第八章 函数

第八章 函数

主要内容

函数的定义与性质

 函数定义

 函数性质 函数运算

 函数的逆

 函数的合成

双射函数与集合的基数

8.1

函数的定义与性质

主要内容

函数定义与相关概念

 函数定义

 函数相等

 从 A 到 B 的函数 f:AB

 B^A

 函数的像与完全原像 函数的性质

 单射、满射、双射函数的定义与实例

 构造双射函数 某些重要的函数

函数定义

定义 8.1 设 F 为二元关系 , 若 x dom∈ F 都存在唯一的 y ran∈ F 使 xFy 成立 , 则称 F 为函数

对于函数 F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的值 . 例 F¹={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}

 F ₂={<x1,y1>,<x1,y2>}

F₁是函数 , F2不是函数  

定义 8.2 设 F, G 为函数 , 则

  F=G  FG∧GF

如果两个函数 F 和 G 相等 , 一定满足下面两个条件：

(1) domF=domG

从 A 到 B 的函数

定义 8.3 设 A, B 为集合 , 如果

f 为函数 , domf=A, ranfB,

则称 f 为从 A 到 B 的函数 , 记作 f ： A→B.

例 f ： N→N, f(x)=2^x 是从 N 到 N 的函数 , g ： N→N, g(x)=2 也是从 N 到 N 的函数 .

定义 8.4 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 B^A, 符号化表示为

 B^A = { f | f ： A→B }

|A|=m, |B|=n, 且 m, n>0, |B^A|=n^m A=, 则 B^A=B^={}

A≠ 且 B=, 则 B^A=^A= 

实例

例 1 设 A={1,2,3}, B={a,b}, 求 B^A. 解 B^A={ f₀, f₁, … , f₇}, 其中

 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>}

f₁ = {<1,a>,<2,a>,<3,b>}

f₂ = {<1,a>,<2,b>,<3,a>}

f₃ = {<1,a>,<2,b>,<3,b>}

f₄ = {<1,b>,<2,a>,<3,a>}

f₅ = {<1,b>,<2,a>,<3,b>}

f₆ = {<1,b>,<2,b>,<3,a>}

6

函数的像和完全原像

定义 8.5 设函数 f ： A→B, A1A, B₁B

(1) A₁在 f 下的像 f(A1) = { f(x) | x∈A₁}, 函数的像 f(A) (2) B1在 f 下的完全原像 f ^1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}

注意：

 函数值与像的区别：函数值 f(x)∈B, 像 f(A1)B

 一般说来 f ^1(f(A1))≠A1, 但是 A1f ^1(f(A1))

例 设 f ： N→N, 且

令 A={0,1}, B={2}, 那么有 f(A) , f  ^1(B) 

 

为奇数 若

为偶数 若

x x

x x x

f 1

2 ) /

(

f(A) = f( {0,1}) = { f(0), f(1)}={0,2}

f ^1(B) = f ^1({2})={1,4}

函数的性质

定义 8.6 设 f ： A→B,

(1) 若 ranf=B, 则称 f:A→B 是满射的

(2) 若  y ran∈ f 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y, 则称 f:A→B

是单射的

(3) 若 f:A→B 既是满射又是单射的 , 则称 f:A→B 是双射的

例 2 判断下面函数是否为单射 , 满射 , 双射的 , 为什么 ? (1) f:R→R, f(x) = x²+2x1

(2) f:Z⁺→R, f(x) = lnx, Z⁺为正整数集 (3) f:R→Z, f(x) = x

(4) f:R→R, f(x)=2x+1

例题解答

解

(1) f:R→R, f(x)=x²+2x1

在 x=1 取得极大值 0. 既不是单射也不是满射的

(2) f:Z⁺→R, f(x)=lnx

是单调上升的 , 是单射的 . 但不满射 , ranf={ln1, ln2, …}.

(3) f:R→Z, f(x)= x

是满射的 , 但不是单射的 , 例如 f(1.5)=f(1.2)=1 (4) f:R→R, f(x)=2x+1

是满射、单射、双射的 , 因为它是单调函数并且 ranf=R

(5) f:R⁺→R⁺, f(x)=(x²+1)/x

有极小值 f(1)=2. 该函数既不是单射的也不是满射的

实例

例 3 对于给定的集合 A 和 B 构造双射函数 f:A→B (1) A=P({1,2,3}), B={0,1}^{1,2,3}

(2) A=[0,1], B=[1/4,1/2]

(3) A=Z, B=N

(4) , B=[1,1]_] 2

π , 3 2 [π

 A

解答

(1) A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

B={f₀, f₁, … , f₇}, 其中

f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f₁={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},

f₄={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f₅={<1,1>,<2,0>,<3,1>},

f₆={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f₇={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.

