正確之 Q 值項單位 ft3s項,因此其為一限制均一方程式,而原先方程式 是一項用均一方式,適用於任何一項的單位系統。對一方程式各項作快項的因次檢查 是很好的練習,也將有益於項錯,意即如前述,所有物理上有意義的方程式項要滿項 因次均一。在本例,項略地提及單位,在下一段項,將更詳項項明這個重要主題。

項1項

(6)

質項為 m 的物質,其重項項因重力而產生作用力項表項成為

在 BG 系統

因為地球標準重力值為 g  32.174 fts2項一般取其值為 32.2 fts2項,所以在此標 準重力下,質項為 1 斯勒克的物體,其重為 32.2 lb 。

國際系統(SI)。1960 年,項 7 屆重項與項測會項項為一維持項測的項確 與一項性的標準專責國際組項項正式採用國際單位系統為國際標準。此系統,

項稱 SI,已在全世界廣泛地受採用,在項國也廣泛使用項雖然不是全面性項。

從長期趨勢而言,所有國家將採項 SI 為可接受標準。所以工程科系的學生有必 要熟悉此系統。在SI系統,長度單位為公尺項m項、時間為秒項s項、質項為公斤 項kg項、溫度為克爾文項K項。注意克爾文表項溫度單位時沒有度項項的符號。克

爾文是一絕對指標,與攝氏指標項℃項之關係為

雖然攝氏指標不是 SI 系統的一部份,但使用 SI 系統時,常以攝氏度表項溫度 值

力的單位稱為牛頓項N項,由牛頓項二定律可得

因此,1 牛頓的力作用在質項為 1 公斤物體時,將產生加項度為 1 ms2。在 SI 系統標準重力為 9.807 ms2項一般取其值為 9.81 ms2項,所以一公斤的物體為 9.81 牛頓。注意重項和質項在定性與定項上均不同。SI 系統功的單位為焦項 項J項,此值為 1 牛頓的力作用下沿力方向項動 1 公尺距項的物理項。即

功率的單位為瓦項W項,定義為每秒完成 1 焦項的功,即

在 SI 系統中,經常出現形成乘冪或分數之字首。例如,符號 kN 讀成千牛 頓,代表 103N。同理,mm 讀成毫項,代表 103m。在 SI 系統中,公分很少項 表 1 .2 由 BG 單位轉換成 SI 單位之換算因子

見本書封底

表 1 .3 由 SI 單位轉換成 BG 單位之換算因子 見本書封底

(7)

1.4 流體質量與礝量的測量 7

採用為長度單位,大多數流體力學的問題中,長度常表項成毫項或公尺。

本書將同時採用 BG 系統和 SI 系統。本書內的習題與例題採用 BG 系統和 SI 系統各佔一半。表 1.2 與 1.3 提供在流體力學常出現的物理項的換項因子,

這些表格在本書封底內。這二個表格項如其他表格項中數字以計項機指數符號 來表項。例如,數字 5.154E  2 是等於 5.154  102,數字 2.832E  2 等於 2.832  102,眾多的單位系統間,許多換項因子延伸表格可參閱附錄 A。

流體力學研項涉及在物理學和其他力學課程常出現的相同基本定律,這些 定律包括牛頓運動定律、質項守恆和熱力學項一、二定律。因此大項處理流體 力學問題和處理剛體力學與可變形固體力學問題有極大的相似性。

流體力學內,其廣泛主題大項可分成流體靜止狀態的流體靜力學與流體流 動狀態的流體動力學。後面的章項中,將會對此二領域作更詳項探討,然而在 此之前必須針對與流體行為息息相關的特定流體性質加以定義與討論,在接下 來的小項,將針對幾個在分析流體行為扮演重要角項的性質作項明。

1.4.1 密度

流體的密度項Density項定義為單位體項的質項,以希臘字母  表項。密度 是典型地表明一流體系統質項的特徵。在 BG 系統, 的單位為 slugsft3,在 SI 系統為 kgm3

不同流體的密度值有很大的差異,但對於液體而言,壓力與溫度的改變對 密度僅有很小影響。圖 1.1 項項出在較大溫度變化範圍內,水的密度改變很 小。表 1.4 和 1.5 列出幾個常用液體的密度值,水在 60℉ 下密度為 1.94 slugsft3或 999 kgm3。二值大小之差異很大,項項注意單位的重要性。氣體不 像液體,其密度受到壓力與溫度的影響甚項,這個差異將在下項討論。

比容項 項是單位質項的體項,因此為密度的倒數,即

1.3 流觰行為分析

Analysis of Fluid Behavior

1.4 流觰質蟀訢裀蟀的測蟀

Measures of Fluid Mass and Weight

項1.4項

(8)

此性質在流體力學不常用,但在熱力學卻常出現。

1.4.2 比裀蟀

流體比重量項specific weight項之定義為單位體項的重項,以希臘字母 表 項。因此透項公式,比重項與密度關係為

方程式中 g 為當地的重力加項度。如同密度用以描述流體系統的質項特徵,比 重項用以描述此系統重項特徵。在 BG 系統, 單位為 1bft3,在 SI 系統為 Nm3。在標準重力項g  32.174 fts2 9.807 ms2項下,水在 60℉ 的比重項為 62.4 lbft3或 9.80 kNm3。表 1.4 與 1.5 列出一些常見液體的比重項值項在標準 重力下項。水的更完整表格參閱附錄 B項表 B.1 和 B.2項。

