【範例】:下列哪一組數滿足不等式 c ＜ a －b： (1) a ＝0，b＝－1， c ＝1 (2) a ＝1.3，b＝1， c ＝0.1 解 ： (1

不等號的意義：

【範例】: 求一元一次方程式，2 x  ＋ 3 ＝ 4 x  －5 的解？

解 ： 2 x ＋3 ＝ 4 x －5 2 x －4 x  ＝ －5－3

－2 x  ＝ －8 2 x  ＝ 8 

x  ＝ 4

在此 2 x ＋3＝4 x －5 我們稱為一元一次方程式，若我們將等號換為不等號。

2 x  ＋ 3 ＞ 4 x  －5 2 x  ＋ 3

³

£

則形如上列的式子，我們稱為一元一次不等式。

【範例】: 下面的形式都稱為一元一次不等式：

(1) 3 x －2＞4 、 (2) 3 x －1

³

£

³

【範例】: 身體質量指數＝ 

)  (m  (kg)  身高的平方 2 

體重 。依照衛生署的資料指出，13 歲的學生

的身體質量指數如果大於 24.8(男生)或 24.6(女生)，就視為過重。

試用符號和不等號來表示這個條件。

解 ：

如果體重用 w 公斤表示，身高以h公尺表示，則上面建議的過重標準，

可以表示為：  ₂  h 

w ＞24.8(男生)或  ₂  h 

w ＞24.6(女生)。

【範例】:下列哪一組數滿足不等式  c ＜ a －b：

(1)  a ＝0，b＝－1， c ＝1 (2)  a ＝1.3，b＝1， c ＝0.1 解 ：

(1) ∵  a －b＝0－(－1)＝1， c ＝1，∴  c ＝ a －b＝1 (不符合)

(2) ∵  a －b＝1.3－1＝0.2， c ＝0.1，∴  c ＝0.1＜ a －b＝0.2 (符合) 答：第二組滿足不等式  c ＜ a －b

E70201 h ³ 120 和 a £ 80 的意義：

在前面的例子，因為語意明確，所以比較不會引起混淆。下面我們來看兩個敘述的 意義，在生活上常常會引起混淆。

【範例】:身高在 120 公分以上要買全票。

說明 ：120 公分以上到底包不包含 120 公分？

實際上此題是不包含 120 公分的，而在往後的題目中，除了題目說明是大於等 於 120 以上公分才有等號，否則只有單單一個以上是都不包含等號的。

如果用b代表身高，則「身高在 120 公分以上要買全票。」可簡記為：

「b＞120」，其中「＞」要讀作「大於」，也可讀作「不小於或等於」。

【範例】:如果小誠這次段考的數學成績在 80 分以下，就要禁止打電玩一個月。

說明 ：數學成績在 80 分以下，如果剛好考 80 分，還能打電玩嗎？

「如果小誠這次段考的數學成績少於 80 分，就要禁止打電玩一個月。」

如果用 a 代表這次段考的數學分數，那「如果小誠這次段考的數學成績 少於 80 分，就要禁止打電玩一個月。」可簡記為：「 a ＜80」，其中「＜」

要讀作「小於」，也可以讀作「不大於或等於」。

【範例】:到郵局寄長方體的包裹時，郵局規定：「長方體的最長邊不得超過 150 公分，

另外兩邊和的兩倍加上最長邊不能超過 300 公分。」請利用不等號來表示這 個規定。

解 ：設最長邊的長度為 a 公分，兩邊的長度分別為b公分、 c 公分。

則「最長邊不得超過 150 公分」可表示成： a £ 150。

「兩邊和的兩倍加上最長邊不能超過 300 公分」可表示成：2(b＋ c )＋ a £ 300。

所以，如果長方體的三邊長為 a 、b、 c ，而且 a 為最長邊，

則此規定可表示成： a £ 150 而且 a ＋2b＋2 c £ 300。

【範例】:如果有一個長方體盒子的三邊長為： a 、b、 c (公分)，且 a 為最長邊，並規 定 a ³ 100(公分)而且 a ＋b＋ c £ 200(公分)。請問下列哪一個符合此規定？