令 f:A→B,

f()=f₀, f({1})=f₁, f({2})=f₂, f({3})=f₃,

f({1,2})=f₄, f({1,3})=f₅, f({2,3})=f₆, f({1,2,3})=f₇

(2) 令 f:[0,1]→[1/4,1/2], f(x)=(x+1)/4











 

 2 1 0

0 ) 2

( , N

Z x x

x x f f：

(4) 令 f:[π/2,3π/2]→[1,1]

解答

(3) 将 Z 中元素以下列顺序排列并与 N 中元素对应：

 Z ： 01 1  2 2 3 3 … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

      N

 ： 0 1 2 3 4 5 6 …     这种对应所表示的函数是：

某些重要函数

定义 8.7

(1) 设 f:A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的 x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f:A→B 是常函数 .

(2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数 , 对所有的 x∈A 都

有 IA(x)=x.

(3) 设 <A, >, <≼ B, >≼ 为偏序集， f:A→B ，如果对任意的 x¹, x₂∈A, x1≺x², 就有 f(x1) ≼ f(x²), 则称 f 为单调递增的；如 果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x², 就有 f(x1) ≺f(x²), 则称 f 为严 格单调递增的 . 类似的也可以定义单调递减和严格单调递 减的函数

(4) 设 A 为集合 , 对于任意的 A'A, A' 的特征函数 _A ' :A→{0,1} 定义为

A'(a)=1, a∈A' _A'(a)=0, a∈AA' (5) 设 R 是 A 上的等价关系 , 令

 g:A→A/R

 g(a)=[a], a∈A

称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射

某些重要函数

实例

例 4 (1) 偏序集 <P({a,b}),R>, <{0,1},≤>, R_为包含关系 , ≤ 为 一般的小于等于关系 , 令

f:P({a,b})→{0,1}, f()=f({a})=f({b})=0, f({a,b})=1, f 是单调递增的 , 但不是严格单调递增的

(3) 不同的等价关系确定不同的自然映射 , 恒等关系确定的 自然映射是双射 , 其他自然映射一般来说只是满射 . 例如 A={1,2,3}, R={<1,2>,<2,1>}∪IA

g: A→A/R, g(1)=g(2)={1,2}, g(3)={3}

(2) A 的每一个子集 A’ 都对应于一个特征函数 , 不同的子集对

应于不同的特征函数 . 例如 A={a,b,c}, 则有

={<a,0>,<b,0>,<c,0>} ， ^{a,b}={<a,1>,<b,1>,<c,0>}

8.2

函数的复合与反函数

主要内容

 复合函数基本定理

 函数的复合运算与函数性质

 反函数的存在条件

 反函数的性质

复合函数基本定理

定理 8.1 设 F, G 是函数 , 则 FG 也是函数 , 且满足 (1) dom(F_G)={x|x dom∈ F∧F(x) dom∈ G}

(2) x dom(∈ F_G) 有 FG(x)=G(F(x)) 证 先证明 FG 是函数 .

因为 F, G 是关系 , 所以 FG 也是关系 . 若对某个 x dom(∈ F_G) 有

xF _ Gy₁和 xFGy₂, 则

<x, y1>∈F_G∧<x, y2>∈F_G

t₁(<x,t₁>∈F∧<t₁,y₁>∈G)∧t₂(<x,t₂>∈F∧<t₂,y₂>∈G) t₁t₂(t₁=t₂∧<t₁,y₁>∈G^∧<t₂,y₂>∈G  （ F 为函数）

y₁=y₂   （ G 为函数）

所以 FG 为函数

证明

任取 x,

  x dom(∈ F_G)

   t y(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)

   t (x dom∈ F∧t=F(x)∧t dom∈ G)

   x { ∈ x | x dom∈ F∧F(x) dom∈ G }

 任取 x,

  x dom∈ F∧F(x) dom∈ G

  <x,F(x)>∈F <∧ F(x),G(F(x))>∈G

  <x,G(F(x))>∈F_G

  x dom(∈ F_G)∧F_G(x) ＝ G(F(x)) 所以 (1) 和 (2) 得证

推论

推论 1 设 F, G, H 为函数 , 则 (FG)_H 和 F(G_H) 都是函数 , 且  (F_G)_H=F_(G_H)

证 由上述定理和运算满足结合律得证 .