1.4.3 比裀

流體的比重項specific gravity項是流體密度與某特定溫度水的密度之比值,

以 SG 表項。項常特定溫度定為 4℃項39.2℉項,此溫度下水密度為 1.94 slugsft3 或 1000 kgm3,以方程式形式表項比重,則

因為它是密度的比值,故 SG 與採用單位系統無關。例如 20℃ 水項之比重為

圖 1.1 水的密 度 為 溫 度 的 函

項1.5項

項1.6項

表 1 .4 一些常見液體的物理性質之近似值(BG 單位)

見封面內頁

表 1 .5 一些常見液體的物理性質之近似值(SI 單位)

見封面內頁

(9)

1.5 理想氣體定律 9

13.55 ,透項 1.6 式中計項水項在 BG 系統或 SI 系統下之密度值為

水銀 13.551.94 slugsft3  26.3 slugsft3

水銀 13.551000 kgm3  13.6  103kgm3

因此密度、比重項與比重彼此有關聯,三者之中知項其中之一的值,就可 求出另外二者。

與液體比較下,氣體是有較高的壓項性,氣體密度的改變透項方程式得知 是與壓力和溫度的改變有關。

方程式中,p 為絕對壓力、 為密度、T 為絕對溫度1、R 是氣體常數。1.7 式項 常稱為完項或理想氣體定律項ideal gas law項或理想氣體狀態方程式。當氣體不 接近液化狀態,而在正常條件下,真實氣體行為可用此方程式描述。

在靜止狀態下,流體的壓力之定義為浸沒在流體內作用在平面項真實的或 虛擬的項上單位面項的正向力,是流體分子在表面上的撞擊項。由定義可知壓 力的因次為 FL2,在 BG 系統單位為 1bft2項psf項或 1bin.2項psi項,而在 SI 系 統單位為 Nm2。在 SI 系統,1 Nm2為一巴斯噶,項寫為 Pa,為壓力常用之單 位。在理想氣體定律中,壓力必須為絕對壓力項absolute pressure項,此值是相對 於絕對項壓力項完全真項時之壓力項。標準海平面之大氣壓力項國際之項定項為 14.696 psi項絕對項或 101.33 kPa項絕對項。對大多計項這些壓力值分別取近似值 為 14.7 psi 及 101 kPa 。在工程上,壓力項測經常相對於當地的大氣壓力。以此 方式項測之壓力稱為錶壓力項gage pressure項。因此,絕對壓力是等於項壓力加 上大氣壓力值,例如,項壓為 30 psi項項項,在標準大氣壓力下,等於 44.7 psi 項絕對項。壓力是一個特別重要的流體特性,在下一章將更進一步項明。

1.5 理想氣觰定律

Ideal Gas Law

項1.7項

表 1 .6 在標準大氣壓力下,一些常見氣體物理性質之近似值(BG單位)

見封面內頁

表 1 .7 在標準大氣壓力下,一些常見氣體物理性質之近似值(SI單位)

見封面內頁

1雖然 T 在基本因次也用以代表時間,但為與熱力學有關係,我們將使用 T 代表溫度。

(10)

在 1.7 式中氣體常數 R,端視氣體種類及其分子項而定。表 1.6 及 1.7 列出 一些常用的氣體常數值,同時表中也列出在標準大氣壓力、重力及特定溫度下 之氣體密度與比重項。有關項氣在標準大氣下更完整表格參閱附錄 B項表 B.3 和 B.4項。

E

XAMPLE 例盒 1.2

一壓項項氣的容器,體項 0.84 ft3,當容器充滿項氣之項壓力為 50 psi,即決定容 器內項氣的密度及重項。假設項氣之溫度為 70℉,大氣壓力為 14.7 psi項絕對項。

盒答

從理想氣體公式項1.7 式項,項氣密度可寫成

注意壓力和溫度兩者均化成絕對值。

項氣之重項 等於

因為 1 lb  1 slug項fts2

項Ans項

項Ans項

1.6 蠰度

Viscosity

密度和比重項性質是度項一流體之「重」程度。而此兩性質並不能完全單 獨區分流體行為。因為兩種流體項如水和油項可能有接近的密度值,但流動時 其行為就有相當的差異。要描述流體的流動性很明項的需要另外的性質。

為決定此項外的性質,考慮圖 1.2 中情況,在兩個非常寬的平行平板間有 一流體,下面平板項固定不動,但上面平面可自由項動。

項體項項

(11)

1.6 黏度 11

當力 P 作用在上平板,而產生一連續不斷的項動,其項度為 U,如圖 1.2 所項項此行為與流體的定義是一項的項。意即流體若受一剪壓力作用會連續的產 生變形。進一步檢視介於兩平板間的流體運動,將發現與上平板接項之流體項 度為平板項動項度 U,而與下固定平板接項之流動項度為項。而二平板間流體 之項度 u  uy 呈線性變化,u  Uyb,如圖 1.2 所項。因此,在介於二平板 間流體流動會產生一項度梯度。在此特例中項度梯度為一常數。因 dudy  Ub,然而在較複雜的流動狀況下不一定如此。從實項中可觀察到流體「項著」

固體邊界,此條件稱為無滑動條件項no-slip condition項,對流體力學是很重要。

一般所有流體包括液體和氣體之流動項要滿項此條件。

在一小段的時間改變 t,在流體項見圖 1.2項中虛擬垂直線 AB 旋項一角度 ,所以

a  U t,上式可寫成

注意此例中, 不僅是力 P項影響 U 值項也是時間函數。考慮 的變化率並 定義剪應變率 為

項間之改變項為

由此實項中可發現當剪應力 項著 P 增加項因  PA項,則剪應變率亦成正比 增加,即

圖 1.2 介於兩平行板間的流體行為。

(12)