(1) 50 公分、50 公分、100 公分 (2) 80 公分、80 公分、100 公分 解 ：(1) 最長邊是 100 ³ 100(公分)而且 50＋50＋100＝200 £ 200(公分)

所以此正方體符合規定。

(2) 最長邊是 100 ³ 100(公分)但是 80＋80＋100＝260＞200(公分) 此正方體不符合規定。

36＜t＜37 的意義：

在許多公共場合未發現到許多與不等號相關的規定。例如：坐公車 100 公分 以下可以半價。去電影院看電影，身高如果在 100 公分和 130 公分之間，可 以買半票。量體溫時，溫度在 36℃和 37℃之間，就算是正常體溫。

而這些例子中有些有用到「之間」這個敘述，都會牽涉到兩個不等式。

【範例】:「體溫在 36℃和 37℃之間(不包含 36℃和 37℃)，算是正常體溫。」試著 將這句話用不等號來表示。

解 ： 假設用 t 表示體溫，則可將上面的條件改寫成： t ＜37 且  t ＞36 又為了方便可將兩個不等式合併：

∵  t ＞36 可寫成 36＜ t ，而且 t ＜37 ∴ 36＜ t ＜37 或者是：

∵  t ＜37 可寫成 37＞ t ，而且 t ＞36 ∴ 37＞ t ＞36

所以「體溫在 36℃和 37℃之間(不包含 36℃和 37℃)」這個敘述，

可表示成：36＜ t ＜37 或 37＞ t ＞36

【範例】: 試著用符號和不等號來表示下列的敘述：

(1) 陳老師從台北開車回來台中的時速都在 90 公里到 100 公里之間(包含 90 公里和 100 公里)。

(2) 小誠家的面積小於 60 坪。

(3)  x 是小於 10 的正數。

解 ： (1) 設車速每小時 x 公里，依題意： x ³ 90 且 x £ 100

∴ 可表示成 90 £  x £ 100。

(2) 設小誠家的面積為 x 坪，依題意： x ＜60，且面積一定為正數，∴ x ＞0 則此題可表示成： 0＜ x ＜60。

(3) 依題意： x ＜10，又 ∵  x 是正數，∴ x ＞0 則此題可表示成： 0＜ x ＜10。

【範例】: 試著用合併的不等式來表示下列各式：

(1) 參加畢業旅行的人數不到 50 人，可是按照規定：每團人數一定要滿 10 人才能組成一團。

(2) 琦琦的身體質量指數不少於 17.5 但是少於 22.5。

解 ： (1) 設有 x 人，依題意： x ＜50 且 x ³ 10 ∴ 可表示成：10 £  x ＜50 (2) 設琦琦的身體質量指數為 x ，依題意： x ³ 17.5 且 x ＜22.5

