一、概念的引入 一、概念的引入

,

1 1

1



^



 a a

aa

1

,

1

A A E

AA

^



^



则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵 . ^A

^1

A

一、概念的引入 一、概念的引入

在数的运算中，当数 时， a  0 ^有

a ₁ a1



 a

其中 为 的倒数， （或称 的逆）； a

在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中

^E

的 1 ， 那么，对于矩阵 ，

^A

如果存在一个矩阵 , A

^1

使得

二、逆矩阵的概念和性质 二、逆矩阵的概念和性质

定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵 .

n

^A

B

, E BA

AB

 

B A

n

A

, 使得

1

. A



A 的逆矩阵记作

例 设 ,

2 1 2

1

2 1 2

, 1 1

1

1

1 



 





 

 

 



 

 B

A

, E BA

AB  

  B 是A 的一个逆矩阵 .

说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一 的 .

A

A

若设 和 是 的可逆矩阵， B ^C A ^则有

,

, AC CA E

E BA

AB

   

可得

^B

^

^{EB }

 

^{CA B}  C



AB

 

CE



C.

所以 的逆矩阵是唯一的 , 即

^A

1

.





 C A

B

例 设 , 0 1

1

2 



 





 

A 求A 的逆阵 .

解 设 是 的逆矩阵 , 



 



 

d c

b

B a A

则 



 



 



 





 

d c

b AB a

0 1

1

2 



 



 

1 0

0 1

 

 



 

 

 











 

1 0

0 1

2 2

b a

d b

c a

利用待定系数法

 



 





















, 1

, 0

, 0 2

, 1 2

b a d b

c a

 



 















. 2

, 1

, 1

, 0

d c b

a

又因为

 

 





 1 0 1

2 



 



  2 1

1

0 



 





 1 0 1

  2



 



  2 1

1

0 ,

1 0

0

1 



 



 

所以 .

2 1

1

1

0 



 



 



 A

A B B A

定理 1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且　 　　　　　

1 ,

1 



 A

A A

A A



0

证明 若 可逆， A 即有 A

^1

使 AA

^1

 E .

,

1

 

1



A^ E

故

A

所以

A



0.

的伴随矩阵 .

为矩阵 其中 A

^

A

, 0

时

当 

A

, 0

时 当 

A



 









 









 









 











nn n

n

n n

nn n

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A

a a

a

a a

a

a a

a AA





























2 1

2 22

12

1 21

11

2 1

2 22

21

1 12

11

A A

a A

a A

a

_{11 11}



_{12 12}

  

_{1n 1n}

 A A

a A

a A

a

_n1 _n1



_n2 _n2

  

_{nn nn}



,























A A

A

A

O

O ^

E A A

A

AA^



^

 A E , A

A A

A A  



^{ }

1

.

A A A







按逆矩阵的定义得

证毕

.

, 0 ,

, 0

非奇异矩阵

称为 时

当 称为奇异矩阵

时

当

A



A A



A

奇异矩阵与非奇异矩阵的定义

为非奇异矩阵

.

是可逆阵的充要条件是

由此可得

A A

,



1





B E

A

故 A  0 ,

1

存在

,

因而

A^

于是

EB

B

 ^  ^A

^1

^A  ^{B  A}

^1

^{ AB }

E _{1 } A  .

1  A

证毕

 ^  ^{, }

^1

^.

 E BA E B A

AB 或 则

推论 若 证明

  ¹ 若 ^A 可逆 ^, 则 ^A

^1

亦可逆 ^, 且   ^A

^{1 1}

^{ A .}

逆矩阵的运算性质

 

且 可逆

则 数

可逆

若 , 0 , ,

2 A    A

  ³ _若 ^{A , B} _{为同阶方阵且均可逆} ^, _则 ^AB _亦可逆 ^, _且

 ^AB   ^B

^1

^A

^1

  ^{ A BB}

^1

 ^A

^1

1

 AEA  AA

^1

 E ,

 

^1

^

^{1 1.}



AB B A

证明

 ^AB 

^1

^ B

^1

A

^1

  ^A

^1

^{ A 1}

^1

^.

 

  

^T



^T

T A A A

A ^1



^1

 ^

^ET



E,

   

^{AT 1}

^

^{A1 T .}



 

^.

,

, 0 ,

1

0 E A k A k

A A









 时 定义 当

另外 证明

 ^k _为正整数 

 ^A

₂

_ 

^1

^ _ ^A

₂^1

^.

