【【
【【附錄一附錄一附錄一附錄一】】】】
(探索期探索期探索期)最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題探索期 最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題────────之一之一之一之一
姓名：
1.什麼是「因數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「因數」的例子，與一個不是「因數」的例子)
2.什麼是「倍數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「倍數」的例子，與一個不是「倍數」的例子)
3.什麼是「公因數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「公因數」的例子，與一個不是「公因數」的例子)
4.什麼是「最小公倍數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「最小公倍數」的例子，與一個不是「最小公倍數」的例子)
【【
【【附錄一附錄一附錄一附錄一】】】】
(探索期探索期探索期)最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題探索期 最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題────────之二之二之二之二
姓名：
什麼是「因數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「因數」的例子，與一個不是「因數」的例子)
什麼是「倍數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「倍數」的例子，與一個不是「倍數」的例子)
什麼是「公倍數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「公倍數」的例子，與一個不是「公倍數」的例子)
什麼是「最大公因數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「最大公因數」的例子，與一個不是「最大公因數」的例子)
【【
【【附錄一附錄一附錄一附錄一】】】】
(探索期探索期探索期)最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題探索期 最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題────────之三之三之三之三
姓名：
請解釋下列四個名詞的意思，並舉例說明。
(舉出一個是的例子，與一個不是的例子) 1.最小公因數
2.最大公因數
3.最小公倍數
4.最小公倍數
【【
【【附錄二附錄二附錄二附錄二】】】】
最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題 最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題 最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題 最大公因數與最小公倍數相關概念之定義理解試題
1.你認為什麼是「因數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「因數」的例子，與一個不是「因數」的例子)
「因數」就是：
是「因數」的例子： 不是「因數」的例子：
2.你認為什麼是「倍數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「倍數」的例子，與一個不是「倍數」的例子)
「倍數」就是：
是「倍數」的例子： 不是「倍數」的例子：
(續下頁)