∴可表示成：17.5 £  x ＜22.5

E70201

【例題 1】 【例題 2】

用不等式表示下列的敘述：

(1)  x 是小於 8 的正數。

(2)  b是大於－3 的負數。

(3) 3 x 小於或等於 120。

解：

(1) 0＜ x ＜8 (2) －3＜b＜0。

(3) 3 x £ 120。

用不等式表示下列的敘述：

(1)  x 、y兩數的乘積比－20 小。

(2)  b－5 不小於 5。

(3) 若以 w 表示體重，用不等式表示

「體重不低於 58 公斤且未滿 65 公斤」

解：

(1)  x y＜－20 (2)  b－5 ³ 5。

(3) 58 £ w ＜65。

【例題 3】 【例題 4】

下列那一組數滿足不等式：2 a ³ b＋1 (1)  a ＝0，b＝－1

(2)  a ＝－2，b＝－2 解：

(1) 2．0＝0 ＝ －1＋1＝0

(2) 2．(－2)＝－4 ＜ －2＋1＝－1 答：第(1)組。

下列那一組數滿足不等式： a ＋2 £ 2b  (1)  a ＝－1，b＝0

(2)  a ＝－3，b＝1 解：

(1) －1＋2＝1 ＞ 2．0＝0 (2) －3＋2＝－1 ＜ 2．1＝2 答：第(2)組。

【例題 5】 【例題 6】

如果有兩個不等式  x ＞－3 以及 x ＜7 同 時成立，請將兩式合併為一個不等式。

解：

－3＜ x 且 x ＜7 所以－3＜ x ＜7

如果有兩個不等式 2 x £ 8 以及 3 x ³ －15 同 時成立，請將兩式合併為一個不等式。

解：

2 x £ 8 Þ  x £ 4

3 x ³ －15 Þ  x ³ －5 Þ －5 £  x 

－5 £  x 且 x £ 4 所以－5 £  x £ 4

正負數、減法和大小比較：

不管是運用數的運算規律，還是利用數線的表示法，我們都學過「正數加正數還 是正數，負數加負數還是負數」的規律。乘除法也有「正正得正，負負得正」、

「正負得負，負正得負」的規律。下面我們來做個範例。

【範例】: 在下列□中，填入「＞」或「＜」：

(1) 如果 a ＞0，b＞0，則  a ＋b□ 0， a ．b□ 0。

(2) 如果 a ＜0，b＜0，則  a ＋b□ 0， a ．b□ 0。

解 ：(1) ∵  a 、b都是正數。 ∴  a ＋b、 a ．b都會是正數。

則： a ＋b＞ 0， a ．b＞ 0。

(2) ∵  a 、b都是負數。 ∴  a ＋b還是負數。

但是 ∵ 「負負得正」 ∴  a ．b是正數。

則： a ＋b＜ 0， a ．b＞ 0。

但是在減法時，因為是兩個數相減的結果，所以有可能是正數、可能是負數、也 可能是 0。因此，要判斷兩數相減結果的不等號為何？就要利用「大減小為正，小減 大為負」這個規律了。

利用不等式記法，將規律改寫如下：

「大減小為正」：如果 a ＞b，則 a －b＞0。

「小減大為負」：如果 a ＜b，則 a －b＜0。

【範例】: 在下列□中，填入「＞」或「＜」： (1)  2 

1 －  9 

1  □ 0 (2)  15 

4 －  9 

4  □ 0 解 ： (1) ∵ 

2  1 ＞ 

9 

1  ∴ 

2  1 － 

9 

1  ＞ 0。

(2) ∵  15 

4 ＜  9 

4  ∴ 

15  4 － 

9 

4  ＜ 0。

【範例】: 請問下列哪一個式子表示「正數的相反數是負數」這個規律。

(1)若 a ＞0，則－ a ＞0 (2)若 a ＞0，則－ a ＜0 (3)若 a ＜0，則－ a ＞0 解 ：∵  a 是正數，∴ a ＞0。

∵ a 的相反數為－ a 而且為負數，∴－ a ＜0。

則「正數的相反數是負數」可用，若 a ＞0，則－ a ＜0 來表示。

我們在下面會舉一些範例，來說明用減法來比較數的大小，有的時候會比直接計算 出結果更容易。

E70201

【範例】: 比較下列各組的大小：(1) (9.99) ² 和 9.99 (2) (0.99) ² 和 0.99 解 ：(1) (9.99) ² －9.99＝9.99 × 9.99－9.99

＝9.99 × (9.99－1)

＝9.99 × 8.99＞0

∵ 「大減小為正」 ∴(9.99) ² ＞9.99 (2) (0.99) ² －0.99＝0.99 × 0.99－0.99

＝0.99 × (0.99－1)

