第二節 模擬分析之模型設定

第三章 基本模型

第一節 基本理論模型

為 探 求 自 由 移 動 (free mobility) 、 異 質 性 偏 好 (heterogeneous preference)，對於人民選擇居住地以及地方政府提供公共財之影響，本文 以一次納許均衡 (Nash Equilibrium) 之概念，假設人口分布以及公共財提 供數量之均衡同時達成，且個人進行短視 (myopia) 之遷移行為。²而個人 選擇居住轄區之依歸，乃將轄區人口數以及公共財提供水準視為給定，得 以極大化其效用水準之轄區。本文之第四章、第五章，將依循本章所設定 之模型，針對定額稅及資本稅之兩種不同稅制，進行數值模擬，檢視人民 選擇居住轄區之決策行為，如何決定地方資源之配置，並探討地方公共財 之提供是否達到最適。

模型假設

本模型設定為長期之空間模型，分析在 steady-state 的均衡下，資源分 布的特性，整個經濟社會之假定如下：

首先，假設全國總人口數為N，故 N t N

I

i

i 



) (

1

，且全國有I個固定數 目之轄區，其邊界固定，即不探討轄區邊界變動所帶來的影響，也排除人 民有誘因組成新轄區之可能。³其次，全國存在數個轄區，每個轄區的地方 政府，依照轄區內居民之需求，提供消費性與生產性公共財，且假設對於 消費性公共財偏好最低之居民，住在第一個轄區，而偏好最高之居民，則

2 所謂一次納許均衡，即指所有的均衡同時決定，且無人有遷移之誘因。而所謂的短視遷移行為，

則指居民遷移時，未將其所帶來的外部性納入其決策考量，使社會資源配置未達最適水準。

3 以下所有的變數，均為時間的函數，但為分析方便，先不以時間函數型態表示之，直到後續探 討動態穩定條件之設定時，再以時間的函數說明。

居住在第I 個轄區，在最低與最高偏好強度之間的居民，依照其偏好強度，

以齊序 (monotonic) 的方式排列之。另外，假定每人期初均擁有相同的資 本原賦，又本模型為長期均衡模型，故在 steady-state 的情況下，長期均衡 之每期的資本原賦，均須維持固定的水準，每期產出以及私有財的成長率 也必須為零。最後，假設現存之經濟社會，不論窮人或者富人，高偏好者 或者低偏好者，一律等同視之，故設定總社會福利函數為 Benthemite 之函 數型態。⁴附帶一提者，此模型所設定的所有財貨，均以實質 (real) 概念表 示之，排除價格機制之介入與調整。

在此經濟體系下，由消費面、生產面、及地方政府等三部份組成，茲 分述如下：

一. 消費面：

在可選擇轄區之集合內，個人選擇居住於不同轄區，並享受不同水準 之地方公共財。本文設定一般式之效用函數型態，且其水準受到私有財、

每 人 消 費 性 公 共 財 之 影 響 。 私 有 財 及 消 費 性 公 共 財 均 正 常 財 ， 故 )

; , (x_i g_i 

u ，且u(0,g_i;)u(x_i,0;)0

另外，本文特別強調以下兩個假設：

A.完全移動性：假設個人具有完全的移動性，可自由選擇使其效用水 準極大化之轄區，且遷移無成本，故遷移成本不會影響個人之遷移決策。

B.異質性偏好：假設個人對於消費性公共財具有異質性偏好，以 代 表其偏好的強度， 為 0 到 1 之均勻分配，且每種型態只有一單位人口。

4 所謂 Benthemite 效用函數，即指社會上每個人權數相同，即





 ⁿ

i

Wi

SW

1

越大，代表對於消費性公共財偏好越強，消費性公共財所帶來的效用水準 越高，所以即便居住於相同的轄區，個人的對於私有財及消費性公共財之 邊際替代率 (MRS) 可能也不盡相同。

故消費者之效用函數可設定如式 (3-1)，代表第 個人，住在第i個轄 區之效用水準：

)

; ( ) ,

, ( _ 

i u xi gi u gi

u   ，i1,2,...I (3-1)

其中，I 代表全國總轄區數目，x_i代表每人消費之私有財，g_i代表每人持 有之消費性公共財，且定義每人持有消費性公共財數量，為總消費性公共 財提供數量G_i，除以轄區人口數N_i，即

i i

i N

g  G 。

二. 生產面：

為簡化分析，本文假定存在生產函數型態相同之廠商，個人同時為消 費者及生產者，生產及消費在同一地點，其依據個人效用水準之高低，選 擇居住之轄區。此外，假設生產成本為零，且因個人同時為消費者與生產 者，故當個人已極大化其效用時，生產面利潤極大化之條件將隨之滿足。

