第 15 章 重積分 (Multiple Integrals)

第 15 章

重積分 (Multiple Integrals)

目錄

15.1

176

15.2

178

15.3

178

15.4

180

15.5

182

15.6

184

15.7

185

15.8

186

15.9

187

15.10

190

15.1 矩形上的雙重積分 (Double Integrals over Rectangles)

定義

15.1.1.

定義 15.1.2. (1) (a) 將 [a, b] 等分為 m 個子區間, 分點為 a = x0, x₁,· · · , xm−1, x_m = b, 將 [c, d] 等分為 n 個子區間, 分點為 c = y0, y₁, · · · , yn−1, y_n = d。 如此得到 mn 個子矩 形 Rij = [x_i−1, x_i]× [yj−1, y_j], 子矩形面積為 4A = 4x4y = ^b−a_m ^d−c_n 。

(b) 在 Rij 中選一個樣本點 (sample point)¡

x^∗_ij, y^∗_ij¢

,得一以 f¡

x^∗_ij, y_ij^∗¢

為高的立方體, 其 體積為 f¡

x^∗_ij, y_ij^∗¢ 4A。

(c) 如此得 S 之體積的估計值 V ≈ P^m

i=1

Pn j=1

f¡

x^∗_ij, y_ij^∗¢ 4A。

(d) 定義 V = lim

m,n→∞

Pm i=1

Pn j=1

f¡

x^∗_ij, y^∗_ij¢

4A 為 S 的體積。

第 15 章 重積分 15.1 矩形上的雙重積分

(2) 令 f 為定義在 R 上的函數, 如同 (1)(a),(b) 之符號。 考慮極限 lim

m,n→∞

Pm i=1

Pn j=1

f¡

x^∗_ij, y_ij^∗¢ 4A。

若此極限存在, 則稱 f(x, y) 在 R 上可積分 (integrable)。 此極限稱為 f 在 R 上的雙重積分 (double integral), 記為RR

Rf (x, y)dA , RR

Rf (x, y)dxdy 或 RR

Rf (x, y)dydx。 [註]

(1) Pm i=1

Pn j=1

f¡

x^∗_ij, y^∗_ij¢

4A 稱為一個 Riemann 和。

(2) 若 f (x, y) ≥ 0 且為連續, 則在 R 上, 且在 z = f (x, y) 之下的體積為 V =RR

Rf (x, y) dA。 (3) 重積分的嚴謹定義為:∀ ² > 0, ∃N 使得對所有 m, n > N, 對任意選取的 ¡

x^∗_ij, y^∗_ij¢

∈ Rij 均 有 ¯¯

¯¯¯ RR

Rf (x, y) dA−P^m

i=1

Pn j=1

f¡

x^∗_ij, y_ij^∗¢ 4A¯¯

¯¯¯< ²。

定理 15.1.3. 若 f 在 R 上有界, 且除了 R 中有限個平滑曲線外, f 在 R 上均為連續, 則 f 在 R 上可積分。

例 15.1.4. 若 R = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2}, 求積分 RR

R

√1− x²dA 之值。

估計

例 15.1.5. (1) 估計 z = 16 − x² − 2y² 在 R = [0, 2] × [0, 2] 上的體積。(取 n = m = 2, 並取 右上方的點為樣本點。)

(2) 令 R 為 xy-平面上的矩形 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 估計位於 R 之上, 且在平面 z = 4 − x − y 之下的立體之體積。

15.1.6.

Rf (x, y) dA ≈ P^m

i=1

Pn j=1

f (¯x_i, ¯y_j)4A 其中 ¯x_i 為 [xi−1, x_i] 的中點, ¯y_j 為 [y_j−1, y_j] 的中點。

例 15.1.7. 利用中點法估計 RR

R(x− 3y²) dA, 其中 R = [0, 2] × [1, 2]。

例 15.1.8. 利用下圖, 下雪量的等高線圖, 估計總下雪量。

性質

性質 15.1.9. (1) RR

R[f (x, y) + g (x, y)] dA = RR

Rf (x, y) dA +RR

Rg (x, y) dA。 (2) RR

Rcf (x, y) dA = cRR

Rf (x, y) dA。 (3) 若 ∀ (x, y) ∈ R, f (x, y) ≥ g (x, y), 則RR

Rf (x, y) dA≥RR

Rg (x, y) dA。 例 15.1.10. 證明: 0 ≤RR

Rsin πx cos πy dA≤ ₃₂¹ ,此處 R = [0,¹₄]× [¹₄,¹₂]。 例 15.1.11. 求 lim

n→∞

Pn i=1

n²

P

j=1 1 n²

√ 1

n²+ni+j。

第 15 章 重積分 15.2 累次積分

15.2 累次積分(Iterated Integrals)

定義 15.2.1. 累次積分 (iterated integral) 為 Z _b

a

Z _d

c

f (x, y) dydx = Z _b

a

·Z d c

f (x, y) dy

¸ dx, Z _d

c

Z _b

a

f (x, y) dxdy = Z _d

c

·Z _b

a

f (x, y) dx

¸ dy。 例 15.2.2. 求 R3

0

R2

0 x²y dydx 及 R2 0

R₃

0 x²y dxdy。

定理 15.2.3 (Fubini 定理初步型式). 若 f(x, y) 在矩形 R : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d 上有界, 且 至多只在有限個平滑曲線上不連續 , 並且累次積分存在, 則