此結論項項對於一般流體如水、油、汽油和項氣,剪應力與剪應變率項項度梯 度項有下列關係式

方程式中比例常數為希臘字母  稱為絕對黏度項absolute viscosity項、動力項度 或項稱流體項度,依 1.8 式剪應力 對 dudy 的曲線應為線性,其斜率等於項 度,如圖 1.3 所項,項度值依流體種類而定。而特定流體之項度值也深受溫度 影響,如圖 1.3 所項中,水在不同溫度形成兩條不同直線,流體的剪應力與剪 應變率項亦稱角變形率項成線性關係時,此流體稱為牛頓流體項Newtonian fluids項,幸運的是大部份一般流體包含液體與氣體項是牛頓流體。應用在較複 雜的牛頓流體流動, 1.8 式的另一較項用的公式將在 6.8.1 項中討論。

流體之剪應力與剪應變率不成線性關係時,稱此流體為非牛頓流體,此類 流體行為不在本書中探討範項之內,本書考慮的流體是牛頓流體。

1.8 式可推導出項度之因次為 F TL2。所以在 BG 系統中,項度單位為 1b項sft2。在 SI 系統為 N項sm2。表 1.4 項 1.7 列出許多一般液體和氣體項度 值。從這些表格可易見流體的項度有很大的變化。壓力對項度的影響很輕微,

故常忽略不計,但是如前面所提的項度極易受溫度影響,如附錄 B項圖 B.1 和 B.2 項所項。

在許多流體流動的分析項程中,項度與密度結合在一項的形成式十分常 見,這比值為

項1.8項

圖 1.3 一般流體之剪應力與剪應變 率成線性變化。

(13)

1.6 黏度 13

這比值稱為運動黏度項kinematic viscosity項,以希臘字母  表項,運動項度的因 次為 L2T,在 BG 系統單位為 ft2s,在 SI 系統為 m2s。表 1.4 到 1.7 列出一般 液體與氣體之運動項度值。對於水和項氣之動力與運動項度值更詳項表格參閱 附錄 B項表 B.1 到 B.4項。附錄 B項圖 B.1 和 B.2項也提供了不同流體之動力與運 動項度項溫度變化的曲線圖。

雖然本書主要採用 BG 和 SI 系統,但動力項度有時會以公制 CGS 項公分 項公克項秒項系統來表項,而其單位為 dyne

.

scm2。此單位的組合稱為 1 泊 項a poise項,項為 P。而運動項度在 CGS 系統之單位為 cm2s,此組合單位則稱

為 1 史托克項stoke項,項為 St。

E

XAMPLE 例盒 1.3

研項項性流體流經項子時一重要的無因次參數,稱雷項數項Reynolds number;

Re項,

其定義為 VD,式中  為流體密度,V 為平均流體項度,D 為項徑, 為流體項 度。一牛頓流體項度為 0.38 N項sm2,比重為 0.91,以項度 2.6 ms 流經一直徑為 25 mm 項子,採用a SI 單位 b BG 單位,求雷項數大小。

盒答

a 流體密度可用比重來計項

從雷項數定義

因 1 N  1kg項ms2,所以雷項數是一無因次參數,即

任何無因次項的值與採用的單位系統無關,只要無因次項中的每個變項單位均有 一項性即可。為了項實此點,將以 BG 單位計項雷項數。

b 利用表 1.3 的換項因子,將雷項數定義中的每個變項由 SI 值換項成 BG 值,因此 項Ans項

(14)

故雷項數大小為

因 1 lb  1 slug項fts2。a 部份和 b 部份的值正如項期是相同的。無因次項在流 體力學中有極重要的地位,項 7 章將針對雷數的重要性及其他重要的無因次組合 再詳項地討論。注意在雷項數中  的比值是極為重要,此性質即是我們所定義 項Ans項

E

XAMPLE 例盒 1.4

在兩塊寬廣且平行的平板間有一牛頓流體流動項見圖 E 1.4項,流體項度分布為

方程式中 V 為平均項度,流體項度為 0.04 lb項sft2,當 V  2 fts,h  0.2 in.。決定

a 作用在底板面之剪應力 b 平行板而項項中線項中間面項的平面上之剪應力。

盒答

針對這類型平行流動剪應力可由 1.8 式求出

若項度分布 u  uy 是已知;藉由計項項度梯度 dudy,即可求出所有點上之剪應 力。由項度分布可求出

a 沿著底面 y  h,所以項從 2 式項

因此剪應力

圖 E 1.4

項1項

項2項

(15)

1.7 流體的壓縮性 15

1.7.1 容積模數

在考慮某一特定流體的行為時,要回答一重要問題是當壓力產生改變時,

一定質項的流體之體項項其密度項是如何輕易受到改變。意即流體是如何項壓 項?用以描項流體壓項性特徵的常用性質為容積模數項bulk modulus;E 項,定 義為

方程式中,dp 是要使原體項 V 產生微小體項改變項 dV 所需之微小壓差。因為 壓力增加將造成體項減少,故加上負號而確保 E 永遠為一正值。因為在一定質 項 m V 下,體項的減少將導項密度的增加,1.9 式亦可表項成

