單元

單元 5 貝氏定理 二年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：列聯表

意義：事件中元素個數的分布狀況除了文氏圖外，也可以用表格來呈現

即將事件的元素的個數，以表格的方式呈現各組之交叉分布狀況，稱此表格為列聯表列聯表列聯表列聯表

◎製作列聯表

例 1.1：語言專班的 42 位學生中，男生有 27 位，選修日語者有 19 位，男生選修日語者有 10 位。如下圖。

設 A 表示男生所成的集合，B 表示選修日語者所成的集合，試完成下表：

Ex1.1：班上 42 位學生中，雙眼皮者有 25 位，耳垂分離者有 24 位，雙眼皮且耳垂分離者有 15 位。依據以上資料，

試完成底下的列聯表：

Ex1.11：完成底下的列聯表：

◎由列聯表求機率

例 1.2：全班同學共 50 人，票選畢業旅行的目的地，每人限投一票，結果如下表：

試回答下列問題：

(1)求男生中投票去墾丁的人數

(2)從班上任選一學生，已知此生投票去墾丁，求他是男生的機率 (3)從班上任選一學生，已知此生是男生，求他投票去墾丁的機率

日語

性別 選修 不選修 總和 男生

女生 總和

A B

10 9 17

6

耳垂

眼皮 耳垂分離 耳垂緊連 總和 雙眼皮

單眼皮

總和 42

成績

性別 及格 不及格 總和 男生 18

女生 5

總和 11 46

性別

地點 男生 女生 總和

墾丁 27

花蓮 10

總和 30 50

Ex1.2：全班同學共 30 人，調查是否有購買校慶紀念服的情形如下表，試回答下列問題：

(1)求女生中有購買校慶紀念服的人數

(2)從班上任選一學生，已知此生有購買校慶紀念服，

求此生是女生的機率

(3)從班上任選一學生，已知他是男生，

求他有購買校慶紀念服的機率

重點 2：貝氏定理(條件機率的加法法則)

1.分割：令 S 為樣本空間，如右圖，若 n 個事件 A¹，A2，…，An滿足下列條件：

(1)若 i j，則 Ai∩Aj＝∅ (事件兩兩不相交或互斥) (2)A1∪A2∪…∪An＝S (聯集為全事件)

則稱{A₁，A₂，…，A_n}為樣本空 S 的一個分割分割分割分割

2.加法法則：

若{A₁，A₂，…，A_n}為樣本空 S 的一個分割，B 為一個事件，如右圖 得知 B＝(B∩A₁)∪(B∩A₂)∪……∪(B∩A_n)

則 P(B)＝P(B∩A1)＋P(B∩A2)＋……＋P(B∩An)

＝P(A1)P(BA1)＋P(A2)P(BA2)＋……＋P(An)P(BAn) 3.貝氏定理：

設{A₁，A₂，…，A_n}為樣本空 S 的一個分割，且 P(Ak)＞0，k＝1，2，…，n，B 為任意事件

則在 B 條件下 Ak成立的機率為 P(AkB)＝

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k

n n

P A P B A

P A P B A +P A P B A + +L P A P B A ，k＝1，2，…，n 註：貝氏定理是在十八世紀英國牧師貝斯(R. T. Bayes，1702~1761)的遺作中發現的

說明：設 A1，A2為樣本空間 S 的兩個事件，且滿足 P(A1)＞0，足 P(A2)＞0，則：

(1)分割：當 A1，A2為互斥事件，且 A1∪A2＝S，稱{ A1，A2}為樣本空間 S 的一組分割分割分割分割 (2)若事件 B 為 S 的一個事件，則事件 B 被分割成 A1∩B，A2∩B 互斥的兩個事件

⇒P(B)＝P(A1∩B)＋P(A₂∩B)