ZZ

R

f (x, y) dA = Z b

a

Z d c

f (x, y) dydx = Z d

c

Z b a

f (x, y) dxdy 。 例 15.2.4. (1) 令 R = [0, 2] × [1, 2], 求RR

R(x− 3y²) dA。 (2) 令 R = [1, 2] × [0, π], 求 RR

Ry sin (xy) dA。

例 15.2.5. 一立體由 x²+ 2y²+ z = 16、 x = 2、 y = 2 及座標面所圍成, 求其體積。

註 15.2.6. 若 R = [a, b] × [c, d], 則 RR

Rg (x) h (y) dA = Rb

a g (x) dx·Rd

c h (y) dy。 例 15.2.7. 令 R =£

0,^π₂¤

×£ 0,^π₂¤

, 求 RR

Rsin x cos y dA。 例 15.2.8. 令 R = [−π, π] × [−π, π], 求RR

R(1 + x²sin y + y²sin x) dA。 例 15.2.9. 若 f(x, y) 在 [a, b] × [c, d] 連續, 且 g(x, y) =Rx

a

Ry

c f (s, t) dt ds, a < x < b, c <

y < d,求 gxy。 例 15.2.10. 求 RR

Rbx + ycdA, 其中 R = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 5}。

例 15.2.11. (Fubini 定理的反例) 求 R₁

0

R₁

0 x−y

(x+y)³dydx 及R₁

0

R₁

0 x−y

(x+y)³dxdy。

15.3 有界非矩形區域上的雙重積分(Double Integrals over General Regions)

Fubini 定理

定義 15.3.1. 若 D 為 R² 上有界集, f (x, y) 為定義在 D 上的函數, 取一矩形 R 包含 D, 令

F (x, y) = (

f (x, y) (x, y)∈ D 0 (x, y)∈ R \ D, 則定義 f 在 D 上的重積分為 RR

Df (x, y) dA =RR

RF (x, y) dA。 例 15.3.2. (1) 求 RR

x²+y²≤1(sin x + y³ + 4)dA。

第 15 章 重積分 15.3 有界非矩形區域上的雙重積分 (2) 令 D 為 x²+ y² ≤ 1, 求 RR

D

p1− x²− y²dA。

註 15.3.3. 兩種基本型式的區域:

(i) 第一型的平面區域為

D ={(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x)≤ y ≤ g2(x)} 或記為 D : a ≤ x ≤ b, g1(x)≤ y ≤ g2(x);

(ii) 第二型的平面區域為

D ={(x, y) | c ≤ y ≤ d, h1(y)≤ x ≤ h2(y)} 或記為 D : c ≤ y ≤ d, h1(y)≤ x ≤ h2(y) 。 定理 15.3.4 (Fubini 定理加強型). (1) 令 D 由 a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x) 所定義, 其中

g₁, g₂為 [a, b] 上的連續函數。 若 f 在 D 上連續, 則RR

Df (x, y)dA =Rb a

Rg2(x)

g1(x) f (x, y)dydx。 (2) 令 D 由 c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y) 所定義, 其中 h1, h₂ 為 [c, d] 上的連續函數。 若 f

在 D 上連續, 則 RR

Df (x, y)dA =Rd c

Rh2(y)

h1(y) f (x, y)dxdy。 定理 15.3.5. (重積分性質)

(1) RR

D[f (x, y) + g (x, y)] dA =RR

Df (x, y) dA +RR

Dg (x, y) dA。 (2) RR

Dcf (x, y) dA = cRR

Df (x, y) dA。 (3) 若在 D 上, f (x, y) ≥ g (x, y), 則 RR

Df (x, y) dA≥RR

Dg (x, y) dA。 (4) 若 D = D1∪ D2, D₁ 及 D2 至多只在邊界上相交, 則

ZZ

D

f (x, y) dA = ZZ

D1

f (x, y) dA + ZZ

D2

f (x, y) dA。

(5) RR

D1dA = A (D), 此處 A(D) 表 D 的面積。

(6) 若 m ≤ f (x, y) ≤ M,∀ (x, y) ∈ D, 則 mA (D) ≤RR

Df (x, y) dA≤ MA (D)。

例 15.3.6. 令 D 為以原點為圓心, 半徑為 2 的圓, 估計 RR

Desin x cos ydA。

定理 15.3.7. (重積分的平均值定理) 設 D 為第一型或第二型的平面區域, 若 f 在 D 上連續, 則 存在 (x0, y₀)∈ D, 使得 RR

Df (x, y)dA = f (x₀, y₀)A(D), 其中 A(D) 為 D 的面積。

例 15.3.8. 設 f 在包含 (a, b) 的某個開區域上連續, 令 Br 是以 (a, b) 為圓心, 以 r 為半徑的閉 圓, 證明 lim

r→0 1 πr²

RR

Brf (x, y)dA = f (a, b)。

例 15.3.9. (1) 令 D 是由 y = 2x² 及 y = 1 + x² 所圍成的區域, 求 RR

D(x + 2y) dA。 (2) 令 D 是由 y = x − 1 及 y² = 2x + 6 所圍成的區域, 求 RR

DxydA。

例 15.3.10. (1) 令 D 是由 y = 2x 及 y = x² 所圍成的區域, 求在 z = x²+ y² 之下, 且在 D 之上之立體的體積。

(2) 一個稜柱 (prism) 其底是由 x-軸, y = x 及 y = 1 所圍成之三角形, 其頂是平面 z = 3−x−y。

求其體積。

第 15 章 重積分 15.4 在極座標下的重積分

(3) 求由 x + 2y + z = 2、 x = 2y、 x = 0、 z = 0 所圍之四面體的體積。

(4) 一立體以平面 y = 0, z = 0, z = a − x − y 及柱面 y = a −^x_a² 為界, 其中 a 為正數, 求其體 積。

例 15.3.11. 令 D 為 xy-平面上由 y = x, y = x + a, y = a 及 y = 3a 所圍成之平行四邊形。 求 RR

D(x²+ y²)dA。

例 15.3.12. 令 D 是半徑為 a, 圓心為 (a, a) 之圓與座標軸所圍成之區域。 求 RR

D

√dA 2a−x。 例 15.3.13. 求 R₁

0

R₁

0 e^max{x2,y2}dydx 。 調換積分次序

15.3.14.

