具時窗限制之車輛迴轉率與路線規劃問題之研究

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告 具時窗限制之車輛迴轉率與路線規劃問題之研究

Study on Multi-Trip Vehicle Routing Problem with Time Window 計劃編號：ＮＳＣ89-2146-Ｈ-006-074

執行期限：８９年８月１日至９０年７月３１日 主持人：張秀雲 國立成功大學工業管理研究所

E-mail: [email protected]

一、中文摘要

本研究透過對車輛途程問題相關文獻 的整理，探討在容量與一定的工作時間限 制下，車輛多次回到物流中心載貨服務不 同路線的問題。對多車次車輛路線問題提 出數學模式與啟發式演算法。

關鍵字：迴轉率、時窗限制、多車種路線 規劃。

ABSTRACT

This study investigates the Multi-Trip Vehicle Routing Problem with Time Window, MTVRPTW. First, a mathematical model is constructed. Then, comparisons between MTVRPTW and other types of Vehicle Routing Problem are studied to improve the algorithms of MTVRPTW. Finally, an algorithm is developed for MTVRPTW.

Keywor ds: Multi-Trip, Time Window, Vehicle Routing Problem.

二、緣由與目的

車輛路線問題(Vehicle Routing Problem, VRP)在物流配送系統問題中一直扮演一個 非常重要的角色，自從Dantzig[8]等人首先 提出路線問題並且發展出以線性規劃為基 礎的啟發式演算法(Heuristic Algorithm)之 後，在近40 年的發展歷史中，車輛路線問 題的文獻和數學模式已受到廣泛的探討，

例如車輛容量限制問題、路線對稱與否問

題、時間窗口限制問題、行車速率時間相 依問題、回程揀收問題和近年來受到許多 學者探討的隨機型問題[4,10,12,13,17]等。

而在實務上，由於電腦設備進步和網路的 發達，有愈來愈多的物流中心是採用 EOS 電子訂貨系統，所以只要在截單時限之 前，客戶都可以隨時更改其訂單內容，因 此在不考慮插單的情形下，我們將探討時 窗限制及車輛多次使用的問題，期使本研 究能更適用於日常生活而滿足實際要求，

達到充分利用運輸資源的目的。

所謂車輛多次使用，也就是放鬆一台 車輛只能服務一條路線的限制，在不違反 工作時間限制的前題下，車輛可以多次使 用。

Taillard 等人[18]曾在文獻中提到此問 題是在1990 年 Fleischman 在工作報告中首 度提出，而針對這樣的問題Taillard 等人[18]

試著提出一種方法求解不具時窗之單車種 車輛路線問題，他先以之前求解車輛路線 問題的禁忌搜尋法產生VRP 的可行解，然 後將這些可行解在不違反車輛最大工作時 間限制下分配給車輛，追求車輛的最少使 用數。而 Brandao 和 Mercer[6]則根據某公 司的個案，發展具時窗之多車種車輛路線 問題的求解方法，在方法上是採取三階段 的方式，每一個階段中皆以禁忌搜尋法不 斷的修正其可行解，並以最後解作為其最 佳解。上述兩篇文獻雖然皆在求解車輛多 次使用問題，不過求解過程繁雜，且並未 提出此類問題的數學模式，是其所不足的 地方。

陳志峰[3]雖然曾對多次使用車輛路線 問題提出數學模式，但是由於無法克服車

輛應該回到物流中心的問題，所以在其結 論中提到，其模式是設定車輛路線至客戶 終點為止，這是基於貨運公司需求不確定 情形下，若是貨運公司貨源確定，此模式 將不適用，而且他將車次固定解釋為車輛 多次使用也與物流中心實務上的運作不符 合。

此外，有些物流業者經評估後發現，

小型物流車一天迴轉二、三次可載運較多 的貨品，所以會比一天迴轉一次來得有效 益。因此，為了增加迴轉率，業者在排車 時就不一定要整車裝滿，有時只要達七、

八成的載貨率即可出車，以縮短車子巡迴 的時間，增加配送的趟次，提升車子的迴 轉率，進而節省車輛使用成本。所以本研 究將建構具迴轉率車輛路線問題的數學模 式並提出啟發式演算法。