5最後，假設一般式的生產函數，同時受到資本原賦、以及每人生產性公共 財的多寡，故居住於不同轄區，將享受不同水準之地方公共財，擁有不同 產出(所得)水準，故生產者的生產函數可設定如式 (3-2)：

) ,

( _i

i f k p

y  ，i1,2,...I (3-2)

其中，k代表資本， p_i代表每人持有之生產性公共財，且定義每人持有生

5 此處利潤極大化之條件，是指在完全競爭之市場假設下，使所有廠商均無超額利潤 (zero-profit condition) 之條件。

產性公共財數量，為總生產性公共財提供數量P_i，除以轄區人口數N_i，即

i i

i N

p  P 。

三. 地方政府：

本模型假設地方政府為「追求預算帄衡」型政府，並注重轄區內居民 之福利水準。⁶各地方政府均可依法律或者自訂政策，事先獨立決定稅率及 公共財提供法則，且人民對於政策法則具有完全資訊。同時，由於同時存 在數個固定轄區，地方政府間存在競爭關係，故其無法獨立決定轄區內公 共財提供水準，也無法實行策略性行為剝削居民利益，只能依照居民之需 求，提供消費性公共財予個人，生產性公共財予廠商，並以定額稅或者資 本稅作為融通公共財之財源。除此之外，由於本模型較著重分析消費性公 共財之提供水準，所以假設地方政府提供「相同數量」之生產性公共財，

予轄區內的居民，故生產性公共財為外生參數。

政府的預算限制線如式 (3-3)、(3-4) 與 (3-5)：

當政府課徵定額稅： T_i L_iN_i ，i (3-3)

當政府課徵資本稅： T_i t_k,ikN_i ，i (3-4)

i i

i G P

T   ，i (3-5)

其中，T_i為政府總稅收，L_i為定額稅稅額，t_k,i 為第i個轄區之資本稅稅率，

Ni為第i個轄區的人口數，G_i為政府提供之消費性公共財數量，在本模型 為內生變數，P_i為政府提供生產性公共財數量，在本模型為外生參數。式

6 除了追求預算帄衡型政府，文獻上有諸多設定政府之目標，為追求其利潤或者支出極大化。

(3-3) 及 (3-4) 代表第i轄區之總稅收，為每人繳納之定額稅或者資本稅，

乘上人口數之總和，式 (3-5) 則代表政府將轄區內的總稅收，全部做為提 供生產性及消費性公共財之財源。

此外，個人在政府課徵定額稅時，私有財之消費數量之如式 (3-6)，

代表個人將所得一部份呈繳給地方政府，作為地方公共財之融資財源以 外，其餘均用以購買私有財：

i i

i f k p L

x  ( , ) (3-6)

而在政府課徵資本稅時，私有財之消費數量如式 (3-7)，代表個人除 了繳交固定額度之資本稅予地方政府，其餘資本用於生產之外，由於本模 型為長期均衡模型，故在 steady-state 下，每期期初的資本原賦固定。⁷所 以個人的私有財實質購買力，須將所得扣除繳交給地方政府之稅額，以彌 補其出損失的資本，方可使資本原賦固定在原來的水準：

k t p k t k f

x_i  ((  _k,i ), _i) _k,i  (3-7)

均衡與比較靜態分析

定義：區位均衡 (locational equilibrium)

本模型所設定之經濟體系中，配合不同的稅額水準，其人口均衡N_i以 及消費性公共財G_i之配置均衡，為一系列成對之集合：

) ,..., ,

(N₁^* N₂^* N_I^* 以及(G₁^*,G₂^*,...,G^*_I) 其中，每個均衡均須滿足以下三個條件：

1. 個人居住選擇法則 (residential choice rule)

7 在總體長期均衡模型之 steady-state 之下，產出、消費、資本之成長率均等於零。

) ( )

( _j 

i V

V  ，i j，則此人將選擇居住在第i個轄區。

即當個人住在i轄區比住在 j轄區，獲得更高的效用水準時，將選擇居 住在i轄區。

2. 區隔法則 (stratification rule)⁸

a. ( , ; ) ( , * 1; ^*)