該區域。

例 15.3.15. 描述R2 0

R2x

x² (4x + 2)dydx 之積分區域, 並調換其積分次序。

例 15.3.16. (1) 求 R1 0

R1

x sin (y²) dydx。 (2) 求 R₁

0 dxR₁

√xe^y3dy。 (3) 求 R₁

0

R^π₂

sin⁻¹ycos x√

1 + cos²xdxdy。

例 15.3.17. 令 D 為 xy-平面上由 x-軸, y = x 及 x = 1 所圍成之三角形。 求RR

D sin x

x dA。 例 15.3.18. 求 R_e²

e

R_{ln y}

1 sin x

xy dxdy +R_e⁴

e²

R₂

ln y 2

sin x

xy dxdy 。 例 15.3.19. (1) 變換 R¹

2

0

R^√_1−x²

1−x² f (x, y)dydx 之積分次序。

(2) 變換R₂

1

R^√_2x−x²

2−x f (x, y)dydx 之積分次序。

(3) 變換R2a 0

R√^√2ax

2ax−x²f (x, y)dydx 之積分次序。

(4) 變換R₁

0

R_π/4

tan⁻¹xf (x, y)dydx 之積分次序。

例 15.3.20. 化簡R₁

0

R_2y

0 f (x, y)dxdy +R₃

1

R_3−y

0 f (x, y)dxdy。 例 15.3.21. 證明R_∞

0

arctan πx−arctan x

x dx = ^π₂ ln π。

15.4 在極座標下的重積分(Double Integrals in Polar Coordinates)

定理 15.4.1. (極座標上的重積分) 令 R 為極矩形 (polar rectangle), 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β, 且 0 ≤ β − α ≤ 2π。 若 f 在 R 上連續, 則RR

Rf (x, y) dA =Rβ α

Rb

a f (r cos θ, r sin θ) rdrdθ。 例 15.4.2. R是在上半平面, 由 x²+y² = 1及 x²+y² = 4所圍成的區域。 求RR

R(3x + 4y²) dA。 例 15.4.3. 求由 z = 1 − x²− y² 及 z = 0 所圍成的立體區域的體積。

第 15 章 重積分 15.4 在極座標下的重積分

定理 15.4.4. 考慮極平面上, 由 θ = α, θ = β 及連續曲線 r = g1(θ), r = g₂(θ) 所圍成的 區域 D, 此處設 0 ≤ g1(θ) ≤ g2(θ), ∀θ ∈ [α, β]。 設 f(r, θ) 為 D 上的連續函數。 則 f(r, θ) 在 D 上 的重積分為 RR

Df (r, θ)dA =Rβ θ=α

Rg2(θ)

r=g1(θ)f (r, θ)rdrdθ。 [註] 第十章之極座標面積公式為此定理之特例 。

例 15.4.5. (1) 令 D 為 r = 1 + cos θ 之內部, 且在 r = 1 之外部。 將 f(r, θ) 在 D 上的積分以 累次積分的形式寫出。

(2) 利用重積分求四瓣玫瑰線 r = cos 2θ 中一葉的面積。

(3) 求雙紐線 r² = 4 cos 2θ 所圍之面積。

例 15.4.6. 令 D 為第一象限中, 由 x² + y² = 4 及 y =√

2 所圍成的上半區域, 求RR

DxdA 。 例 15.4.7. (1) 一立體位於 z = x²+ y² 之下, 在 xy-平面之上, 且位於柱面 x²+ y² = 2x 之內。

求其體積。

(2) 一立體位於 x²+ y²+ z² = 4a² 及 x²+ y² = 2ay 之內, 其中 a > 0。 求其體積。

例 15.4.8. 若 D 為環狀 0 < a² ≤ x²+ y² ≤ b² 位於第一象限, 且在 y = x 之下方的部份。 求 RR

D y² x²dA 。

例 15.4.9. (1) 將積分 R1 0

R^√1−x²

1−x f (x, y)dydx 改為極座標。

(2) 將積分 R₂

0

R^√_3x

x f (x, y)dydx 改為極座標。

例 15.4.10. 將積分 RR

Df (x, y)dA改為極座標, 其中 D 是由 (x²+ y²)² = a²(x²− y²), a > 0 所圍成的區域

例 15.4.11. 求 RR

Dsin(p

x²+ y²)dxdy, 其中 D 為 π² ≤ x²+ y² ≤ 4π²。 例 15.4.12. 求 R1

√1 2

R√x

1−x²xydydx +R^√2 1

Rx

0 xydydx +R√2 2

R^√4−x²

0 xydydx。 例 15.4.13. (1) 令 D 為 y =√

1− x² 及 x 軸所圍的半圓。 求 RR

De^x2+y2dydx。 (2) 求 I =R_∞

−∞e^−x2dx。 (3) 求 R_∞

0 x²e^−x2dx。 (4) 求 R_∞

−∞xⁿe^−x2dx。 (5) 求 R_∞

0

√xe^−xdx。

例 15.4.14. 求 R^π₂

tan⁻¹2

Rcos θ+sin θ³

0 r³cos θ sin θdrdθ。

第 15 章 重積分 15.5 雙重積分的應用

15.5 雙重積分的應用(Applications of Double Integrals)

面積

15.5.1.

DdA。 例 15.5.2. 求平面上由 y = x 及 y = x² 在第一象限所圍的面積。

例 15.5.3. 求拋物線 y = x² 及直線 y = x + 2 所圍區域 D 之面積。

平均值

定義 15.5.4. 函數 f 在區域 D 上的平均值為 _D的面積¹ RR

Df dA。

例 15.5.5. (a) 求 f(x, y) = x cos xy 在 D : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 1 上的平均值。

(b) 求函數 f(x) =R₁

x cos(t²)dt 在 [0, 1] 上的平均值。

例 15.5.6. 若區域 D 的面積為 A , 則 f(x) = x 在 D 上的平均值即為形心之 x-座標。

例 15.5.7. (a) 取一正數 c, 將其分為兩部分, 求此兩部分之乘積的平均值 。 (b) 取一正數 c, 將其分為三部分, 求此三部分之乘積的平均值 。

力矩與質心

定義 15.5.8. 一薄片位於 xy-平面上的區域 D, 在 (x, y) 的密度為 ρ (x, y), 其中 ρ 為連續函數。

(a) 其質量為 M =RR

Dρ (x, y) dA。

(b) 對 x-軸的一次矩 (first moment) 為 Mx = RR

Dyρ(x, y)dA, 對 y-軸的一次矩為 My = RR

Dxρ(x, y)dA。

(c) 質心 (center of mass) 為 x = ^M_M^y, y = ^M_M^x。

(d) 一個幾何圖形, 視為 δ(x, y) = 1 的薄片, 則其質心為形心 (centroid)。

例 15.5.9. 在 xy-平面上, 由 x-軸, x = 1 及 y = 2x 在第一象限所圍的三角形上有一薄片, 其密 度為ρ(x, y) = 6x + 6y + 6。 求質量, 一次矩及質心。