容項模數項亦稱為容項彈性模數項之因次與壓力 FL2 相同,在 BG 單位 E 項 常表項為 1bin.2項psi項,在 SI 單位為 Nm2項Pa項。具較大的容項模數值流體代 表相對地不可壓項,意即使容項產生一小變化項需要很大的壓力改變。如項期 一般液體的 E 值項很大項見表 1.4 和 1.5 項

對大多數實際的工程應用上因為液體容項改變需要極大的壓力,我們可將 此應力在平面上產生一項力,因為項度為對稱分布,沿著上平面的剪應力也有相同的 大小與方向。b 沿著中間面上 y  0,從 2 式得

因此,剪應力

τ中間面 0

從 2 式可項出項度梯度項對應之剪應力項與高度 y 成線性變化。在本例中剪應力 由中線的項值變到底面的 14.4 lbft2。對於更普遍的例子,剪應力之變化當然視項度 分布情形而定。

項Ans項

1.7 流觰的壓衿性

Compressibility of Fluids

項1.9項

項1.10項 τ底面

項在流動方向項

(16)

液體視為不可壓項。當液體受壓時,其容項模數將增加,但一般較在意的容項 模數是接近大氣壓力的值。雖然氣體也可決定容項模數,但處理液體時,使用 容項模數作為性質來描述其可壓項性是最普遍的。

1.7.2 氣觰的壓衿訢膨脹

當氣體項壓項項或膨項項時,壓力與密度的關係式將由項程特質來決定。

如果在定溫狀態下,進行壓項或膨項項等溫項程項則從 1.7 式可得

如果壓項或膨項項程為無摩擦且與外界無熱交換項等熵項程項,則

方程式中 k 是等壓比熱 cp與等容比熱 c 之比值,項即 k  cpc 項。這兩個比熱 與項氣常數 R 是有關連的,其關係式為 R  cp  c 。在理想氣體定律下,在 1.11 式和 1.12 式中的壓力必須為絕對壓力。在表 1.6 與 1.7 列出一般常用氣體 之 k 值。在附錄 B 項表 B.3 與 B.4 項列出項氣在一溫度範圍內 k 值變化。項而 易見,當處理氣體時,必須特別注意可壓項性對液體行為之影響。但是如往後 3.8 項提及如果壓力改變很小時,氣體經常可視為不可壓項流體。

項1.11項

項1.12項

E

XAMPLE 例盒 1.5

體項為 1.0 ft3 的氦氣,絕對壓力為 14.7 psi。若等熵地項壓項項 時,壓力為 何?

盒答

對等熵壓項

方程式中下標 i 與 f 分別代表最初與最後狀態。我們要求 pf,則

當體項減少一半,密度必然增加一倍,主要是因氣體的質項保持定質,因此

項Ans項 常數

常數

項abs項

(17)

1.7 流體的壓縮性 17

1.7.3 音速

流體的壓項性的另一重要影響,當流體內一定點上產生一擾動後,此擾動 以有限項度行進。當流體在項內流動時,在出口處之閥門突然關項項因而產生 一局部擾動,此閥門關項效應沒有立刻反應到上游。必須經項一有限時間才會 使壓力增加效應傳播項上游位置。同樣地,當擴大器薄膜振動時造成局部的擾 動,因薄膜運動而產生之壓力改變,將在項氣中以有限項度傳播,這些小擾動 傳播項度稱為項項或音速項speed of sound;c項。可項項實在流體介質中音項是 與壓力改變及介質密度改變有關,其公式為

或以 1.10 式定義之容項模數表項成

因攪動項很小,故熱傳項效應忽略而假設此項程為等熵項程,所以在 1.13 式中 壓力項密度關係式是針對一等熵項程。

氣體進行一等熵項程,E  kp,故

再利用理想氣體定律,可得

所以理想氣體的音項是與絕對溫度的平方根成正比。項氣在不同溫度下之音項 值可參閱附錄 B項表 B.3 和 B.4 項。1.14 式對液體也適用,液體之 E 值可用以 計項液體內音項值。在水中的音項值遠大於在項氣中音項值。如果假設流體真 為不可壓項項E  ∞項其音項值為無限大。水在不同溫度下之音項值可見附錄 B項表 B.1 和 B.2 項

項1.13項

項1.14項

項1.15項

E

XAMPLE 例盒 1.6

噴射機在高度為 35,000 ft 高項以 550 mph 項率飛行。此高度之溫度為 項66℉。

求在此高度下飛機 V 與音項 c 之比值,假設 k  1.40。

盒答

從 1.15 式中可計項音項項

(18)

一般觀察得知,當水和汽油等流體置於容器內,而容器有開口與大氣接 項,會有蒸發現項。蒸發現項是由於在液體表面之分子有項夠的動項克服分子 間的內聚力,因而跳脫到項氣中。如果裝液體容器為密項且液面上方只留下很 小項氣項間,並把項間項氣抽出形成真項,由於液面跳脫的分子形成蒸汽而使 此項間的壓力漸增。當到達平項狀態時,即脫項液面之分子數和重回液面的分 子數相等,在此情況下之蒸汽稱為項和狀態,而在液面上蒸汽之壓力稱為項和 蒸汽壓力項vapor pressure;pυ項。

由於蒸汽壓力的形成與分子的活動性有項密關係,所以特定液體的蒸汽壓 力值將受溫度影響項巨。水在不同溫度下之蒸汽壓力值可在附錄 B項表 B.1 和 B.2 項找到。同時,表 1.4 和 1.5 為一般液體在常溫下之蒸氣壓力值。沸項始於 流體內之絕對壓力到達蒸汽壓力,而在流體質項內形成蒸汽氣泡。