推论 2 设 f:A→B, g:B→C, 则 fg:A→C, 且 x∈A 都有 f_g(x)=g(f(x))

证 由上述定理知 fg 是函数 , 且

dom(f_g)={x|x dom∈ f∧f(x) dom∈ g}

={

 x|x∈A∧f(x)∈B}=A ran(f_g) rang  C

因此 fg:A→C, 且 x∈A 有 fg(x)=g(f(x))

函数复合与函数性质

定理 8.2 设 f:A→B, g:B→C

(1) 如果 f:A→B, g:B→C 是满射的 , 则 fg:A→C 也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C 是单射的 , 则 fg:A→C 也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C 是双射的 , 则 fg:A→C 也是双射的

证

(1) 任取 c∈C, 由 g:B→C 的满射性 , b∈B 使得 g(b)=c.

对于这个 b, 由 f:A→B 的满射性， a∈A 使得 f(a)=b.

由合成定理有

f_g(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了 fg:A→C 是满射的

证明

(2) 假设存在 x¹, x2∈A 使得

 f _g(x1)=f _g(x2) 由合成定理有

g(f(x1))=g(f(x2))

因为 g:B→C 是单射的 , 故 f(x¹)=f(x2). 又由于 f:A→B 是单射的 , 所 以 x¹=x2. 从而证明 f _g:A→C 是单射的 .

(3) 由 (1) 和 (2) 得证 .

注意：定理逆命题不为真 , 即如果 f _g:A→C 是单射 ( 或满射、双 射 ) 的 , 不一定有 f:A→B 和 g:B→C 都是单射 ( 或满射、双射 ) 的 .

定理 8.3 设 f:AB, 则 f = f I_B = I_Af （证明略）

实例

考虑集合 A={a1,a2,a3}, B={b1,b2,b3,b4}, C={c1,c2,c3}. 令

  f={<a₁,b1>,<a2,b2>,<a3,b3>}

 g={<b₁,c1>,<b2,c2>,<b3,c3>,<b4,c3>}

 f _g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c3>}

那么 f:A→B 和 f _ g:A→C 是单射的 , 但 g:B→C 不是单射的 . 考虑集合 A={a1,a₂,a₃}, B={b₁,b₂,b₃}, C={c₁,c₂}. 令

 f={<a₁,b1>,<a2,b2>,<a3,b2>}

g={<b₁,c1>,<b2,c2>,<b3,c2>}

f _g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c2>}

那么 g:B→C 和 f _g:A→C 是满射的 , 但 f:A→B 不是满射的 .

反函数

反函数存在的条件

(1) 任给函数 F, 它的逆 F ^1不一定是函数 , 只是一个二元关系 . (2) 任给单射函数 f:A→B, 则 f ^1是函数 , 且是从 ranf 到 A 的双 射函数 , 但不一定是从 B 到 A 的双射函数

(3) 对于双射函数 f:A→B, f ^1:B→A 是从 B 到 A 的双射函数 .

定理 8.4 设 f:A→B 是双射的 , 则 f ^1:B→A 也是双射的 . 证明思路：

先证明 f ^1:B→A ，即 f ^1是函数，且 domf ^1=B, ranf ^1=A.

再证明 f ^1:B→A 的双射性质 .

证明

证 因为 f 是函数 , 所以 f ^1是关系 , 且

dom f ^1 = ranf = B , ran f ^1 = domf = A 对于任意的 x∈B = dom f ^1, 假设有 y1, y2∈A 使得

<x,y¹>∈f ^1∧ x,y< 2>∈f ^1 成立 , 则由逆的定义有

<y1,x>∈f <∧ y2,x>∈f

根据 f 的单射性可得 y1=y₂, 从而证明了 f ^1是函数，且是满射的 . 若存在 x¹, x2∈B 使得 f ^1 (x1)= f ^1 (x2)=y, 从而有

 <x₁,y>∈f ^1∧ x< 2,y>∈f ^1

   <y,x1>∈f <∧ y,x2>∈f  x1=x2

对于双射函数 f:A→B, 称 f ^1:B→A 是它的反函数 .