例 15.5.10. 一三角形之頂點為 (0, 0)、(1, 0)、(0, 2), 其密度為 ρ (x, y) = 1 + 3x + y。 求其質量及 質心。

例 15.5.11. 一個半圓的薄片, 其密度與離圓心的距離成正比。 求其質心。

例 15.5.12. 在第一象限中, 以 y = x 為上界, 以 y = x² 為下界的區域 D, 求其形心。

二次矩

定義 15.5.13. (a) 對 x-軸的二次矩 (second moment, moment of inertia) 為 Ix =RR

Dy²ρ(x, y)dA。 (b) 對 y-軸的二次矩為 Iy =RR

Dx²ρ(x, y)dA。 (c) 對直線 L 的二次矩為 IL =RR

Dr²ρ(x, y)dA, 其中 r 為 (x, y) 到 L 的距離。

(d) 對原點的二次矩 (極力矩, polar moment of inertia) 為 I0 =RR

D(x² + y²)ρ(x, y)dA。

第 15 章 重積分 15.5 雙重積分的應用 (e) 迴轉半徑 (radius of gyration): 對 x-軸為 y =p

I_x/M ,對 y-軸為 x =p

I_y/M ,對原點為 R₀ =p

I₀/M。

(f) 對一個軸的迴轉半徑 R 滿足 mR² = I, 此處 I 是對給定軸的二次矩。

[註]

(1) 一個薄片的 (x.y) 可視為質量的集中點, 而不影響該薄片的二次矩。

(2) 因 r² = x² + y², 故 I0 = I_x + I_y。 I0 一般記為 Iz。 Iz = I_x + I_y 稱為 垂直軸定理 (Perpendicular Axis Theorem)。

(3) 迴轉半徑 (radius of gyration) 滿足 Ix = M y², I_y = M x², I₀ = M R²₀。

例 15.5.14. D 為一個均勻的圓盤, 中心在原點, 半徑為 a。 若密度為 ρ(x, y) = ρ, 求 Ix, I_y 及 I0,並求對 x-軸的迴轉半徑。

例 15.5.15. 在 xy-平面上, 由 x-軸, x = 1 及 y = 2x 在第一象限所圍的三角形上有一薄片, 其 密度為 δ(x, y) = 6x + 6y + 6。 求二次矩及迴轉半徑。

例 15.5.16. D 為圓 x²+ y² = 1 之內部在第一象限中的部分。 若一薄片之密度為 δ(x, y) = 1, 形狀為 D, 求極力矩 I0。

電量

15.5.17.

Dσ (x, y) dA。

例 15.5.18. D 是由 x = 1、y = 1、y = 1 − x 所圍成的區域, 其上的電荷密度為 σ (x, y) = xy(C/m²),求總電量。

機率

定義 15.5.19. 有兩個連續的隨機變數 (random variable) X 及 Y , 其聯合密度函數 (joint den- sity function) 為 f (x, y) 滿足 P ((x, y) ∈ D) =RR

Df (x, y) dA。 [註] 若 f(x, y) 是聯合密度函數, 則

(1) f (x, y)≥ 0。

(2) RR

R²f (x, y) dA = 1。

例 15.5.20. 若 X 及 Y 的聯合密度函數為

f (x, y) = (

C (x + 2y) (x, y)∈ [0, 10] × [0, 10]

0 其他 。

求 C 之值, 並求 P (X ≤ 7, Y ≥ 2)。

定義 15.5.21. 令 X 的機率密度函數 (probability density function) 是 f1(x), Y 的機率密度 函數是 f2(x), 當 X、Y 的聯合密度函數為 f (x, y) = f1(x) f₂(y), 則稱 X 及 Y 是獨立的隨機 變數 (independent random varibles)。

第 15 章 重積分 15.6 曲面之表面積 例 15.5.22. 一個戲院經理算出每個客人買票平均等候時間是 10 分, 買爆米花平均要 5 分鐘。 假 設這兩個時間是獨立的, 則一個客人花 20 分鐘以內進到戲院的機率是多少?

(註: 等候時間的模式是 f (t) =

(0 t < 0

1

µe^−µt t≥ 0, 其中 µ 是平均等候時間。)

定義 15.5.23. 隨機變數 X、Y 的聯合密度函數為 f (x, y), 則 X-期望值(X-mean, expected value) 為

µ_x = ZZ

R²

xf (x, y) dA

及 Y -期望值為

µ_y = ZZ

R²

yf (x, y) dA 。

例 15.5.24. 一工廠生產圓柱形軸承, 直徑 4.0 cm、 長 6.0 cm。 實際上產品尺寸呈正規分佈, 直徑 X 的平均值是 4 cm、 標準差是 0.01 cm, 長度 Y 的的平均值是 6 cm、 標準差是 0.01 cm。 假設 X 及 Y 是獨立的, 從生產線上任取一個產品, 它的直徑或長超過 平均值 0.02 cm 的機率是多少?

