110 下高三數甲(單元 1 離散型隨機變數) 第 1 頁 龍騰版 CJT
單元 1 離散型隨機變數 習題甲 三年___班 座號：____ 姓名：
觀念澄清：
下列敘述對的打「○」，錯的打「×」
□ (1)丟一枚均勻硬幣三次，令隨機變數 X 表示正面出現的次數，則 P(X＝0)＝0
□ (2)若隨機變數 X 所有可能的取值為 1，2，則 P(X＝1)＋P(X＝2)＝1
□ (3)若隨機變數 X 的期望值 E(X)＝2，且 Y＝－2X＋3，則 E(Y)＝－4
一、基礎題：
1.從 1，2，3，4，5 中任取兩個相異的數字，並令隨機變數 X 表示取到偶數的個數。
(1)寫出 X 所有可能的取值 (2)描述 X＝0 所表示的事件
2.袋中有紅球 4 顆、白球 2 顆。從袋中取出 2 顆球，且每球被取到的機會均等。令隨機變數 X 表示取出的紅球數，
回答下列問題。
(1)寫出 X 所有可能的取值 (2)求機率 P(X＝2)的值 (3)求機率 P(X ≥ 1)的值
3.甲、乙兩人各從 1 與 2 兩個數字中任選一個數字，並令隨機變數 X 表示甲、乙所選數字的平方和。已知每個數字被選到 的機會均等，求機率 P(X ≤ 7)的值。
4.擲一粒公正骰子 2 次，令隨機變數 X 為點數 6 出現的次數，求隨機變數 X 的期望值
5.箱中有黃球 2 顆、紅球 5 顆與白球 n 顆。從箱中取出一球，且每球被取到的機會均等。取出球的顏色為黃球、紅球與白 球分別可得 500 元、200 元與 0 元，並令隨機變數 X 表示取出一球所得的金額。已知 X 的期望值為 100 元，求 n 的值
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6.袋中裝有大小相同的代幣 1 元與 5 元各 2 枚。從袋中任取 2 枚代幣，並令隨機變數 X 表示取 2 枚代幣所得的金額。
已知每個代幣被取到的機會均等，求 X 的期望值與標準差
7.某射手準備 3 發子彈射擊一靶面。若命中靶面 1 發，則停止射擊，否則繼續射擊直到子彈用盡。已知該射手打靶的命中
率為3
2，令隨機變數 X 表示耗用子彈數，求 X 的期望值、變異數與標準差
8.有一粒公正的特製骰子，其六個面分別為 0，1，1，1，1，2 點。今投擲此骰子一次，可得到的金額為點數的 3 倍再加 5 (元)。設隨機變數 X 表示擲骰子一次所出現的點數；Y 表示擲骰子一次所得到的金額。
(1)求 X 的期望值 E(X)與變異數 Var(X) (2)寫出 X 與 Y 的關係
(3)求 Y 的期望值 E(Y)與變異數 Var(Y)
二、進階題：
9.設隨機變數 X 的機率分布表如下。設 X 的期望值 E(X)＝
3
4，則：
(1)求實數 a，b 的值
(2)求隨機變數 X 的變異數 Var(X)
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10.有 100 元、200 元、500 元的紅包袋各一個。由甲、乙兩人依序各抽取 1 個紅包袋，抽取後不放回，且每個紅包袋被抽 取的機會均等。設隨機變數 X 表示甲、乙兩人紅包金額的總和，求 X 的期望值
11.籃球校隊甄選隊員流程如下：參加者先在 A 處投第一球，接著在 B 處投第二球；若這兩球都進球，則停止投籃，否則
最後在 B 處投第三球。已知在 A 與 B 兩處每投進一球分別得 3 分與 2 分，且某生在 A 與 B 兩處的命中率分別為 4 1與
3 2
設隨機變數 X 表示該生甄選時所得的分數 (1)寫出隨機變數 X 的機率分布表
(2)求機率 P(X＞3)的值 (3)求 X 的期望值