3.你認為什麼是「公因數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「公因數」的例子，與一個不是「公因數」的例子)
「公因數」就是：
是「公因數」的例子： 不是「公因數」的例子：
4.你認為什麼是「公倍數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「公倍數」的例子，與一個不是「公倍數」的例子)
「公倍數」就是：
是「公倍數」的例子： 不是「公倍數」的例子：
(續下頁)
5.你認為什麼是「最大公因數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「最大公因數」的例子，與一個不是「最大公因數」的例子)
「最大公因數」就是：
是「最大公因數」的例子： 不是「最大公因數」的例子：
6.你認為什麼是「最小公倍數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「最小公倍數」的例子，與一個不是「最小公倍數」的例子)
「最小公倍數」就是：
是「最小公倍數」的例子： 不是「最小公倍數」的例子：
(續下頁)
7.你認為什麼是「最小公因數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「最小公因數」的例子，與一個不是「最小公因數」的例子)
「最小公因數」就是：
是「最小公因數」的例子： 不是「最小公因數」的例子：
8.你認為什麼是「最大公倍數」？請詳細說明，並舉例。
(舉出一個是「最大公倍數」的例子，與一個不是「最大公倍數」的例子)
「最大公倍數」就是：
是「最大公倍數」的例子： 不是「最大公倍數」的例子：
(測驗結束)
【【
【【附錄三附錄三附錄三附錄三】】】】
最大公因數與最小公倍數之診斷試題 最大公因數與最小公倍數之診斷試題 最大公因數與最小公倍數之診斷試題 最大公因數與最小公倍數之診斷試題
試題一 試題一 試題一 試題一
有一個正整數，已知這個數和 36 都可以被 12 整除，
且這個數和 32 也都可以被 16 整除，問：這個數是多少？
試題二試題二 試題二試題二
有一個正整數，已知 84 可以被這個數和 14 整除，
且 60 也可以被這個數和 30 整除，問：這個數是多少？
【【
【【附錄四附錄四附錄四附錄四】】】】
學生背景資料問卷 學生背景資料問卷 學生背景資料問卷 學生背景資料問卷
姓名： 年齡： 年級： 性別： 男 女 父親職業： 母親職業：
有無補習： 有 科，一周 小時； 科，一周 小時； 科，一周 小時 無
當我遇到數學上的問題時，我會去問：
非 常 不 同 意
不 同 意
還 好
同 意
非 常 同 意
1.我喜歡數學 2.我覺得數學很簡單 3.我的數學成績很好
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5 4.我平常會和同學討論數學
5.家中有人指導我的數學功課
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5 6.我喜歡這類型的題目
7.國一學習這個單元時，我學得很好
8.國一學習這個單元時，我覺得老師教得很清楚 9.國一學習這個單元時，我上課都很認真
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5 10.我了解因數因數因數的意思 因數
11.我了解倍數倍數倍數倍數的意思 12.我了解公因數公因數公因數的意思 公因數 13.我了解公倍數公倍數公倍數的意思 公倍數 14.我了解最大公因數最大公因數最大公因數的意思 最大公因數 15.我了解最小公倍數最小公倍數最小公倍數的意思 最小公倍數
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 16.我覺得因數因數因數的計算很簡單 因數
17.我覺得倍數倍數倍數的計算很簡單 倍數 18.我覺得公因數公因數公因數的計算很簡單 公因數 19.我覺得公倍數公倍數公倍數的計算很簡單 公倍數 20.我覺得最大公因數最大公因數最大公因數的計算很簡單 最大公因數 21.我覺得最小公倍數最小公倍數最小公倍數的計算很簡單 最小公倍數
