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單元 _18: 凹性與二階導函數檢定法

( 課本 x 3.3)

一 _. 凹性

(1) 圖 ₁ 顯示出函數 _f 的圖形在切線之上_, 且 _f⁰ 為遞 增_, 由此導出圖形為上凹 (concave upward).

(2) 圖 ₂ 顯示出函數 _f 的圖形在切線之下_, 且 _f⁰ 為遞 減_, 由此導出圖形為下凹 (concave downward).

根據上述的觀察_, 得凹性的

定義 _.

(1) 上凹 (concave upward), 若 _f⁰ 在 _I 上遞增_.

(2) 下凹 (concave downwand), 若 _f⁰ 在 _I 上遞 減_.

除了視覺法_, 亦可以下述的解析法判斷 _f 的凹性_.

凹性檢定法

(1) f⁰⁰ > 0 可導出 _f 在 _I 上為上凹_.

(2) f⁰⁰ < 0 可導出 _f 在 _I 上為下凹_.

為何如此_{? (1)} 根據定義_{, f} 為上凹乃相當於 _f⁰ 遞增_. 而 _f⁰ 遞增又相當於 _f⁰ 的一階導函數

(f⁰)⁰ = f⁰⁰ > 0 得證_.

(2) 同理_{, f} 為下凹乃相當於 _f⁰ 遞減_. 而 _f⁰ 遞減又相 當於 _f⁰ 的一階導函數

(f⁰)⁰ = f⁰⁰ < 0 得證_.

因此_, 判斷函數 _f 的凹性的步驟為

(i) 找重要點_{: (1)} 非連續點_{, (2)} 使得 _f⁰⁰_{(x) = 0} 或 f⁰⁰(x) 未定義的 _x 值_.

(ii) 決定二階導函數 _f⁰⁰ 在 _(i) 的點所產生的子區間上 的符號_, 並根據 "+", 得 _f 為上凹; " ", 得 _f 為下凹_.

例 _1.

f(x) = 6 x² + 3 的凹性_.

<解_> 根據上述判斷凹性的步驟_{, (i)} 找重要點_{. (1)} 非 連續點_: 無_, 因為分母恆不等於 _0, 為一在整個數線上都 有定義的有理函數_, 故恆連續_.

(2) f⁰⁰(x) = 0 或 _f⁰⁰_(x) 未定義_. 首先_, 經由改寫_, 得 f(x) = 6(x² + 3) ¹

接著_, 根據廣義冪次法則_, 兩次微分並化簡後_, 得 f⁰(x) = 6( 1)(x² + 3) ²(2x)

= 12x(x² + 3) ²

以及

f⁰⁰(x) = 12(x² + 3) ² + 24x(x² + 3) ³(2x)

= 12(x² + 3) + 48x² (x² + 3)³

= 36(x² 1) (x² + 3)³

第一類_{: f}⁰⁰ _{= 0,} 乃相當於分子等於 _0, 亦相當於 x² 1 = 0

得

x = 1; 1

第二類_{: f}⁰⁰ 未定義_, 無_, 因為分母 _(x² _{+ 3)}³ 恆大於 _0.

(ii) 決定 _f⁰⁰ 的符號_. 根據 _(i) 中的重要點_, 得三個子區 間以及 _f⁰⁰ 在每個子區間的符號_, 如下述及圖示_.

( 1; 1): f⁰⁰ = ⁽⁺⁾₍₊₎ = (+), 上凹_.

( 1; 1): f⁰⁰ = ₍₊₎^{( )} = ( ), 下凹_.

(1; 1): f⁰⁰ = ⁽⁺⁾₍₊₎ = (+), 上凹_.

因此_{, f} 在 _{( 1; 1)} 及 _{(1; 1)} 為上凹_; 在 _{( 1; 1)} 為下凹_.

例 _2.

f(x) = x² 1 2x + 1 的凹性_.

<解_{> (i)} 找重要點_{. (1)} 非連續點_: 分母等於 ₀ 的 _x, 因為此時 _f 未定義_, 亦即_,

2x + 1 = 0 得非連續點

x = 1 2

(2) f⁰⁰ = 0 或 _f⁰⁰ 未定義_. 根據分式法則並化簡_, 得 f⁰(x) = 2x(2x + 1) (x² 1)(2)

(2x + 1)²

= 2x² + 2x + 2 (2x + 1)² 再根據分式法則_, 得 _f⁰⁰_(x) 的分子為

(4x + 2)(2x + 1)² (2x² + 2x + 2)4(2x + 1)

提出公因式 _{2(2x + 1),} 得

2(2x + 1)[(2x + 1)² 2(2x² + 2x + 2)]

展開上式中的中括號並整理_, 得

2(2x + 1)( 3) 因此_,

f⁰⁰(x) = 2(2x + 1)( 3) (2x + 1)⁴

= 6

(2x + 1)³

第一類_{: f}⁰⁰ _{= 0,} 無_, 因為分子 ₆ 恆不為 _0.

