第九章 指數與對數

第九章 指數與對數

9-1 指數

指數的定義與指數律

1.指數的定義

凡形如a 者，稱ⁿ n為指數，a為底數 (1)指數為正整數：設n N ，_{a R} ，則 ⁿ

n

a    a a a

個

。 (2)指數為零：設a R {0}，則

a

⁰

 1

，而

0

⁰

無意義。

(3)指數為負整數：設n N ，a R {0}，則 _n

1 a

n

a





。

(4)指數為分數：設m、_{n N} ，_a0，則 _{( )}

n

m n m n

am  a  a 且 ¹

n

m n

m

a a

  。

2.指數律：

設m、_{n R} ，_a、_b0，則 (1)

a a

^m



ⁿ

 a

^{m n} ；

m

m n n

a a a

  。 (2)

( a

^{m n}

)  a

^mn ( )a^{n m}。 (3)

( ) ab

ⁿ

 a b

^{n n}；( )

n n

n

a a

b  b 。

★★

利用指數律化簡指數及根式

★★

設_a0、_b0，化簡下列各式：

(1)

1 2 2 4

1

4 3 3

( ) ( ) a b b a ab

 



(2)

5 3

3 4

a a a 。

(1)原式

1

2 2 4 2

2 1 ( 1) 2 1

1 1

4 3 3 3

( )

( )

a b b ab

a b

a a b a b

  

  

 

   

 

a b

² (2)原式

5 5

1 1 5 7 1

2 2

3 3 2 4 3

3 7

4 4

(

a

) (

a

) ( )

a

a a a

   



1

3 1

3

4 4

( )a a

 

設_a0、_b0，化簡下列各式 (1)

1 2 3 1

9 4

3 3 2 2

2 1

( ) ( )

( ) a b a b

a b b

 

 (2)

3 2

4 5

a a a

 。

(1)原式

a b

³ ₂⁶ ₁

a b

^{6 2}

a b

³₂^{4 1 4}

a b b a a b

   

 

  

   

 (2)原式

1 7

1

1 1 1

3 2 3

6

4 4 4

5 5

2 2

(

a a

) (

a

) ( )

a

a a

 

  

1

a

^24



★★

利用指數律求值

★★

求 ^0.5 625 ^{0.25 5 5} (0.04) ( ) (0.2) 5

81

     之值。

原式

1 1

2 4 5

1 625

( ) ( ) (0.2 5)

25 81

 

   

1 1

2 81 4 5 3

25 ( ) 1 5 1 3

625 5

      

求

2 3 1

3 1.5 2 2

64 1

( ) (0.25) ( ) 8

125 2

       之值。

原式

2 3 3 3

3 2 2 2

(125) 4 2 2 64

    

3 3

2 3 2 2

5 25 25

( ) 2 2 8 1

4 16 2

       

★★

指數求值

★★

若a^2x  ，求3 a^3x_x a ³_x^x a a







 之值。

所求

3 3 4 2

2

( )

( ) 1

x x x x x

x x x x

a a a a a

a a a a

 



 

 

 

2 2 2

2 2

1 1 28

( ) 3 3 3 7

1 3 1 4 3

x

x x

a a

a

 

   

 

【另解】

所求

3 3

( )^x ( ^x)

x x

a a

a a





 



2 2

( ^{x x})( ^x 1 ^x)

x x

a a a a

a a

 



  

 

^{2 2} 1 7

1 3 1

3 3

x x

a a

^

      

若e^2x  3，求

3 3

x x

x x

e e e e







 之值。

所求

2

3 3 4 2

( ) 1

( )

x x x x

x x x x x

e e e e

e e e e e



 

 

 

 

3 1 3 3

1 3 3 1 3 3

 

 

 

(3 3)(3 3 1) 12 10 3 (3 3 1)(3 3 1) 26

  

 

 

6 5 3 13

 

指數方程式

1.指數方程式

未知數在指數中的方程式，稱為指數方程式。

2.指數方程式的解法

(1)將方程式兩邊化為同底後，令指數相等解之。即

當

_a1，

a

^{m x( )}

 a

^{n x( )}

 m x ( )  n x ( )

。 (2)代換法

令方程式中a^x  ，先解出 A ，再解A a^x  中的A x。

★

指數方程式

★

解下列各式之_x值：

(1)2^{2 1 1} 8

x   (2) 4 ^{2 5} 3 ¹

( ) ( )