我們對蒸氣壓力與沸項感興趣的主要原因是,經常在流體流動時,觀察到 因流體運動而形成非常低的壓力值。當壓力低於流體之蒸汽壓力時,則發生沸 項現項。此現項有可能發生在流體流經閥門或泵的不規則狹項流項。當蒸汽氣 泡在流動流體內形成,會項流體流項較高壓的區域;此高壓值將使氣泡項間項 裂,而造成項夠大的強度以項對結構造成實質的項壞。在流體流動時,有蒸汽 氣泡的形成及項之的氣泡項裂產生極大壓力現項稱為項化,為重要的流體流動 因飛機項率

其比值為

此比值稱為馬項數項Mach number項,項為 Ma,如果 Ma  1.0,此飛機以次音項飛 行,若 Ma  1.0 則為項音項飛行。在研項氣體作高項流動中,馬項數扮演一重要無 因次的參數,在項 7 章和項 9 章會更進一步討論。

項Ans項

1.8 蒸汽壓力

Vapor Pressure

液體

液體 蒸汽,pυ

(19)

1.9 表面張力 19

現項之一,我們將於項 3 章和項 7 章做詳項討論。

在液體和氣體間的界面或是在兩個不相容的液體界面,在液面上將產生作 用力而造成液面的行為似為一「表項」或「薄膜」展伸整個流體,雖然此表項 實際上是不存在,這觀念上的比擬,項我們可解釋一些常觀察到的現項。例 如,輕輕地把鋼針放置水面上,則會浮在水面上,因為在假想表項之張力會支 持此針。在平滑表面小水項滴會形成球形,其主因是在表面的內聚力有將所有 水項分子聚成一密集形狀之趨勢,同樣地,水項在新打臘表面上會形成分項的 小水滴。

這些不同形式的表面現項是因為作用在流體表面分子的內聚力不平項所 項。在流體內部的分子是項其他分子所包圍而彼此之間吸引力相等,然而,沿 著表面上之分子就受限而有一向內的淨力產生。沿表面產生不平項力的明項物 理結果用以建立一假設的表項或薄膜。在表面的平面上,張力是沿平面上的任 一線。在表面上沿任一線段單位長度分子吸引力的強度稱為表面張力項surface tension項,項為希臘字母 ,表面張力是液體的性質之一,其值大小視溫度與在 界面接項的流體種類而定。表面張力的因次為 FL1,在 BG 單位為 1bft ,在 SI 單位為 Nm。表 1.4 和 1.5 為一些常用液體項與項氣接項項的表面張力值。

附錄 B 項表 B.1 和 B.2 項列出水在不同溫度下之表面張力值。當溫度上升表面 張力值減少。

與表面張力相關的常見現項之一是毛項項中流體的上升項或下項項。把一開 口的小項插入水中,如圖 1.4 a 所項,則項內水位上升而高於項外水位。在此情 況,存在一液體項氣體項固體界面。本例中項壁與液體分子間有吸引力項內聚 力項而使分子沿項壁向上項動。因此,此流體把固體表面弄濕。

流體上升高度 h 是由表面張力 ,項子半徑 R,液體比重項 和流體與項 子之接項角 決定。從圖 1.4 b 的自由體圖,可見在平項下,表面張力所造成垂 直分項 2R cos  等於液柱重項 R2h,因此

所以,上升高度由下列關係式得出

接項角視液體種類和表面條件而定。水與乾淨玻璃表面接項時,  0,項然

1.9 觤褉張力

Surface Tension

項1.16項

(20)

從 1.16 式可知高度值與項子半徑成反比。因此,當項子半徑減小時,由毛項現 項產生的液體上升就愈項著。

當液體分子與固體表面間之附著力小於液體分子間之內聚力,則液體不會 濕附項壁。對不濕潤性液體項中液位是下項,如圖 1.4 c 所項。水項若與玻璃項 接項則水項是一不濕潤液體。而不濕潤液體接項角大於 90,水項與乾淨玻璃其 接項角  130。

圖 1.4 毛細現象作用 在小管子之效應a 液 體濕潤管壁而上升液柱

b 計算液柱高柱之自由 體圖c 不能濕潤液體 所形成下降液柱。

a b c

2R



h

 rR2h

2R

h

E

XAMPLE 例盒 1.7

利用測項直項中液柱的高度可決定壓力值。20℃ 的水在項中因毛項項作用項與項 中壓力相反項上升少於 1.0 mm,則乾淨玻璃項之直徑應為若干?

盒答

從 1.16 式

所以

水在 20℃項從表 B.2 項  0.0728 Nm 和  9.789 kNm3。因為  0,要求 h  1.0 mm,則

故所需之最少項徑 D 為

項Ans項

(21)

1.10 章節鸀結與學習指南 21

表面張力效應在許多力學問題中扮演重要角項,例如液體在土壤或多孔性 介質中流動,薄膜流動、液滴或氣泡的形成和液體噴流之分散等。因液體項氣 體,液體項液體,液體項氣體項固體界面相關的表面現項涉及太複雜,對於它 們更詳項完整的討論不在本書的範圍。幸運的是,在許多流體力學問題中,當 慣性力、重力以及項性力是主要的支項項時,由表面張力引項之表面現項,就 項得不重要。

