勾股定理證明-G077
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明點 H 在 GF 上)。
2. 過C作AB之垂線，分別與HK, AB相交於L點, M 點。
3. 連接CH , CK, KE (於證明過程第 2 點說明 K E D共線)。
A B
C
D E
F
G
H K
M L
【求證過程】
先證明四邊形 ABKH 為正方形，並將正方形 ABKH 縱向切割為兩個長方形，再運 用底高的面積計算與切割重新拼圖的方法，證明這兩個長方形的面積和會等於正方形
BCED 與正方形 ACFG 的面積和，進而推得勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：
因為 AH AB, AG AC, GAH 90 HAC CAB，所以 GAH CAB
(SAS 全等).
得到HGA BCA90，又FGA90，所以
點 H 在 GF 上，即 G H F共線。
2. 先證明三角形 DKB 與三角形 CAB 全等，再得到 K E D共線：
因為 KB AB, BDBC, DBK 90 NBC CBA，所以 DKB CAB
(SAS 全等).
得到BDK BCA90，又BDE90，所以 K E D共線。
3. 先證明四邊形LKBM為長方形，再證明它的面積等於正方形 BCED 面積：
因為四個內角皆為直角，所以四邊形LKBM為長方形，且
2
2 2 1
2 KBC LKBM KB BM
BC CE BC CE
BC B
長方形 面積＝
＝ 面積 ＝
＝ ＝
＝正方形 CED面積.
4. 先證明四邊形HLMA為長方形，再證明它的面積等於正方形ACFG面積：
因為四個內角皆為直角，所以四邊形HLMA為長方形，且
2
2 2 1
2 HAC HLMA HA AM
AC AG AC AG
AC A
長方形 面積＝
＝ 面積 ＝
＝ ＝
＝正方形 CFG 面積.
5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH LKBM HLMA
BCED ACFG
正方形 面積＝長方形 面積＋長方形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
AB BC AC , 即
2 2
2 a b
c
【註與心得】
1. 來源：這個證明記載於：
(1) J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 12). Leipz.: Friese.
(2) Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.159). New York : Macmillan and co.
(3) Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1898). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 250.
(4) Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 12).
Amsterdam: A. Versluys.
(5) E. Fourrey (1907). Curiosités Géométriques(p. 76). Paris: Vuibert et Nony.
2. 心得：此題證明簡單易懂，先將正方形ABKH 切割成兩個長方形，再透過輔助線將 長方形面積轉移為三角形面積的計算，進而推得正方形 ABKH 的面積會等於 正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和。
3. 評量：
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4. 說明：在原書的圖形並沒有畫出 KE ，但如果沒有此線段，將很難說明三角形 KBC 的高與正方形 BCED 的邊長相等，因此在作圖中畫出 KE ，來證明 K E D 共線。