9 2

x  x。

(1)原式  ^{2 1}

3

2 1

2

x    2^{2x 1}2^32

 3 2 1 2

x    

x 1 (2)原式  2 ^{4 10} 2 ¹

( ) ( )

3 3

x  x

 4x10 x 1  x3

解下列各指數方程式：

(1)2^{x2 5x 2} 16 (2)( 5)^2x4 0.2 (3) 4 ⁷ 5 ^{3 1}

( ) ( )

5 4

x x

    。

(1)原式  2^{x2 5x 2} 2⁴ 

x

²5

x

  2 4  (

x

6)(

x

  1) 0  x6或 1 (2)原式  ^{12 2 4} 1 (5 ) 5

x   5^x2 5^1  x  2 1  x 3 (3)原式  5 ⁷ 5 ^{3 1}

( ) ( )

4 4

x  x

 x 7 3x1  x 4

★★

聯立指數方程式

★★

設(2 )^{x 4} 64，且 ^{2 3} 1

3 27

x y  ，求2x y 之值。

∵ (2 )^{x 4} 64  2^4x 2⁶

 4x6  3

x

 2 又 ^{2 3} 1

3 27

x y   3^2x3y 3^3

 2

x

3

y

   3 3

2 ( ) 3 3

2

y

   



y

  2

故 3

2 2 ( ) 2 1

x y

   2  

解方程組

9

1

2 4

125 5

x y

y x





 



  。 ∵ 2^x9 4^y  2^x9 2^2y

 9 2

x

 

y

_泝 又125^y15^x 5^3y3  5^x

 3

y

 3

x

_沴

解泝、沴得x₂₁、

y

 6

★★★

利用指數方程式求值

★★★

設15^x 27，且135^y  ，求9 3 2

x 之值。 y ∵ 15^x 27  15^x  3³

 15 3 泝^3x

又135^y  9 135^y  3²



2

135 3 ^y_沴 泝

沴 

3 2

15 3 135

xy

 

3 2

1 3 9

xy





3 2

3^2 3^xy 故3 2

x

  

y

2

設 125 10 8 100

x y

 



  ，則1 2 x  ？ y

1

2

125 10 125 10 8 100 8 10

x x

y y

   



   







泝 沴



泝 沴 

1 2

1000 10 ^{x y}



1 2

103 10^{x y} 故1 2

x

 

y

3

★★

代換法解指數方程式

★★

解方程式2 4 ^x1    。 17 2^x 2 0 原式  8 (2 ) ^{2 x}    17 2^x 2 0

 8 (2 ) ^{x 2} 17 (2 ) 2 0^x   令2^x  

A

0

 8

A

²17

A

  2 0

 (8

A

1)(

A

2) 0

 1

A

 或8

A

 2

 1

2 8

x  或 2^x  2

 x 3或1

解方程式3^2x226 3   。 ^x 3 0 原式  9 (3 ) ^{x 2}26 (3 ) 3 0 ^x  

令3^x  

A

0

 9

A

²26

A

  3 0

 (9

A

1)(

A

  3) 0

 1

A

 或9 3（不合）

 1

3 9

x

 x 2

指數函數的圖形及指數不等式

1.指數函數的圖形

函數 f x( )a^x，_a0且_a1，稱為指數函數，其圖形如下 (1)y f x( )a^x，a1 (2)y f x( )a^x，0 a 1

2.指數函數圖形的特性

(1)定義域為所有實數，值域為正實數。

(2)圖形在x軸上方，並以_x軸為漸近線。

(3)恆過定點 (0,1) 。

(4)當a1，x₁x₂ ( ) f x₁  f x( )₂ ，為遞增函數。

當0 a 1

， x

₁

 x

₂

 f x ( )

₁

 f x ( )