本章討論一些流體力學的基礎觀點,對定項與定性地描述流體特性方法也 已涵項;對定項的描述,必須有單位,而本書採用兩種單位系統項項國重力 項BG項系統項磅、斯勒克、項呎和秒項與國際項SI項系統項牛頓、公斤、公尺 和秒項;對定性的描述則介項因次的觀念,以一些基本因次,如長度 L、時間 T 和質項 M 用以提供對各種有興趣之物理項的描述。使用因次來檢查方程式的 概括表述是有幫助,並且作為將在項 7 章詳項討論因次分析的基礎。

定義各種重要的流體性質,包括項流體密度、比重項、比重、項度、容項 模數、音項、蒸汽壓力和表面張力。介項理想氣體定律並找出常見氣體之壓 力、溫度和密度之關係式,也項扼討論氣體的壓項與膨項。介項絕對壓力與項 壓力的差異,此重要觀念將在項 2 章更廣泛探索。

下列核對清單提供本章之學習指南,當你完成整章內容及章末習題將能項 1. 寫出在左側邊欄所列出的名詞之意義,並了解每個相關觀念,這些名詞非常

重要而在本書中以粗體字型項明。

2. 決定常見物理項之因次。

3. 決定一方程式是否為項用或限制均勻方程式。

4. 使用 BG 和 SI 單位系統。

5. 計項流體的密度、比重項或比重,只要三者中已知其中兩個值大小。

6. 使用 1.11 和 1.12 式,找出一流體受壓項或膨項時壓力和密度之關係。

7. 使用項度觀念計項項單流體流動時之剪應力。

8. 使用 1.14 式針對液體及使用 1.15 式針對氣體,以其計項在流體內之音項。

9. 使用蒸汽壓力觀念解釋在一液體中是否發生沸項或項化現項。

10. 使用表面張力觀念解出涉及液體項氣體,或液體項固體項氣體界面的項單問 題。

1.10 總結訢學習指南

Chapter Summary and Study Guide

流體 單位 基本因次 因次均一 密度 比礝量 比礝 理想氣體定律 絕對壓力 錶壓力 無滑動條件 絕對黏度 牛頓流體 運動黏度 容積模數 音霧 蒸氣壓力 表面張力

(22)

■ 盒盒

註黍 除非在題目敘述中有給予流體性質的大小,

否則可在封面內表格查出。有註明(*)的 題目是以方程式計算機或電腦協助來解決。

有( )符號之題目是「開放式」的題目,

必須特別思考並作各種假設和提供必要數據 才能進行,這類型題目沒有唯一的答案。

1.1 如果 p 為壓力、V 為項度、 為流體密度,

下列之因次項以 MLT 系統表項項a p b

pV 和 c pV2

1.2 項明下列在表 1.11 出現的物理項之因次,以 FLT 系統及 MLT 系統表項a 加項度 b 應 力c 力項 d 體項 e 功。

1.3 如果 P 為力,x 為長度,下列以因次項以 FLT 系統表項項a dPdx,b d3Pdx3,c

P dx?

1.4 在流體力學中,無因次的物理項之組合項項 常稱為無用次參數項是扮演一重要角項,在 表 1.1 中取出一些物理項組成五個可能的無 因次參數。

1.5 估項一水壩的洩洪項上的流動體項流率 Q 之 公式為

方程式中,C 為常數,g 為重力加項度,B 為洩洪項寬度,H 為在洩洪項上的水深,V 為水壩上流水的項度,以任一單位系統此方 程式是否成立?試解釋之。

1.6 一動脈中某部份項塞項狹項症項段兩端壓 差,p,可以下列方程式表項

方 程 式 中 V 為 血 液 項 度 , 為血液項度 項FL2T項 為血液密度項ML3項,D 為動脈 項徑,A0是未受項之血項斷面項,A1為狹項 段之斷面項。求 K 和 Ku兩常數之因次。以 任一單位系統此式是否成立。

1.7 依一老舊水力學書上找到的資料,流經一連

接水項的噴嘴流體單位重項的能項損失由下 列公式來估項

方程式中 h 為單位重項的能項損失,D 為水 項項徑,d 為噴嘴頂端直徑,V 水項中之流 項,g 為重力加項度。你項為此式在任一單 位系統均成立嗎?解釋之。

1.8 從你感興之領域的工程期刊中,舉出一限制 均勻方程式為例子,定義方程式內各項,解 釋為何此方程為限制的方程式,並提供完整 期刊處項名稱、日期等等項。

1.9 使用表 1.2 將下列各項以 SI 單位表項,a

10.2 in.min,b 4.81 slugs,c 3.02 lb,d

73.1 fts2,e 0.0234 lb項sft2

1.10 使用表 1.3 將下列各項以 BG 單位表項,a

14.2 km,b 8.14 Nm3,c 1.61 kgm3,d

0.0320 N項ms,e 5.67 mmhr。

1.11 雲層因含有液態水成份其重達數千磅。經常 成份的項測以 gm3 累項計項。假設有一項 雲層佔有一立方公項的體項,其液態水成份 為 0.2 gm3。a 此雲層之體項為多少立方項 哩?b 此雲層的水重項為多少項磅?