(3) P(A₁B)＝

) (

) (

B P

B A P ∩

＝ ( ) ( ) ) (

2 1

1

B A P B A P

B A P

∩ +

∩

∩ ＝

同理

例 2.1：某工廠有甲、乙兩台機器，其產量分別占總產量的 3 1與

3

2，且依過去的經驗知甲、乙機器生產的產品中分別有 3%，4%的不良品。則：

(1)任選一產品，求該產品為不良品的機率

(2)已知某產品為不良品，求該產品為甲機器所生產的機率

An

A1

A2

A3

……

S

An A₁

A₂ A3

……

S B∩An B

B∩A2

B∩A1

B∩A3

性別

校慶紀念服 男生 女生 總和

有購買 23

沒購買 3

總和 16 30

Ex2.1：某校數學模擬考評分後，將全校同學依總分由高到低排序：前 50％的同學屬於甲組，後 50％的同學屬於乙組。進 一步分析同學的答題情形，得到計算題答對率如下表。選出所有正確的選項：

(1)計算題答對的同學一定屬於甲組 (2)計算題答錯的同學不可能屬於甲組

(3)從乙組的同學中任選一人，此人計算題答對的機率為 0.6

(4)從計算題答對的同學中任選一人，此人屬於乙組的機率大於 0.5

例 2.2：某校全體教職員及學生中，教職員人數與學生人數各占 6 1 與

6

5，且在校慶活動的校史大考驗闖關遊戲中，

教職員與學生的過關率分別為 4 3與

5

3，則：

(1)自全體教職員及學生中任選一人，求此人為過關者的機率 (2)已知某人是過關者，求此人是學生的機率

Ex2.2：某班學生中，女生人數是男生人數的兩倍。某次數學抽考，男生有 20%的人不及格，女生有 30%的人不及格。則：

(1)任選一位學生，求此人本次數學抽考及格的機率

(2)已知某位學生本次數學抽考及格，求此人是女生的機率

例 2.3：某校高二學生中有 60％為自然組學生，40％為社會組學生，且這兩類組的學生學期成績不及格之人數分別占該類 組的 15％與 20％

(1)任選一學生，求該生學期成績不及格的機率

(2)已知某生學期成績不及格，求該生是社會組的機率

甲組 乙組 計算題答對率 100% 60%

Ex2.3：某公司的員工中有 20％為行政人員，80％為技術人員，且這兩類員工中未婚的比例分別為 60％與 40％。

(1)任選一人，求此人是未婚的機率

(2)已知某人未婚，求此人是行政人員的機率

例 2.4：某工廠有甲、乙、丙三台機器製造同一款產品，其產量分別占總產量的 40%、30%、30%，且依過去的經驗知甲、

乙、丙機器生產的產品中分別有 5%，6%，4%的不良品，則：

(1)任選一產品，求該產品為不良品的機率

(2)已知某產品為不良品，求該產品為甲機器所生產的機率

Ex2.4：某校學生中，高一占 35％，高二占 35％，高三占 30％，且高一學生中 30％是近視，高二學生中 40％是近視，高 三學生中 30％是近視，則：

(1)由此校學生中任選一人，求選到的學生是近視的機率

(2)由此校學生中任選一人，已知選到的學生是近視，求該學生是高三的機率

例2.5：根據統計：某地區有5％的人罹患某種傳染病，且患者經篩檢後呈現陽性的機率為99％；未患此病的人經篩檢後呈 現陽性的機率為0.2％，則：

(1)從此地區任選一人接受篩檢，求此人篩檢結果為陽性的機率

(2)「偽陽性」表示某人經篩檢後呈陽性但實際上未患病。已知某人篩檢結果呈現陽性，求此人為偽陽性的機率 (3)已知某人檢驗結果呈陰性反應，求此人確實沒有染病的機率

Ex2.5：以某方法檢驗某疾病時，罹患該疾病的人有90％檢驗結果會呈現陽性，沒罹患該疾病的人有95％檢驗結果會呈現 陰性。若經統計得知，某地區人口中有20％的人罹患該疾病，則：