＝0.99 × (－0.01)＜0

∵ 「小減大為負」 ∴(0.99) ² ＜0.99 備註：當 a ＞1 時，若 n＞m＞0，則 a  ＞ ⁿ  a  。 ^m 

當 0＜ a ＜1 時，若 n＞m＞0，則 a  ＜ ⁿ  a  。 ^m 

【範例】: 比較下列各組的大小：(1) (9.99) ⁴ 和(9.99) ²  (2) (0.99) ⁴ 和(0.99) ²  解 ：(1) ∵ 9.99＞1，∴ (9.99) ⁴ ＞(9.99) ² 。

(2) ∵ 0＜0.99＜1， ∴ (0.99) ⁴ ＜(0.99) ² 。

三一律：

如果 a 和b表示任意兩數，我們知道 a 和b的大小關係，恰好是下列三者中的一個： 

a ＞b、 a ＝b、 a ＜b。

這三種情況有一種會成立，而且只有一種會成立。在數學上，我們稱之為三一律。

遞移律：

已知小誠比小愛高，而小愛又比小琪還高，所以我們知道小誠會比小琪還高。

再舉一個分數的例子，帶分數  199 

1 89 比 1 還大，1 比真分數  89 

79 還大，所以  199  1 89 

比 89 

79 還大。像這樣間接利用第三個數來比較大小時，就有用到遞移律。

如果有三個任意數 a 、b、 c ，則遞移律可表示成：

若 a ＞b且b＞ c ，則 a ＞ c 。 若 a ＜b且b＜ c ，則 a ＜ c 。 若 a ³ b且b ³ c ，則 a ³ c 。 若 a

£

£

£

【範例】: 如果 a ＋1＝b，b＋1＝ c ，試比較 a 、b、 c 三個數的大小。

解 ：∵  a ＋1＝b  ， ∴  a ＜b。

∵  b＋1＝ c  ， ∴  b＜ c 。 則由遞移律可以得知： a ＜b＜ c 。

【範例】: 如果 a ＝b－1， a ＝ c ＋1，試比較 a 、b、 c 三個數的大小。

解 ：∵  a ＝b－1 ， ∴  a ＜b。

∵  a ＝ c ＋1 ， ∴  c ＜ a 。 則由遞移律可以得知： c ＜ a ＜b。

不等號在數線上的表法：

1.「 x  ＝  y」：等號用來表示兩個量 x 與y是相等。

【範例】: 2＋5 ＝7

【範例】: 3 x  ＝12

2.「 x  ＞  y」：大於符號用來表示 x 是大於y。

【範例】: 2＋8 ＞7

【範例】:  x  ＞ 2 表示數線上所有大於 2 的點。

3.「 x ³  y」：大於等於符號用來表示 x 是大於或等於y。

【範例】: 2＋8 ³ 7

【範例】: 2＋8 ³ 10

【範例】:  x ³ 2 表示數線上所有大於等於 2 的點。

4.「 x  ＜  y」：小於符號用來表示 x 是小於y。

【範例】: 2＋8 ＜ 27

【範例】:  x  ＜ －4 表示數線上所有小於－4 的點。

5. 「 x £  y」：小於等於符號用來表示 x 是小於或等於y。

【範例】: 2＋8 £ 17

【範例】: 2＋8 £ 10

【範例】:  x £ －4 表示數線上所有小於或等於－4 的點。 

0  2 

0  2 

0 

­4 

0 

­4

E70201

0  22 

1. 不等號中一個數或未知數，從不等式一邊移到另一邊時，則要變號，但不等號不變。

【範例】: 化簡不等式： x －2＞4，並在數線上標示其範圍。

解 ： 

x －2＞4 Û  x ＞4＋2 Û  x ＞6

【範例】: 化簡不等式：5 x －2 £ 2 x ＋4，並在數線上標示其範圍。

解 ：

5 x －2 x £ 4＋2 Û  3 x £ 6 Û  x £ 2

【範例】: 化簡不等式：5( x －4) ＜ 2( x + 4)，並在數線上標示其範圍。