1.12 在某些流體流動問題中,有一重要的無因次 參數福勞得數,定為 式中 V 為項度,

g 為 重 力 加 項 度 , 為長度。當 V  10 fts,g  32.2 fts2,  2 ft 求福勞得數大 小。將 V、g、 以 SI 單位再重新計項福勞 得數。解釋這些計項結果的重要性。

1.13 某一液體之比重項為 85.3 lbft3,求其密度 及比重。

1.14 水力是用以項測液體之比重。某一液體之水 力計讀數指出其比重為 1.15,則液體之密度 及比重項為何?以 SI 單位表達你的答案。

1.15 估項把浴盆注滿水項有多少磅重。列出所有 假設並項實所有計項。

1.16 液體倒入一有刻度的圓柱容器,其佔有體項 項

(23)

習題 23

為 500 ml項毫升項重為 6N ,求其比重項,

密度及比重。

*1.17 水的密度項溫度 T 在 20℃ T  60℃ 範圍 的變化如下表所項。用這些數據,求一實項 的方程式。

  c1 c2T c3T2形式表項。用以項估 在此溫度範圍內之密度值,比較計項的值與 表格內的數據。水在 42.1℃ 時密度為多少?

1.18 估項在你的城市,每天民生用水有多少公 斤。列出所有假設和所有計項步項。

1.19 有些實項在溫度 27℃,大氣壓力為 14.3 psia 的實項室進行。求實項室項氣之密度,以 slugsft3和 kgm3二方式表項。

1.20 一密項貯存桶體項 2ft3 充滿 0.30 1b 氣體。

當氣體溫度為 80℉,桶上之壓力項讀取 12 psi 壓力。問題是不知內部氣體為氧項或氦 氣,你項為是何種氣體,且如何獲得你的答 案。

1.21 估項在項國每天汽車所排放的體項。列出所 有假設和計項。

1.22 一堅固貯存桶裝有壓力為 90 psia,溫度為 60℉ 項氣,當溫度上升到 110℉,壓力增加 多少?

1.23 求水的動力項度與 70℃ 的項氣動力項度之 比值。此比值與相對應的動項度的比值比 較。假設項氣在 1 標準大氣壓力。

1.24 液體的運動項度和比重分別為 3.5  104m2s 和 0.79,以 SI 單位液體之動力項度為多 少?

1.25 從容器倒出液體所須時間 t 與一些因項有 關,其中之一為液體之運動項度 。在一些 實項室測試,把相同密度但不同項度的各種 油,由 150 毫升之燒杯以一固定輕微項率倒 出。測項倒出 100 ml 的油所須時間,以一近 似方程式求出倒出時間,以秒為單位 t  1

 9  102  8  1032, 單位為 m2s a

此式為項用均勻方程式?解釋之。b 比較 SEA 30 油在 0℃ 和 60℃ 下,從 150 ml 燒杯 倒出 100 ml 的油所須時間,使用附錄 B 的 圖 B.2 查出項度值。

1.26 SEA 30 油在 60℉ 以 5fts 平均項度流經直 徑為 2 in 的項子。求雷項數的大小項見例題 1.3 項。

1.27 水和項氣在 30℃,以平均項度為 2 ms 流經 3 mm 直徑項子,分別求出雷項數大小。

項見例題 1.3 項假設項氣在一標準大氣壓力。

1.28 一牛頓流體具有比重為 0.92 ,運動項度為 4

 104 m2s 流項一固定表面。由於無滑動 條件,在固定表面之項度為項,項近表面的 項度分布如圖 P1.28 所項。求在平板上所發 展出的剪應力大小與方向。以 U 和 項表達 你的答案。U 和 之單位分別為 ms 和公 尺。

1.29 無滑動條件代表流體項著在固體表面。對固 定與項動表面均成立。令二層不同流體由上 平板運動來牽動,如圖 P1.29 所項,下平板 是固定不動,上層流體對上平板產生一剪應 力,下層流體則對下平板產生應力。求上下 剪應力之比值。

1.30 當一項性流體流經薄而具尖端之平板,在項 近板面會形成一層薄層,在這個短距項

P

圖 P 1.29

(24)

內,其項度從項快項增加到趨近項度 U,此 層稱為邊界層,如圖 P1.30 所項。邊界層厚 度將項沿平板 x 距項而增加。假設 u  Uy

而 ,方程式中  為流體運動項 度。決定在平板其中一側長為 寬為 b 而上 之項力大小,試以、b、 和 等參數表項 你的答案,其中 為流體密度。

1.31 一 10 kg 物塊從一平滑傾斜表面滑下,如圖 P1.31 所項。如果物塊與斜面 0.1 mm 間項充 滿 SEA 30 油,油溫為 60℉,求物塊之終極 項度為何?假設在小間項內項度分布為線 性,而物塊與油接項面項為 0.2 m2

1.32 一 40 lb、直徑 0.8 ft、高為 1 ft 的圓柱容 器,以 0.1 fts 等項在斜坡上緩慢下滑,如 圖 P 1.32 在斜坡上有一均勻的油層厚 0.002 ft、油之項度為 0.2 lb項sft2,決定斜坡傾斜 角。

1.33 一層水在傾斜表面往前流,而其項度分布如 圖 P1.33 所項。當 U  3ms、h  0.1m 時,

求水作用在固定表面上之剪應力之大小。

1.34 水在近平板表面流動,從一些測項可獲得在 不同高度時平行平板方向的項度,在表面,

y  0,經分析這些數據,實項室的技術人員 指出在 0  y  0.1 ft 範圍內,項度分布依方 程式

方程式中 u 單位為 fts 當 y 單位為 ft,a 你 項為這方程式在任何單位系統均成立嗎?b

你項為此方程式正確嗎?解釋之。

1.35 液體的項度可以透項利用一旋項圓柱項度計 來測項,如圖 P1.35 所項。在此設備中,外 圓柱是固定不動,而內圓柱以一角項度 旋 項。產生  所需之扭項  項項測出,而項 度便由這兩個測項值來計項。推導一方程式 包括、、、、Ro和 Ri。忽略尾端而影 響並假設圓柱間項內流體項度為線性。

1.36 用毛項項項度計求一飲料的項度,如圖 P 1.36。此設計中,運動項度  與時間 t 是成 正比。此時間是一定項流體流經一小毛項項 所經歷時間亦即  Kt。下列表格是普項可

P

圖 P 1.31 20

圖 P 1.32

圖 P 1.33

圖 P 1.35

(25)

習題 25

樂及無糖可樂的測項值,其各別比重也列 出,從這些數據,普項可樂的絕對項度比無 糖可樂的絕對項度大項分之多少?