第二類_{: f}⁰⁰ 未定義_, 乃相當於分母等於 _0, 亦相當於 2x + 1 = 0

得

x = 1 2

但歸類為非連續點_, 因為第二類的先決條件是必須在 _f 的 定義域內_, 而 _f 在 _{x =} ¹

2 未定義_, 故僅能算為一個非 連續點_, 但還是一個需要先找出的重要點_.

(ii) 決定 _f⁰⁰ 的符號_. 根據 _(i) 中的一個非連續點_, 得二 個子區間及 _f⁰⁰ 在每個子區間的符號_, 如下述及圖示_, 其 中圖中的空心圓圈表示未定義的非連續點_.

 1; ¹₂^: f⁰⁰ = ^{( )}_{( )} = (+), 上凹_.

 1

2; 1^: f⁰⁰ = ₍₊₎^{( )} = ( ), 下凹_. 因此_{, f} 在 ^ _1; ¹

2

 為上凹_; 在 ^{ 1}

2; 1^ 為下凹_.

二 _. 反曲點

(1) 圖 ₁ 顯示_{, f} 的圖形上凹至點 _{(c; f(c))} 後_, 轉為 下凹_, 且過點 _{(c; f(c))} 有一切線刻劃出此種凹性的 改變_.

(2) 圖 ₂ 顯示_{, f} 的圖形下凹至點 _{(c; f(c))} 後_, 轉為 上凹_, 且過點 _{(c; f(c))} 有一切線刻劃出此種凹性的 改變_.

(3) 圖 ₃ 顯示_{, f} 的圖形上凹至點 _{(c; f(c))} 後_, 轉為 下凹_, 且過點 _{(c; f(c))} 有一垂直切線刻劃出此種凹 性的改變_.

共同的現象是_, 在點 _{(c; f(c))} 附近_, 圖形的凹性改變_, 亦即_, 在此點有一切線刻劃出相反的兩種凹性_, 故予以定 義如下_, 以反映此點的特性_.

定義 _.

反曲點的性質 _.

註 _1.

f⁰⁰(x) = 0 或 _f⁰⁰_(x) 未定義的 _x 值_, 故稱在 _f 的定義 域內_, 使得 _f⁰⁰_{(x) = 0} 或 _f⁰⁰_(x) 未定義的 _x 值為反曲 候選數 (possible points of in ection). 另外_, 函 數 _f 的凹性在非連續點附近亦可能改變_, 如例 _2. 所以_, 判斷函數 _f 的凹性或找反曲點時_, 需由 ₍₁₎ 非連續點以 及 ₍₂₎ 反曲候選數_, 這些所謂的重要點開始_, 將定義域分 割成子區間_, 並根據 _f⁰⁰ 在每個子區間的符號做結論_.

註 _2.

(1) 一階導函數 _f⁰ 用於檢定函數 _f 的遞增_, 遞減性以 及找相對極值_.

(2) 二階導函數 _f⁰⁰ 用於檢定函數 _f 的凹性以及找反曲 點_.

例 _3.

f(x) = x⁴ + x³ 3x² + 1 的凹性_, 並求反曲點_.

<解_{> (i)} 找重要點_{. (1)} 非連續點_: 無_, 因為 _f 為多 項式_, 恆連續_.

(2) 反曲候選點_: 經由微分及化簡_, 得

f⁰(x) = 4x³ + 3x² 6x 以及

f⁰⁰(x) = 12x² + 6x 6

= 6(2x² + x 1)

= 6(2x 1)(x + 1)

第一類_{: f}⁰⁰ _{= 0,} 亦相當於

(2x 1)(x + 1) = 0 得

x = 1; 1 2

第二類_{: f}⁰⁰ 未定義_, 無_, 因為 _f⁰⁰ 為多項式_, 恆定義_. (ii) 決定 _f⁰⁰ 的符號_. 根據 _(i) 中的重要點_, 得三個子區 間以及 _f⁰⁰ 在每個子區間的符號_, 如下述及圖示_.

( 1; 1): f⁰⁰ = ( )( ) = (+), 上凹_.

 1; ¹₂^: f⁰⁰ = ( )(+) = ( ), 下凹_.