三、結果與討論

本節將依據問題的特性作適當的假設 以完成模式之建構。3.1 節將對問題作描述 與定義符號，並且針對問題作出基本的假 設與限制。在3.2 節首先討論不具時窗限制 之多次使用車輛路線問題，並建構數學模 式。3.3 節則建構具時窗限制之多車次車輛 路線問題的數學模式。3.4 節則說明求解方 法。

3.1 問題的描述與定義

首先，本研究將具時窗限制之多車次 車輛路線問題定義為：在一天之週期內，

同一部車可進行多次貨物載送作業，即車 輛載送作業不再侷限於服務一條路徑，只 要在不違反需求點時窗限制和車輛駕駛員 最大工作時間限制，它可以進行多次的載 送作業。

本研究研究範圍與假設如下：

一 、 僅 有 一 個 物 流 中 心 (Depot or Distribution Center)且不具容量限制。

二、任何路線規劃的起迄點皆在物流中 心，而物流中心可以擁有自有車隊，

而在車輛不夠時可租用車輛。

三、需求點、需求數量與每個需求點的時

窗限制均為已知，需求數量皆小於最 小車型的裝載量。在路線規劃時，必 須完成所有的需求點之需求，而且每 個需求點僅能由一輛車服務。

四、需求點彼此之間的距離和需求點與物 流中心的距離已知且對稱，並且皆遵 守三角不等式。

五、一部車配一位司機。

六、 路線規劃完成之後，其旅行的總時間 (旅行時間+等待時間+服務時間)不超 過司機的工作時間。若車輛提早到達 其所指定的需求點處，則必須等候;

若是遲到則拒收。

符號說明

o：物流中心。

V ：所有需求點所成的集合。

V ：物流中心和所有需求點所成的集^o 合，亦即V^o =V∪{o}。

R：所有路徑所成的集合。

L：所有車型所成的集合。

K ：車型_l l 中所有車輛所成的集合。

K：所有車輛所成的集合。

已知參數說明

m：給定之路徑數目的最小值。

M：給定之路徑數目之最大值。

c ：需求點ij i 至需求點 j 之旅行成本。

q ：需求點i i 之需求量。

Q ：車型 l 的容量。l

Q：單車種的車輛容量。

t ：需求點ij i 至需求點 j 之旅行時間。

F ：車型l l 的使用成本。

F：單車種的車輛使用成本。

T：車輛所能服務的最大時間。

s ：服務需求點i i 所使用時間。

未知變數說明

y ：由需求點ij i 至需求點 j 且尚未服 務需求點j 之前車輛所載貨品數 量。

T ：路徑r r 之旅行總時間。

決策變數

xijrk：需求點i 行至需求點 j 且由車輛 k 路徑r 提供服務，其值為 1；

否則為0。

D ：車輛 k 若有使用時，其值為k 1；

否則為0。

3.2 不具時窗限制之多車次車輛路線問題 的數學模式

在建構此問題的模式時，先給定路徑 數目，然後再將所有需求點分配至各個路 徑中，求旅運成本總和最小。因為車輛路 線問題至少會有容量的限制，有可能造成 不可行解，因此在求解過程中可適時增加 路徑數目以產生可行解，並在所有的可行 解中求得成本總和最小的解作為本問題的 最佳解。

3.2.1 多車種之數學模式

Min

∑ ∑∑∑ ∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

+

o

l

V o

i k K

k l L V l

j r R

ijrk ij K k

D F x

c (3-1)

Subject to

V j x

Vo

i r R

ijrk K k

∈

∀

∑∑∑

=

∈ ∈ ∈

,

1 (3-2) k

r p x

x

o o

V

i j V

pjrk

iprk 0, , ,

∑ ∑

∈ ∈

∀

=

− (3-3)

∑∑

∈ ∈

∈

∀

≤

V

j k K

ojrk r R

x 1, (3-4) V

p q y

y _p

V j

pj V

i ip

o o

∈

∀

=

−

∑

∑

∈

∈

, (3-5)

∑

∑

∈ ∈

=

V j

j V

j

oj q

y (3-6)

=0

∑

i∈V

yio (3-7) l

j i j i Q x

y _l

R r

ijrk K k

ij ≤

∑ ∑

≠ ,∀, ,

∈ ∈

(3-8) K

k T t s x

o o

V

i j V r R

ij i

ijrk + ≤ ∀ ∈

∑ ∑∑

∈ ∈ ∈

, )