反函数的性质

定理 8.5

(1) 设 f:A→B 是双射的 , 则 f ^1_f = IB, f _f ^1 = IA

(2) 对于双射函数 f:A→A, 有 f ^1_ f = f _ f ^1 = IA 证明思路：

根据定理可知 f ^1:B→A 也是双射的 , 由合成基本定理可知 f ^1_f:B→B, f _ f ^1:A→A ，且它们都是恒等函数 .

例 5 设 



求 f _ g, g _ f. 如果 f 和 g 存在反函数 , 求出它们的反函数 . 2

) (

3 2

) 3 (

R R

: ,

R R

:

2













 





x x

g

x x x x

f

g f

解











 











 



1 2

1 )

2 ) (

(

R R

:

3 0

3 ) 2

(

R R

:

2 2

x x x x

f g

f g

x x x x

g f

g f









f:R→R 不是双射的 , 不存在反函数 .

g:R→R 是双射的 , 它的反函数是

 g^1:R→R, g^1(x)=x2

求解

8.3

双射函数与集合的基数

主要内容

 集合的等势及其性质

 重要的等势或不等势的结果

 集合的优势及其性质

 集合的基数

 可数集











 

 2 1 0

0 ) 2

( ,

N Z

: x x

x x x

f f

则 f 是 Z 到 N 的双射函数 . 从而证明了 Z≈N.

集合的等势

集合等势的实例 例 6 (1) Z≈N.

定义 8.8 设 A, B 是集合 , 如果存在着从 A 到 B 的双射函数 , 就称 A 和 B 是等势的 , 记作 A≈B. 如果 A 不与 B 等势 , 则记作 A≈≉B.

n m m

n n m

m f

f         

2

) )(

1 ) (

, (

, N N

N :

集合等势的实例 : N×N≈N

N×N≈N. N×N 中所有的元素排成有序图形

-2/1^[5] -1/1^[4]

-3/1^[18] 0/1^[0] 1/1^[1] 2/1^[10] 3/1^[11]

-2/2 -1/2^[3]

-3/2^[17] 0/2 1/2^[2] 2/2 3/2^[12]

-2/3^[6] -1/3^[7]

-3/3 0/3 1/3^[8] 2/3^[9] 3/3

-2/4 -1/4^[15]

-3/4^[16] 0/4 1/4^[14] 2/4 3/4^[13]

…

…

…

…

…

…

…

…

N≈Q. 双射函数 f:N→Q, 其中 f(n) 是 [n] 下方的有理数 .

集合等势的实例 : N≈Q

2 1 tan 2

) ( ,

R )

1 , 0 (

: 



 x

x f

f 



















 _

x x

n x

x x x

f _{n n}

其它

,...

2 , 1 ,

2 / 1 2

/ 1

1 2

/ 1

0 2

/ 1 )

( ₁

2

(6) 对任何 a, b∈R, a<b, [0,1]≈[a,b] ，双射函数 f:[0,1]→[a,b], f(x)=(ba)x+a

类似地可以证明 , 对任何 a, b∈R, a<b, 有 (0,1)≈(a,b).

(4) (0,1)≈R. 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R 0<∧ x<1}. 令

(5) [0,1]≈(0,1). 其中 (0,1) 和 [0,1] 分别为实数开区间和闭区

间 . 令 f : [0,1](0,1)

实数集合的等势

实例

例 7 设 A 为任意集合 , 则 P(A)≈{0,1}^A.

证 如下构造从 P(A) 到 {0,1}^A 的函数

 f:P(A)→{0,1}^A, f(A')=_A', A'∈P(A).

其中 A‘是集合 A’ 的特征函数 . 易证 f 是单射的 . 对于任意的 g {0,1}∈ ^A, 那么有 g:A→{0,1}. 令

B={ x| x∈A∧g(x)=1}

则 BA, 且 ^B=g, 即 B∈P(A), f(B)=g. 从而证明了 f 是满射的 . 由等势定义得 P(A)≈{0,1}^A.

等势的性质

定理 8.6 设 A, B,C 是任意集合，

(1) A≈A

(2) 若 A≈B ，则 B≈A

(3) 若 A≈B ， B≈C ，则 A≈C.

证明思路：利用等势的等义 .

(1) IA 是从 A 到 A 的双射

(2) 若 f:AB 是双射，则 f ^1:BA 是从 B 到 A 的双射 .

