第四章一阶逻辑基本概念第四章一阶逻辑基本概念

(1)

主要内容



一阶逻辑命题符号化个体词、谓词、量词一阶逻辑命题符号化



一阶逻辑公式及其解释一阶语言

合式公式

合式公式的解释

永真式、矛盾式、可满足式

第四章一阶逻辑基本概念

(2)

4.1 一阶逻辑命题符号化

个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事务，用 a, b, c 表示

个体变项：抽象的事物，用 x, y, z 表示个体域

(

论域

)——

个体变项的取值范围 有限个体域，如 {a, b, c}, {1, 2}

无限个体域，如 N, Z, R, …

全总个体域——由宇宙间一切事物组成

(3)

谓词

谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项如 , F(a) ： a 是人

谓词变项如 , F(x) ： x 具有性质 F

n

（ n1 ）元谓词

一元谓词 (n=1)—— 表示性质

多元谓词 (n2)—— 表示事物之间的关系

如 , L(x,y) ： x 与 y 有关系 L ， L(x,y) ： xy ，…

0

元谓词——不含个体变项的谓词 , 即命题常项

或命题变项

(4)

量词

量词——表示数量的词

全称量词

:

表示所有的 .

x : 对个体域中所有的 x

如 , xF(x) 表示个体域中所有的 x 具有性质 F

xyG(x,y) 表示个体域中所有的 x 和 y 有关系 G

存在量词

:

表示存在 , 有一个 .

x : 个体域中有一个 x

如 , xF(x) 表示个体域中有一个 x 具有性质 F

xyG(x,y) 表示个体域中存在 x 和 y 有关系 G

xyG(x,y) 表示对个体域中每一个 x 都存在一个 y 使得

x

和 y 有关系 G

xyG(x,y) 表示个体域中存在一个 x 使得对每一个 y,

(5)

实例 1

例 1

用 0 元谓词将命题符号化

(1)

墨西哥位于北美洲

(2)

是无理数仅当是有理数

(3)

如果 2>3 ，则 3<4

2

3

2 解：在命题逻辑中：

(1) p, p

为墨西哥位于北美洲（真命题）

(2) p→q,

其中 , p ：是无理数， q ：是有理数 . 是假

命题

(3) p

q, 其中， p ： 2>3 ， q ： 3<4. 是真命题

3

(6)

实例 1 解答

在一阶逻辑中：

(1) F(a)

，其中， a ：墨西哥， F(x) ： x 位于北美洲 .

(2) F( )G( ),

其中， F(x) ： x 是无理数， G(x) ： x 是有理数

(3) F(2, 3)

G(3, 4) ，其中， F(x, y) ： x>y ， G(x, y) ： x<y

2

3

(7)

实例 2

例 2

在一阶逻辑中将下面命题符号化

(1)

人都爱美

(2)

有人用左手写字

个体域分别为

(a) D

为人类集合

(b) D

为全总个体域

解 (a) (1) xG(x), G(x) ： x 爱美

(2) xG(x), G(x) ： x 用左手写字

(b) F(x)： x 为人， G(x) ： x 爱美

(1) x(F(x)G(x))

(2) x(F(x)G(x))

1.

引入特性谓词 F(x) 2. (1),(2) 是一阶逻辑中两个“基本”公式

(8)

实例 3

例 3

在一阶逻辑中将下面命题符号化

(1)

正数都大于负数

(2)

有的无理数大于有的有理数

解注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域

(1)

令 F(x) ： x 为正数， G(y) ： y 为负数 , L(x,y) ： x>y

xy(F(x)G(y)L(x,y))

(2)

令 F(x) ： x 是无理数， G(y) ： y 是有理数， L(x,y) ： x>y

xy(F(x)G(y)L(x,y))

(9)

实例 4

例 4 在一阶逻辑中将下面命题符号化

(1)

没有不呼吸的人

(2)

不是所有的人都喜欢吃糖

解 (1) F(x): x 是人 , G(x): x 呼吸

x(F(x)G(x))

x(F(x)G(x))

(2) F(x): x

是人 , G(x): x 喜欢吃糖

x(F(x)G(x))

x(F(x)G(x))

(10)

实例 5

例 5 设个体域为实数域 , 将下面命题符号化

(1)

对每一个数 x 都存在一个数 y 使得 x<y

(2)

存在一个数 x 使得对每一个数 y 都有 x<y

解 L(x,y):x<y

(1) xyL(x,y)

注意 :  与不能随意交换

显然 (1) 是真命题 , (2) 是假命题

(2) xyL(x,y)

(11)

4.2 一阶逻辑公式及解释

定义 4.1

设 L 是一个非逻辑符集合 , 由 L 生成的一阶语言 L 的

字母表包括下述符号：

非逻辑符号

(1)

个体常项符号： a, b, c, …, ai

, b

_i

, c

_i

, …, i 1 (2)

函数符号： f, g, h, …, fi

, g

_i

, h

_i

, …, i 1

(3)

谓词符号： F, G, H, …, Fi

, G

_i

, H

_i

, …, i 1

逻辑符号

(4)

个体变项符号： x, y, z, …, xi

, y

_i

, z

_i

, …, i 1

(5)

量词符号： , 

(6)

联结词符号： , , , , 

(7)

括号与逗号： (, ), ，

(12)

一阶语言 L 的项与原子公式

定义 4.2

L

的项的定义如下：

(1)

个体常项和个体变项是项 .

