當泰勒二次項消失時：反曲點 單維彰‧

當泰勒二次項消失時：反曲點

單維彰‧2012 年 10 月

我們已經知道三次函數 f x( )a x₃ ³a x₂ ²a x₁  的圖形必有一個（且僅有一個）a₀ 對稱點 ( , )h k ，其中 ²

3 3

h a

  a ，k  f h( )。因為y f x( )的圖形在對稱點 ( , )h k 的 兩側彎曲的方向相反，所以它也稱為y f x( )的反曲點 (point of inflection)。就 像以下四幅圖形之中，原點就是反曲點。

三次函數一定有一個反曲點，更高次的函數則可能沒有、也可能有超過一個 反曲點。要怎樣判斷高次函數是否出現反曲點呢？還是回到泰勒形式來瞭解。如 果一個五次函數 f x( )a x₅ ⁵a x₄ ⁴a x₃ ³a x₂ ²a x₁  以 a 為參考點的泰勒多項a₀ 式是

3

0 1 3

( ) ( ) ( )

f x  c c x a c x a ，

亦 即 c₂  但 是0 c₃  ， 則 函 數 f 在0 xa 附 近 的 圖 形 就 像 三 次 函 數

3

3( ) 1( ) 0

yc x a c x a  的圖形。此三次函數的圖形對稱於 ( , ( ))c a f a ，可見 ( )

y f x 的函數圖形在它兩側彎曲的方向相反。這時候，我們稱點 ( , ( ))a f a 是函 數y f x( )的反曲點。

尋找一般函數 ( )f x 之反曲點的程序如下：

第一步：做 ( )f x 的二階導函數 f( )x ，求解 f( )x  的實根。 0

第二步：對每一個實根 a，檢查 f  和(a ) f  是否異號？也就是檢查(a ) f( )x 在 a 的左右兩側是否變號？其中a就是 a 的左的左邊一點點的意思，而a就是 a 的右編一點點的意思。或者，只要 f( )a  ， ( )0 f  和a f  就必然異號。 (a ) 第三步：如果 f( )x 在 a 的左右兩側變號，或者 f( )a  ，則 ( , ( ))0 a f a 就是 ( )f x 的一個反曲點。要如此檢查所有 f( )x  的實根。 0

舉例而言，令 f x( )x⁴6x³12x² 8x ，f 在2 x[0, 3]的圖形如以下的左 圖。求解 f( )x 12x² 36x24 得到兩個實根 1 和 2。用電腦算出 f 分別以 10 和 2 的泰勒形式如下：

3 4 3 4

( ) 1 2( 1) 2( 1) ( 1) 2 2( 2) ( 2) f x   x  x  x   x  x

從泰勒多項式看到 f(1) 而且0 f(2) ，可見 f 有兩個反曲點，分別在0 (1, (1))f (1,1)和 (2, (2)) (2, 2)f  ，而 f 在反曲點附近的圖形分別類似三次函數

2( 1)3 2( 1) 1

y  x  x  和y2(x2)³ ，如以下的中圖和右圖所示。 2

最後，讓我們談談為什麼須要反曲點？舉一項基本理由：它是操作股票、期 貨的基本工具之一。大家都知道，應該在低點買進，而在高點賣出。但是怎麼能 知道什麼時候跌到最低？什麼時候漲到最高呢？投資的絕佳時機一閃即逝，金融 從業人必須熟練許多數學工具，來協助走勢的判斷。多項式是一種最基本的模 型，而反曲點也是重要的訊息。

投資者或操作者每天看盤，根據本日（或任一時間點）的單價，和過去三個

（或更多）交易日的收盤價（或其他時間點的價格），作為四個（或更多）條件。

而根據這些條件，可以採用第一章 3.1 節的牛頓插值方法，做成三次多項式（或

更高次）函數；其實還有其他方法做成更精確的函數。

我們可以用函數來描述營業額和定價的關係，或者用函數來描述今日和過去 三個交易日的價格走勢，這些函數都可以用來描述經濟狀況，也可以用來（幫助）

預測未來。它們的預測都有某種程度的參考價值。像這樣用來描述兩量關係並藉 以預測未來的函數，通稱為數學模型。在生活中我們木材、塑膠、金屬製造飛機、

跑車、妖怪的「模型」，在數學裡，我們用函數製造描述兩量關係的「模型」。 如果最近的走勢是下跌中，當反曲點發生的時候，代表下跌的情勢已經趨 緩，而最低點就可能即將發生了。相對地，如果最近的走勢是上漲中，當反曲點 發生的時候，代表上漲的情勢已經趨緩，最高點可能即將發生而轉為下跌了。投 資者當然應該注意這些訊息。