第八章

(1)

第八章

二元隨機變數及其機率分配

(2)

學習目的

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義及其機率分配。

應用統計學林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 2006

(3)

學習目的

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義及其機率分配。

2. 了解邊際機率分配與條件機率分配。

(4)

學習目的

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義及其機率分配。

2. 了解邊際機率分配與條件機率分配。

3. 了解兩變數間的關係。

(5)

學習目的

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義及其機率分配。

2. 了解邊際機率分配與條件機率分配。

3. 了解兩變數間的關係。

4. 了解二元隨機變數函數的期望值。

(6)

學習目的

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義及其機率分配。

2. 了解邊際機率分配與條件機率分配。

3. 了解兩變數間的關係。

4. 了解二元隨機變數函數的期望值。

5. 了解多元隨機變數。

(7)

本章結構

二元隨機變數及其機率分配

二元間斷隨機變數

聯合機率函數

邊際機率函數

條件機率函數

兩變數間的關係

兩變數獨立

兩變數不獨立－

共變與相關

共變數

Excel 的使用

(8)

• ^{聯合機率函數}

設 X、Y 為間斷隨機變數，X 之值為 x

¹, x², ... , xn

，

Y 之

值為

y¹, y², ... , yn

，則

f(x , y) 為二元聯合機率函數。

二元間斷隨機變數

(9)

• ^{聯合機率函數}

設 X、Y 為間斷隨機變數，X 之值為 x

¹, x², ... , xn

，

Y 之

值為

y¹, y², ... , yn

，則

• ^{邊際機率函數}

X 的邊際機率函數

二元間斷隨機變數

fx ^{] g}x = f x, y^ h

/

y ^{= f x, y}^{^} ¹^h ^{+ f x, y}^{^} ²^h + g + f x, y^ mh

(10)

• ^{聯合機率函數}

設 X、Y 為間斷隨機變數，X 之值為 x

¹, x², ... , xn

，

Y 之

值為

y¹, y², ... , yn

，則

• ^{邊際機率函數}

X 的邊際機率函數

Y 的邊際機率函數

二元間斷隨機變數

fx ^{] g}x = f x, y^ h

/

y ^{= f x, y}^{^} ¹^h ^{+ f x, y}^{^} ²^h + g + f x, y^ mh f_y ^ hy = f x, y^ h

/

x ^{= f x}^{^} ¹^{, y} ^h ^{+ f x}^{^} ²^{, y}^h ^{+ g + f x}^{^} ⁿ^{, y}^h

(11)

X \ Y y1 y2 … yj … ym fx(xi) x1 f(x1 , y1) f(x1 , y2) … f(x1 , yj) … f(x1 , ym) fx(x1) x2 f(x2 , y1) f(x2 , y2) … f(x2 , yj) … f(x2 , ym) fx(x2)

⠇ ⠇ ⠇ … ⠇ … ⠇ ⠇

xi f(xi , y1) f(xi , y2) … f(xi , yj) … f(xi , ym) fx(xi)

⠇ ⠇ ⠇ … ⠇ … ⠇ ⠇

xn f(xn , y1) f(xn , y2) … f(xn , yj) … f(xn , ym) fx(xn)

X 與 Y 的聯合機率分配與邊際機率分配表

(12)

• ^{條件機率函數}

在

Y = yj 的條件下，發生 xi

的條件機率表為：

二元間斷隨機變數

f x |Y = y^ _jh = f_y ^y _jh f x^ _i, y _jh

(13)

• ^{條件機率函數}

在

的條件機率表為：

在

的條件機率表為：

二元間斷隨機變數

f x |Y = y^ _jh = f_y ^y _jh f x^ _i, y _jh

f y |X = x^ i h =

fx ] gxi

f x^ i, y jh

(14)

Y（是否看過型錄）

合計

0（未看過） 1（看過）

X（有否購買

手機）

0（不買） 600 240 840

1（購買） 120 240 360

合計 720 480 1,200

華訊通訊最新型手機的銷售資料

(15)

Y（是否看過型錄）

合計

fx

(x)

0（未看過） 1（看過）

X（是否購買

手機）

0（不買） 0.50 0.20 0.7

1（購買） 0.10 0.20 0.3

合計

fy

(y) 0.60 0.40 1.0

X 與 Y 的聯合機率分配表

(16)

f(x | y)的條件機率

f(x | y) f(x | Y = 0)（未看過） f(x | Y = 1)（看過）

X = 0（不買）

0.833 0.5

X = 1（購買）

0.167 0.5

(17)

f(y | x)的條件機率

f(y | x) f(y | X = 0)（不買） f(y | X = 1)（購買）

Y = 0（未看過）

0.71 0.33

Y = 1（看過）

0.29 0.67

(18)

• ^{X 的期望值}

二元間斷隨機變數的期望值

E X^] ^g = xf x, y^ h

/

y

/

x

= x f x, y^ h

/

y

/

x ⁼ ^xf^x ^{] g}^x

/

x

(19)