(註: 正規分佈的模式是 f (x) = _σ^√1_2πe^{−(x−µ)22σ2} ,其中 µ 是期望值, σ 是標準差。)

15.6 曲面之表面積(Area of Surfaces)

定理 15.6.1. 若 S 是由 z = f (x, y),(x, y) ∈ D 所定義。 f 有連續的偏導函數。 則 S 之面積為

A (S) = ZZ

D

s 1 +

µ∂z

∂x

¶2

+ µ∂z

∂y

¶2

dA 。

[註] 若 f (x) ≥ 0 且 f⁰(x) 為連續, 將曲線 y = f (x),a ≤ x ≤ b 繞 x 軸旋轉所得旋轉面 S, 其 表面積為 A = 2πR_b

a f (x) q

1 + (f⁰(x))²dx

例 15.6.2. 令 T 為 xy-平面上頂點為 (0,0),(1,0) 及 (1,1) 之三角形區域, 求曲面 z = x² + 2y 位於 T 以上的部分面積。

例 15.6.3. 求曲面 z = 1 + x + x²+ y 在 R = [−2, 1] × [−1, 1] 上的表面積。

例 15.6.4. (1) 求曲面 z = x²+ y² 在 z = 9 之下的部分面積。

(2) 求曲面 z = x²− y² 位於 x²+ y² = a² 之內的部分面積。

例 15.6.5. 求錐面 z =p

x²+ y², 0≤ z ≤ 1 之表面積。

例 15.6.6. 求柱面 x²+ y² = 1 與 x²+ z² = 1 相交部份之表面積。

第 15 章 重積分 15.7 直角座標系下的三重積分

15.7 直角座標系下的三重積分(Triple Integrals in Rectangle Coor- dinates)

定義 15.7.1. (1) 令 f(x, y, z) 為 B = [a, b] × [c, d] × [r, s] 上的函數, 將 B 分割成 lmn 個子 立方體,Bijk = [x_i−1, x_i]× [yj−1, y_j]× [zk−1, z_k]。 則 4V = 4x4y4z, 在 Bijk 中任取一 個樣本點 ¡

x^∗_ijk, y_ijk^∗ , z_ijk^∗ ¢

, 則得一個三重 Riemann 和 P^l

i=1

Pm j=1

Pn k=1

f¡

x^∗_ijk, y^∗_ijk, z^∗_ijk¢ 4V 。 (2) f 在 B 上的三重積分 (triple integral) 為

ZZZ

B

f (x, y, z) dV = lim

l,m,n→∞

Xl i=1

Xm j=1

Xn k=1

f¡

x^∗_ijk, y^∗_ijk, z_ijk^∗ ¢ 4V 。

若此極限存在, 則稱 F (x, y, z) 在 B 上可積分。

定理 15.7.2. (Fubini定理): 若 f 在 B = [a, b]×[c, d]×[r, s] 上連續, 則RRR

Bf (x, y, z) dV = Rs

r

Rd c

Rb

a f (x, y, z) dxdydz。

例 15.7.3. 若 B = [0, 1] × [−1, 2] × [0, 3], 求 RRR

Bxyz²dV。 定義 15.7.4. 若 E 為空間中一立體, 取一立方體 B 包含 E, 令

F (x, y, z) = (

f (x, y, z) (x, y, z)∈ E 0 (x, y, z)∈ B \ E 。 則定義 RRR

Ef (x, y, z) dV =RRR

BF (x, y, z) dV。 定義 15.7.5. 空間中的有界閉區域 E 之體積為 V =RRR

EdV。

定理 15.7.6 (三重積分的性質). 若 f(x, y, z) 及 g(x, y, z) 為 E 上的連續函數, 則:

(1) RRR

Ekf dV = kRRR

Ef dV。 (2) RRR

E(f ± g)dV =RRR

Ef dV ±RRR

EgdV。 (3) 若在 E 上, f(x, y, z) ≥ 0, 則 RRR

Ef dV ≥ 0。

(4) 若在 E 上, f(x, y, z) ≥ g(x, y, z), 則 RRR

Ef dV ≥RRR

EgdV。 (5) 若 E 是兩個不重疊區域 E1 及 E2 之聯集, 則 RRR

Ef dV =RRR

E1f dV +RRR

E2f dV。

註 15.7.7. (1) 立體區域 E 稱為 type 1, 若 E = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, u1(x, y)≤ z ≤ u2(x, y)}。

若 f 在 E 上連續, 則 RRR

Ef (x, y, z) dV =RR

D

hRu2(x,y)

u1(x,y) f (x, y, z) dz i

dA。 更進一步:

若 D 為 xy-平面上的 type I, 即 D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x)≤ y ≤ g2(x)}, 則 RRR

Ef (x, y, z) dV =Rb a

Rg2(x) g1(x)

Ru2(x,y)

u1(x,y) f (x, y, z) dzdydx;

若 D 為 xy-平面上的 type II, 即 D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h1(y)≤ x ≤ h2(y)}, 則 RRR

Ef (x, y, z) dV =Rd c

Rh2(y) h1(y)

Ru2(x,y)

u1(x,y) f (x, y, z) dzdxdy。

第 15 章 重積分 15.8 三重積分之應用

(2) 立體區域 E 稱為 type 2, 若 E = {(x, y, z) | (y, z) ∈ D, uRRR 1(y, z)≤ x ≤ u2(y, z)}。 此時

Ef (x, y, z) dV =RR

D

hRu2(y,z)

u1(y,z) f (x, y, z) dx i

dA。

(3) 立體區域 E 稱為 type 3, 若 E = {(x, y, z) | (x, z) ∈ D, u1(x, z)≤ y ≤ u2(x, z)}。 此 時RRR

Ef (x, y, z) dV =RR

D

hRu2(x,z)

u1(x,z) f (x, y, z) dy i

dA。

例 15.7.8. (1) 一四面體 T 由平面 x + 2y + z = 2、 x = 2y、 x = 0、 z = 0 所圍成, 求 T 的體 積。

(2) 令 E 為 x = 0、y = 0、z = 0、x + y + z = 1 所圍成立方體, 求 RRR

EzdV。 (3) 令 E 為 y = x²+ z²及 y = 4 所圍成的區域, 求 RRR

E

√x²+ z²dV。 例 15.7.9. 求 RRR

x²+y²+z²≤1(2 + x + sin z)dV。

例 15.7.10. E 是一個以 (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1) 為頂點的四面體, 欲求其體積。 以 6 種不同的積分次序寫出其積分式, 並求其體積。