₂

，為遞減函數。

(5)y a ^x與 1

( )^{x x}

y a

a

   之圖形對稱於

y 軸。

★

指數函數作圖

★

在同一坐標系中畫出y2^x與y 的圖形。3^x x  2  1 0 1 2

2^x

y

 1

4 1

2 1 2 4

x  2  1 0 1 2 3^x

y

 1 9

1

3 1 3 9

在同一坐標系中畫出 1

( )2

y x與 1 ( )3

y x的圖形。

x 2  1 0 1 2

( )1 2

y

 x 4 2 1 1

2 1 4

x 2  1 0 1 2

( )1 3

y

 x 9 3 1 1

3 1 9

指數的大小關係

1.底數相同時

(1)當a1，m n  a^m aⁿ（指數越大，值越大）。 (2)當0 a 1

， m n   a

^m

 a

ⁿ

（指數越大，值越小）

。 2.指數相同時

(1)當x0，a b  a^x b^x（底越大，值越大）。 (2)當x0

， a b   a

^x

 b

^x

（底越大，值越小）

。

★

指數的大小關係

★

比較³ ₂、⁹16 、 2 2 、 1

2 的大小。

∵

1 3 2 2 3，

4 916 2 9

3

2 2 24，

1

1 2

2 2

 

又指數3 4 1 1

4    且底數 2 19 3 2  故

4 1

3 1

9 3

4 2

2 2 2 2^

 ^{9 3} 1

2 2 16 2

   2

比較 1 ² ( )3

 、 1

3、

1

3^、 3 3 的大小。

∵ 1 ^{2 2} ( ) 3

3

  ，

1

1 2

3 3

 

1 1

3^ 33.14^，

3

3 3 3 4

又指數 3 1 1

2 ^{ }4



^{  且底數}2 ^{3 1} 故

1

3 1

2 4 2

3 3 3^ 3^

 ( )^{1 2} 3 3 3^{1 1}

3 3

    

★★★

指數的大小關係

★★★

設_{a 2}，b³3，c⁶5，比較_a、_b、_c的 大小。

1 1

1

3 6 6

22 (2 ) 8

a  

1 1 1

3 2 6 6

3 (3 ) 9

b  

1

56

c



故b a c 

設a2⁴⁰，b3³⁰，c5²⁰，比較a、b、c的 大小。

40 4 10 10

2 (2 ) 16

a

  

30 3 10 10

3 (3 ) 27

b

  

20 2 10 10

5 (5 ) 25

c

  

故_{b c a } 重點四

★★

指數不等式

★★

解指數不等式 ^{2 7} 1 ^{2 1} 5 ( )

25

x  x 。

原式  5^x27 (5 )^{2 2x1}  5^x27 5^{ 4x 2} 

x

²    7 4

x

2 

x

²4

x

  5 0  (

x

5)(

x

  1) 0  x 5或_x1

解指數不等式_(0.001)^x2 _(0.01)^{ x 4}。 原式  (0.1)^3x2 (0.1)^{2( x 4)}

^{0.1 1)}



(底 3

x

2   2

x

8  3

x

²2

x

  8 0  (3

x

4)(

x

  2) 0

4

2

x

3

   

★★★

指數不等式

★★★

解指數不等式

3

4^x2  9 2^x  。 1 0 原式  2^2x3 9 2^x  1 0

 8(2 )^{x 2}9(2 ) 1 0^x    (8 2 1)(2 1) 0 ^x ^x   1

2 1 8

 x   2^3 2^x 2⁰    3 x 0

解指數不等式 1 ^{2 1} 1

( ) 28( ) 9 0

3 3

x  x  。 原式  1 ² 1

3( ) 28( ) 9 0

3 3

x x 

 1 1

[3( ) 1][( ) 9] 0

3 3

x x   1 1

( ) 9 3 3

 x  1 ¹ 1 1 ²

( ) ( ) ( )

3 3 3

x 

 

∵ 底數1

3 ∴ 值越大，指數越小 1 故_{  2 x 1}

9-2 對數

對數的定義

◎對數的定義

設_a1且_a0，_b0，則滿足a^x  的唯一實數b x，稱為「以_a為底時，真數_b的對數」。

並以log_ab x 表示，其中a

稱為底數，

_b

稱為真數。

故

lo g

_a

b x   a

^x

 b

。

對數 log_ab 有意義 0 1

0

a a

b

   

 