( (3-9) K

k MD x

V j

k R

r

ojrk ≤ ∀ ∈

∑∑

∈ ∈

, (3-10) (3-1)式是求得最小成本的目標式，除 了考量車輛行走時所花費的旅運成本c 之_ij 外，車輛使用時的固定成本也一併考量。

(3-2)式是表示每一個需求點，只能由一條

路徑及一部車輛來作服務，而且只能服務 一次。(3-3)式表示如果車輛進入需求點服 務，也必由該需求點離開，而且車輛必定 由物流中心出發而又回到物流中心。(3-4) 式指出一條路徑只能指派給一部車輛，不 能發生一條路徑同時指派給不同的車輛。

(3-5)式是指貨物的減少量等於需求點之需 求量。(3-6)與(3-7)式表示所有從物流中心出 發的車輛裝載貨物總合

∑

∈V j

y 等於所有需oj

求點的總合

∑

∈V i

q ，而且車輛所載的貨物量i

等於需求總量。(3-8)式則指出需求點之需 求量不能超過車輛容量，並籍由(3-5)~(3-8) 式破除車輛路線子迴路的問題。(3-9)式限 制指派給同一部車輛的每條路徑所需要的 時間總和不超過車輛最大時間限制。(3-10) 表示車輛 k 若有使用時，D 值為 1，否則_k 為 0；M 為一個相對大的值，通常可為路 徑數。

3.2.2 單一車種之數學模式

我們將以上所述的多車種數學模式轉 換成單車種模式，在決定路徑數目之後便 得到以下的數學模式：

Min

∑ ∑∑∑ ∑

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

+

o o

V

i k K

k V

j r R

ijrk ij K k

D F x

c (3-11)

Subject to

V j x

Vo

i r R

ijrk K k

∈

∀

∑∑∑

=

∈ ∈ ∈

,

1 (3-12) k

r p x

x

o o

V

i j V

pjrk

iprk 0, , ,

∑ ∑

∈ ∈

∀

=

− (3-13)

∑∑

∈ ∈

∈

∀

≤

V

j k K

ojrk r R

x 1, (3-14) V

p q y

y _p

V j

pj V

i ip

o o

∈

∀

=

−

∑

∑

∈ ∈

, (3-15)

∑

∑

∈ ∈

=

V j

j V

j

oj q

y (3-16)

=0

∑

i∈V

yio (3-17)

o R

r k K

ijrk

ij x Q i j i j V

y ≤

∑ ∑

≠ ∀ ∈

∈ ∈

, ,

(3-18) K

k T t s x

o o

V

i j V r R

ij i

ijrk + ≤ ∀ ∈

∑ ∑∑

∈ ∈ ∈

, )

( (3-19)

K k MD x

V j

k R

r

ojrk ≤ ∀ ∈

∑∑

∈ ∈

, (3-20)

{ }

^{i j i V j r k}

x_ijrk ∈ 0,1, ≠ ,∀ ∈ ^o,∀, , (3-21)

o o

ij

ii y i V j V

y =0, ≥0,∀ ∈ ,∀ ∈ (3-22)

{ }

^{k K}

D_k ∈ 0,1,∀ ∈ (3-23) 3.3 具時窗限制之多車次車輛路線問題之 數學模式

在建構數學模式之前，先說明本節尚 未定義的符號與參數。

e ：需求點 i 的服務時窗下限。i

u ：需求點 i 的服務時窗上限。i

ajrk：路徑 r 指派給車輛 k 開始服務需求點 j 之時間。

其數學模式包含(3-11) (3-23)式及 下列各式：

=0

so (3-24) K k R r V j x u a

VO

i ijrk j

jrk≤

∑

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

∈

, ,

,

(3-25) K k R r V j x e a

VO

i ijrk j

jrk ≥

∑

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

∈

, ,

,

(3-26) k r j i T x t

s a

a_jrk ≥ _irk + _i + _ij −(1− _ijrk) ,∀, , , (3-27) 其中(3-25)是表示服務需求點要在時 窗上限之前，而(3-26)與(3-27)式則保證 車輛即使提早到達需求點也必須等待時窗 的開啟。

3.4 求解方法

在3.2 與 3.3 節我們建構了不具時窗以 及具時窗限制之多車次車輛路線問題的數 學模式，本節針對所建構的數學模式，應 用已有的啟發式解法，求解多車次車輛路 線問題。

