從哈耳級數到基波理論

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從哈耳級數到基波理論

李孟書

前言: 在最近傅立葉分析的研究中, 基波理論 (Wavelets Theory) 掀起了一股熱浪。

李志豪教授在第 15 卷第二期的季刊“日漸獲得青睞的基波理論”譯文中, 亦對此理論做了概述。在本文裡, 筆者試著用多重解像分析 (Multiresolution Analysis) 的方法, 去重新理解古典的哈耳級數 (Haar Series); 接著去描述一個理想的基波, 及它的特性。因此而得知: 基波 (Wavelet) 是一個 “平滑化”的哈耳基底 (Haar Basis), 而它有一些傅立葉級數所沒有的特性。這些特性正是基波理論被熱烈研究且廣泛應用的主要原因。

哈耳函數是最簡單的基波, 讓我們由它開始。哈耳函數就是: h := χ[0, 1/2) − χ[1/2, 1), 也就是取值為 1 在 [0,1] 的左半部, 而取值為 −1 在右半部。經由平移、放大、縮小 (translation and dilation), 我們可得到一群函數族

hνk := 2^ν²h(2^νx − k), ν, k ∈ Z 而對於每個函數 h_vk, 它的支柱(Support) 就是在區間 Ivk := [k2⁻^v, (k + 1)2⁻^v)。從古典的分析理論我們知道,hvk 這群函數是一

個L²(R) 的正交規格化基底(Orthonormal Basis)。

定義 S := S⁰ 為 L²(R) 的子空間, 它包含了一些在整數區間為常數的函數。也就是任何函數 f 在 S 裡滿足 f (x) =常數,∀x ∈ [k, k+1), k ∈ Z。我們可知 S 是一個移轉不變 (shift invariant) 空間。也就是 , 假如 s ∈ S, 則對 s 的移轉 s(· −k),k ∈ Z 仍屬於 S 裡。對於 S, 一個簡單的正交基底就是 {φ(· − k)},k ∈ Z。而 φ 定義為 [0,1]

區間的特徵函數。也就是說, 對於 ∀s ∈ S, 我們有一個唯一的表現

s(x) =

^P

k∈Zc(k)φ(x−k), (c(k)) ∈ l2(Z) 經由放大、縮小 (dilation) 我們可得到一個等級空間 (scale of space):

S^ν : = {s(2^ν·)|s ∈ S}, ν ∈ Z 因此, 當固定 ν,S^ν 就是一個 L²(R) 的子空間, 而且它滿足在每個區間 [k⁻₂^ν, (k + 1)^−ν₂ ),k ∈ Z 上為常數。這個規格化的函數族 φνk := 2^ν²φ(2^νx − k), k ∈ Z 就形成了 S^ν 的一個正交規格化基底。明顯的我們有 S^ν ⊂ S^ν+1,ν ∈ Z。實際上我們可得:

(1.1) S^∞= L²(R)且S^−∞= {0}。

1

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接下來, 我們定義: Pν : L²(R) → S^ν 為從 L² 到 S^ν 的正交投射算子 (orthogonal projector), 我們有以下的表示, 對 ∀f ∈ L²

Pνf =

^P

k

< f, φνk > φνk, φνk(x) = 2^ν²φ(2^νx − k)

從 (1.1) 我們可得到 Pνf → f 當 ν → ∞ 且 Pνf → 0 當 ν → −∞。所以

f = lim

ν→∞(Pνf − P−νf )

= lim

ν→∞

ν−1

P

n=−ν(Pn+1f − Pnf )

=

P

∞

ν=−∞(Pν+1f − Pνf )。

也就是

f =

^P

ν∈Z

(Pν+1− Pν)f (1.2)

=

^P

ν∈ZQνf 其中

Qν = Pν+1− Pν。

我們可宣稱 Qν 是 W^ν 上的正交投射算子, 其中 W^ν := S^ν+1⊖ S^ν, 而 S^ν+1⊖ S^ν 表示是 S^ν 在 S^ν+1 的正交互補 (orthogonal complement)。我們只需驗証 Q²_ν = Qν 即可,

(Pν+1− Pν)(Pν+1− Pν)