• ^{X 的期望值}

• ^{Y 的期望值}

二元間斷隨機變數的期望值

E X^] ^g = xf x, y^ h

/

y

/

x

= x f x, y^ h

/

y

/

x ⁼ ^xf^x ^{] g}^x

/

x

E Y^{] g} = yf x, y^ h

/

y

/

x

= y f x, y^ h

/

x

/

y ⁼ ^yf^y ^{^ h}^y

/

y

(20)

• ^{X 的變異數}

二元間斷隨機變數的變異數

V X^] ^g = ^ x - n_X h² f x, y^ h

/

y

/

x

= ^ x - n_X h² f_x ^{] g}x

/

x ⁼ ^x² ^f^x ^{] g}^x ^{- n}²^X

/

x

(21)

• ^{X 的變異數}

• ^{Y 的變異數}

二元間斷隨機變數的變異數

V X^] ^g = ^ x - n_X h² f x, y^ h

/

y

/

x

= ^ x - n_X h² f_x ^{] g}x

/

x ⁼ ^x² ^f^x ^{] g}^x ^{- n}²^X

/

x

V Y^{] g} = ^y - nY h² f x, y^ h

/

y

/

x

=

/

^y - nY h² fy ^ hy ⁼

/

^y² ^f^y ^{^ h}^y ^{- n}^Y²

(22)

星期型錄發放量 x 銷售收入 y

1 100 125,000

2 250 283,000

3 50 72,500

4 150 191,000

5 200 251,000

6 50 65,500

7 250 276,000

8 150 151,000

9 200 263,000

10 100 106,000

11 150 162,000

12 200 263,000

型錄發放量與銷售收入

(23)

50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000

型錄發放量與銷售收入的散佈圖

Y

銷

售

收

入

(24)

兩變數間的關係

• ^{兩變數獨立的條件}

設

X, Y 為二元隨機變數，若 X 與 Y 之值均滿足下列

任一條件，則

X, Y 獨立。

(25)

兩變數間的關係

• ^{兩變數獨立的條件}

設

任一條件，則

X, Y 獨立。

1. f(x , y) = fx

(x)．f

y

(y)

(26)

兩變數間的關係

• ^{兩變數獨立的條件}

設

任一條件，則

X, Y 獨立。

1. f(x , y) = fx

(x)．f

y

(y)

2. f(x | y) = fx

(x)

(27)

兩變數間的關係

• ^{兩變數獨立的條件}

設

任一條件，則

X, Y 獨立。

1. f(x , y) = fx

(x)．f

y

(y)

2. f(x | y) = fx

(x)

3. f(y | x) = fy

(y)

(28)

X

（受傷程度）

Y（繫安全帶）

0（無） 1（有）合計

1（輕傷） 380 170 550

2（重傷） 240 50 290

3（死亡） 140 20 160

合計 760 240 1,000

繫安全帶與車禍受傷程度統計表

(29)

X

（受傷程度）

Y（繫安全帶）

合計

fx

(x)

0（無） 1（有）

1（輕傷） 0.38 0.17 0.55

2（重傷） 0.24 0.05 0.29

3（死亡） 0.14 0.02 0.16

合計

fy

(y) 0.76 0.24 1.00

X 與 Y 的聯合機率分配表

(30)

兩變數間的關係

• ^共變數

Cov X, Y^ h = E X - n7^ _xh^Y - n_yhA

(31)

兩變數間的關係

• ^共變數

Ⅰ

(x − µ

x

) > 0 (y − µ

y

) > 0

Y

µy

Cov(X , Y) 的符號

(32)

兩變數間的關係

• ^共變數

Ⅰ

(x − µ

x

) > 0 (y − µ

y

) > 0

Ⅱ

(x − µ

x

) < 0 (y − µ

y

) > 0

X Y

µx

µy

(33)

兩變數間的關係

• ^共變數

Ⅰ

(x − µ

x

) > 0 (y − µ

y

) > 0

Ⅱ

(x − µ

x

) < 0 (y − µ

y

) > 0

Ⅲ

Y

µy

(34)

兩變數間的關係

• ^共變數

Ⅰ

(x − µ

x

) > 0 (y − µ

y

) > 0

Ⅱ

(x − µ

x

) < 0 (y − µ

y

) > 0

Ⅲ

(x − µ

x

) < 0 (y − µ

y

) < 0

Ⅳ

(x − µ

x

) > 0 (y − µ

y

) < 0

X Y

µx

µy

(35)

兩變數間的關係

• ^共變數

正向共變

(36)

兩變數間的關係

• ^共變數

反向共變

(37)

兩變數間的關係

• ^共變數

無關係

(38)

兩變數間的關係

• ^{共變數的優缺點}

1. 它可看出共變的方向與程度。

(39)

