第 9 章微分方程 (Diﬀerential Equations)

(1)

第 9 章

微分方程 (Diﬀerential Equations)

9.1 微分方程概念(Diﬀerential Equation)

例 9.1.1. 人口成長模式: 在理想狀況下是

p⁰(t) = kp (t) , 則 p (t) = Ce^kt 均為其解。

例 9.1.2. logistic微方: 若人口有一容忍量 (carrying capacity) K, 則 ^dp_dt ≈ kp (當 p 較小時);

dp

dt < 0, 當 p > K。其微方為

dp dt = kp

³ 1− p

K

´。

常數 p = 0 及 p = K 均為其解, 稱為穩定解 (equilibrium solutions)。

例 9.1.3. 彈簧運動模式: m^d_dt²^x² =−kx, 其解為 x = a sin_m^kl + b cos_m^kl。

定義 9.1.4. (1) 一方程式包含未知函數及其導函數, 稱為微分方程 (diﬀerential equation)。

(2) 微分方程中所出現的最高階導函數, 稱為微方的階數 (order)。

(3) ^dy_dx = f (x, y) 稱為一階微分方程 (ﬁrst-order diﬀerential equation)。

(4) 一個方程式的所有解, 稱為通解 (general solution)。

94

(2)

第 9 章微分方程 9.2 可離微方

(5) 一階的初始值問題 (ﬁrst-order initial value problem), 即解微分方程 y⁰ = f (x, y) 且滿足 初始條件 y(x0) = y₀。

(6) 滿足初始值問題的解, 稱為特解 (particular solution)。

例 9.1.5. (1) 驗證 y = ^C_x + 2 滿足 ^dy_dx = _x¹(2− y), x ∈ (0, ∞)。

(2) 驗證 y = (x + 1) − ¹₃e^x 滿足 ^dy_dx = y− x, y(0) = ²₃。 例 9.1.6. (a) 驗證 y = ^1+Ce₁_−Ce^tt 是 y⁰ = ¹₂(y²− 1) 的解。

(b) 求一解滿足 y (0) = 2。

9.2 可離微方(Separable Diﬀerential Equations)

定義 9.2.1. 一個微方 y⁰ = f (x, y) 如果可以寫成 ^dy_dx = g(x)h(y) 的形式, 則稱為可離微方 (separable equation)。

例 9.2.2. (1) 解 _dx^dy = (1 + y²)e^x。 (2) 解 (x + 1)_dx^dy = x(y²+ 1)。 (3) 解 _dx^dy = _{2y+cos y}^6x² 。

(4) 解 y⁰ = x²y。

例 9.2.3. (1) 解 _dx^dy = ^x_y2², y (0) = 2。 (2) 解微分方程 √

x _dx^dy = e^y+^√^x,且 y(0) = 0。

例 9.2.4. 解 4^dI_dt + 12I = 60, I (0) = 0, 並求電流的極限量。

例 9.2.5. 解積分方程 y(x) = 2 +Rx

2[t− ty(t)]dt。

例 9.2.6. (Torricelli法則) 一個底半徑為 6, 高為 16 的直圓柱容器, 裝滿了水。以 0.5√

x之速率 流出水來, 其中 x 表示水面高度。求在時間 t 時, 容器中之水量與水深? 需多少時間才能將水流完。

例 9.2.7. 一曲線通過 (3, 2), 且曲線上每一點之法線的 y-截距均為 6, 求該曲線的方程式。

9.3 一階線性微方(First-Order Linear Diﬀerential Equations), Bernoulli 方程

定義 9.3.1. ^dy_dx+ P (x) y = Q (x)稱為一階線性微方 (ﬁrst-order linear diﬀerential equation), 其中 P (x),Q (x) 為連續函數。

9.3.2. y⁰+ P(x)y = Q(x) 之解法: 兩側都乘上積分因子 v(x) = e^∫^p(x)dx,並加以積分。

例 9.3.3. (1) 解 x_dx^dy = x²+ 3y, x > 0。 (2) 解 y⁰+ 2xy = 1。

微積分講義, 95

(3)