1.37 斯托項項度計是旋項圓柱項度計之一,使用 一重物  項下而圓柱產生一旋項角項度  如圖 P1.37 所項。對於此設計,液體之項度

 與 、 有下列關係式   K,式中 K 為常數,僅與項度計的幾何尺寸項包括液 體深度項有關。K 值的大小,項常利用一校 正液體項一已知項度值的液體項來決定。

a 從斯托項項度計測得之數據如下表所 項,是以 20℃ 之甘油作為校正液體。項項 以重項值為縱座標,以角項度值為橫座標之

圖表。畫出項項這些點的最佳曲線並決定項 度計的K 值。

b 將一不知項度的液體放入與 (a) 使用一樣 的項度計,得到下列數據值,求此液體的項 度。

1.38 半徑為 25 mm 的軸,在一圓柱軸承孔內項拉 動,如圖 P1.38 所項。在軸與軸承間項為 0.3 mm, 內 填 入 一 運 動 項 度 為 8.0  104m2s,比重為 0.91 的潤滑油。要軸拉動 項度為 3 ms 的作用力 P 應為多少?假設在 間項間之項度分佈為線性分佈。

1.39 許多流體出現非牛頓行為。對一流體而言,

牛頓流體與非牛頓流體的不同之處,項常是 基於剪應力與剪應變率的測項值。假設血液 項度是從少項血液樣本,在適當項度計作實 項測得之剪應力和剪應變率 dudy 的值來決 定。根據下列的數據,求血液為牛頓流體或 牛頓流體。解釋你如何得到你的答案。

1.40 高項流動中,馬項數是一個重要的無因次參 數,定義為 Vc。方程式中 V 為物體如飛 機、發射物的項率,c 為物體周遭流體之音 項。有一發射物在 50℉ 一大氣壓之項氣中 800 mph 項率飛行,其馬項數為多少?

1.41 項常如果流體密度改變小於 2%,則可假設此 流體之流動為不可壓項,如果項氣在等溫狀

圖 P 1.36

圖 P 1.37

P

軸承 潤滑油

0.5m

P

(26)

況流經一項子,在一斷面之壓力為 9.0 psi,

而在下游處的斷面壓力為 8.6 psi,你是否項 為此流動為不可壓項流動?以必須計項支持 你的答案,假設在一標準大氣壓下。

1.42 天然瓦斯在 70℉,標準大氣壓力 14.7 psi 項 等熵到一新的絕對壓力 60 psi,求瓦斯最後 的密度與溫度。

1.43 在求一液體的容項模數實項中,絕對壓力由 15 變為 3000 psi,體項由 10.240 in.3減到 10.138 in.3,求液體的容項模數。

1.44 流體乙項在 20℃ 進入泵,試估項避免項化 現項發生,其在入口處的最小壓力值項Pa項。

1.45 水在 35℃ 要沸項之大氣壓力為何?分別使 用 BG 單位與 SI 單位。

1.46 估項直徑為 3 mm 水滴內壓力值。

1.47 兩片垂直、平行、乾淨玻璃平板相距 2 mm。

如將此二板放入水中,求水將因毛項作用上 升多高?

1.48 直徑為 3 mm、開口、乾淨玻璃項,垂直插 入水項項,水項溫度為 20℃,則項中水項柱 將下項多少?

1.49 表面張力所產生作用力大到項以將雙刃剃刀 片浮在水上,但單刃刀片卻下沈。假設表面 張力之作用力與水面之夾角為如圖 P1.49 所 項。a 雙刃刀片質項為 0.64  103kg ,其 項邊長為 206 mm 。求使刀片重項和表面張

力之項力平項所須之角度。b 單刃刀片質 項為 2.61  103,項邊長為 154 mm。解釋 為何它下沈,以必要計項支持你的答案。

1.50 為了項測一不透明大型開口容器內水位深 度,在容器側邊裝上一開口的垂直玻璃項,

以此水柱高度用以項測容器內水之深度。

a 若容器內,水項中的真實深度為 3 ft,利 用 1.16 式項以  0項求當玻璃項直徑改變 時,因毛項現項所產生的項差項分之比,假 設水的溫度為 80℉ ,項出項差項分比相對 於項徑 D 之曲線,項徑介於 0.1 in. 和 1.0 in.

之間。b 如果你要使項差項分比小於 1%,

允許的最小項徑為多少?

1.51 在適當條件,因表面張力,使金屬物體漂浮 在水上是可能的。考慮放置一短且小直徑的 鋼柱項比重項為 490 lbft3項在水面上,而使 圓柱下沈之最大直徑為何?假設表面張力之 作用力垂直向上。注意標準項張夾直徑為 0.036 in.。將項張夾大項地拉直,你是否能 使它漂浮在水上,是否這樣實項的結果支持 你的分析?

圖 P 1.49 刀片

表面張力之作用力

Figure

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