例 15.7.11. (1) 將 R₁

0

R₁

y

R_z

0 f (x, y, z)dxdzdy 以其他五種積分順序表出。

(2) 將 R1 0

R1−z 0

R2

0 dxdydz 以其他五種積分順序表出。

(3) 將 R₁

0

R_x²

0

R_y

0 dzdydx 以其他五種積分順序表出。

(4) 將 R1

−1

R^√1−x²

−√ 1−x²

R√1

x²+y²dzdydx 表成其他五種積分順序。

例 15.7.12. 將以下積分以其他五種積分順序表出。

(1) R₁

0

R₁

√x

R_1−y

0 f (x, y, z)dzdydx。 (2) R₁

0

R_1−x²

0

R_1−x

0 f (x, y, z)dydzdx。 (3) R₁

0

R₁

y

R_y

0 f (x, y, z)dzdxdy。 例 15.7.13. 證明R_x

0

R_y

0

R_z

0 f (t)dtdzdy = ¹₂R_x

0 (x− t)²f (t)dt。

15.8 三重積分之應用(Applications of Triple Integrals)

定義 15.8.1. F (x, y, z) 在 E 上的平均值為 F 在 E 上的積分

E 的體積 =

RRR

EF dV RRR

EdV 。

例 15.8.2. 令 B 為 x = 2, y = 2 及 z = 2 在第一卦限所圍的區域, 求 f(x, y, z) = xyz 在其上 的平均值。

定義 15.8.3. 某立體位於空間中的區域 E, 且其密度函數為 ρ(x, y, z), 則:

(1) 其質量為 M =RRR

Eρ(x, y, z)dV。

第 15 章 重積分 15.9 柱面座標與球面座標上的三重積分

(2) 對三個座標面的一次矩分別為 M_yz =

ZZZ

E

xρ(x, y, z)dV, M_xz = ZZZ

E

yρ(x, y, z)dV, M_xy = ZZZ

E

zρ(x, y, z)dV 。

(3) 令 ¯x = ^M_M^yz, ¯y = ^M_M^xz, ¯z = ^M_M^xy, 則質心 座標為 (¯x, ¯y, ¯z)。 若密度為常數, 則質心稱為形 心(centroid)。

(4) 對三個座標軸的二次矩分別為 I_x=

ZZZ

E

(y²+z²)ρ(x, y, z)dV, I_y = ZZZ

E

(x²+z²)ρ(x, y, z)dV, I_z = ZZZ

E

(x²+y²)ρ(x, y, z)dV 。

(5) 對直線 L 的轉動慣量為 IL=RRR

Er²ρ(x, y, z)dV ,其中 r(x, y, z) 為 (x, y, z) 到直線 L 的 距離 。 因此 (4) 即為 E 對三個座標軸的轉動慣量。

(6) 若 E 上的電荷密度為 σ(x, y, z), 則總電荷 Q =RRR

Eσ(x, y, z)dV。

(7) 令 X, Y, Z 為三個連續的隨機變數, 且它們的聯合密度函數為 f(x, y, z), 則機率 P ((X, Y, Z) ∈ E) =RRR

Ef (x, y, z)dV。 此處 f(x, y, z) ≥ 0 且RRR

R³f (x, y, z)dV = 1。 例 15.8.4. 一立體以曲面 x = y² 及平面 x = z、 z = 0、 x = 1 為界, 求其形心。

例 15.8.5. 一個立方體 E : −^a₂ ≤ x ≤ ^a₂,−^b₂ ≤ y ≤ ₂^b,−₂^c ≤ z ≤ ^c₂, 密度 ρ 為常數, 求 Ix、 Iy、 I_z。

例 15.8.6. 求由 ^x_a + ^y_b +^z_c = 1 與座標面所圍成四面體的形心。

例 15.8.7. 一個密度均勻的立體是位於 x² + y²+ z² = 4a² 之內部及 x²+ y² = a² 之外部, 求 其對 z-軸轉動慣量。

例 15.8.8. 一個立體由 x²+ z² = a², y²+ z² = a², z ≥ 0 所圍成, 求其形心。

例 15.8.9. 一個立體 E 其下界是在 z = 0 平面上的圓 x²+ y² ≤ 4, 其上界為 z = 4 − x²− y²。 密度 δ 為常數, 求質心 。

15.9 柱面座標與球面座標上的三重積分 (Triple Integrals in Cylin- drical and Spherical Coordinates)

柱面座標

定義 15.9.1. 空間中任一點 P 的柱面座標 (cylindrical coordinate system) 為 (r, θ, z), 其中 (1) (r, θ)為 P 在 xy-平面之投影 (x, y) 的極座標。

(2) z 即為直角座標之 z。

第 15 章 重積分 15.9 柱面座標與球面座標上的三重積分 註 15.9.2. (1) P 的直角座標 (x, y, z) 與其柱面座標 r, θ, z 的關係為





x = r cos θ y = r sin θ z = z 以及

r² = x²+ y², tan θ = y x.

(2) 在柱面座標中, r = c 為以 z-軸為軸, 半徑為 c 之圓柱面; θ = c 為包含 z 軸之平面; z = c 為 垂直於 z 軸之平面。

例 15.9.3. (1) 畫出柱面座標 ¡

2,^2π₃ , 1¢

表示之點, 並求其直角座標。

(2) 將直角座標 (3, −3, 7) 轉換為柱面座標。

例 15.9.4. 描述柱面座標方程式 z = r 之曲面。

定理 15.9.5. 若空間中的立體可用柱面座標表示為 E = {(x, y, z)|(x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u₂(x, y)}, 而 D = {(r, θ)|α ≤ θ ≤ β, h1(θ)≤ r ≤ h2(θ)}, 則函數 f(x, y, z) 在 E 上的積分為

ZZZ

E

f (x, y, z)dV = Z β

α

Z h2(θ) h1(θ)

Z u2(r cos θ,r sin θ) u1(r cos θ,r sin θ)

f (r cos θ, r sin θ, z)r dz dr dθ.