第 9 章微分方程 9.4 一階微方之應用

(3) 解 _dx^dy + 3x²y = 6x²。

(4) 解微分方程 (x + 1)^dy_dx− 2(x²+ x)y = _x+1^e^x2。

例 9.3.4. (1) 解 3xy⁰− y = ln x + 1, x > 0, 且 y(1) = −2。

(2) 解 x²y⁰+ xy = 1,x > 0, y (1) = 2。

例 9.3.5. 若 I(t) 滿足 L^dI_dt + RI(t) = E (t), L = 4, R = 12, E (t) = 60, I(0) = 0。 (a) 求 I (t)。

(b) 求 I (1)。

(c) 求 lim

t→∞I (t)。

(d) 若 E (t) = 60 sin 30t, 求 I (t)。

9.3.6. Bernoulli 方程: ^dy_dx+ P (x)y = Q(x)yⁿ. 例 9.3.7. 解 ^dy_dx − y = e^−xy²。

9.4 一階微方之應用

正交軌跡

定義 9.4.1. 一個曲線族的正交軌跡 (orthogonal trajectory) 是一條曲線, 它和曲線族的每一個曲線均正交。

例 9.4.2. 一個曲線族為 xy = a, a 6= 0。求其正交軌跡。

例 9.4.3. 求曲線族 x = ky², k ∈ R 的正交軌跡。

例 9.4.4. 求曲線族 y = _1+kx^x , k∈ R 之正交曲線族。 混合問題

9.4.5. 一化學物質倒入一容器的溶液內, 不斷攪拌並以某速度流出。要求在時間 t 時, 溶液內該物質

的濃度。令 y(t) 是在時間 t, 容器內化學物質的量, V (t) 為時間 t 的溶液量。則^dy_dt = (化學物質倒入的速率)−

y(t)

V (t)( 溶液流出的速率)。

例 9.4.6. 20 kg 的鹽溶解在 5000 L 容器的水中。現將濃度為 0.03 kg/L 的鹽水以 25 L/min 的速度持續加入並攪拌後, 以同樣速度流出。求半小時後容器的鹽量。

例 9.4.7. 煉油廠的儲油槽內有 2000 gal 汽油, 其中有 100 lb 添加劑。以 40 gal/min 的速率加入汽油, 攪拌後以 45 gal/min 的速率流出。問 20 分鐘後, 添加劑的量有多少?

人口成長

9.4.8. 自然成長模式為 ^dp_dt = kp,其中 k 稱為自然成長率。其解為 p (t) = p0e^kt,其中 p0 = p (0)。 定理 9.4.9. Logistic 微方 ^dp_dt = kp¡

1− _K^p¢

, p₀ = p (0) 之解為 p (t) = ₁₊K−p0^K

p0 e^−kt, 且

tlim→∞p (t) = K。

微積分講義, 96

(4)

第 9 章微分方程 9.4 一階微方之應用 例 9.4.10. 解 ^dp_dt = 0.08p¡

1− ₁₀₀₀^p ¢

, p (0) = 100。並求 p (40) 及 p (80)。何時人口會達到 900?

例 9.4.11. 1990 年世界人口為 53 億, 而在 1990 年代的每年出生人口數在 3500 ∼ 4000 萬之間, 死亡人口數在 1500 ∼ 2000 萬之間。假設人口的容忍量為 1000 億, 利用這些資料, 估計在 2000 年的世界人口數目。 (實際人口數為 61 億。)

9.4.12. 其他人口成長模式 (1) Gompertc函數: ^dp_dt = c ln

³k p

´ p。

(2) 季節成長模式: ^dp_dt = kp cos (rt− ϕ)。

(3) ^dp_dt = kp¡

1− _K^p¢

− c [例如漁群之量]。

(4) ^dp_dt = kp¡

1− _K^p¢ ³

1− ^m_p´

[m 為免於滅絕之最低量]。

微積分講義, 97

第 9 章 微分方程 (Diﬀerential Equations)