底數 且

真數 。

★

對數的定義

★

求下列各式中之_x值：

(1)log 9 3 x₉  (2)log ₆ x 2。 (1)log 9 3 x₉   9^x9 3

 3^2x 3⁵²  5

2

x

  2 5

x

 4 (2)log ₆ x 2  ( 6)^2 

x

 (6 )^{12 2} x  6^1

x

 1

x

6

求下列各式中之_x值：

(1) 1 2

log^x16 (2)3 log_{2 2} x0。

(1) 1 2

log^x16   3 ²³ 1

x

16  1 ³² ( )16

x

  1 ³ 1

( )4 64

x

 

(2)log_{2 2} x0 

x

(2 2)⁰  x1

★

對數的定義

★★

若對數log_2x(x²2 )x 有意義，則_x的範圍為 何？

底數2 x 0且_{2 x 1}

 x2且_x1

真數

x

²2

x

 0

x x

( 2) 0

 x 2或_x0

由可得_{x 2}或_{0 x 2}，但_x1

求使對數log_x5(9 8 x x ²)有意義的整數_x 有幾個？

底數x 5 0且_{x 5 1}

 x5且_x6

真數9 8

x x

 ²   0

x

²8

x

  9 0

 (

x

1)(

x

   9) 0   1 x 9 由可得_{5 x 9}，但_x6 故整數_x有7、8 共兩個

對數的運算性質

設a、_b、_c、_d皆為正數且不等於1，M 0，_{N 0}，則 (1) log 1 0_a  。 (2) log_aa 。 1

(3)

log

_a

M  log

_a

N  log

_a

MN

。 (4)

log

_a

log

_a

log

_a

M

M N

  N

。

(5)

log

r

log

s a a

M s M

 r

。 (6)換底公式：

log

log log

a c

c

b b

 a

。 (7)連鎖律： log_ablog_bclog_cdlog_ad。 (8)

a

^logaM

 M

。

常用運算 (1) log r r log

a M  aM 。

(2) 1 ₁

log_a log_a log

a

M M

M    。

(3) 1

log log log 1

a log a b

b

b b a

 a   。

★★

對數求值

★★

試求(1)log_{2 2}16 2³  ？

(2)log ( 3₄  8  3 8 )？

(1)原式 3 2

13

3 2

2

13 3 26 log 2 log 2

3 9

2

  

(2)原式log ( 3 2 2₄   3 2 2 ) log [( 2 1) ( 2 1)]₄   

2

3

4 2 2

log 2 2 log 2

 

₂

3 2 log 2 3

2 4

 

試求(1) _{9 4}1 log 3  ？

(2)log ( 7₈  40  7 40 )？

(1)原式 2

1

4 3

3

1 4 1 log 3 log 3

2 8

 

   

(2)原式log ( 7 2 10₈   7 2 10 ) log [( 5₈  2) ( 5  2)]

3

3

8 2 2

log 2 2 log 2

 

₂

3 2 log 2 1

3 2

 

★★

對數的運算

★★

10 10 10 10

1 2 2 17

log 85 log 625 2log log

2 3 90

   ？

原式

10 10 10 10

8 17

log 85 log 625 log log

9 90

   

10

log (85 25 8 90)

   9 17 log 10000 410

 

4 2 2 2

1 4 3 1

log 3 log 216 log 2log

3 15 3 5

   。

原式

3

2 2 2 2

4 3 1

log 3 log 216 log log

15 45

   

2

15 1

log ( 3 6 )

4 3 45

   

2

log 1 1

 2  

★★

對數的運算

★★

化簡 _{2 4 5 1}

5

(log 25 log 0.04)(log 8 log 0.25)  。 原式

2 1

2 2 3 2

2 2 5 5

(log 5 log 5 )(log 2 log 2 )

 

  

2 2 5 5

(2log 5 log 5)(3log 2 2log 2)

  

2 5

(log 5) (5log 2) 5

  

化簡 ^{3 81}

3 9

log 128 log 8 log 4 log 1

8





。

原式 ⁴

1 2

2

7 3

3 3

2 3

3 3

log 2 log 2 log 2 log 2^

 



^{3 3}

3 3

7 log 2 3log 2 43 4log 2 log 2

2

 



³

3

314 log 2 31 5log 2 10 2

 

★★

對數的運算

★★★

化簡(1)log 3 log 4 log 7 log 8₂  ₃  ₄  ₇ (2)

4 2

4

log 7 ( log 14)

log 2

2 ^ 。

(1)原式 log 8 32

 