= Pν+1− PνPν+1− Pν+1Pν + Pν

= Pν+1− Pν − Pν + Pν

= Pν+1− Pν = Qν

從上頭我們知道 W⁰ = S¹⊖ S⁰, 而 W^ν 就是放大、縮小 (dilation) 的基波空間, 其中 W^ν = {w(2^ν· x) : w ∈ W⁰}。如果 ν 6= u, 則 W^ν⊥W^u。從 (1.2) 知 L²(R) 是 W^ν 的正交直和

(1.3) L²(R) = ⊕_ν∈ZW^ν

到此, 我們要問 W⁰ 與哈耳函數 h 有何關係? 這個問題可以由證明出 W⁰ = S(h), 也就是 W⁰ 是由 h 所產生的移轉不變空間而獲得解答。我們的解釋如下: 假如, t ∈ s¹,

t = s(2x) =

^P

j∈Z

cjφ(2x − j)

=

^P

j=2k

cjφ(2(x − k))+

^P

j=2k+1

cjφ(2(x − k) − 1)

現在令 η₀(x) = φ(2x), η1(x) = φ(2x−1), 對於在 S¹ 的任何函數可表成:

P

j∈Zcjη0(x − j) +

^P

j∈Zcjη1(x − j)。

但是, 我們有 η0 = φ + h

2 , η1 = φ − h 2 。這表示說:S¹ = S^◦⊕ S(h), 而 S¹ = S^◦ ⊕ W^◦。由唯一性我們可得 W^◦ = S(h)。現由 (1.3) 我們可得以下的結論:∀f ∈ L₂(R) (1.4) f (x) =

^P

^∞

ν=−∞

P

∞

k=−∞dνkhνk(x), 其中 hνk(x) = 2^ν²h(2^νx − k)。

讓我們舉個例子來說明上述的觀念。假如我們要分解一個函數 f (x),−∞ < x <

∞, 首先我們以一般常用的常數函數來逼近 f (x), 我們可選用任意小的區間。為了說明起見, 我們選用區間長為 2⁻⁴ , 也就是:

I_4k = [2⁻⁴k, 2⁻⁴(k+1)), k = 0, ±1, ±2, . . .

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所以我們可得

f (x) ≈ f⁽⁴⁾ :=

^P

^∞

k=−∞

c⁴_kφ(2⁴x − k);

這裡 φ(2⁴x−k) 是在區間 I4k 上的特徵函數

圖 a

,c⁴_k是函數 f⁽⁴⁾在區間 I4k上的 “高度”。 (見圖 a)

現在假如我們並不需要那麼細緻的對 f 逼近。我們可選用較粗層的對 f 逼近, 也就是用區間 I3k = [2⁻³k, 2⁻³(k + 1)) 上的特徵函數:

f⁽³⁾:=

P

∞

k=−∞c³_kφ(2³x − k);

(見圖 b)

圖 b

對於係數 c³_k “最好”的選擇是取在細層上“高度”的平均值 (亦即 C_k⁴)。接下來考慮這兩層上的表示“誤差”, 這意謂我們失去了一些精確。表示如下:

f⁽⁴⁾− f⁽³⁾ =

^P

^∞

k=−∞

d³_k2³²h(2³x − k) (見圖c)

圖 c

上面所談的哈耳級數分解顯然有一些好的特性。假如我們只對函數 f 的某部分有興趣, 我們可以找出這“和” 中的某些項是對 f 的某部分有貢獻。例如我們只對 f (x) 在 1 ≤ x ≤ 1.5 之間有興趣, 我們只要保留一些項使得 hνk(x) 6= 0, 而不管其他項。換句話說, 我們需要的條件是 0 < 2^νx − k < 1, 而且 1 ≤ x ≤ 1.5 , 對於給定的 ν, 相應在 2^ν , 這些項 k,2^ν ≤ k ≤ 2^ν · 1.5 就是我們所要的。因為每個 hνk(x) 只在一個非常小的區間上是不等於 0 , 所以哈耳級數能讓我們注意力“集中”在函數 f 的某個特