(1)從此地區任選一人接受檢驗，求此人檢驗結果為陽性的機率

(2)「偽陽性」表示某人的檢驗結果呈現陽性，但實際上並沒有罹患該疾病。

若已知某人的檢驗結果呈現陽性，求此人為偽陽性的機率 (3)已知某人檢驗結果呈陰性，求此人卻罹患該疾病的機率

◎綜合列聯表與貝氏定理

例 2.6：根據統計：某地區有 10％的人罹患某肺炎，且患者經篩檢後呈現陽性的機率為 80％；未患此病的人經篩檢後呈 現陰性的機率為 99％。若計畫針對此區共 1 萬人進行普篩，試推測以下情形：

(1)依據以上資料，完成底下的列聯表：

(2)從此地區任選一人，求此人為偽陽性的機率

(3)已知某人篩檢結果呈現陽性，求此人為偽陽性的機率

◎類型試題

例 2.7：有兩個袋子，甲袋有 2 顆白球 2 顆紅球，乙袋有 2 顆白球 4 顆紅球。

今投擲一枚均勻硬幣，若出現正面則從甲袋取一球，出現反面則從乙袋取一球。

如果同一袋中的球被取出的機率均等，試求取到白球的機率為何？

Ex2.7：設甲袋有紅球 3 個，白球 5 個；乙袋有紅球 2 個，白球 1 個，黑球 2 個。今投擲一顆公正的骰子，若出現點數 1 點或 6 點，可從甲袋取 1 球，若出現其他的點數，可從乙袋取 1 球。如果同一袋中的球被取出的機會均等，試求 取中白球的機率？

檢驗結果

罹病狀況 陽性 陰性 總和

有病

無病

總和 10000

◎袋中取 2 球

例 2.8：甲袋有 3 個黑球，1 個白球；乙袋有 2 個黑球，2 個白球。今由甲乙兩袋中任選一袋取出 2 球，每球被取到的機 會都相同，則：

(1)求此兩球皆為黑球的機率

(2)在取出兩球皆為黑球的條件下，求此 2 球來自甲袋的機率

Ex2.8：設甲袋有 2 白球 3 黑球，乙袋有 1 白球 4 黑球，丙袋有 3 白球 2 黑球。今擲一公正骰子，若擲出 1 點、2 點或 3 點，則選擇甲袋。若擲出 4 點或 5 點，則選擇乙袋。若擲出 6 點，則選擇丙袋。再由選到的袋中隨機取出一球，

則：(1)求取出球為白球的機率

(2)在取出球為白球的條件下，求此球來自甲袋的機率

例 2.9：一袋中有 5 枚硬幣，其中一枚兩面皆是人頭，一枚兩面皆是字，其餘 3 枚一面是人頭一面是字，將手伸入袋中握 住一枚硬幣，取出後打開手掌，發現一面是人頭，求另一面也是人頭的機率

Ex2.9：有三張桌子，每一張桌子各有兩個抽屜，第一張桌子的每一個抽屜裡各放一個金幣，第二張桌子裡的一個抽屜放 一個金幣，另一個抽屜放一個銀幣；第三張桌子的每一個抽屜各放一個銀幣。若隨意打開一張桌子中的一個抽屜，

發現裡面放的是一個金幣，求這張桌子的另一個抽屜內也是放金幣之機率

例 2.10：按照小龍平時練習投籃的經驗，他平均每投四次會進球一次，即每次投籃時，進球的機率為 4

1。上體育課時，

老師給他 3 次投籃機會，只要投中一球，即停止投球。在本次活動中，在小龍有投進的條件下，求他在第三次 才成功投進的機率

Ex2.10：小雯過年習慣去親友家拜年，每次離開別人家時，忘記要一併把傘帶走的機率為 3

1。已知今日小雯帶傘出門，且 依序去小龍、小新、小安家拜年，最後回家時發現沒有帶傘回家，求此傘是遺忘在小安家的機

Ex2.11：小文上學的交通方式有兩種：騎腳踏車或走路。騎腳踏車上學時，有 6

1 的機率會遲到。走路上學時，有 3

2的機率 會遲到。他選擇的原則是：無論選擇哪種上學方式，只要不遲到，隔天就用同樣的上學方式，否則隔天就換另一種 上學方式。已知小文今天是走路上學，且明後兩天都是上學日，在後天上學時小文仍是走路上學的條件下，求明後 兩天都是走路上學的機率