(2)原式

2 2

log 7 log 14

2 ^



27

log 14 7 1

2 14 2

  

化簡(1) _{16 5 9 6} 1 log 25 log 27 log 36 log

   4

(2)

2

9 2

log 5

2log 5 log 7

49 81 。

(1)原式

4 2 1

2

2 3 2 2

2 5 3

6

log 5 log 3 log 6 log 2^

   

2 5 3 6

2 3 ( 4) log 5 log 3 log 6 log 2

    4   

 6 (2)原式

7 9

log 5 log 5

49 81

 

49 81

log 25 log 25

49 81

 

25 25 50

  

★★★

利用已知對數表示其他對數

★★★

設log 2₃  ，a log 5₂  ，以b a、b表示下列 各式：(1)log 90 (2)₂ log 72 。 ₆₀

2

3

1 1

log 3

log 2

a

 

3 3 2

log 5 log 2 log 5  

ab

(1)log 90 log (2 3₂  ₂   ² 5)

log 2 2log 3 log 5₂  ₂  ₂ 2

1

b

  

a

(2)

3 2

3 3

60 2

3 3

log 72 log (2 3 ) log 72

log 60 log (2 3 5)

  

 

^{3 3}

3 3 3

3log 2 2log 3 2log 2 log 3 log 5

 

 

3 2 2 1

a

a ab

 

 

設log 3₂  ，a log 5₃  ，以b a、b表示 (1) ₁

2

log 45 (2)log 24 。 ₃₀

2 2 3

log 5 log 3 log 5  

ab

(1) 1

2

1 2

2

log 45 log 3   5  (2log 3 log 5)₂  ₂  (2

a ab

 )

  2a ab

(2) ₃₀ ^{2 2 3}

2 2

log 24 log 2 3 log 24

log 30 log 2 3 5

  

 

^{2 2}

2 2 2

3log 2 log 3 log 2 log 3 log 5

 

 

3 1

a a ab

 

 

對數方程式

凡方程式的對數中含未知數者，稱為對數方程式，其解法如下：

化為同底，合併對數。

去對數，令真數相等解之。

驗算解是否合於真數與底數限制。

★★

對數方程式

★★★

解log (₅ x²3x15) 1 log  ₅ x。 原式

 log (₅

x

²3

x

15) log 5 log ₅  ₅

x

 log (₅

x

²3

x

15) log 5 ₅

x



x

²3

x

15 5

x



x

²2

x

15 0

 (

x

5)(

x

  3) 0

 x5或_3（使真數_0，不合）

故_x5

解log (₆ x²7) 1 log  ₆x。

原式  log (₆

x

² 7) log₆

x

 1  log (₆

x

²  7)

x

log 6₆  (

x

²   7)

x

6



x

³7

x

  6 0

 (

x

3)(

x

1)(

x

2) 0

 x3， （不合）， 21  （不合）

故_x3

★★★

對數方程式

★★★

解log₂x 3 log 16_x 。

原式  log₂

x

 3 4log 2_x  ₂

2

log 3 4 1

x

log

 

x

 (log )₂

x

² 3(log ) 4₂

x

  (log )₂

x

²3(log ) 4 0₂

x

   (log₂

x

4)(log₂

x

  1) 0  log₂

x

 或 14 



x

 或2⁴ 2^1  x16或1

2

解log₉ x4log 3 1_x  。 原式  1 ₃

log 4log 3 1 2

x

 ^x   ₃

3

1 1

log 4 1

2

x

log



x

  1 ₃ ² ₃

(log ) 4 log

2

x

 