(3) 若 f:AB ， g:BC 是双射，则 f_g:AC 是从 A 到 C 的双射

有关势的重要结果

等势结果

 N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N

 任何实数区间都与实数集合 R 等势 不等势的结果 :

定理 8.7 ( 康托定理 )

(1) N ≈≉ R ； ⁽²⁾ 对任意集合 A 都有 A≈≉P(A) 证明思路：

(1) 只需证明任何函数 f:N→[0,1] 都不是满射的 .

任取函数 f:N→[0,1], 列出 f 的所有函数值，然后构造一个

[0,1] 区间的小数 b ，使得 b 与所有的函数值都不相等 .

Cantor

定理的证明

证 (1) 规定 [0,1] 中数的表示 . 对任意的 x [0,1], ∈ 令

 x = 0. x₁ x₂ … , 0 ≤ x_i ≤ 9

规定在 x 的表示式中不允许在某位后有无数个 1 的情况 . 设 f: N→[0,1] 是任何函数，列出 f 的所有函数值：

f(0) = 0.a₁₍₁₎a₂₍₁₎… f(1) = 0.a1(2)a2(2)… …

f(n1) = 0.a_1(n)a_2(n)… …

令 y 的表示式为 0.b1b2…, 并且满足 bi ≠ ai(i), i=1,2,…, 那么 y[0,1], 且 y 与上面列出的任何函数值都不相等 . 这就推出 yranf, 即 f 不是满射的 .

(2) 我们将证明任何函数 g:A→P(A) 都不是满射的 .

设 g:A→P(A) 是从 A 到 P(A) 的函数 , 如下构造集合 B ：

 B={x| x∈A∧xg(x)}

则 B∈P(A), 但对任意 x∈A 都有 x∈B  xg(x)

从而证明了对任意的 x∈A 都有 B≠g(x). 即 Brang.

注意：根据 Cantor 定理可以知道 N≈≉P(N) ， N≈≉{0,1}^N.

Cantor

定理的证明

集合的优势

定义 8.9 (1) 设 A, B 是集合 , 如果存在从 A 到 B 的单射函数 , 就 称 B 优势于 A, 记作 A≼B. 如果 B 不是优势于 A, 则记作 A⋠B.

(2) 设 A, B 是集合 , 若 A≼B 且 AB, 则称 B 真优势于 A, 记作

A≺B. 如果 B 不是真优势于 A, 则记作 A⊀B.

实例 N≼N, N≼R, A≼P(A), R⋠N

N≺R, A≺P(A), 但 N⊀N

定理 8.8 设 A, B, C 是任意的集合 , 则 (1) A≼A

(2) 若 A≼B 且 B≼A, 则 A≈B (3) 若 A≼B 且 B≼C, 则 A≼C

应用：证明等势

证 设 x[0,1), 0. x1x₂… 是 x 的二进制表示 . 规定表示式中不 允许出现连续无数个 1. 对于 x ，如下定义 f:[0,1)→{0,1}^N,

f(x) = t_x, 且 tx:N→{0,1},

t_x(n) = x_n+1, n = 0,1,2,…

例如 x = 0.1 0 1 1 0 1 0 0…, 则对应于 x 的函数 tx是：

n 0 1 2 3 4 5 6 7… t_x(n) 1 0 1 1 0 1 0 0…

t_x∈{0,1}^N, 且对于 x,y [0,1), ∈ x≠y, 必有 tx≠t_y, 即 f(x)≠f(y).

例 8 证明 {0,1}^N≈[0,1).

考虑 t {0,1}∈ ^N, 其中

t(0)=0, t(n)=1, n=1, 2, ….

按照 f 的定义 , 只有 x = 0.011… 才能满足 f(x)=t. 但根据规 定 ,

这个数 x 记为 0.100…, 所以根本不存在 x [0,1), ∈ 满足 f(x)=t.

定义函数 g:{0,1}^N→[0,1). g 的映射法则恰好与 f 相反 . 即

 t {0,1}∈ ^N,

t ： N→{0,1}, g(t)=0. x1x₂…, 其中 xn+1=t(n).

将 0. x1x₂… 看作数 x 的十进制表示 . 这样就避免了形如

0.0111… 和 0.1000…. 在二进制表示中对应了同一个数的情

况，从而保证了 g 的单射性 .

根据定理有 {0,1}^N≈[0,1). 再使用等势的传递性得 {0,1}^N≈R.

构造另一个单射

自然数的集合定义

定义 8.10 设 a 为集合 , 称 a {∪ a} 为 a 的后继 , 记作 a⁺, 即 a⁺=a {∪ a}.