重點3：回顧—古典機率、客觀機率與主觀機率

1.古典機率：設一試驗的樣本空間 S 之樣本點為有限個，且每個樣本點出現的機會均等，

事件 A 發生的機率為 P(A)＝

) (

) (

S n

A

n ＝

的樣本點個數 的樣本點個數 S

A

2.客觀機率：將調查或試驗獲得的事件發生頻率當作該事件的機率，稱為「客觀機客觀機客觀機率客觀機率率」 率

性質：(1)客觀機率是統計多次試驗結果而來的，而且，此數據會隨著試驗次數或調查數據的不同而有所改變 (2)客觀機率並非是個不變的數值

3.主觀機率：

在缺乏調查或試驗資料的情況下，觀察者對於某些事件會依過去的經驗或心理的感覺來判斷事件發生的機率，

這是一種主觀判斷的結果，稱為「主觀機率」

4.機率都必需滿足下列兩個條件：

(1)整個樣本空間發生的機率為 1

(2)任何事件 A 發生的機率 P(A)必須滿足 0≤ P(A) ≤ 1

例 3.1：試依下列各敘述所描述之機率，判斷其為古典機率、客觀機率或主觀機率？

(1)投擲一枚公正硬幣一次，正面出現的機率 2 1

(2)美國高爾夫球選手老虎伍茲在 2019 年獲得第 82 場美巡賽的冠軍，在此之前他總共參加了 359 場比賽，

他比賽的勝率為 360

82 ≈23%

(3)某生追求一位女孩，經過各種互動的跡象，認為可以追到該女孩的機率為 0.8 (4)某生對此次數學科考試準備充分，信心滿滿，評估此次考試及格的機率為 0.9

Ex3.1：試依下列各敘述所描述之機率，判斷其為古典機率、客觀機率或主觀機率？

(1)小明想約朋友出去玩，但看外面天空陰陰的，他覺得能約成功的機率為 5 1

(2)按既有的資料顯示，在臺灣的新創公司，平均每 50 家只有 1 家能撐過 5 年，因此預測隔壁大樓的新創公司大 概有 2%的機率可以撐過 5 年

(3)袋中有編號 1 至 39 號的 39 個彩球，從中任取一球，若每球被取到的機會均等，則取到 1 號球的機率為 39

1

Ex3.11：試依下列各敘述所描述之機率，判斷其為古典機率、客觀機率或主觀機率？

(1)連續丟擲一均勻硬幣 3 次，三次皆正面的機率為 8 1

(2)小龍覺得隔壁新開的麵攤超難吃的，所以他覺得隔壁麵攤在未來一年內歇業的機率有 90%

(3)有一顆不均勻的四面體骰子，各面編號分別為 1 至 4 號，將其連續丟擲 100 次，因為 1 號出現 42 次，所以擲 出 1 號的機率為 42%

例 3.2：試選出所有正確的選項：

(1)某人射擊 50 發，命中 10 發，可用 15 做為其命中率

(2)某人射擊 50 發，命中 10 發，表示接下來 5 發他一定會命中一發

(3)某人判斷今天有 3 成的機率會下雨，有 8 成的機率不下雨，這樣的機率判斷是不合理的 (4)某人對其投資信心滿滿，認為百分之兩百會賺錢，這樣的機率判斷是不合理的

(5)中、韓棒球賽，如果認為中華隊獲勝的機率為 0.8，又認為韓國隊獲勝的機率為 0.5