解 ：

5 x －20 ＜ 2 x ＋8 Û 5 x －2 x  ＜ 8＋20 Û 3 x  ＜ 28

Û  x  ＜  3  28 

2. 不等號兩邊同乘正數時不等號不變。

【範例】: 化簡不等式： 

4 

1 ( x ＋2)＜ 6，並在數線上標示其範圍。

解 ：  4 

1 ( x ＋2) ＜ 6 Û  4  1 x ＋ 

2 

1  ＜ 6

Û  4 

1 x  ＜ 6－ 

2  1

Û 4 ×  4 

1 x  ＜ 4 ×  2  11

Û  x  ＜ 22  0  2 

0  28 

3 

0  6

【範例】: 化簡不等式：2( x －2) ＞ 6，並在數線上標示其範圍。

解 ： 2( x －2)  ＞ 6 Û  2 x

－

1  ×  2 x ＞  2  1 × 10 Û  x  ＞ 5

3. 不等號兩邊同乘負數時大於變為小於。

【範例】: 化簡不等式：－ x ＋2 ＞ 7，並在數線上標示其範圍。

解 ： － x ＋2 ＞ 7 Û － x  ＞  5

Û  x  ＜ －5  (同乘負數， 「＞」變「＜」)

【範例】: 化簡不等式：－ 

4 

1 ( x ＋2) ＞ 6，並在數線上標示其範圍。

解 ： －  4 

1 ( x ＋2) ＞ 6

Û ( x ＋2) ＜ 6 × (－4) ( 兩邊同乘－4，「＞」變「＜」) Û  x  + 2 ＜ －24

Û  x  ＜ －24－2 Û  x  ＜ －26

4. 不等號兩邊同乘負數時小於變為大於。

【範例】: 化簡不等式  4 

1  ( x ＋2)  ＜ 6 (2 x －4)。

解 ：  4 

1  ( x ＋2)  ＜ 12 x －24 (兩邊同乘 4) Û  x ＋2 ＜ 4(12 x －24)

Û  x ＋2 ＜ 42 x －96 Û  x －42 x ＜－98

Û －41 x ＜－98 (兩邊同乘 －1，「＜」變「＞」) Û 41 x ＞98

Û  x  ＞  41  98 

0  5 

0 

­5 

­26  0 

0  98

41

E70201

5. 不等號兩邊同乘負數時大於等於變為小於等於。

【範例】: 化簡不等式：－3 x －7 ³ 13－2 x ，並在數線上標示其範圍。

解 ： －3 x －7 ³ 13－2 x Û －3 x ＋2 x ³ 13＋7

Û － x ³ 20 (兩邊同乘 －1，「 ³ 」變「 £ 」) Û  x £ －20

6. 不等號兩邊同乘負數時小於等於變為大於等於。

【範例】: 化簡不等式：－5 ( x ＋2) £  2 x + 6，並在數線上標示其範圍。

解 ： －5 ( x ＋2) £  2 x + 6 Û －5 x －10 £  2 x + 6 Û －5 x －2 x £ 6 ＋ 10 Û －7 x £  16  ( 兩邊同乘 － 

7  1  )

Û  x ³ －  7  16 

結論：當 a＞b 時，

推論 1：對任意數 c，我們恆有 a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；

推論 2：對任意正數 c＞0，我們恆有 ac＞bc， 

c  a ＞ 

c  b ； 推論 3：對任意負數 c＜0，我們恆有 ac＜bc， 

c  a ＜ 

c  b 。 此外，對於不等號「＜」、「

³

£

­20  0 

16  0  7

【例題 1】 【例題 2】

下面的形式哪些稱為一元一次不等 式，請在括號內打勾： 

( Ö )  －2＞ x －2  ( Ö )  3( x ＋5)