如下定义自然数：

0=

1=0⁺=⁺ = {}={0}

2=1⁺= {}⁺ = {}{{}}={,{}}={0,1}

3=2⁺={,{}}⁺= {,{},{,{}}}= {0,1,2}

…

n={0, 1, …, n1}

…

自然数的相等与大小，即对任何自然数 n 和 m ，有

有穷集和无穷集

定义 8.11

(1) 一个集合是有穷的当且仅当它与某个自然数等势；

(2) 如果一个集合不是有穷的 , 就称作无穷集 . 实例：

(1) {a,b,c} 是有穷集 , 因为 3={0,1,2}, 且

 {a,b,c}≈{0,1,2}=3

(2) N 和 R 都是无穷集 , 因为没有自然数与 N 和 R 等势

利用自然数的性质可以证明：任何有穷集只与惟一的自然数 等势 .

集合基数的定义

定义 8.12

(1) 对于有穷集合 A, 称与 A 等势的那个惟一的自然数为 A 的基数 , 记作 cardA ( 也可以记作 |A|)

cardA = n  A ≈ n

(2) 自然数集合 N 的基数记作 0, 即

 cardN =₀

(3) 实数集 R 的基数记作 , 即

  cardR =

基数的相等和大小

定义 8.13 设 A, B 为集合 , 则 (1) cardA=cardB  A≈B

(2) cardA≤cardB  A≼B

(3) cardA<cardB  cardA≤cardB card∧ A≠cardB

根据上一节关于势的讨论不难得到：

card Z = card Q = card N×N =0

card P(N) = card 2^N = card [a,b] = card (c,d) =

₀<

card A<card P(A) 其中 2^N = {0,1}^N

基数的大小

不存在最大的基数 . 将已知的基数按从小到大的顺序排列就 得到：

0, 1, 2, …, n, …, ₀, , …

其中：

0, 1, 2…, n, … 是全体自然数 , 是有穷基数 .

₀, , … 是无穷基数 , 0是最小的无穷基数 ,  后面

还

有更大的基数 , 如 cardP(R) 等 .

可数集

定义 8.14 设 A 为集合 , 若 cardA≤⁰, 则称 A 为可数集或可列集 . 实例：

{a,b,c}, 5, 整数集 Z, 有理数集 Q, N×N 等都是可数集 ,

实数集 R 不是可数集 , 与 R 等势的集合也不是可数集 .

对于任何的可数集 , 它的元素都可以排列成一个有序图形 . 换 句话说 , 都可以找到一个“数遍”集合中全体元素的顺序 .

可数集的性质：

 可数集的任何子集都是可数集 .

 两个可数集的并是可数集 .

 两个可数集的笛卡儿积是可数集 .

 可数个可数集的笛卡儿积仍是可数集 .

 无穷集 A 的幂集 P(A) 不是可数集

实例

解 (1) 由 T={B, A, S, E, L} 知 cardT=5 (2) 由 B=, 可知 cardB=0.

(3) 由 |A|=4 可知 cardC=cardP(A)=|P(A)|=24=16.

例 9 求下列集合的基数

(1) T={x | x 是单词“ BASEBALL” 中的字母 } (2) B={x | x∈R∧x2=9 2∧ x=8}

(3) C=P(A), A={1, 3, 7, 11}

例 10 设 A, B 为集合 , 且 cardA=0, cardB=n, n 是自然数 , n≠0.

求 card A×B.

实例

解 方法一 构造双射函数

由 cardA=0, cardB=n, 可知 A, B 都是可数集 . 令 A={a₀,a₁,a₂,…}, B={b₀,b₁,b₂,…,b_n1}

对任意的 <ai,b_j>, <a_k,b_l>∈A×B 有

 <a_i,b_j>=<a_k,b_l>  i=k∧j=l 定义函数  f :A×B→N

 f(<a_i,b_j>)=in+j, i=0,1,…, j=0,1,…,n1 易见 f 是 A×B 到 N 的双射函数 , 所以

  card A×B=card N =  ₀

方法二 直接使用可数集的性质求解 .

因为 card A=0, card B=n, 所以 A, B 都是可数集 . 根据性质 (3) 可知 A×B 也是可数集 , 所以

card A×B≤₀ 显然当 B≠ 时 ,

card A card A×B, 这就推出

0 card A×B 综合上述得到

card A×B=₀.

实例