推广 A

₁

A

_m

A

_m^1

A

₁^1

 

⁴

若

^A

可逆

^,

则

^AT

亦可逆

^,

且    

^{AT 1}

^

^{A1 T.}

  5 若 A 可逆 , 则有 A

^1

 A

^1

.

证明  AA

^1

 E 1

1



 A A

^

. A A

^1



^1

因此

有 为整数时

当 A  0 ,  ,  ,



,







A  A



A   ^A

^{ }

^{ A}

^

^.

例 1 求方阵 的逆矩阵 .

 







 









3 4

3

1 2

2

3 2

1 A

解

3 4

3

1 2

2

3 2

1



 A  0 ,  A

^1

存在 .

, 3 2

4

1 2

11

 

A 3 ,

3 3

1 2

12

   

A

三、逆矩阵的求法

三、逆矩阵的求法

同理可得 A

₁₃

 2 , A

₂₁

 6 , A

₂₂

  6 , A

₂₃

 2 , ,

2 ,

5 ,

4

_{32 33}

31

  A  A  

A

, 2 2

2

5 6

3

4 6

2

 







 

















 得 A

故





 A

A

₁

A 1

 







 

















2 2

2

5 6

3

4 6

2 2

1 .

1 1

1

2 5 3

2 3

2 3

1

 







 

















, 3 3

1

2 1

2

3 2

1

 







 









A .

11 5

1

5 3

1

1 3

2

 







 













 B

解

3 3

1

2 1

2

3 2

1

 A

0 1

0

4 3

0

3 2

1







.

,

? ,

矩阵

求出其逆 若可逆

是否可逆 下列矩阵 B A

例 2

0 1

0

4 3

0

3 2

1





 1 0

4 3 

   4 ^{ 0 ,} 所以 A 可逆 .

, 3 3

3

2 1

11

  

 A 4 ,

3 1

2 2

12

   

A

, 3 5

1

1 2

13

 

A

. A

, A

, A

, A

, A

, A

3 4

1 1

0 3

33 32

31 23

22 21















同理可求得 

 







 













^{ }

33 23

13

32 22

12

31 21

11

1

1

A A

A

A A

A

A A

A A

A A A

 .

 





 

















3 1

5

4 0

4

1 3

3 4

1

11 5

1

5 3

1

1 3

2









由于 B ^{ 0 , 故 B 不可逆 .}

, 1 3

0 2

3 1

3 , 5

1 , 2

3 4

3

1 2

2

3 2

1

 







 







 



 



 

 







 







 B C

例 3 设 A

. C AXB

X 使满足 

求矩阵

解 2 0 ,

3 4

3

1 2

2

3 2

1







 A 1 0 ,

3 5

1

2  

 B

. ,

¹

1 ^

都存在

 A



B

, 1 1

1

2 5 3

2 3

2 3

1

1

 







 



















且 A ,

2 5

1

1

3 



 







  B



C AXB 

又由  A

^1

AXBB

^1

 A

^1

CB

^1

1

.

1 





 X A CB 于是 X  A

^1

CB

^1

 

 









 







 







 







 















 5 2

1 3

1 3

0 2

3 1

1 1

1

2 5 3

2 3

2 3

1

E

证明 由 A

²

 A  2 E  0 ,



A E



E

A

 

2

得

,



0

 A

E E A A  

 2

2  1

 A  E A

. ,

2 ,

: ,

0

2

2

并求它们的逆矩阵 都可逆

证明 满足方程

设方阵 E

A A

E A

A A





 例 4 

 

 









 







 









 5 2

1 3

2 0

2 0

1 1

. 4 10

4 10

1 2

 







 















可逆

.

故A

1

A

0 2

2

 A  E 

又由 A

 ^{ 2}  ^{ 3}  ^{ 4  0}

 A E A E E

 ^{A  E}  _ ^{ }  ^{A  E}  _ ^{  E}

 3

4 2 1

. E

A 可逆

故  2

 ^{A E}   ^{A 3 E} 

4

2

¹

  1 



^

且 .

4

3 E  A



  ^.

2

1

1 A E

A  



^

 A  E ² 

^1

 ³  ^{1 ,}

4

2  1  



 A E A E

  ^;

5 1

0

4 0

2

3 2

1

1 1

2

0 1

1

1 1

1

2   





 











 

 





 





  X

  ^.