³

2  x ＋4

£ 

3  x + 3  ( Ö )  |  2 x －1 |＜|－4 x ＋1| 

( Ö )      3 x －4

³

下面的形式哪些稱為一元一次不等 式，請在括號內打勾： 

( Ö )  －  2 

x ＋1＞ x －2 

( Ö )  x －  3  x

³

3  x －9 

( Ö )    3 x ＋7＜3 x ＋4

£ 

( Ö )  |  2 

x －1 |

³

【例題 3】 【例題 4】

請在數線上標出下列不等式的範圍：

(1)  x ＞－1 ； (2) 0＜ x ＜2 解：

(1)

(2)

請在數線上標出下列不等式的範圍：

(1)  x

³

£ 

(1)

(2)

【例題 5】 【例題 6】

請在數線上標出下列不等式的範圍：

(1) －4

£ 

£

£ 

£

(1) (2)

請在數線上標出下列不等式的範圍：

(1)  x＞2；x＜－1；(2)  x

³

£

(1) (2)

【例題 7】 【例題 8】

化簡下列各一元一次不等式：

(1)  x ＋5＞－2  (2)  x －6＜2 

答：(1)  x ＞－7。 (2)  x ＜8。

化簡下列各一元一次不等式：

(1) －15＞ x －9 (2) －6＜ x ＋2

答：(1)  x ＜－6。 (2)  x ＞－8。 

­2  ­1  0  1 

­2  ­1  0  1  2 

2 

0  1  3 

­1  0  1  2  3 

­4  ­2  0  2 

­2  0  2  4 

­2  ­1  0  1  2 

­2  ­1  0  1  2

E70201

【例題 9】 【例題 10】

化簡下列各一元一次不等式：

(1) 3 x ＋5＞－2  (2) 2 x －10＜22  解：(1) 3 x ＋5＞－2 

3 x ＞－7 

∴  x ＞－ 

3  7  (2) 2 x －10＜22 

2 x ＜32 

∴  x ＜16 

化簡下列各一元一次不等式：

(1) 2 x ＋5

£

³ 

£

2 x

£

∴  x

£

³ 

4 x

³

∴  x

³

【例題 11】 【例題 12】

化簡下列各一元一次不等式：

(1)  3 

2  ( 3 x ＋9)  ＜ 6 (  3 

2 x －1)

(2) －  4 

1  ( 12 x ＋28) £ 6 x ＋2 解：(1) 

3 

2  ( 3 x ＋9)  ＜ 6 (  3 

2 x －1) 2 x ＋6＜4 x －6

2 x ＞12

∴  x ＞6 (2) － 

4 

1  ( 12 x ＋28) £ 6 x ＋2

－3 x －7≦6 x ＋2 9x≧－9

∴  x≧－1

化簡下列各一元一次不等式：

(1) －  2( 3 x ＋1) £  5 x + 9 (2) － 

3 

2 ( 6 x ＋1)  ＞2  3  2 

解：(1) －  2( 3 x ＋1) £  5 x + 9

－ 6 x －2 £  5 x + 9 11 x ≧－11

∴  x ≧－1 (2) － 

3 

2 ( 6 x ＋1)  ＞2  3  2 

－2( 6 x ＋1)＞8  6 x ＋1＜－4  6 x ＜－5

∴  x ＜－ 

6  5 

【例題 13】 【例題 14】

化簡下列各一元一次不等式： 

5 x ＋2＜ 2( x －1) £  x ＋5 解：

(1)  5 x ＋2＜2( x －1) 3 x ＜－4

∴  x ＜－ 

3  4 

(2) 2( x －1) £  x ＋5

∴  x £ 7 

由(1)(2)得到  x ＜－ 

3  4 

化簡下列各一元一次不等式： 

3 x

－

(1)  3 x

－

∴  x ＞－7

(2) 6( x ＋2)＜3 x －1 3 x ＜－13

∴  x ＜－ 

3  13 

由(1)(2)得到 －7＜ x ＜－ 

3  13