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殊部份上。不幸的, 對於每個哈耳級數的頻率質譜 (frequency spectrum) 並不是那麼美好。它的原因是: 哈耳函數是構造在兩個“箱子”上, 它的傅立葉變換衰退的相當慢 (因不平滑, 從 Riemann-Lebesque Lemma 可看出)。總之, 對於在哈耳級數中的一些不同項, 在頻率域上起了複雜的交互作用, 這不是我們想要的。因此, 一個理想而類似哈耳級數的展開式便是:

(1.5) f (x) =

P

∞ ν=−∞

P

∞

k=−∞dνkψνk(x),

(

ψνk(x) = 2^ν²ψ(2^νx − k) dνk =< f, ψνk(·) >

其中要求函數 ψ 滿足 (1.6)

(

ψ(x) 6= 0 for 0 ≤ x < 1 (1) ψ(ξ) 6= 0

b

for 1 ≤ |ξ| < 2 (2) 因為第一個條件可使我們知道函數 ψνk(x) 在那裡非 0 , 就如哈耳函數一樣。而在第二個條件裡, 因為:

F (ψνk)(ξ) = 2^ν²eⁱ²^−ν^kξF (ψ)(2^−νξ)。

對於給定的 ν0 相對於 f 的頻率域上,2^ν⁰ ≤

|ξ| < 2^ν⁰⁺¹ 正好只有在 ν0 層上的 ψν0k(x) 項才有相關。我們於是可避免掉一些在不同頻率域上, 項與項之間的交互作用。我們可“集中”在函數 f 的某些想要的部分, 而得到一個類似傅立葉級數的頻率分解。

問題是, 沒有任何函數 ψ 能完全滿足性質 (1.6) (Paley-Wiener Theorem)。基波分解是用 (1.5) 來表示, 但其中的 ψ 只能滿足性質 (1.6) 到某種程度。對於哈耳函

數來說, 它是一個極端的情形, 只滿足第一個部分, 而一點也不滿足第二個部分。其他的基波, 如 (見 [1])“Daubechics Wavelets ”, 在這個性質間有點妥協, 也就是說兼具這兩種性質到某種程度上。這個基波分解是構造在一個稱為多重解像分析的程序上 (見 [2]), 它很類似我們上頭所提到過的哈耳級數。即使沒有完全滿足性質 (1.6) 的“理想”基波, 當我們理解基波理論時, 還是以理想的基波作為模型。例如, 當我們選定一個基波 ψ 時, 讓我們試著去了解包含在係數 dνk 裡的東西

dνk = < f (·), ψνk(·) >

=

Z

f (x)2^ν²ψ(2^νx − k)dx。

用我們選定的模型, 假如 ψ 是一個理想的基波, 因為函數 ψ(2^νx − k) 在區間 Iνk :=

[k2^−ν,(k + 1)2^−ν) 外是0 , 只有 f 在 Iνk 上的行為會影響 d_νk。另一方面, 由 Plancherel 公式, 我們知道

dνk = < F f (·), 2^ν²eⁱ²^−ν^kξF (ψ)(2^−ν·) > 。而 F ψ(2^−νξ) 是0 , 除非 1 ≤ 2^−νξ < 2, 這就是告訴我們, 在頻率域上 F f 只在 2^ν ≤ ξ < 2^ν+1 時, 才會影響 dνk 的計算。

讓我們把這些觀念放在一起, 我們可以了解到 dνk 含有在頻率域上 |ξ| ≈ 2^ν, 而相對於位置在 x ≈ 2⁻^νk 上的資訊。由於基波分解這個“放大”(zooming) 的特性, 它容許在函數“不連續”的地方有很好的描述, 並非傅立葉變換所能做到, 因而使得它在應用上, 例如在解偏微分方程方面是很被看好的。

一個函數的平滑性是反映在它的頻率域上的行為 (Riemann-Lebesque Lemma)

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—— 一個不平滑函數有很多高頻率出現在頻率域上。但一個平滑函數, 這些高頻率部分當 |ξ| 變大時, 很快就逼近 0 。從這些觀察我們可歸納一個準確的數學原則:

一個函數的大小及平滑性, 可有系統的反映在這些係數{< f (·), ψνk(·) >} 裡。

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