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 22.我覺得因數因數因數的應用題很簡單 因數
23.我覺得倍數倍數倍數的應用題很簡單 倍數 24.我覺得公因數公因數公因數的應用題很簡單 公因數 25.我覺得公倍數公倍數公倍數的應用題很簡單 公倍數 26.我覺得最大公因數最大公因數最大公因數的應用題很簡單 最大公因數 27.我覺得最小公倍數最小公倍數最小公倍數的應用題很簡單 最小公倍數
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 28.我的國文成績很好
29.在做數學題目時，我會在沒有了解題目的情況下就進行計算 30.在回答數學的應用題時，我都可以很清楚的了解題目的意思
因為：
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
【【
【【附錄五附錄五附錄五附錄五】】】】 訪談流程訪談流程 訪談流程訪談流程
給試題 1
有一個正整數，已知這個數和 36 都可以被 12 整除，
且這個數和 32 也都可以被 16 整除，問：這個數是多少？
請先把題目念一次 請先把題目念一次 請先把題目念一次
請先把題目念一次，，，，然後再開始解題然後再開始解題然後再開始解題 然後再開始解題
於該生解完題之後開始訪談，如果該生想了五分鐘仍然沒有動筆，則直接從了解題意的 部分開始
原始想法
請講解一下你的算法 請講解一下你的算法 請講解一下你的算法 請講解一下你的算法
你寫的這個是什麼意思？為什麼要這樣算？
了解題意
1.請用你自己的話說一下題目的意思請用你自己的話說一下題目的意思請用你自己的話說一下題目的意思 請用你自己的話說一下題目的意思 你認為題目的意思是什麼？
你認為這句話的意思是什麼？(for 完全解不出的學生)
看完題目之後，你有哪些跟這個題目有關的想法？(for 完全解不出的學生) 2.解這一題要用到什麼數學觀念解這一題要用到什麼數學觀念解這一題要用到什麼數學觀念？解這一題要用到什麼數學觀念？？？(答完之後再問答完之後再問答完之後再問答完之後再問)你是如何判斷的你是如何判斷的你是如何判斷的你是如何判斷的？？？？
「整除」的概念 給試題 2
有一個正整數，已知 84 可以被這個數和 14 整除，
且 60 也可以被這個數和 30 整除，問：這個數是多少？
1.如果我將題目改成這樣如果我將題目改成這樣如果我將題目改成這樣，如果我將題目改成這樣，，，你會怎麼解題你會怎麼解題你會怎麼解題你會怎麼解題？？？？請先把題目念一次請先把題目念一次請先把題目念一次請先把題目念一次，，，然後再開始解題，然後再開始解題然後再開始解題然後再開始解題 2.請講解一下你的算法請講解一下你的算法請講解一下你的算法原始想法(如果學生完全沒有想法，則直接到了解題意的部分) 請講解一下你的算法 3.請用你自己的話說一下題目的意思請用你自己的話說一下題目的意思請用你自己的話說一下題目的意思了解題意 請用你自己的話說一下題目的意思
4.解這一題要用到什麼數學觀念解這一題要用到什麼數學觀念解這一題要用到什麼數學觀念？解這一題要用到什麼數學觀念？？？(答完之後再問答完之後再問答完之後再問答完之後再問)你是如何判斷的你是如何判斷的你是如何判斷的你是如何判斷的？？？？了解題意 5.你覺得這題與剛才那題是否相同你覺得這題與剛才那題是否相同你覺得這題與剛才那題是否相同？你覺得這題與剛才那題是否相同？？？
這兩題有哪裡一樣的地方？有哪裡不一樣的地方？你是從題目中的哪裡判斷它們不 一樣的？
6.題目中的題目中的題目中的「題目中的「「整除「整除整除整除」」」」是什麼意思是什麼意思是什麼意思是什麼意思？？？？
(續下頁)
解題方法 回到試題 回到試題 回到試題 回到試題 1
1.可不可以說一下你為什麼用剛才的方法來算可不可以說一下你為什麼用剛才的方法來算可不可以說一下你為什麼用剛才的方法來算？可不可以說一下你為什麼用剛才的方法來算？？ ？