* 1 1 ,

*

*

*

, ^*

* i i i

i i i

i Gi N V G N

V

i

i  _ 

   ^{ } ，i1,2,...,I 1

b. V _,i(G_i^*,N_i^*; _i^*_{1 i i}^*) V _,j(G^*_j,N^*_j; _i^*_{1 i i}^*)

i

i    _   

 _    _   ， i j ，

* 0

0 

 ，₁^* 1

c. N_i^* _i^*_i^*_1，i 1,2,...,I

即在均衡時，位於轄區切割點之個人，住在兩個相鄰轄區之效用水準相 等；另外，偏好強度位於兩個切割點中間之個人，住在其所選擇的轄區之 效用，必大於住在其他轄區之效用，且兩邊端點之個人偏好強度分別為 0 與 1。而轄區i的人口數，即為兩個切割人口偏好強度之差距。

3. 預算限制式 (budget balance)

*

*

*

i i i

i N G P

L    ，i

比較靜態分析

在此理論模型中，外生參數包括：定額稅L_i、生產性公共財P_i、資本 原賦k、人口總數N、以及轄區總數I 。故，

8 所謂居住選擇法則，係指個人選擇居住轄區之判定依歸；而區隔法則，則是指經濟體系達成均 衡時，人口分布將如何切割。

) ...

, ...

, , ,

( _{1 1}

*

I I

i

i N k N I L L P P

N  ，i

) ...

, ...

, , ,

( _{1 1}

*

I I

i

i G k N I L L P P

G  ，i

然而，由於ㄧ般式的設定，難以找到明確的解析解，無法進行真正的 比較靜態分析，僅能依賴第四章數模擬的方式，嘗詴尋求可能的比較靜態 結果。

第二節 模擬分析之模型設定

由於本文之模型，無法找到明確的解析解，故採取數值模擬之方式，

尋找可能的均衡，並進行比較靜態分析。以下，本文從兩個轄區之設定下，

依據 Cobb-Douglas 之效用函數及生產函數，假定每人每期的資本原賦固定 為k，全國總人數固定為N ，政府提供等量的生產性公共財予各轄區，並 可事先決定課徵稅目以及稅額，以觀察人口分布的狀況，以及公共財配置 之水準。

附帶一提者，乃本章之模擬模型均以定額稅之結果為主，僅有特別提 出討論之必要時，方列出資本稅的結果，且本文設定不論課徵定額稅或者 資本稅，均為相同的額度，以資比較。模型設定如下：

Max u_i  x_i^g_i^ g_i^ ，i 1,2 (3-8)

課徵定額稅之限制式：

i i i i i b i

a p g p x L x

k A

y         (3-9)

故私有財之消費可寫為式 (3-10)：

i b i a

i Ak p L

x^*   ，i 1,2 (3-10) 若將式 (3-10) 代入個人之效用函數，可得：

 



1 1 1 1

1 A((k p ) L ) g g

V  ^a  ^b  

 



2 2 2 2

2 A((k p ) L ) g g

V  ^a  ^b  

其中，V₁代表住在第一個轄區之間接效用水準，V₂代表住在第二之轄區的 間接效用水準。

定義：兩個轄區之區位均衡

本模型所設定兩個轄區之經濟體系中，在不同的稅額下，其人口均衡

Ni以及消費性公共財G_i之配置均衡，為一系列成對之集合：

) ,

(N₁^* N₂^* 以及(G₁^*,G₂^*) 其中，每個均衡解均須滿足以下兩個條件：

1. 區隔法則 a. V₁^* V₂^*

故，A((k^ap₁^bL₁)^g₁^ g₁^  A((k^ap₂^b)L₂)^g₂^ g₂^ (3-11)

b. 當 V₁^*()V₂^*()，則居住於轄區一 當 V₁^*()V₂^*()，則居住於轄區二 c. 均衡之下，N₁^*  N^*，N₂^* NN₁^*

*滿足式 (3-11) 之均衡條件。

也就是，人民將依據自我選擇機制，選擇適合居住轄區 ，而對於住在

兩轄區，其效用水準均相等之人，其對公共財偏好之強度^*恰好可作為區 分兩轄區人口之切割點，且N₁^*  N^*，N₂^* NN₁^*。

2. 政府的預算限制式

*

*

*

i i i

i N G P

L    ，i (3-12) 其中，本文設定所有的地方政府均課徵相同的定額稅L，如同全國課徵單 一稅 (uniform tax)，且將定額稅之半數，帄均分給各個轄區，作為提供生 產性公共財之財源，故生產性公共財之提供水準為給定參數。

