3-3應用問題 解題步驟：

3-3 應用問題

解題步驟：

步驟1：以文字符號表示問題中不同的數量。

步驟2：將各數量的關係列成一元一次方程式。

步驟3：解一元一次方程式

步驟4：將方程式的解代回原問題中，檢驗後依題意寫答。

例1 倍數問題

這次段考，光耀的國文成績為x 分，如果光耀的數學成績是國文成績的 2 倍少 40 分，且這兩 科的成績合計為170 分。則光耀的國文成績為多少分？

國文成績為70 分，

隨堂練習

在例題1 中，如果光耀的國文成績為 x 分，依題意「兩科的成績合計為 170 分」，可得數學成 績為（170－x）分。則：

(1)依據「數學成績是國文成績的 2 倍少 40 分」列出一元一次方程式。

(2)分別求出國文成績與數學成績。

(1)170－x＝2x－40

(2)國文成績 70 分，數學成績 100 分。

例2 點餐問題

某速食店一份套餐和一份兒童餐共需180 元，小萱和家人共點了 2 份套餐和 3 份兒童餐，合 計為430 元。則一份套餐多少元？

110 元。

隨堂練習

小俊到水果行買了若干個蘋果裝成禮盒。已知蘋果每個60 元，禮盒盒子每個 50 元，結帳時 付了530 元，則小俊買的禮盒中有幾個蘋果？

禮盒中有8 個蘋果。

例3 相反數問題

怡嘉設計一個電腦小程式，每按一次按鈕，螢幕左邊的數字會自動加 1，同時間螢幕右邊的 數字則會自動減2。如果一開始螢幕左邊的數字為－15，螢幕右邊的數字為 128，則要按幾次 按鈕，螢幕兩邊的數字會互為相反數？

設須按x 次按鈕，則螢幕左邊的數字等於（－15＋x），

螢幕右邊的數字等於（128－2x）。

由於（－15＋x）和（128－2x）互為相反數，

因此可列出（－15＋x）＋（128－2x）＝0。

解 （－15＋x）＋（128－2x）＝0

－15＋x＋128－2x＝0 113－x＝0

x＝113 所以要按113 次按鈕。

隨堂練習

已知A（25）、B（7）為數線上的兩點，如果 A、B 兩點同時往左（負向）移動 x 單位長後，

A、B 兩點所對應的坐標為相反數，求 x 為多少？

A（25）往左 x 單位長後，A 點所對應的數為 25－x；

B（7）往左 x 單位長後，B 點所對應的數為 7－x，

因互為相反數，所以可得（25－x）＋（7－x）＝0。

25－x＋7－x＝0 －2x＝－32 x＝16

例4 三數和差問題

甲、乙、丙三人共同儲蓄，已知甲比乙少存270 元，乙比丙多存 100 元，且三人共存 1520 元。

則甲、乙、丙三人各存多少元？

設甲存x 元，則乙存的錢為（x＋270）元，丙存的錢為（x＋270）－100＝x＋170（元），

因此可列出x＋（x＋270）＋（x＋170）＝1520。

解 x＋（x＋270）＋（x＋170）＝1520 3x＋440＝1520 3x＝1080 x＝360

所以甲存的錢為360 元，乙存的錢為 x＋270＝360＋270＝630（元），

丙存的錢為x＋170＝360＋170＝530（元）。

－15 128

甲、乙、丙三人中，乙和甲、丙 都有直接的數量關係，所以選擇 乙當未知數較為方便。

隨堂練習

在例題4 中，如果設乙存 y 元，試以此未知數 y 列出一元一次方程式，並求出甲、乙、丙三 人各存多少元？

（y－270）＋y＋（y－100）＝1520 3y－370＝1520

3y＝1890 y＝630

甲存360 元，乙存 630 元，丙存 530 元。

例5 速率問題

摩天大樓電梯上升及下行的速率不同，上升的速率為每秒15 公尺，下行的速率為每秒 10 公 尺。新安從1 樓坐電梯到頂樓再坐回 1 樓，不計所有停留時間，總共花 70 秒，則電梯從 1 樓 到頂樓共上升多少公尺？