x

 (log )₃

x

²2log₃

x

  8 0  (log₃

x

4)(log₃

x

2) 0  log₃

x

 或 24 



x

 或3⁴ 3^2  x81或1

9

★★★

對數方程式

★★

解x^2log2x 8x⁵。

原式同取log ₂  log₂

x

^2log2x log 8₂

x

⁵

 2(log )(log ) log 8 log₂

x

₂

x

 ₂  ₂

x

⁵

 2(log )₂

x

²  3 5log₂

x

 2(log )₂

x

²5log₂

x

  3 0

 (2log₂

x

1)(log₂

x

  3) 0

 ₂ 1

log

x

  或 3  2

x

2^12或2 ³

 1

x

 2 或8

解x^{1 log 3x} 9x²。

原式同取log ₃  log₃

x

^{1 log 3x} log 9₃

x

²

 (1 log )(log ) ₃

x

₃

x

log 9 2log₃  ₃

x

 log₃

x

(log )₃

x

²  2 2log₃

x

 (log )₃

x

²log₃

x

  2 0

 (log₃

x

2)(log₃

x

  1) 0

 log₃

x

 或 12 



x

 或3² 3^1

 x9或1 3

對數函數的圖形

1.對數函數的圖形

函數 f x( ) log _ax，_a0且_a1，稱為以_a為底的對數函數，其圖形如下：

(1)y f x( ) log _a x，a1 (2)y f x( ) log _a x，0 a 1

2.對數圖形的特性

(1)定義域為正實數，值域為所有實數。

(2)圖形在y 軸右方，並以 y 軸為漸近線。

(3)恆過定點 (1,0) 。

(4)當a1，x₁x₂ ( ) f x₁  f x( )₂ ，為遞增函數。

當_{0 a 1}

， x

₁

 x

₂

 f x ( )

₁

 f x ( )

₂

，為遞減函數。

(5)

y  log

_a

x 與 log

₁

a

y  x 圖形對稱於

_x

軸。

(6)

y a 

^x

與 y  log

_a

x 圖形對稱於直線 y x 

。

★

作對數圖形

★

在同一坐標系中畫出ylog₂x與ylog₃x的 圖形。

x 1

4 1

2 1 2 4

log2

y



x

 2  0 1 2 1

_x 1

9 1

3 1 3 9

log3

y



x

 2  0 1 2 1

在同一坐標系中畫出 1

( )2

y x與 ₁

2

log y x的 圖形。

x 2  1 0 1 2

( )1 2

y

 x 4 2 1 1

4 1 2

x 1

4 1

2 1 2 4

1 2

log

y



x

2 1 0 1 2

對數的大小關係

若底數相同：(1)當a1，m n  log_amlog_an。 (2)當0 a 1

， m n   log

_a

m  log

_a

n

。

★

對數的大小關係

★★

設alog 1₅ 、

log 5 3

b 、 ₁

5

log 1 c 2、

2

log25

d 



，試比較_a、_b、_c、_d之大小。

∵

a

log 1₅

1

2

1

2 5

5

log 3 log 3

b

 

1

1 5 5

log 2 log 2 c   

2

2 5 5

log log

d 







而真數   _{3 2 1}且底數_{5 1} 故log₅



log 3 log 2 log 1₅  ₅  ₅ 即d b c a  

設alog 3_0.5 、blog 3₂ 、clog_0.250.01、

1 4

log 1

d  3，試比較_a、_b、_c、_d之大小。

∵ ₁

2

log 3

a

 ， ₁

2

log 1

b

 3

_{1 1}

4 2

1 1

log log

100 10

c

 

_{1 1}

2 2

1 3

log log 3 3

d

 

而真數 3 1 1

3 3  3 10且底數1 2 1

故 _{1 1 1 1}

2 2 2 2

3 1 1

log 3 log log log

3 3 10

  

即_{a d b c  }

對數不等式的解法

先求

0 0 1

 

 

 

 真數 底數 底數

的範圍。 化為同底，合併對數。

去對數，比較真數。注意若^{0底數1}，不等式要變方向。

所得範圍再與 取交集。

★★

對數不等式

★★

解不等式log (_0.1 x 3) log (_0.1 x 1) log 5_0.1 。 真數 3 0

1 0

x x

  

  

  x 泝3 原式  log (_0.1

x

3)(

x

 1) log 5_0.1  (

x

3)(

x

  1) 5



x

²2

x

  8 0  (

x

4)(

x

2) 0  x4，_{x  沴2} 由泝_沴  x4

解不等式log (_0.5 x²4) log ( _0.5 x 。 8) 真數

2 4 0

8 0 x x

  