2.你這樣的解題經驗是從哪來的你這樣的解題經驗是從哪來的你這樣的解題經驗是從哪來的？你這樣的解題經驗是從哪來的？？？(例如是自己想的例如是自己想的例如是自己想的例如是自己想的、、、、課本的例子課本的例子課本的例子、課本的例子、、老師的講解或其他、老師的講解或其他老師的講解或其他老師的講解或其他)
基本概念
如果該生在其訪談過程中有提到因、倍數的相關概念，則問下列問題 1.你剛剛有提到你剛剛有提到你剛剛有提到「你剛剛有提到「「「倍數倍數倍數倍數」」」」(該生有提到的概念才問)，，，它是什麼意思，它是什麼意思它是什麼意思它是什麼意思？？？ ？
請舉出一個是「倍數」的例子和一個「不是倍數」的例子
2.除了你剛剛提到的除了你剛剛提到的除了你剛剛提到的「除了你剛剛提到的「「倍數「倍數倍數倍數」」」」之外之外之外，之外，，，你能不能想到其他相關的數學名詞你能不能想到其他相關的數學名詞你能不能想到其他相關的數學名詞？你能不能想到其他相關的數學名詞？？ ？ 3.這些名詞中這些名詞中這些名詞中，這些名詞中，，，哪個跟這個題目有關哪個跟這個題目有關哪個跟這個題目有關哪個跟這個題目有關？？？為什麼？為什麼為什麼為什麼？？？ ？
如果該生在其訪談過程中沒有提到任何因、倍數的相關概念，則問下列問題 1.你有沒有聽過你有沒有聽過你有沒有聽過「你有沒有聽過「「「因數因數因數因數」？」？」？」？請問它是什麼意思請問它是什麼意思請問它是什麼意思？請問它是什麼意思？？ ？
2.除了剛剛講到的除了剛剛講到的除了剛剛講到的「除了剛剛講到的「「「因數因數因數」因數」」」之外之外之外之外，，，，你能不能想到其他相關的數學名詞你能不能想到其他相關的數學名詞你能不能想到其他相關的數學名詞你能不能想到其他相關的數學名詞？？？？ 3.這些名詞中這些名詞中這些名詞中，這些名詞中，，，哪個跟這個題目有關哪個跟這個題目有關哪個跟這個題目有關哪個跟這個題目有關？？？為什麼？為什麼為什麼為什麼？？？ ？
解題思路
1.你是從題目中的哪裡判斷要找你是從題目中的哪裡判斷要找你是從題目中的哪裡判斷要找「你是從題目中的哪裡判斷要找「「「倍數倍數倍數倍數」？」？」？」？你怎麼從題目中的「整除」跳到「倍數」？
2.這樣的類似經驗是從哪來的這樣的類似經驗是從哪來的這樣的類似經驗是從哪來的？這樣的類似經驗是從哪來的？？？(例如是自己想的例如是自己想的例如是自己想的、例如是自己想的、、課本的例子、課本的例子課本的例子、課本的例子、、、老師的講解老師的講解老師的講解老師的講解或其他或其他或其他) 或其他 3.你為什麼不找你為什麼不找你為什麼不找「你為什麼不找「「「因數因數因數」？因數」？」？」？
多餘條件的判斷
1.這個題目是否有哪些資訊是不需要的這個題目是否有哪些資訊是不需要的這個題目是否有哪些資訊是不需要的？這個題目是否有哪些資訊是不需要的？？？爲什麼爲什麼爲什麼爲什麼？？？？ 2.爲什麼題目中有些數你沒有用到爲什麼題目中有些數你沒有用到爲什麼題目中有些數你沒有用到？爲什麼題目中有些數你沒有用到？？？
爲什麼 36 和 32 這兩個數你沒有用到？
你怎麼判斷這是多餘的條件？
3.在這個題目中在這個題目中在這個題目中，在這個題目中，，，32 和和和和 36 這兩個數的角色為何這兩個數的角色為何這兩個數的角色為何？這兩個數的角色為何？？？
解題關鍵
1.解這個題目的關鍵在哪解這個題目的關鍵在哪解這個題目的關鍵在哪？解這個題目的關鍵在哪？？？
你剛剛講的這些中，你覺得哪個是最重要的？
如果就題目來說，題目中的哪個地方最重要？
2.如果我現在要你修改題目某部分的數據如果我現在要你修改題目某部分的數據如果我現在要你修改題目某部分的數據，如果我現在要你修改題目某部分的數據，，之後，之後之後之後，，，，讓答案仍維持和原本一樣讓答案仍維持和原本一樣讓答案仍維持和原本一樣讓答案仍維持和原本一樣，，，，那你會怎那你會怎那你會怎那你會怎 麼做
麼做 麼做 麼做？？？ ？
(續下頁)
最小公倍數與公倍數間的關係
1.好好好！好！！！所以所以所以所以，，，你的答案是，你的答案是你的答案是你的答案是「「「「 」」」」(該生寫的答案)？？？？ 如果學生的答案有很多個