例 15.9.6. D 為一空間中的區域, 其底為平面 z = 0, 側面為圓柱 x² + (y− 1)² = 1, 上界為 z = x²+ y², 而 f(r, θ, z) 為 D 上以柱面座標表示的函數。 將 f 在 D 上的積分式寫出。

例 15.9.7. 一個水瓶分成上下兩部份: 上半是柱面座標曲面, r = 1+(z−√ 3)²,√

3≤ z ≤ 1+√ 3;

下半是球面截去兩端, x² + y²+ z² = 4, −√

3≤ z ≤√

3。 求此瓶的容積。

例 15.9.8. 一個立體由 x²+ y² = 4 圍成, 上界是 z = x²+ y², 下界是 xy-平面。 求其形心。

例 15.9.9. E 為在 x²+ y² = 1 之內, 以 z = 4 為上界、 以 z = 1 − x²− y² 為下界之立體。 任 一點的密度與它和柱面之軸的距離成正比, 求其質量。

例 15.9.10. 求 R2

−2

R^√4−x²

−√ 4−x²

R√2

x²+y²(x²+ y²)dz dy dx。 球面座標

定義 15.9.11. 空間中任一點 P 之球面座標 (spherical coordinate) 為 (ρ, θ, φ), 其中 (1) ρ 為 P 到原點的距離。

(2) θ 為柱面座標的 θ (0 ≤ θ ≤ 2π)。

(3) φ 為 −→

OP 與正 z-軸的夾角 (0 ≤ φ ≤ π)。

註 15.9.12. (1) 柱面座標中的 r = ρ sin θ, 而 P 的直角座標 (x, y, z) 與其球面座標 (ρ, θ, φ) 的

關係為 





x = r cos θ = ρ sin φ cos θ y = r sin θ = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ

以及

ρ² = x²+ y²+ z² = r²+ z².

第 15 章 重積分 15.9 柱面座標與球面座標上的三重積分

(2) 在球面座標中, ρ = c 為一半徑 c 的球面; φ = c 為一半錐面; θ = c 為一半平面。

例 15.9.13. (1) 畫出球面座標為 ¡

2,^π₄,^π₃¢

之點, 並求其直角座標。

(2) 一點之直角座標為 ¡ 0, 2√

3,−2¢

, 求其球面座標。

例 15.9.14. (1) 求球 x²+ y²+ (z− 1)² = 1 之球面座標方程式。

(2) 求錐面 z =p

x²+ y² 之球面座標方程式。

定理 15.9.15. 若 E 為球面座標下的圓楔形 (spherical wedge), 即 E = {(ρ, θ, φ)|a ≤ ρ ≤ b, α≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d}, 則

ZZZ

E

f (x, y, z)dV = Z d

c

Z β α

Z b a

f (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)ρ²sin φdρdθdφ。 例 15.9.16. (1) 令 B 為單位球, 求 RRR

Be(^x2+y2+z2)³²dV。 (2) 求 RRR

D

px² + y²+ z²dV , 其中 D 是 x²+ y²+ z² = z 所圍成的立體。

例 15.9.17. 一立體位於 x²+ y²+ z² = z 之下, 且位於 z =p

x²+ y² 之上, 求其體積。

例 15.9.18. (a) 將球 ρ ≤ 1 以錐面 φ = ^π₃ 切之, 得一甜筒。 求其體積。

(b) 若密度 δ = 1, 求它對 z 軸的轉動慣量。

例 15.9.19. 一立體位於 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x²+ y²+ z² ≤ a²,若一點與原點的距離為 ρ, 其 密度為 kρ, 求其重心。

例 15.9.20. 求函數 f(x, y, z) = √ ¹

x²+y²+(z−a)²) 在球殼 0 < r ≤p

x²+ y²+ z² ≤ 1 上的平 均值。

例 15.9.21. 求曲面 (x²+ y²+ z²)² = a²(x²+ y²− z²), a > 0, 所圍之立體的體積。

例 15.9.22. 求 R₁

0

R^√_1−x²

0

R √√2−x²−y²

x²+y² z²dzdydx。 例 15.9.23. 求 R_∞

−∞

R_∞

−∞

R_∞

−∞

px²+ y²+ z²e⁻

√x²+y²+z²dzdydx。

例 15.9.24. 令 f(x, y, z) =

(a²x²+b²y²+c²z²

(x²+y²+z²)² (x, y, z)6= (0, 0, 0)

(x, y, z) = (0, 0, 0), 其中 a, b, c 為常數, a² + b² + c² > 0。 對 ² ∈ (0, 1), 令 B² = {(x, y, z)|0 < ² ≤ (x² + y² + z²)¹² ≤ 1}, 求

lim

²→0⁺

RRR

B²f (x, y, z)dV。 例 15.9.25. (a) 求 RR

D dA

(x²+y²)ⁿ² , 其中 n 為整數, D 為圓心為原點, 半徑為 r 及 R 所成的環狀 面。

(b) 在上題中, r → 0+ 時, 極限為何?

(c) 求 RRR

D

dA

(x²+y²+z²)ⁿ² , 其中 n 為整數, D 為圓心為原點, 半徑為 r 及 R 所成的環狀體。

(d) 在上題中, r → 0+ 時, 極限為何?

例 15.9.26. Laplace 方程是 ^∂_∂x^2u2 + _∂y^∂2u2 +^∂_∂z^2u2 = 0。 (a) 在柱面座標下 Laplace 方程可寫成 ^∂_∂r^2u2 + ¹_r^∂u_∂r + _r¹2

∂²u

∂θ² + ^∂_∂z^2u2 = 0。 (b) 在球面座標下 Laplace 方程可寫成 ^∂_∂ρ^2u2 + ²_ρ^∂u_∂ρ +^{cot φ}_ρ2

∂u

∂φ +_ρ¹2

∂²u

∂φ² +_ρ2sin¹²φ

∂²u

∂θ² = 0。

第 15 章 重積分 15.10 重積分的變數變換

15.10 重積分的變數變換

定義 15.10.1. (1) 一個從 uv-平面到 xy-平面的變換 (transformation) 是一個函數 T : S → R² (S 是 R² 的子集) , 記為 T (u, v) = (x, y), 而 x = g (u, v), y = h (u, v)。

(2) 若 T (u1, v₁) = (x₁, y₁), 則 (x1, y₁) 稱為 (u1, v₁) 的寫像(image), 若 T (S) = R, 則 R 稱為 S 的寫像。

(3) 若沒有兩個相異點有相同的寫像, 則稱 T 為一對一 (one to one)。

(4) 若 T 為一對一, 則 T 有反變換 (inverse transformation) T⁻¹ 從 xy-平面對應到 uv-平面。

例 15.10.2. 一個變換之定義為 x = u² − v², y = 2uv, S ={(u, v) | 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1}。