  



 x2或_{   8 x 2}…

原式 

x

²   4

x

8 

x

² 

x

12 0  (

x

4)(

x

  3) 0     沴3 x 4

由泝_沴     3 x 2或_{2 x 4} 重點六

重點五

★★★

對數不等式

★★★

解不等式 _{2 1 3}

2

log log log x 。 0

原式  _{2 1 3 2}

2

log log log

x

log 1

 _{1 3}

2

log log

x

 1

 _{1 3 1}

2 2

log log log 1

x

 2

 0 ₃ 1 log

x

 2

 log 1 log₃  ₃

x

log 3₃ ¹²

 1 

x

3

解不等式 _{1 2 1}

3 5

log log log x 。 0

原式  _{1 2 1 1}

3 5 3

log log log

x

log 1

 0 _{2 1}

5

log log

x

 1

 _{2 2 1 2}

5

log 1 log log

x

log 2

 ₁

5

1 log

x

 2

 _{1 1 1} ²

5 5 5

1 1

log log log ( )

5

x

 5

 1 1

5  

x

25

常用對數

1.常用對數

以10 為底的對數稱為常用對數，且可省略底數，即log₁₀xlogx。 2.常用對數的首數與尾數

常用對數 log x  首數 n  尾數 

，其中 (1)首數n必為整數。

(2)尾數 必為

正的純小數或零，即

₀  ₁。

例如泝logx3.45 3 0.45   首數為 3，尾數為 0.45。

沴logx 2.71  3 0.29  首數為3，尾數為0.29。

3.首數與尾數的性質 設log x首數n尾數



(1)首數決定x的小數點位置：

當n0，則_x的整數部分為_n1

位。

當n0，則_x必為純小數，且在小數點後第

| | n 位始出現不為 0 的數字

。 (2)尾數決定x的數字排列順序，若尾數相同，則真數的數字排列順序相同。

4.2 到 9 的常用對數值

(1) log 2 0.3010 ，log 3 0.4771 ，log 7 0.8451 。

(2) log 4 2log 2 ，

log 5 1 log 2  

，log 6 log 2 log 3  ，log8 3log 2 ，log 9 2log 3 。 重點七

★

首數及尾數

★

求下列各常用對數的首數及尾數

(1) logA4.735 (2) logB 5.892 (3)log12340 (4) log 0.01234 。

(1)log

A

 4 0.735

∴ 首數 ，尾數4 0.735 (2)log

B

  6 0.108

∴ 首數 6，尾數_0.108 (3)log12340 log1.234 10  ⁴  4 log1.234

∴ 首數 ，尾數 log1.2344  (4)log 0.01234 log1.234 10  ^2   2 log1.234 ∴ 首數  ，尾數 log1.2342 

求下列各常用對數的首數及尾數 (1) logM 3.066 (2) logN  9.857 (3)log1.234 (4)log123.4 。

(1)log

M

 3 0.066

∴ 首數3，尾數_0.066 (2)log

N

  10 0.143

∴ 首數 10，尾數_0.143 (3)log1.234 log1.234 10  ⁰  0 log1.234

∴ 首數0，尾數log1.234 (4)log123.4 log1.234 10  ²  2 log1.234 ∴ 首數 ，尾數 log1.234 2

★★

利用已知對數值求其他對數值

★★

已知log80.6 1.9063 ，求(1) log80600 ？ (2)若 logx 3.0937，則x？

(1)log80600 log80.6 10  ³ 3 log80.6

 

3 1.9063

  4.9063



(2) log

x

  5 1.9063 log10^5 log80.6

 

log80.6 10^5

 

log 0.000806



故_x0.000806

已知log 3.585 0.5543 ，求(1) log 3585 ？ (2)若 logx1.5543，則x？

(1)log 3585 log 3.585 10  ³ 3 log 3.585

 

3 0.5543

  3.5543



(2) log

x

 1 0.5543 log10 log 3.585

 

log 3.585 10

 

log 35.85



故_x35.85

★★

求整數位數

★★

已知log 2 0.3010 ，則2 為幾位數？ ¹⁰⁰ log 2100 100log 2 100 0.3010  30.1 30 0.1 

∵ 首數30

故2 為¹⁰⁰ 30 1 31  位數

已知log 2 0.3010 ，log 3 0.4771 ，則6 為³⁰ 幾位數？

log 63030log 6 30 (log 2 log 3)   30 (0.3010 0.4771) 

30 0.7781 23.343 23 0.343   

∵ 首數23

故6 為³⁰ 23 1 24  位數

★★

求小數點後第幾位始不為 0

★★

已知log 2 0.3010 ，則 1 ²⁰

( )5 在小數點後第幾 位開始不為0？

20 20

log( )1 log 5 5

 

