第 一 學 期 第二次期中考 高一數學科試卷

國立台東高級中學 ^{九十六學年度}

第 一 學 期 第二次期中考 高一數學科試卷

劃答案卡

_:

否 適用班級

_:

高一 一年 班 號 姓名

_{: 96.12.03}

一

_.

是非題

_:

判別下列各無窮數列及無窮級數是收斂或發散

_?

若收斂答

⁸⁸◦^00,

^發散

答

⁸⁸×⁰⁰

^{。 每題}

2

分

_,

共

₁₈

分。

( ) 1.

n ₍₋₁₎n+1

n

o ( ) 2.

n 4

3

n o ( ) 3.

n

3 + (−1)ⁿ⁺¹ o ( ) 4.

n 2n²+5n+3 n²+3n+1

o ( ) 5.

n 2ⁿ+5ⁿ 7ⁿ

o ( ) 6.

∞

P

k=1

3 2

k

( ) 7.

∞

P

k=1

1 ( ) 8.

∞

P

k=1

(−1)^k+1 ( ) 9.

∞

P

k=1

1 k(k+1)

二

_.

簡易填充題

_:

每格

₃

分

_,

共

₃₃

分。

1.

設

_{α , β}

是一元二次方程式

_x² + x − 7 = 0

的兩根

_,

則

_{α · β = (1) , α}² _{+ β}²

= (2)

。

2. a

為實數

_,

若

_x² + (i − 3)x + 2a + i = 0

有實根

_,

則

_{a = (3)}

。

3.

把

_0.108

化成最簡分數為

₍₄₎

。

4.

無窮級數

^P∞

k=1

− ¹₂
k−1

之和為

₍₅₎

。

5.

有一等差數列

_,

設第

_n

項為

_an,

已知

_{a2 = 8 , a7 = −7 ,}

則

_{a9 = (6)}

。

6.

有一等比數列

_,

設第

_n

項為

_an,

已知

_{a3 = 3 , a8 = 12}^√_{2 ,}

則公比為

₍₇₎

。

7. lim

n→∞

2n−5

3n+1 = (8)

。

8.

10

P

k=1

(3 + 2k) = (9) ,

5

P

k=1

(3 · 2^k) = (10) ,

10

P

k=1

k² = (11)

。

1

三

_.

填充題

_:

共

₂₅

分

_,

配分如下。

答對題數

_{1 2 3 4 5 6 7}

得 分

₅ 10 13 16 19 22 25

1.

∞

P

n=1

1

n(n+2) = (1)

。

2.

方程式

4 + 3z = −iz + 3i

的解為

₍₂₎

。

3.

試求

³

1² + ₁₂₊₂⁵ ₂ + ₁₂₊₂⁷₂₊₃₂ + · · · + _12+22+3²ⁿ⁺¹_2+···+n2 = (3)

^。

4. n

為自然數

_,

試推測

₁₀²ⁿ _{+ 5 · 12}ⁿ _{− 6}

之最大公因數為

₍₄₎

。

5. n

為自然數

_,

有一數列的前

_n

項和為

_{Sn =} ^Pn

k=1

3 · (0.1)^k ,

則滿足

_Sn

與

_0.3

之差 小於

³

10⁴

的最小自然數

_{n = (5)}

。

6.

數列

_{an}

滿足

_{a1 = 1 , an+1 = an + 2n (n}

為正整數

_{) ,}

則

_{a50 = (6)}

。

7.

已知等差數列

_{an}

的公差

_{d 6= 0 ,}

且

_{a1 , a3 , a9}

成等比數列

_,

則

^a1+a3+a9

a₂+a₄+a₁₀

的 值為

₍₇₎

。

四

_.

計算證明題

₍

需寫出計算證明過程

_,

否則不給分

_{) :}

共

₂₄

分。

1.

設

_{an}

為一等差數列。 已知

_{a1 = 1 , a21 = −2 ,} (1)

求一般項

_an

。

₍₂

分

₎

(2)

求滿足

_{an ≥ 0}

的最大正整數

_n

。

₍₂

分

₎

(3)

設

_{bn = nan} (n = 1, 2, 3, · · · ) ,

得數列

_{bn}

。 數列

_{bn}

最初

_k

項的和表示 為

_Sk

。 求

_{S1 , S2 , S3 , · · ·}

中之最大值。

₍₃

分

₎

2.

用數學歸納法證明下列

_{(1) , (2)}

小題

_:

(1)

對於任意正整數

n , 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) = ¹₃n(n + 1)(n + 2)

(5

分

₎

(2)

對於任意正整數

_{n , 1}²_{− 2}²_{+ 3}²_{− 4}²+ · · · − (2n − 2)²+ (2n − 1)² = n(2n − 1)

(5

分

₎

3.

某甲參加銀行儲蓄存款

_,

年利率

_{10% ,}

每年年初存入一次

_,

每年複利一次 。

(1)

若每年存入銀行

₅₀₀₀

元

_,

求

_:

第一年年底所得本利和。

(2

分

₎

(2)

若每年存入銀行

₅₀₀₀

元

_,

求

_:

第二年年底所得本利和。

(2

分

₎

(3)

若每年存入銀行

₅₀₀₀

元

_,

求

_:

第

_n

年年底所得本利和。

₍

以含

_n

之最簡式子 表示

_{) (3}

分

₎

2

國立台東高級中學 ^{九十六學年度}

第 一 學 期 第二次期中考 高一數學科試卷

劃答案卡

_:

否 適用班級

_:

高一 一年 班 號 姓名

_{: 96.12.03}

一

_.

是非題

_:

每題

₂

分

_,

共

₁₈

分。

^{1 2 3 4 5 6 7 8 9}

二

_.

簡易填充題

_:

每格

₃

分

_,

共

₃₃

分。

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

(7) (8) (9) (10) (11)

三

_.

填充題

_:

共

₂₅

分

_,

配分如右。

^{答對題數 1 2 3 4 5 6 7}

得 分 _{5 10 13 16 19 22 25}

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

四

_.

計算證明題

₍

需寫出計算證明過程

_,

否則不給分

_{) :}

共

₂₄

分。

1.

2.

3.