另外，若政府以課徵資本稅之政策，作為融資地方公共財之財源，則 此時個人私有財之實質購買力為：

) 1 ( )

( _{, ,}

*

i k b

i a i k

i A k k t p k t

x      (3-13) 如同本章第一小節所述，個人對於私有財之實質購買力，在地方政府 課徵資本稅的情況下，尚需扣除其繳交給地方政府的稅額，讓資本原賦在 期初均可維持在固定水準，方符合本模型為長期均衡模型之假設。

第三節 過渡動態 (Transitional Dynamics)

傳統經濟學分析「均衡」之概念，多依序從以下問題著手：經濟體系 有無均衡解？存在幾個均衡解？是否為穩定解？

本文之長期靜態均衡，為納許均衡之概念。但卻可將人民選擇其居住 轄區之調整，視為重複賽局之過程，意即人民依據自我選擇機制，不斷修 正自我行為，直到最終均衡產生，故可藉由動態調整條件，檢視最終均衡 之穩定性與否。所謂的穩定均衡，定義為當經濟體系中出現隨機干擾時，

均衡會回到原先之水準；反之，則為不穩定均衡。

本模型透過模擬之方式，發現均衡解可能存在，且在特定稅率之下，

會出現雙重均衡解，故本節將著重於提供各均衡解之穩定性判斷準則。假 設如下：

1. 全國總人數固定，故N N₁(t)N₂(t)，N_i為內生變數且為時間的函數。

2. 地方政府制定定額稅課徵水準L，且L₁ L₂ L。

3. 消費性公共財G_i為內生變數，並為時間的函數，生產性公共財P_i為給 定之外生參數，且P₁ P₂ P。

4. 地方政府的預算限制式：

1 1 1 1

1 G (t) T N (t) L

P     (3-14)

2 2 2 2

2 G (t) T N (t) L

P     (3-15) 故可將式 (3-14) 改寫為式 (3-16)

1 1 1

1(t) N (t) L P

G    (3-16) 以及將式 (3-15) 改寫成式 (3-17)

2 2 2

2(t) N (t) L P

G    (3-17)

2 2 1( ))

(NN t L P



故個人住在轄區一與轄區二之間接效用函數，分別為V₁(N₁(t),G₁(t),) 及V₂(N₂(t),G₂(t),)。又因G₁(t)、G₂(t)、及N₂(t)均可改寫為N₁(t)的函數，

故最終之間接效用函數，可分別寫為V₁(N₁(t),)及V₂(N₁(t),)。

均衡條件：作為人口分界點之邊際居民，不論居住於轄區一或者轄區二，

效用水準必須相等，所以均衡時，其間接效用函數為：

) ), ( ( ) ), (

( _{1 2 1}

1 N t  V N t 

V  (3-18) 經濟體系的動態調整過程

令：

) ), ( ( ) ), ( ( ) ), (

(N₁ t  V₁ N₁ t  V₂ N₁ t 

DV   ，^{uniform}

 

代表第 個人，住在第一個轄區與第二個轄區之效用水準差距。

c 為 之分界點 (cutting point)，即為邊際居民之偏好強度。

另外，^c與N₁之調整過程設定如下：

1. ^c的動態調整過程：

) ( ^c

c

dt DV

d  

 



 ，_ 0

其中，_代表調整速度，設定為正值，代表當V₁(^c)V₂(^c)，^c必須上升 以消除V₁(^c)與V₂(^c)之差距；反之，當V₁(^c)V₂(^c)，^c必須下降以消 除V₁(^c)與V₂(^c)之差距。故，^c調整路徑須與DV 呈現正向關係。

2. N₁的動態調整過程：

) ), ( ( ₁

1  DV N t 

dt dN

N 

 ，_N 0

其中，_N代表調整速度，設定為正值，代表當V₁()V₂()，第 的個人有 誘因從第二個轄區移動到第一個轄區，以增加其效用水準；反之，當

) ( )

( ₂

1  V 

V  ，第 的個人有誘因從第一個轄區移動到第二個轄區，以增加 其效用水準。故，N₁調整路徑須與DV 呈現負向關係。

依據上述之動態調整條件，可保證存在之均衡為穩定解，本文將在第 四章模擬結果的部份，說明均衡穩定解之調整條件。