₁

2; 1^: f⁰⁰ = (+)(+) = (+), 上凹_. 因此_{, f} 在區間 _{( 1; 1)} 及 ^1

2; 1^ 內為上凹_; 在區

間 ^ _1; ¹

2

 內為下凹_.

因為凹性在 _{x = 1} 與 _{x =} ¹

2 的附近均改變_, 故得二 個反曲點

( 1; f( 1)) = ( 1; 2)

其中

f( 1) = 1 1 3 + 1 = 2 以及 1

2; f ^1 2



= ^1 2; 7

16



其中

f ^1 2



= 1

16 + 1 8

3

4 + 1 = 7 16

註 _3.

f(x) = x³ 則

f⁰(x) = 3x² 且

f⁰⁰(x) = 6x

根據定義_, 第一類反曲候選數_{: f}⁰⁰ _{= 0,} 得 x = 0

又 _f⁰⁰ 在每個子區間的符號如下述及圖示_.

( 1; 0): f⁰⁰ = ( ), 下凹_. (0; 1): f⁰⁰ = (+), 上凹_.

在 _{x = 0} 附近的凹性改變_, 得反曲點 (0; f(0)) = (0; 0) 如圖示_.

(2) 若

g(x) = x⁴ 則

g⁰(x) = 4x³ 且

g⁰⁰(x) = 12x²

根據定義_, 第一類反曲候選數_{: g}⁰⁰ _{= 0,} 得 x = 0

且 _g⁰⁰ 在每個子區間的符號如下述及圖示_. ( 1; 0): g⁰⁰ = (+), 上凹_.

(0; 1): g⁰⁰ = (+), 上凹_.

在 _{x = 0} 附近的凹性未變_, 所以

(0; f(0)) = (0; 0) 不是一個反曲點_, 如圖示_.

因此_, 反曲候選數在未以二階導函數的符號驗證前_, 僅為 可能產生反曲點的 _x 值_, 需要經由二階導函數的符號驗證 後_, 才能確知是否會產生反曲點_.

三 _. 二階導函數檢定法

觀察如下的圖示_, 得

(1) 圖 ₁ 顯示過 _{(c; f(c))} 有一水平切線_, 即 f⁰(c) = 0

c 為第一類臨界數_, 且在 _{x = c} 的附近為下凹_, 即 f⁰⁰(c) < 0

而導出 _f(c) 為一相對極大值_.

(2) 圖 ₂ 顯示過

(c; f(c))

有一水平切線_, 即 _f⁰_{(c) = 0, c} 為第一類臨界數_, 且在 _{x = c} 的附近為上凹_, 即

f⁰⁰(c) > 0 而導出 _f(c) 為一相對極小值_.

根據上述的觀察_, 得

二階導函數檢定法 _.

f⁰(c) = 0

即 _c 為第一類臨界數_, 且 _f⁰⁰ 在一含 _c 的開區間內存在_.

(1) 若 _f⁰⁰(c) > 0, 則 _f(c) 為一相對極小值_.

(2) 若 _f⁰⁰(c) < 0, 則 _f(c) 為一相對極大值_.

(3) 若 _f⁰⁰_{(c) = 0,} 則無法判斷_, 需回到一階導函數檢 定法_, 一種最基本且適用於任何情況_, 並一定可判斷 出的檢定法_.

記憶法 _:

(i) 若 _f⁰⁰(c) > 0, 表示在 _c 的左右_{, f}⁰⁰ 均為 _+, 可 得一笑臉_, 故 _f(c) 為一相對極小值_, 如圖示_.

(ii) 若 _f⁰⁰(c) < 0, 表示在 _c 的左右_{, f}⁰⁰ 均為 _, 可 得一哭臉_, 故 _f(c) 為一相對極大值_, 如圖示_.

註 _.

f(x) = x³ 則

f⁰(x) = 3x²

且

f⁰⁰(x) = 6x 故

f⁰(0) = 3(0)² = 0 且

f⁰⁰(0) = 6(0) = 0

因此_, 二階導函數檢定法失效_. 回到一階導函數檢定法_, 得 _f⁰ 在各子區間的符號如下述及圖示_.

( 1; 0): f⁰ = (+), 遞增_. (0; 1): f⁰ = (+), 遞增_.

故_, 在 _{x = 0} 無相對極值_, 如圖示_. (2) 若

g(x) = x⁴ 則

g⁰(x) = 4x³

且

g⁰⁰(x) = 12x² 故

g⁰(0) = 4(0)³ = 0 且

g⁰⁰(0) = 12(0) = 0

因此_, 無法根據二階導函數檢定法判斷_. 但根據一階導函 數檢定法_, 得 _f⁰ 的符號圖如下_.