1 1

2

5 1

0

3 2

4

1 2

3

0 1

1

1 1

1

1 1

2

0 1

1

1 1

1

3   





 









 

 





 





 

 







 





 

X

  ^;

4 1

2 3

4 1

5

1 1 



 



 

 

 







 X 解矩阵方程

例 5

 

 



 



 







 

 

 







 



 









^{ }

4 1

2 3 4

1

5 1

4 1

5 1

4 1

5

1

^{1 1}

得 X

 

 



 



 











 

4 1

2 3

1 1

5

4 .

6 4

28

17 



 











 

解   ^



 



 

 

 









4 1

2 3

4 1

5

1 1 X

给方程两端左乘矩阵 ,

4 1

5 1

^1

 

 









 

 



 



 







 





4 1

2 3 4

1

5

1

¹

X

E

    





 











 

 





 





 

5 1

0

4 0

2

3 2

1

1 1

2

0 1

1

1 1

1 2 X

1

1 1

2

0 1

1

1 1

1

5 1

0

4 0

2

3 2

1

^

 







 





 

 







 











 X

给方程两端右乘矩阵 ,

1 1

2

0 1

1

1 1

1

^1

 







 





 

得

    





 









 

 





 





 

 







 





 

1 1

2

5 1

0

3 2

4

1 2

3

0 1

1

1 1

1

1 1

2

0 1

1

1 1

1

3 X

. 9 14

4

6 8

2

5 9

2

 







 



















给方程两端左乘矩阵 ,

1 2

3

0 1

1

1 1

1

^1

 







 





 

 







 

















 







 







 

 





 



















2 5

1

1 2

1

1 3

1

1 1

2

5 1 0

3 2

4

2 5

1

1 2

1

1 3

1

. 47 120

21

21 52

9

30 75

13

 







 

















1 1

1 2

3

0 1

1

1 1

1

1 1

2

5 1

0

3 2

4

1 2

3

0 1

1

1 1

1

^{ }

 







 





 

 







 







 

 





 





 



得 X

给方程两端右乘矩阵 ,

1 2

3

0 1

1

1 1

1

^1

 







 





 

 







 















7 1 4

1 2

1 ,

1

BA 6 A BA A

A 且

o

o

. 求 B

A BA

BA

A

^1

  6

 ^A

¹

^{ E}  ^{BA  6 A}



^

^  ^A

^1

^{ E}  ^{B  6 E}

  ^.

6

^1



^1



 B A E

解

:

, 满足关系

设三阶矩阵 B A

例 6

1

1 0

0

0 1

0

0 0

1

7 0

0

0 4

0

0 0

2 6



 







 







 







 







 

 





 









1

6 0

0

0 3

0

0 0

1 6



 







 









1

6 0

0

0 3

0

0 0

1 6



 







 







   





 









6 1 0

0

0 3

1 0

0 0

1

6 .

1 0

0

0 2

0

0 0

6

 







 











¹



¹

6

^



^

 A E

B

, 0

! 5



 因

A

由伴随矩阵法得

^A1

^

^{A A ,}

解 ^故

^A1

^存在

^.

.

5 0

0 0

0

0 4

0 0

0

0 0

3 0

0

0 0

0 2

0

0 0

0 0

1

1

 

 

 





 

 

 





 A

A 求

已知

例 7

 

 

 





 

 

 





































4 3 2 1 0

0 0

0

0 5

3 2 1 0

0 0

0 0

5 4 2 1 0

0

0 0

0 5

4 3 1 0

0 0

0 0

5 4 3 2

5 1

!

. 5 1 0

0 0

0

0 4

1 0

0 0

0 0

3 1 0

0

0 0

0 2

1 0

0 0

0 0

1

 

 

 





 

 

 







四、小结 四、小结

逆矩阵的概念及运算性质 . .

 0 A 逆矩阵的计算方法

  ²

¹

^;

A A A







利用公式 逆矩阵 存在 A

^1



  ¹ _{待定系数法} ^;

  ³ 初等变换法  下一章介绍  ^.

思考题 思考题

?

? ,

1 1













BA

Y

B YA

B A

X

B AX

A

是否有唯一解 矩阵方程

是否有唯一解 那么矩阵方程

可逆

若

思考题解答 思考题解答

. . 这是由于

¹

的唯一性决定的

是的 A

^

答