(2)

若

 (x

1

, x

2

, …, x

n

)

是任意的 n 元函数， t1

, t

2

, …, t

n是任意的

n

个项，则

 (t

₁

, t

₂

, …, t

_n

)

是项 .

(3)

所有的项都是有限次使用 (1),(2) 得到的 如 , a, x, x+y, f(x), g(x,y) 等都是项

定义 4.3

设 R(x1

, x

₂

, …, x

_n

)

是 L 的任意 n 元谓词， t1

, t

₂

, …, t

_n

是 L 的任意 n 个项，则称 R(t1

, t

2

, …, t

n

)

是 L 的原子公式

.

如， F(x, y), F(f(x

, x ), g(x , x ))

等均为原子公式

(13)

定义 4.4

L 的合式公式定义如下：

(1)

原子公式是合式公式 .

(2)

若 A 是合式公式，则 (A) 也是合式公式

(3)

若 A, B 是合式公式，则 (AB), (AB), (AB), (AB) 也是

合式公式

(4)

若 A 是合式公式，则 xA, xA 也是合式公式

(5)

只有有限次地应用 (1)—(4) 形成的符号串才是合式公式 .

合式公式简称公式

如 , F(x), F(x)G(x,y), x(F(x)G(x))

xy(F(x)G(y)L(x,y)) 等都是合式公式

一阶语言 L 的公式

(14)

封闭的公式

定义 4.5

在公式  xA 和  xA 中，称 x 为指导变元， A 为相应 量词的辖域

.

在 x 和  x 的辖域中， x 的所有出现都称为约束 出现， A 中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的 .

例如， x(F(x,y)G(x,z)) ， x 为指导变元， (F(x,y)G(x,z)) 为

x 的辖域， x 的两次出现均为约束出现， y 与 z 均为自由出现

又如 , x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x 中的 x 是指导变元 , 辖域为 (F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y 中的 y 是指导变元 , 辖 域为 (G(x,y)H(x,y,z)). x 的 3 次出现都是约束出现 , y 的第一次出

(15)

封闭的公式

定义 4.6

若公式 A 中不含自由出现的个体变项，则称 A 为封闭

的公式，简称闭式

.

例如， xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式，

而  x(F(x)G(x,y)) 不是闭式

(16)

公式的解释

F

a

f

F

定义 4.7 设 L 是 L 生成的一阶语言 , L 的解释

I

由 4 部分组成

：

(a)

非空个体域 D_I

.

(b)

对每一个个体常项符号 aL, 有一个  D_I

,

称

为 a 在

I

中的解释 .

(c)

对每一个 n 元函数符号 fL, 有一个 D_I 上的 n 元函数

,

称

为 f 在 I 中的解释 .

(d) 对每一个 n 元谓词符号 FL, 有一个 D_I 上的 n 元谓词常项 ,

称

为 F 在 I 中的解释 .

a

I n

I

D

f : 

a f ^F

设公式 A, 取个体域 D_I

,

把 A 中的个体常项符号 a 、函 数符

号 f 、谓词符号 F 分别替换成它们在 I 中的解释、、

,

称

(17)

实例

y x

F ( , ) : 

 0 a

y x y

x g y

x y

x

f ( , )

 

, ( , )

  例 6 给定解释 I 如下：

(a)

个体域 D=R

(b)

(c)

(d)

写出下列公式在 I 下的解释 , 并指出它的真值 .

(1) xF(f(x,a),g(x,a))

x(x+0=x0) 真

(2) xy(F(f(x,y),g(x,y))F(x,y))

xy(x+y=xyx=y) 假

(3) xF(g(x,y),a)

x(xy=0) 真值不定 , 不是命题

(18)

公式的类型

定理 4.1

闭式在任何解释下都是命题

注意 : 不是闭式的公式在解释下可能是命题 , 也可能不是命题 .

定义 4.8 若公式 A 在任何解释下均为真 , 则称 A 为永真式

(

逻辑有效式

).

若 A 在任何解释下均为假 , 则称 A 为矛盾式

(

永假式

).

若至少有一个解释使 A 为真 , 则称 A 为可满足式

.

几点说明：

永真式为可满足式，但反之不真

判断公式是否是可满足的 ( 永真式 , 矛盾式 ) 是不可判定的

(19)

代换实例

定义 4.9

设 A0是含命题变项 p1

, p

₂

, …, p

_n的命题公式， A1

, A

2

, …, A

n是 n 个谓词公式，用 Ai

(1

in) 处处代替 A⁰中的 pi

，所得公式 A 称为 A0的代换实例

.