求 S 的寫像。

例 15.10.3. 一個變換之定義為 x = v, y = u(1 + v²),求 S = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1}

的寫像。

定義 15.10.4. 變換 T (u, v) 定義為 x = g (u, v), y = h (u, v), 則其 Jacobian 為 ^∂(x,y)_∂(u,v) =

¯¯¯¯ ^{∂x∂u∂y ∂x∂v}

∂u

∂y

∂v

¯¯¯¯。

定義 15.10.5. 一個變換 T (u, v) = (g(u, v), h(u, v)) 若滿足 g 及 h 都有連續的一階偏導函數, 則 T 稱為 C¹ 變換。

定理 15.10.6. 各符號如同前述。 假設

(i) T 是 C¹ 變換, 其 Jacobian 只可能在孤立點 (isolated point) 為零。

(ii) T 將 uv-平面上的區域映成 (map onto) xy-平面上的區域 R。

(iii) 除了在 S 的邊界外, T 是一對一。

(iv) f (x, y) 在 R 上連續。

則RR

Rf (x, y) dA =RR

Sf (x (u, v) , y (u, v))¯¯¯^∂(x,y)_∂(u,v)¯¯¯ dudv。

例 15.10.7. 將直角座標變換為極座標, 其 Jacobian 為 r。

例 15.10.8. 利用變換 x = u²− v², y = 2uv, 求積分RR

RydA, 此處 R 是由 x-軸, y² = 4− 4x 及 y² = 4 + 4x, y≥ 0 所圍成的區域。

例 15.10.9. 求四個拋物線 y = x², y = 2x², x = y² 及 x = 3y² 所圍成的區域面積。

例 15.10.10. (1) 令 R 是以 (0, 0), (a, 0), (0, a) 為頂點之三角形, 求 RR

R

√x + ydA。

(2) 令 R 是由 xy = 1, xy = 5, x = 1, x = 6 所圍成, 求RR

R xy 1+x²y²dA。 (3) R 是以 (1, 0)、(2, 0)、(0, −2)、(0, −1) 為頂點的梯形 (traperodial), 求 RR

Re^x+yx−ydA。 (4) 令 R 是以 (4, 0), (6, 2), (4, 4), (2, 2) 為頂點之四邊形, 求 RR

R(x + y)e^x−ydA。 (5) 若 R 為 x-軸, y = x 及 x²+ 4y² = 4 在第一象限所圍成的區域, 求 RR

D y xdA

第 15 章 重積分 15.10 重積分的變數變換 例 15.10.11. (1) 令 R 為橢圓 9x²+ 4y² = 1 在第一象限的內部, 求 RR

Rsin(9x²+ 4y²)dA 。 (2) 令 R 為 x²− xy + y² = 2 所圍區域, 求RR

R(x²− xy + y²)dA 。 例 15.10.12. (1) 求 R4

0

R ^y₂+1

y 2

2x−y

2 dx dy。 (2) 求 R₁

0

R_1−x

0

√x + y(y− 2x)²dy dx。

例 15.10.13. 若 f 在 [0, 1] 上連續, 且 R 是以 (0,0),(1,0),(0,1) 為頂點之三角區域, 證明 RR

Rf (x + y)dA =R₁

0 uf (u)du。 定義 15.10.14. 若





x = g(u, v, w) y = h(u, v, w) z = k(u, v, w)

將 uvw- 空間中區域 G 一對一地對應到 xyz-空間中的

D ,其 Jacobian 為 _∂(u,v,w)^∂(x,y,z) =

¯¯¯¯

¯¯

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂y ∂w

∂u

∂y

∂v

∂y

∂z ∂w

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

¯¯¯¯

¯¯。

定理 15.10.15. 若 f(x, y, z) 為 R 上的連續函數, g, h, k 有連續的偏導函數, 則RRR

Rf (x, y, z) dV = RRR

Sf (x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w))¯¯¯_∂(u,v,w)^∂(x,y,z)¯¯¯ dudvdw。

例 15.10.16. (1) 直角座標變換為柱面座標的 Jacobian 是 r。

(2) 直角座標變換為球面座標的 Jacobian 是 ρ²sin ϕ。 例 15.10.17. 求 R3

0

R4 0

R ^y₂+1

y 2

(^2x₂^−y +^z₃) dx dy dz。 例 15.10.18. 求 ^x_a2² +^y_b2² +^z_c2² ≤ 1 之體積。

例 15.10.19. 求區域 E 使得積分 RRR

E(1− x²− 2y²− 3z²)dV 之值為最大, 並求此最大值。

例 15.10.20. 平面 ^x_a+ ^y_b +^z_c = 1, a > 0, b > 0, c > 0, 將 _a^x22 +^y_b2² + ^z_c²2 = 1 切成兩部份, 求較 小部份的體積。

例 15.10.21. (1) 區域 E 位於平面 z = 3 − 2y 之下, 拋物面 z = x²+ y² 之上 , 求其體積。

(2) 區域 E 是由 z = x²+ 3y² 及 z = 8 − x²− y² 所圍成的, 求其體積。

(3) 區域 E 是由 √ x +√

y +√

z = 1 與座標面所圍成的, 求其體積。

例 15.10.22. 令 E 是由 −x + y + z = 0, x − y + z = 0, x + y − z = 0 及 −x + 5y + 7z = 6 圍成的四面體。

(a) 求 E 的體積 。 (b) 求 RRR

EzdV。

例 15.10.23. 令 D = {(x, y, z)|2x²+ 3y²+ 6yz + 5z²+ 2xz≤ 1}, 求 RRR

D(x + y + z)²dV。 例 15.10.24. (a) 證明 R₁

0

R₁

0 1

1−xydxdy = P^∞

n=1 1 n²。

第 15 章 重積分 15.10 重積分的變數變換

(b) 證明 P^∞

n=1 1

n² = ^π₆²。 例 15.10.25. (a) 證明 R1

0

R1 0

R1 0

1

1−xyzdxdydz = P^∞

n=1 1 n³。 (b) 證明R₁

0

R₁

0

R₁

0 1

1+xyzdxdydz = P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n³ 。