( 1; 0): f⁰ = ( ), 遞減_. (0; 1): f⁰ = (+), 遞增_.

故_, 在 _{x = 0} 有一相對極小值_, 事實上_, 在僅有一個臨界 數的情況下_, 亦是一絕對最小值_, 如圖示_.

(3) 令

h(x) = x⁴

因為 h(x) = g(x), 故根據對於 _y 軸的對稱性或類似 於前面的推導過程_, 於二階導函數檢定法失效_, 無法判斷

下_, 在 _{x = 0} 有一相對極大值_, 事實上_, 亦是一絕對最大 值_, 如圖示_.

綜合上述的三個例子_, 在 _{x = 0} 的二階導函數均為 _0, 但卻有各種的可能結果_, 故僅根據 _f⁰⁰_{(c) = 0,} 無法充分 地導出結論_, 而需回到一階導函數檢定法作進一步的判斷_.

例 _4.

<解_{> (i)} 求第一類臨界數_. 事實上_, 因為 _f 是多項式_, 若有臨界數的話_, 也僅有第一類臨界數_. 經由微分並分解_, 得

f⁰(x) = 15x⁴ + 15x² = 15x²( x² + 1)

第一類_{: f}⁰ _{= 0,} 亦相當於

x²( x² + 1) = 0 得

x = 1; 0; 1

(ii) 求 _f⁰⁰ 在 _(i) 中第一類臨界數的值_. 首先_, f⁰⁰(x) = 60x³ + 30x

接著_,

f⁰⁰( 1) = 60( 1)³ + 30( 1)

= 30 > 0 上凹_, 故在 _{x = 1} 有相對極小值

f( 1) = 3( 1)⁵ + 5( 1)³

= 3 5 = 2 又

f⁰⁰(1) = 60 + 30 = 30 < 0 下凹_, 故在 _{x = 1} 有相對極大值

f(1) = 3 + 5 = 2

最後_,

f⁰⁰(0) = 0

無法判斷_, 故需根據一階導函數檢定法_, 得 _f⁰ 在 _{x = 0} 左右二個子區間的符號_, 如下述及圖示_.

( 1; 0): f⁰ = (+)(+) = (+), 遞增_.

(0; 1): f⁰ = (+)(+) = (+), 遞增_. 故在 _{x = 0} 無相對極值_.

四 _. 凹性的應用

設函數

y = f(x)

且圖形如下_, 其中橫軸的 _x 值表示輸入 _(input), 單位為

"元_"; 縱軸的 _y 表示輸出 _(output), 單位為 _"元_".

經觀察後_, 得

(1) 當 _{x < c} 時_, 每多增加一元的輸入_, 後面的輸出會 大於前面的輸出_, 亦即_{, y}⁰ 遞增_, 且圖形呈現出上凹_.

(2) 當 _{x > c} 時_, 每多增加一元的輸入_, 後面的輸出會 小於前面的輸出_, 亦即_{, y}⁰ 遞減_, 且圖形呈現出下凹_.

(3) 點 _{(c; f(c))} 是一種由上凹變為下凹的反曲點_.

(4) 整個圖形呈現出所謂的 "S" 型圖形_.

上述的觀察結論_, 在經濟學上乃表示

(1) 在 _{(a; c)} 內多投資是好的_.

(2) 在 _{(c; b)} 內多投資是不好的_.

(3) 點 _{(c; f(c))} 為一報酬衰退點 _{(point of}

diminishing returns), 也就是一個由上凹轉為下 凹的反曲點_.

例 _5.

y = 1

10000(300x² x³); 0  x  200 的方式增加_. 試求此產品的報酬衰退點_.

<解_> 根據報酬衰退點的定義_, 原問題乃相當於求由上凹 變為下凹的反曲點_. 首先_,

y⁰ = 1

10000(600x 3x²)

且

y⁰⁰ = 1

10000(600 6x) 由此得反曲候選數

x = 100 2 [0; 200]

乃第一類反曲候選數_.

又 _y⁰⁰ 的符號圖如下述_.

(0; 100): y⁰⁰ = (+), 上凹_{, y}⁰ 遞增_. (100; 200): f⁰⁰ = ( ), 下凹_{, y}⁰ 遞減_.

因此_, 在 _{x = 100} 的附近_, 由上凹變為下凹_, 亦即_, 當 x = 100 時_, 有一報酬衰退點_.