∑∑ ∑∑ 北一女中 105 學年度第二學期第一次段考高一數學科

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北一女中 105 學年度第二學期第一次段考高一數學科

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一、多選題

( )1. 已知A₁、A 、₂ A 、₃ A 、₄ B 、₁ B 、₂ B 、₃ B 為圓上相異₄ 8個點，且A B₁ ₁、A B 、₂ ₂ A B 、₃ ₃ A B ₄ ₄ 為此圓的相異直徑，試問下列哪些正確？

(1)若i、 j≠1，則以A₁、A 、_i B 、₁ B_j四點為頂點的矩形有9個 (2)若i、 j≠1，則以A₁、A 、_i B 、₁ B_j四點為頂點的矩形有3個 (3)以A B₁, ₁及另一點為頂點的直角三角形有6個

(4)以A₁及另兩點為頂點的直角三角形有9個

(5)以A₁、A 、₂ A 、₃ A 、₄ B 、₁ B 、₂ B 、₃ B 中的任三點為頂點的直角三角形有₄ 72個 ( )2. 設S為一有限集合，A、 B 、C為S的子集合且n A( )=30、n B( )=40、n C( )=50，試問

下列選項哪些正確？

(1)50≤n A( ∪ ∪B C)≤120 (2)n A( ∩ ∩B C)≤30 (3)若n S( )=60，則n A( ∩ ∩B C)≥10 (4)若A∩ ∩ =B C φ，A∪ ∪ =B C S，則n S( )=120

(5)若n A( ∪B)=70，n A( ∪C)=80，n B( ∪C)=90，則n A( ∪ ∪B C)=120 ( )3. 設 a_n 為等差數列，試問下列何者正確？

(1)a₂:a₃ =a₁₀:a₁₅ (2)(a₉+a₁₀+a₁₁) : (a₁₄+a₁₅+a₁₆)=a₁₀:a₁₅ (3)(a₁+a₁₉) : (a₁+a₂₉)=a₁₀:a₁₅ (4)

10 15

1 1

: :

k k

a a a a

= =

∑ ∑

= ⁽⁵⁾ ¹⁹ ²⁹ ¹⁰ ¹⁵

1 1

: :

k k

a a a a

= =

∑ ∑

= ( )4. 請問下列敘述哪些正確？

(1)若x 最多只有3個質因數 (2)99099正因數個數恰為11011的正因數個數的2倍 (3)99099的正因數中，恰有6個正因數是1001的倍數

(4)99099的正因數中，恰有6個正因數不是1001的倍數 (5)99099的正因數中，恰有4個完全平方數

二、填充題

1. 甲先生、乙先生、丙先生、丁先生四位男士以及A小姐、B小姐、C小姐、D小姐四位女士想要混搭1號與2號計程車，每車載有四名乘客。已知：

(一)甲先生與A小姐同車 (二)乙先生與B小姐同車 (三)C小姐與D小姐不同車試問有_________種混搭乘車的方法

2. 青蛙小普喜歡在鐘面上跳動，每一次只能跳一格到相鄰的數字，如果一開始小普在12點的位置，請問跳了4次之後，小普可能會在_________點的位置 (全對才給分)

3. 已知等差數列<a_n >滿足 ₁

2 3

1( 3) 2

n n

n

a n

a ⁺ a n

 −

= 

 +

，當為奇數

，當為偶數，試求此數列的首項a₁ = _________

(2)

4. 設d為一非零實數，且數列 a_n = d_n−5 。已知a₁、a₂、a₃三數成等比數列，則d的值為___________

5. 已知 a_n ：32，29，26，_與 b_n ：23，21，19，_為兩個等差數列，若第 m 項恰滿足

m m

a =b ，試計算

1

( )

m

k k

k

a b

=

⋅ =

∑

___________

6. 小綠參考地圖，她想從北一女中移動到台北車站(即圖中的左上角到右下角)，請問地圖上有 __________種最短的移動路線

7. 一個房間的地面是由12個正方形所組成，如圖。今想用長方形瓷磚舖滿地面，

已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即或，則用6塊瓷磚舖滿房間地面的方法有__________種

8. 妹妹在圖畫紙上畫了一朵花(如右圖)，她有6種顏色的蠟筆，她想將花朵的五個區域塗色，但是相鄰的區域不同色，請問總共有__________種塗色的方法

9. 已知

1

(2 ) 3 1

n

k n

k k

a

=

⋅ = −

∑

^，試計算 ⁶

1 k k

a

=

∑

=__________

10.已知數列 a_n 滿足

1

1 1

n 3 a

a n n N

+ n

 =

 +

 = ∈

 ，，試求滿足 ¹₁₅

n 3

a < 的最小正整數 n= __________

三、計算題

1. 已知對於任意正整數n ，5 6× ⁿ+ × −2 ( 1)ⁿ恆有質因數p (1)試求質數p的值

(2)請用數學歸納法證明：對於任意正整數n ，p必整除5 6× ⁿ+ × −2 ( 1)ⁿ

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