單元 5: 計算一事件的機率 : 樣本點法
( 課本 x 2.5)
求離散樣本空間上一事件的機率的方法可分為
(1) 樣本點法 (sample-point method)
(2) 事件組合法 (event-composition method)
樣本點法的步驟 (前置作業為定義實驗及其對應的樣本空 間, 以及指定適當的機率值):
(1) 定義欲求其機率的事件 A 為一群 "特定樣本點" 的 集合 (亦即, 一樣本點在事件 A 中, 若此樣本點發生 時, 會導致 A 發生).
(2) 事件 A 發生的機率
P (A) = A 中所有樣本點的機率和 (因為構成 A 的所有樣本點為互斥簡單事件).
1.
5 , 2 .他們的勝任能力分別以 1 (最好) 到 5 (最差) 表示之, 且對雇主而言是未知的. 定義 A = 選中最好與 2 個最 差當中的一個 (亦即, 選中申請者 "1 與 4" 或 "1 與 5"), B = 至少選中兩個最好中的一個. 試求 P (A) 與 P (B).
<解> 前置作業如下:
實驗 :
由 5 位申請者中, 任選 2 位.樣本空間 :
共有 10 個簡單事件, 分別為E1 = f1; 2g; E2 = f1; 3g; E3 = f1; 4g;
E4 = f1; 5g; E5 = f2; 3g; E6 = f2; 4g;
E7 = f2; 5g; E8 = f3; 4g; E9 = f3; 5g;
E10 = f4; 5g
指定機率值 :
因為任選, 每一對被選中的可能性都一樣, 故合理的指定為P (Ei) = 1
10; i = 1; 2; : : : ; 10 接著根據樣本點法的步驟, 得
(1) A = E3 [ E4;
B = E1 [ E2 [ E3 [ E4 [ E5 [ E6 [ E7
(2) 對應的機率為 P (A) = P (E3) + P (E4) = 2 10 以及 P (B) =
X7
i=1P (Ei) = 7 10
例 2.
投擲一公正銅板三次. 試求P (剛好出現 2 次正面)
<解> 前置作業如下:
實驗 :
觀察由字母 "正" 與 "反" 構成的三字母字串.樣本空間 :
共有 8 個樣本點 (簡單事件), 分別為E1 : HHH; E2 : HHT; E3 : HT H; E4 : T HH E5 : HT T; E6 : T HT; E7 : T T H; E8 : T T T
指定機率值 :
因為是公正的銅板, 所有簡單事件均相等 可能地 (equally likely) 發生, 故合理的指定為P (Ei) = 1
8; i = 1; 2; : : : ; 8
接著根據樣本點法的步驟, 令 A = 剛好出現 2 次正面 的事件, 得
(1) A = fE2; E3; E4g = E2 [ E3 [ E4
(2) P (A) = X4
i=2P (Ei) = 3 8
例 3.
設 A 與 B 比賽網球時, A 贏的勝算 (odds) 為 2 比 1. 若比賽兩場, 試求P (A 至少贏一場)
<解> 先處理前置作業:
實驗 :
觀察兩場中, 每場的得勝者 (A 或 B), 如 AB 表示 A 贏第一場, B 贏第二場.樣本空間 :
共有 4 個簡單樣本, 分別為E1 : AA; E2 : AB; E3 : BA; E4 : BB
指定機率值 :
因為 A 有較高的勝算, 給予所有簡單事 件同樣的機率是不合適的. 一個合理的指定為:P (E1) = 4
9; P (E2) = 2 9 P (E3) = 2
9; P (E4) = 1 9
然後根據樣本點法的步驟,
(1) 令事件 C = A 至少贏一場, 則 C = E1 [ E2 [ E3
(2) 因為構成 C 的簡單事件互斥,
P (C) = P (E1) + P (E2) + P (E3)
= 4
9 + 2
9 + 2 9
= 8 9
註 1.
常犯的錯誤與困難:(1) 錯誤地檢視簡單事件的本質.
(2) 無法列出 S 中所有的樣本點.
(3) 樣本空間由大量的樣本點組成, 以致於完整地列出是 沉悶, 耗時, 且不可行的.
2.
(equiprobable), 此時只需計數事件中的樣本點個數即 可. 若無可用的計數方法, 可透過人工或電腦有順序地列 出樣本點.
註 3.
降低工作量及錯誤的工具包含: 規律性, 電腦, 計 數的數學理論, 稱作組合分析 (combinatorialanalysis). 下一單元會探討一些組合分析的基本結果, 及其在樣本點法上的應用.