兩變數間的關係

• ^{共變數的優缺點}

2. −∞ < Cov(X , Y) < ∞，其值域無限，不易根據 Cov(X , Y) 的大小來判斷其相關程度。

(40)

兩變數間的關係

• ^{共變數的優缺點}

3. 它易受衡量單位的影響。

(41)

兩變數間的關係

• ^{共變數的優缺點}

3. 它易受衡量單位的影響。

4. 具有雙重的衡量單位。

(42)

利用 Excel 求共變數

手機客戶的資料

(43)

利用 Excel 求共變數

手機客戶的資料

(44)

利用 Excel 求共變數

看過型錄與購買手機之共變數

(45)

兩變數間的關係

• ^相關係數

t_XY = Cov X, Yv^_X v_Y h

= E b X - nv_X X lbY - nv_Y Y l

(46)

兩變數間的關係

• ^相關係數

兩變數間的關係

• ^相關係數

兩變數間的關係

• ^相關係數

= E b X - nv_X X lbY - nv_Y Y l X、Y 無關

(49)

兩變數間的關係

• ^相關係數

= E b X - nv_X X lbY - nv_Y Y l X、Y 為拋物線觀念

(50)

兩變數間的關係

• ^相關係數

= E b X - nv_X X lbY - nv_Y Y l X、Y 為圓形觀念

(51)

兩變數間的關係

• ^相關係數

= E b X - nv_X X lbY - nv_Y Y l X、Y 為非線性關係

(52)

兩變數間的關係

• ^{相關係數的數值}

1. 相關係數的數值可證明世界於 −1 與 +1 之間。

(53)

兩變數間的關係

• ^{相關係數的數值}

2. 當 ρ^XY = +1 時，我們稱 X、Y 具正的完全直線關

係，此時 (X , Y) 的點會落在一條斜率正的直線

上。

(54)

兩變數間的關係

• ^{相關係數的數值}

係，此時 (X , Y) 的點會落在一條斜率正的直線上。

3. 當 ρ^XY = 0 時，X、Y無線性旅遊

(55)

兩變數間的關係

• ^{相關係數的數值}

係，此時 (X , Y) 的點會落在一條斜率正的直線上。

3. 當 ρ^XY = 0 時，X、Y無線性旅遊

(56)

利用 Excel 求相關係數

手機客戶的資料

(57)

利用 Excel 求相關係數

手機客戶的資料

(58)

第八章

第八章

二元隨機變數及其機率分配

學習目的

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義 及其機率分配。

學習目的

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義 及其機率分配。

2. 了解邊際機率分配與條件機率分配。

學習目的

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義 及其機率分配。

2. 了解邊際機率分配與條件機率分配。

3. 了解兩變數間的關係。

學習目的

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義 及其機率分配。

2. 了解邊際機率分配與條件機率分配。

3. 了解兩變數間的關係。

4. 了解二元隨機變數函數的期望值。

學習目的

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義 及其機率分配。

2. 了解邊際機率分配與條件機率分配。

3. 了解兩變數間的關係。

4. 了解二元隨機變數函數的期望值。

5. 了解多元隨機變數。

本章結構

二元隨機變數及其機率分配

二元間斷隨機變數

聯合機率函數

邊際機率函數

條件機率函數

兩變數間的關係

兩變數獨立

兩變數不獨立－

共變與相關

共變數

Excel 的使用

• 聯合機率函數

設 X、Y 為間斷隨機變數，X 之值為 x

，

值為

，則

二元間斷隨機變數

• 聯合機率函數

設 X、Y 為間斷隨機變數，X 之值為 x

，

值為

，則

• 邊際機率函數

二元間斷隨機變數

/

• 聯合機率函數

設 X、Y 為間斷隨機變數，X 之值為 x

，

值為

，則

• 邊際機率函數

二元間斷隨機變數

/

/

• 條件機率函數

在

的條件機率表為：

二元間斷隨機變數

• 條件機率函數

在

的條件機率表為：

在

的條件機率表為：

二元間斷隨機變數

合計

0（未看過） 1（看過）

手機）

0（不買） 600 240 840

1（購買） 120 240 360

合計 720 480 1,200

華訊通訊最新型手機的銷售資料

合計

(x)

0（未看過） 1（看過）

手機）

0（不買） 0.50 0.20 0.7

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義及其機率分配。

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義及其機率分配。

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義及其機率分配。

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義及其機率分配。

1. 定義或了解二元間斷隨機變數與連續隨機變數的意義及其機率分配。

• ^{聯合機率函數}

• ^{聯合機率函數}

• ^{邊際機率函數}

• ^{聯合機率函數}

• ^{邊際機率函數}

• ^{條件機率函數}

• ^{條件機率函數}

• ^{X 的期望值}

• ^{X 的期望值}

• ^{Y 的期望值}

• ^{X 的變異數}

• ^{X 的變異數}

• ^{Y 的變異數}

星期型錄發放量 x 銷售收入 y

• ^{兩變數獨立的條件}