20log 5 20(1 log 2)

    

20(1 0.3010) 20 0.699

     

13.98 14 0.02

    

∵ 首數  14 故 1 ²⁰

( )5 在小數點後第14 位開始不為 0

已知log 7 0.8451 ，則 1 ¹⁰ ( )

70 在小數點後第幾 位開始不為0？

10 10

log(1 ) log 70 70

 

10log 70 10(log 7 log10)

    

10(0.8451 1) 18.451

    

19 0.549

  

∵ 首數 19 故 1 ¹⁰

( )

70 在小數點後第19 位開始不為 0

★★★

利用對數解指數不等式

★★★

已知log1.1 0.0414 ，log3 0.4771 ，小強在 某銀行存入10000 元，年利率為 10%，一年 為一期複利計算，則至少幾年後小強的存款 會超過30000 元？

10000 (1 10%)  ⁿ 30000 (1.1)ⁿ   log1.1 log 33

n



(0.0414) 0.4771

n



0.4771 0.0414

n

 ≒_11.52

∴ 12 年後存款會超過 30,000 元

已知log 7 0.8451 ，求使 1 ⁸ ( ) 10

7

n   的最小

正整數_n之值。

原式  1 ⁸

log( ) log10 7

n  

 log 7

n

  8

 8 8

log 7 0.8451

n

  

  n9.46 故最小正整數為_n10

( Ｂ ) 1. ³5 5³ ^{3 3}5⁵  (A)1 (B)5 (C)³5 (D)125。

( Ａ ) 2. 設2^a  3^b 5^c 10 12³ ^445²，則_{a b c  } (A)0 (B)3 (C) (D)1。 2 ( Ｃ ) 3. 解 ^{2 2 6 5} 1 ⁰

5 ( )

2

x  x  得兩根之和為 (A)0 (B)2 (C)3 (D)6。

( Ｄ ) 4. 若5^a 6^b 20^c    ，則2⁸ 3² 5⁴ a b c   (A)14 (B)3 (C)0 (D)6。

( Ｂ ) 5. 設a^xa^x  ，則3 a²_3x^x a ²_3x^x a a





 

 (A)7

3 (B) 7

18 (C)3

7 (D)2 3。 ( Ａ ) 6. 已知 2 1

( )3 5

x  ，且 15

( ) 125 2

y  ，則3 1

y  (A)1 (B)2 (C) 4x  (D)5。

( Ｃ ) 7. 設a^2x 2，則

3x 3x

x x

a a a a





 

 (A) 2 (B)2 2

3  (C)1 3 2

2  (D)1 2 3  。 1 ( Ｃ ) 8. 指數方程式 2^x 8 2^x  的所有根之和為 (A)0 (B) 26  (C)3 (D)6。

( Ｄ ) 9. 指數方程式5^2x24 5 ^x1  的所有根之和為 (A)0 (B)1 (C)1 0 5 (D) 1 。 ( Ａ ) 10. 設四個指數函數y a ^x、y b ^x、y c 、^x y d ^x的圖形

分別為右圖中的A 、 B 、C、D ，則 (A)b a d c   (B)a b d c   (C)b a c d   (D)a b c d   。 ( Ｄ ) 11. 下列何者為 1

( ) 1 2

y ^x 的圖形？

(A) (B) (C) (D)

。

( Ｂ ) 12. 不等式

2

0.125 (0.25) 2 x x

 之解為 (A)x 1或 3

x (B)2 3 1 x 2

   (C) 3

x  或2 x1 (D) 3 2 x 1

   。

( Ｃ ) 13. 若 、



^為3^2x3^x2  的二根，則9 0

 

  (A)4 (B)3 (C)2 (D) 1 。 ( Ｂ ) 14. 若log 8 2 5₂x  ，則x (A)7

5 (B) 7

10 (C)1

5 (D) 1 10。

( Ｃ ) 15. 下列何者正確？ (A)log 3 log 5 log 7 log 8 4₂  ₃  ₅  ₇  (B) 3 5 7 8

log log log log log 4 2 3 5 7 

(C) 3 5 7 8

log log log log log 4

2 3 5 7  (D)log 3 log 5 log 7 log 8 log 4₂  ₃  ₅  ₇  。