設電梯上升x公尺，

因此可列出 15

x ＋ 10

x ＝70。

解 15

x ＋ 10

x ＝70

10x＋15x＝10500 25x＝10500 x＝420

所以電梯從1 樓到頂樓共上升 420 公尺。

隨堂練習

維德在綠色隧道騎自行車運動。已知去程時速每小時18 公里，回程時速每小時 12 公里，來 回總共花了50 分鐘，則維德騎這段路長多少公里？

設路長x 公里，因此可列出 18

x ＋ 12

x ＝⁵⁰ 60 18

x ＋ 12

x ＝⁵ 6 2x＋3x＝30

5x＝30，x＝6，所以路長 6 公里。

時間＝距離 速率

例6 有餘不足問題

將一袋桃子平均分給一群學生，如果每人分 10 個，則剩 8 個；如果每人分 12 個，則不足 6 個。求學生有多少人？桃子總共有多少個？

設學生有x人，

則 10x＋8＝12x－6 8＋6＝12x－10x

14＝2x 2x＝14 x＝7 所以學生有7 人，

桃子總數為10x＋8＝10×7＋8

＝78（個）。

隨堂練習

老師買了一桶棒棒糖，獎勵數學成績優良的學生，如果每人分8 根棒棒糖，則剩下 3 根；如 果每人分10 根棒棒糖，則不夠 5 根。

(1)此次數學成績優良的學生有多少人？

(2)此桶棒棒糖有多少根？

(1)設學生有 x 人， (2)8x＋3 則8x＋3＝10x－5 ＝8×4＋3

x＝4 ＝35

所以學生有4 人。 所以棒棒糖有35 根。

例7 折扣問題

已知某臺電腦以定價的七五折賣出，則賠本2000 元；如果改以定價的九折賣出，可賺 4000 元。這臺電腦的定價是多少元？

設這臺電腦的定價x 元，

則 ⁷⁵

100x＋2000＝ ⁹⁰

100x－4000 75x＋200000＝90x－400000

600000＝15x x＝40000

所以這臺電腦的定價是40000 元。

每人分10 個 剩8 個

每人分12 個 不足6 個 10x＋8 12x－6

兩者都表示桃子的總數

定價的七五折賣出 賠2000元

定價的九折賣出 賺4000 元 75

100x＋2000 ⁹⁰

100x－4000

兩者都表示電腦的成本

買賣小常識

1. 商品售出的價格稱為「售價」，售價減去成本等於「獲利」。

2. 若獲利是正，表示賺錢；若獲利是負，表示賠錢。

3. 加成：販售商品時，為了賺取利潤，因此將商品按照進貨時的成本，加上一定的百分比，

訂為「定價」。

4. 打折：賣場舉辦促銷活動時，為了吸引消費者的購買，會將商品的定價減少一定的百分 比，這個過程稱為「打折」。（「一折」＝10％或「10％ off」。）

隨堂練習

已知某商品以定價的七五折賣出，則賠本40 元；如果改以定價的九折賣出，可賺 110 元。求 此商品的成本是多少元？

設此商品的定價為x 元，

則 ⁷⁵

100x＋40＝ ⁹⁰

100x－110

75x＋4000＝90x－11000，x＝1000

所以此商品的成本為 ⁷⁵

100 ×1000＋40＝790（元）。

例8 解的合理性

杰倫問老師今年幾歲，老師說：「我的年齡與我兒子的年齡相差28 歲；且 8 年後，我的年齡 是兒子的5 倍多 4 歲。」老師的兒子今年幾歲？

設兒子今年x 歲，

則老師今年為（x＋28）歲；

8 年後，兒子為（x＋8）歲，

老師為（x＋28）＋8＝x＋36（歲），

由於8 年後，

老師的年齡是兒子的5 倍多 4 歲，

因此可列出x＋36＝5（x＋8）＋4。

解 x＋36＝5（x＋8）＋4 x＋36＝5x＋40＋4

－8＝4x x＝－2

但年齡為負數不合常理，因此這個問題沒有解。

隨堂練習

小夢說自己的生日日期為月分的15 倍，且其月分和日期的和為 32。

則小夢的說法正確嗎？為什麼？

設小夢生日月分為x，則日期為 15x。

x＋15x＝32，x＝2

所以小夢生日為2 月 30 日，但 2 月不會有 30 日，

故小夢的說法不正確。

3-3 自我評量

1. 惠霖到文具店影印，每張紙的影印費是 2 元，封面裝訂費用是 50 元。如果惠霖影印了 x 張紙，並裝訂封面，一共付了290 元，則惠霖影印了多少張紙？

120 張。

2. 小明到便利商店買了同價格的飲料 2 罐，到櫃檯結帳時，店員告訴小明第二件七折，且收 銀機顯示的金額為68 元。則一罐飲料的原價為多少元？

40 元。

3. 小茵的年齡比老師小 20 歲，6 年後，老師的年齡是小茵年齡的 2 倍。求小茵今年多少歲？

14 歲

4. 一群同學聚餐，如果 8 人一桌，則有 3 人沒位子坐；如果 9 人一桌，則有一桌只坐 3 人。

則這群同學有多少人？

75人

5. 玉婷買了一包巧克力，吃了 2 顆後，發現剩下的巧克力是原來的²

3多2 顆，則原來一包有 多少顆？

12 顆

6. 士哲上山每小時走 3 公里，下山每小時走 5 公里，若來回一趟共需 4 小時，則山路長多少 公里？

15/2 公里。

自我挑戰

曹沖秤象，已知準備了等重的大石頭200 顆，以及等重的小石頭 360 顆，然後將象牽入 船艙，記錄水位到達船舷的位置，再把象牽出。接著按照下列步驟，秤出象的重量：

