勾股定理證明-G202

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勾股定理證明-G202

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH . 2. BC 為邊長向內作正方形 BCQO .

3. AH 上取一點 S ，使得 AS BC a，以 AS 為邊長向外作正方形 ASED . 4. BK 上取一點 M ，使得 KM  ACb，以 KM 為邊長向外作正方形 KMGF . 5. 連 OK ，過 H 點作垂直 OK 的直線，交 OK 於 N 點。

6. 直線 CA 交 DE 於 R 點。

7. MG 上取一點 L ，使得 LGBC a.

8. MK 上取一點U ，使得 KU  AV，過U 點作垂直 OK 的直線，交 OK 於T 點。

A B

H

C

K D

E

G

F

R N

M L

S Q

O

U T V

【求證過程】

以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 面積等於正方形 ASED 的面 積加上正方形 KMGF 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明 Q O K共線：

(2)

設 CAB x^, CBA y^，且已知x^ y^ 90^。因為 90

KBO VBO ^ CBA VBO

        ，所以 KBO  CBA y^，又因為

BO a BC, KB c AB，所以

KBO ABC

   (SAS 全等).

即KOB ACB90^，故

Q O K共線。

2. 證明三角形 HTN 與三角形 FLG 全等：

因為 KBO  ABC，所以 OKB  CABx^。因為

90 90

HKN ^ OKB ^ x^ y^ CBA

         , HNK90^  ACB,

HK  c AB，所以

HKN ABC

   (AAS 全等).

因為 LGBCa, FGL90^  ACB, FG b AC，所以 FLG ABC

   (AAS 全等).

故

. HKN FLG

   3. 證明三角形 BVO 與三角形 ARD 全等：

因為OBV 90^ CBA CAB DAR, BO a AD, BOV 90^  ADR，所以

BVO ARD

   (ASA 全等).

4. 證明四邊形 BUTO 與四邊形 ARES 全等：

因為OBU  y^ 90^x^  SAR, BOT 90^ ASE, OTU 90^  SER，所以

BUTO ARES

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等。

又 BU BK UK  ABAV VB AR, BO a AS，因此 . BUTO ARES

四邊形四邊形

5. 證明三角形 KUT 與三角形 AVQ 全等：

因為 KBO  ABC，所以 BKO  CAB。因為 TKU  BKO CAB QAV ,

(3)

KU  AV, KTU 90^  AQV，所以 KUT AVQ

   (AAS 全等).

6. 證明四邊形 AQNH 與四邊形 LMKF 全等：

因為 HKN  FLG，所以 NHK  GFL。因為

90 90

AHN ^ NHK ^ GFL LFK

         , AQN90^  LMK,

90

QNH ^ MKF

    ，所以

AQNH LMKF

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等。

因為 HKN  ABC，所以 NH  AC b，可推得 . NH  b KF 又因為 FLG  ABC，所以 FL ABc，可推得

. HA c FL 故

. AQNH  LMKF

四邊形四邊形

7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

ABKH BVO BUTO KUT

HKN AVNH

ARD ARES AVQ

FLG AVNH

    

  

    

  

四邊形四邊形

正方形面積面積面積面積

面積面積

面積面積面積

面積

四邊形四邊形

面積 (

(

ARD ARES FLG

AVQ AVNH

ASED FLG LMKF

HSFG KMGF

    

  

   

 

四邊形四邊形

正方形四邊形

面積面積) 面積

面積面正方形正方

積)

面積面積

形

面積

面積面積，

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 3 月 27 日晚上 10 點 40 分想到的。

2. 心得：此證明將正方形 ABKH 切割成五個區塊，只要證明這五個區塊的面積等於正 方形 ASED 的面積加上正方形 KMGF 的面積，就能順利推導出勾股定理的關 係式。

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3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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4. 補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：