在求解多車次車輛路線問題上我們是 採取兩階段的求解方法，第一階段利用現

有求解多車種車輛路線問題的啟發式解法 [1,2,5,7,9,11,14,15,16]求得路徑，第二階段 則採用 Bin-packing 方式將路徑指派給車 輛。對於不具時窗限制的問題可以直接運 用傳統的Bin-packing 啟發式演算法指派路 徑給車輛；而具時窗限制的問題，傳統的 Bin-packing 啟發式演算法必須需要以下的 修改才能指派路徑給車輛。

3.4.1 具時間取向之 Bin-packing 演算法 第一階段的演算法我們可以求得各路 徑之開始時間、結束時間與路徑之旅運時 間，接著採取 bin-packing 問題的概念將 路徑排入車輛中。，因此我們將採取啟發 式解法求解本問題，下面介紹說明在演算 法中會使用到的已知參數：

i

d ：編號 i 的路徑開始之時間。o

S：路線的集合，S 集合中的路徑已經 依路徑開始時間的先後順序予以編號。

) ,..., ,

(d¹_o d_o² d_oⁿ

S= ，d_o¹ ≤d_o² ≤....≤d_oⁿ。 T ：編號 i 的路徑旅運之時間。i

T：車輛最大工作時間。

未知參數：

] [j

begtime ：編號 j 的車輛開始工作的 時間。

] [j

endtime ：編號 j 的車輛結束工作的 時間。

] [j

dotime ：編號 j 的車輛執行完目前路 徑的時間。

j i

bin[ ]= ：編號 i 的路徑配置給編號 j 的車 輛。

在演算法開始之前，必須先將各路徑 依開始時間之先後順序予以編號，然後將 對應的路徑結束時間和其所花費的旅運時 間給予相同編號，如下所示：

1 1 1

o

o T a

d → → ，d_o² →T₂ →a_o²，…，

n o n n

o T a

d → → ，其中d_o¹ ≤d_o² ≤....≤d_oⁿ，n 表示路徑個數，然後依據路徑開始時間與 路徑旅運時間作判斷，依序將路徑配置給 車輛，以求車輛使用數最小。而車輛可使 用的最大數值為給定的路徑數目，而各車 的開始時間並不一定一樣，將路徑依開始

時間的先後順序予以編號，編號愈前面的 表示路徑開始的時間愈早，至於其所對應 的結束時間與旅運時間其編號大小則不具 有先後順序的意義。完整的演算步驟如下 所述：

{1}S =(d¹_o,d_o²,...,d_oⁿ)，其中

n o o

o d d

d¹ ≤ ² ≤....≤ ，n 表示路徑個數，

2 2 2

o

o T a

d → → ，…，d_oⁿ →T_n →a_oⁿ， n

i for T

T_i ≤ ≤ ≤

< , 1

0 。

{2}for j=1 to n do dotime[j]=0，

∞

= ] [j

begtime ，endtime[j]=∞， end {for}

{3}for i=1 to n {4} j=1

{5} while (dotime[j]>d or _oⁱ ] [j endtime T

d_oⁱ + _i > ) do j=j+1

end {while}

{6} if (begtime[j]=∞ ) then {7} {begtime[j]=d_oⁱ

endtime[j]=begtime[j]+T}

{8} bin[i]=j

{9} dotime[j]=d +_oⁱ T_i end {for}

{10} 輸出最大的bin[i]，此值即為車輛使 用數。

{1} 是要針對已知路路徑的開始時間 作排序，在已知的演算法中，quicksort 是其中之一，其所需的時間為^Θ

(

^{n logn}

)

^。

{2}的計算次數為2(n+1)+3n、{3}為 )

1 (

2 n+ 次、{4}為n 次、{5}為2×(n−1)n 2 次、{6}與{7}共為 n5 次、{8}為n 次與{9}

為 2n 次。由{2} {9}可以得知除了{5}的複 雜度為^O

( )

^{n2 之外，其餘皆為O}

^{( )}

^{n ，因此，}

此演算法的 worst-case time 為^O

( )

^{n2 。}

四、計劃成果自評

本研究是建構多車次車輛路線問題的 數學模式，探討的重心主要是單一車種多 車次車輛路線問題以及具時窗限制之多車

次車輛路線問題，經由文獻的啟迪，逐一 完成數學模式的建立，並結合之前學者的 研究成果對此問題提出求解方法。本研究 得出前述結論。大部分的研究內容均與原 計劃相符，也達到預期的目標。

參考文獻

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