●1 將大石頭 200 顆，小石頭 120 顆放入船艙，水位才會到達先前記錄的位置。

●2 先把小石頭 360 顆放入船艙後，還需再放入大石頭 80 顆，水位才會到達先前記錄的位置。

●3 牛車一台載 400 斤，曹沖共派 19 台牛車，才載完所有的石頭。

回答下列問題：

(1) 1 顆大石頭重量是 1 顆小石頭重量的多少倍？

設1 顆大石頭重量是 1 顆小石頭重量的 x 倍。

由上述●1、●2可得 200x＋120＝80x＋360 120x＝240，x＝2

所以1 顆大石頭重量是 1 顆小石頭重量的 2 倍。

(2) 象的重量為多少斤？

設1 顆小石頭重量為 y 斤，則 1 顆大石頭重量為 2y 斤。

因為曹沖共準備了等重的大石頭200 顆，以及等重的小石頭 360 顆，

且用了19 台牛車才載完，因此可得 200×2y＋360y＝400×19

760y＝7600，y＝10

所以1 顆小石頭重量為 10 斤，1 顆大石頭重量為 20 斤。

象的重量為：

200×20＋120×10

＝4000＋1200

＝5200（斤）

一、選擇題（每題4 分，共 20 分）

（ B ） １. 一袋糖果分給一群學生，若每人分得 10 顆糖果，會剩 4 顆；若每人分得 12 顆糖 果，會不夠8 顆。則學生有多少人？

(A) 5 人 (B) 6 人 (C) 7 人 (D) 8 人

（ A ） ２. 阿林到文具店影印，影印費每張 2 元，封面裝訂費 50 元。若阿林印了若干張紙，

且裝訂封面，總共花費340 元，則阿林總共印了幾張紙？

(A) 145 張 (B) 155 張 (C) 165 張 (D) 175 張

（ B ） ３. 奶茶每杯 x 元，加珍珠每杯再多 5 元。大雄買了 10 杯奶茶，其中 6 杯加珍珠，

總共付了230 元，則一杯奶茶多少元？

(A) 15 元 (B) 20 元 (C) 25 元 (D) 30 元

（ D ） ４. 阿茵比老師小 20 歲，6 年後，老師的年齡為阿茵的 2 倍，則老師今年幾歲？

(A) 31 歲 (B) 32 歲 (C) 33 歲 (D) 34 歲

（ C ） ５. 一群學生分配住宿舍，若 8 人住一間，則有 4 人無宿舍可住；若 14 人住一間，

則會空下4 間。宿舍共有多少間？

(A) 8 間 (B) 9 間 (C) 10 間 (D) 11 間

二、填充題（每格8 分，共 40 分）

１. 已知數線上 A（64）、B（48）兩點，若 A、B 兩點往左（負向）移動 x 個單位後，其坐標 互為相反數，則x＝ 56 。

２. 小宏段考的國文成績為 x 分，若小宏的數學成績是國文成績的 2 倍少 70 分，且兩科成績 總共170 分，則小宏的數學成績為 90 分。

３. 已知父親的年齡比兒子多 30 歲，且 6 年後父親的年齡為兒子年齡的 3 倍，則今年父親為 39 歲。

４. 已知連續 3 個奇數的和為 123，則 3 個奇數中最大的數為 43 。

５. 甲數為乙數的 3 倍多 15，也是乙數的 5 倍少 5，則甲數＋乙數＝ 55 。

三、計算題（共40 分）

１. 某餐廳 1 份套餐和 1 份兒童餐共 180 元。萱萱和家人共點了 2 份套餐和 3 份兒童餐，總共 花了430 元，則 1 份套餐和 1 份兒童餐各是多少元？ （12 分）

套餐110 元，兒童餐 70 元

２. 甲、乙、丙 3 人共同儲蓄。已知甲比乙少存 270 元，乙比丙多存 100 元，且 3 人共存 1640 元，則甲、乙、丙3 人各存多少元？ （12 分）

甲400 元，乙 670 元，丙 570 元

３. 某臺電腦若以定價 75 折出售，會賠 2000 元；若以定價 9 折出售，可賺 1000 元，則此臺 電腦定價為多少元？（16 分）

20000 元