例如， F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等都是 pq 的代换实 例 .

定理 4.2 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例 都是矛盾式 .

(20)

实例

例 7

判断下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？

(1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))

重言式 p(qp) 的代换实例，故为永真式 .

(2) (xF(x)yG(y))yG(y)

矛盾式  (pq)q 的代换实例，故为永假式 .

(3) x(F(x)G(x))

解释 I1

:

个体域 N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释 I2

:

个体域 N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论 : 非永真式的可满足式

(21)

第四章习题课

主要内容



个体词、谓词、量词



一阶逻辑命题符号化



一阶语言 L

项、原子公式、合式公式



公式的解释

量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约束出现、闭式、解释



公式的类型

永真式 ( 逻辑有效式 ) 、矛盾式 ( 永假式 ) 、可满足式

(22)

基本要求



准确地将给定命题符号化



理解一阶语言的概念



深刻理解一阶语言的解释



熟练地给出公式的解释



记住闭式的性质并能应用它



深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概念 , 会判断简 单公式的类型

(23)

练习 1

) 2 )(

2 (

2

 2  x  x 

x 1.

在分别取个体域为

(a) D

₁

=N (b) D

₂

=R

(c) D

₃ 为全总个体域

的条件下 , 将下面命题符号化，并讨论真值

(1)

对于任意的数 x ，均有

解设 G(x):

(a) xG(x) x

²

 2  ( x  2 )( x  2 ) (b) xG(x) (c)

又设 F(x):x 是实数

x(F(x)G(x))

真真

假

(24)

练习 1( 续 )

解设 H(x) ： x+7=5

(a) xH(x)

(2)

存在数 x ，使得

^x+7=5

(b) xH(x)

(c)

又设 F(x) ： x 为实数

x(F(x)H(x))

本例说明：不同个体域内，命题符号化形式可能不同（也可 能相同），真值可能不同（也可能相同） .

真

真假

(25)

练习 2

2.

在一阶逻辑中将下列命题符号化

(1)

大熊猫都可爱

(2)

有人爱发脾气

(3)

说所有人都爱吃面包是不对的

设 F(x): x 为大熊猫， G(x): x 可爱

x(F(x)G(x))

设 F(x): x 是人， G(x): x 爱发脾气

x(F(x)G(x))

设 F(x): x 是人， G(x): x 爱吃面包

x(F(x)G(x)) 或  x(F(x)G(x))

(26)

练习 2

(4)

没有不爱吃糖的人

(5)

任何两个不同的人都不一样高

(6)

不是所有的汽车都比所有的火车快

设 F(x): x 是人， G(x): x 爱吃糖

x(F(x)G(x)) 或  x(F(x)G(x))

设 F(x):x 是人 , H(x,y), x 与 y 相同 , L(x,y): x 与 y 一样高

x(F(x)y(F(y)H(x,y)L(x,y)))

或  xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y))

设 F(x):x 是汽车 , G(y):y 是火车 , H(x,y):x 比 y 快

(27)

练习 3

x(2x=x) 假

y x y

x g y

x y

x

f ( , )   , ( , )  

a

y x

F ( , ) :  3.

给定解释 I 如下 :

(a)

个体域 D=N

(b) =2

(c) (d)

说明下列公式在 I 下的涵义 , 并讨论真 值

(1) xF(g(x,a),x)

(2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x))

xy(x+2=yy+2=x) 假

(28)

练习 3

(3) xyzF(f(x,y),z)

(5) xF(f(x,x),g(x,x))

(4) xyzF(f(y,z),x)

xyz(y+z=x) 假

xyz(x+y=z) 真

x(x+x=xx) 真

(3),(4)

说明与不能随意交换

(29)

练习 4

4.

证明下面公式既不是永真式，也不是矛盾式 :

(1) x(F(x)G(x))

(2) xy(F(x)G(y)H(x,y))

解释 1: D1

=N, F(x):x

是偶数 , G(x): x 是素数 , 真 解释 2: D2

=N, F(x):x

是偶数 , G(x): x 是奇数 , 假

解释 1: D1

=Z, F(x):x

是正数 , G(x): x 是负数 , H(x,y):x>y 真

解释 2: D2

=Z, F(x):x

是偶数 , G(x): x 是奇数 , H(x,y):x>y 假

(30)

练习 5

5.

证明下列公式为永真式 :

(1) (xF(x)yG(y))xF(x)yG(y)

(2) x(F(x)(F(x)G(x))) (A

B)AB 的代换实例

设 I 是任意的一个解释 , 对每一个 xDI

,

F(x)

(F(x)G(x)) 恒为真

第四章 一阶逻辑基本概念第四章 一阶逻辑基本概念

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