2.在這些答案中在這些答案中在這些答案中在這些答案中，，，，你認為哪個答案是最好的答案你認為哪個答案是最好的答案你認為哪個答案是最好的答案？你認為哪個答案是最好的答案？？？你認為哪個答案最重要你認為哪個答案最重要你認為哪個答案最重要你認為哪個答案最重要？？？？為什麼為什麼為什麼？為什麼？？？ 如果學生的答案只有一個(或兩個)
2.答案只有這個嗎答案只有這個嗎答案只有這個嗎答案只有這個嗎？？？？(鷹架鷹架鷹架) 鷹架 如果學生發現似乎有其他答案
3.你為什麼認為還有別的答案你為什麼認為還有別的答案你為什麼認為還有別的答案你為什麼認為還有別的答案？？？？(答完之後再問答完之後再問答完之後再問答完之後再問)你剛剛為什麼沒有考慮到這個問你剛剛為什麼沒有考慮到這個問你剛剛為什麼沒有考慮到這個問你剛剛為什麼沒有考慮到這個問 題
題 題 題？？？ ？
4.所以你覺得答案應該是什麼所以你覺得答案應該是什麼所以你覺得答案應該是什麼所以你覺得答案應該是什麼？？？？ 之後再回去前一部份的問題 如果學生仍然認為只有這個答案 3.你怎麼判斷只有這個答案的你怎麼判斷只有這個答案的你怎麼判斷只有這個答案的你怎麼判斷只有這個答案的？？？？
如果此時發現有其他答案，則回到上面的問題
其他
如果不用這種方法算 如果不用這種方法算 如果不用這種方法算
如果不用這種方法算，，，你會怎麼算，你會怎麼算你會怎麼算你會怎麼算？？？？
如果該生在訪談過程中都沒有提到「最大公因數」與「最小公倍數」，則問其下列問題 你覺得這個題目跟
你覺得這個題目跟 你覺得這個題目跟
你覺得這個題目跟「「「「最大公因數最大公因數最大公因數」最大公因數」」」還是還是還是「還是「「「最小公倍數最小公倍數最小公倍數最小公倍數」」」有關」有關有關 有關
(如果該生程度不錯如果該生程度不錯如果該生程度不錯如果該生程度不錯，，，可以再增加，可以再增加可以再增加可以再增加「「「「最小公因數最小公因數最小公因數最小公因數」」」」與與與與「「「「最大公倍數最大公倍數最大公倍數」最大公倍數」」」兩個概念兩個概念兩個概念兩個概念) 如果學生回答說「用猜的」，則問下列問題
用猜的話也應該有某種感覺吧！你再將題目仔細看一次，你是從題目中的哪裡來判斷 跟誰有關的？
那你為什麼不猜另外一個？
如果真的問不出任何東西，則把題目的解題過程寫給該生看一次，然後一個一個問他來 檢查看他有無此概念(但，這樣的問法可能不可靠，該生可能是騙你的)
如果還有剩餘的時間
對於誤解題意的學生，依序給予下列的題目(鷹架)，看協助該生到哪個程度可以使該生 了解題意
○
○
○
○1 如果我將題目改成這樣如果我將題目改成這樣如果我將題目改成這樣，如果我將題目改成這樣，，，你會怎麼解題你會怎麼解題你會怎麼解題？你會怎麼解題？？？
○○
○○2 你覺得這題與剛才寫的第一題是否相同你覺得這題與剛才寫的第一題是否相同你覺得這題與剛才寫的第一題是否相同？你覺得這題與剛才寫的第一題是否相同？？？ 給試題 3 修改題目的細部結構
有一個正整數，已知這個數和 36 一樣都可以被 12 整除，
且這個數和 32 一樣也都可以被 16 整除，問：這個數是多少？
(續下頁)
給試題 4 將題目中的條件分開
有一個正整數，已知這個數可以被 12 整除，36 也一樣可以被 12 整除，
而且這個數可以被 16 整除，32 也一樣可以被 16 整除。問：這個數是多少？
給試題 5 將題目某部分轉譯成數學式
有一個正整數，已知：「這個數÷12」和「36÷12」這兩個式子都可以整除，
而且「這個數÷16」和「32÷16」這兩個式子也都可以整除，問：這個數是多少？
試題 6 將題目轉譯成數學式
有一個正整數，已知這個數÷12 = ，36÷12 = ， 而且這個數÷16 = ，32÷16= ， 中的數都會是
整數，但其所代表的數不一定會一樣，問：這個數是多少？
試題 7 改變題目的表徵
如果我們以右邊的圖來表示「15 可以被 3 整除」
則，請找出下面圖中框框內所代表的數 12 16
36 32
(訪談結束) 3
15
