使用歐拉公式來求解一些 平面分割數的問題
許閎揚
一、 前言
平面分割數問題是高中組合常見的問題, 例如 : 平面 n 條相異直線 (其中任兩條均不平 行, 任三條均不共點), 可將平面分割成多少區域? 解這類問題常用的方式是利用遞迴關係求解, 本文則是介紹平面圖枝理論 (planar graph theory) 中的歐拉公式來解這類型問題。
二、 歐拉公式
圖枝理論始自 1736 年歐拉為解決哥尼斯堡七橋的路線問題所寫的一篇文章, 他把問題用 點跟邊來描述並給出解決問題的充要條件。 在之後的兩百年間, 人們發現圖枝理論在社會與自 然科學間有各式各樣的應用, 隨著近代資訊科學與網際網路的蓬勃發展, 它已經成數學中重要 的一個分支。
一個圖枝 G 是一個有序對 (V, E), V 是一個非空有限集, 它所包含的元素稱為頂點; E 是一些 V 的二元素子集所成的集合, 其元素稱為該圖枝的邊 [2]。
為了方便起見, 我們常將邊 {u, v} 寫成 uv。 舉例來說下圖 G = (V, E) : V = {a, b, c, d, e, f, g}, E = {ab, ae, bc, bd, de, ef, f g}
圖枝中的兩個頂點 a, b, 若存在交替的頂點和邊序列
Γ = (a = v0, e1, v1, e2, v2, . . . , en, vn= b),
其中 v0, v1, . . . , vn 為頂點, e1, e2, . . . , en 為邊 且 ei= vi−1vi, 則稱 a, b 兩頂點是連通的。
如果一個圖枝中任兩頂點皆連通, 則稱此圖枝為連通圖枝。 由邊 (edge) 與頂點 (vertex ) 所 組成的一個圖枝 (graph), 若可以在平面上畫出來使得沒有邊相交, 則稱為平面圖枝 (planar
graph)。
在了解了圖枝理論一些基本定義後, 下面的這個定理(歐拉公式) 是我們計算平面區域數的 主要計算工具, 它的敘述如下:
定理1([5]) : 若一個連通平面圖枝 G 有 v 個頂點, e 個邊, 並將平面分割成 r 個區域, 則 v − e + r = 2。
例如上圖為一連通平面圖枝, 頂點數 v = 7, 邊數 e = 8, 區域數 (含無限大區域) r = 3, 所以 v − e + r = 2。
本文中, 我們用歐拉公式來解決下列三個問題 :
1. 平面上有相異 n 個圓 (其中任兩圓有兩個相異交點、 任三圓不共點), 將平面分割成多少個 區域?
2. 平面相異 n 條直線 (其中任兩條均不平行, 任三條均不共點), 將平面分割成多少個區域?
3. 圓上有 n 個相異點, 將其互相連接使得連接後圓內無三弦共點, 則可將圓的內部分成多少 個區域?
三、 歐拉公式解問題1
問題1: 平面上有相異 n 個圓 (其中任兩圓有兩個相異交點、 任三圓不共點), 將平面分割成多 少個區域?
我們先考慮 3 個圓所形成的連通平面圖枝, 如下圖所示 :
我們分別計算它的頂點數與邊數 : 頂點數 (v) : 因任選兩圓有 2 個交點, 且任三圓不共點, 所 以頂點數為 2C23 = 6。 邊數 (e) : 因每個圓上的頂點數等於該圓的邊數, 而圖枝中每個頂點 分屬兩個圓, 所以邊數為 2v = 12。 由歐拉公式可知, 此圖形的區域數為 r = 2 + e − v = 2 + 12 − 6 = 8。
對於一般的情形, 我們有如下定理 :
定理2([5]) : 平面上有相異 n 個圓 (其中任兩圓有兩個相異交點、 任三圓不共點), 將平面分成 n2− n + 2 個區域。
證明 : 因圖枝的每個頂點皆在圓上且任兩圓有共同交點, 所以圖形可視為一連通平面圖枝, 我 們先分別計算圖枝的頂點數與邊數。 頂點數 (v) : 因任選兩圓有 2 個交點, 且任三圓不共點, 所以頂點數為 2C2n。 邊數 (e) : 因每個圓上的頂點數等於該圓的邊數, 又任三圓不共點, 故圖 枝中每個頂點分屬兩個圓, 所以圖枝的邊數為 2v = 4C2n。
由歐拉公式可知, 此圖形的區域數為 r = 2 + e − v = 2 + 4C2n− 2C2n = n2− n + 2, 得證。
四、 歐拉公式解問題2
問題2: 平面相異n條直線 (其中任兩條均不平行, 任三條均不共點), 將平面分割成多少個區域?
我們先用一個例子來說明我們解題的思路 : 下圖 G1 是四條直線將平面分割的情況,
為了使用歐拉公式, 我們先將各直線以適當的線段來取代, 如下圖 G2 所示, L1, L2, L3, L4 分 別以 AE, BF , DH, CG 取代 :
則它是一個連通平面圖枝。
我們計算 G2 的頂點數與邊數 : 頂點數 (v) : 因任兩條線段有一交點且無三線共點情形, 所以 頂點數為 C24+ 2 × 4 = 14。 邊數 (e) : 因取代直線後的各線段上的邊數為線段內交點數加 1, 例如 AE 上有 3 個交點, 這 3 個交點將 AE 分成 4 段, 又線段上每一交點分屬兩條線段 (如 p1 在 AE, DH 上) 所以圖枝的邊數為 2C24+ 4 = 16。 另一個計算方式是先計算一條線段上 的邊數, 再計算總邊數。 因為任兩條線段有 1 個交點且無三線共點, 所以任一線段跟其他 3 條 線段有 3 個相異交點, 這 3 個交點將線段分割成 4 個邊, 圖形一共有 4 條線段, 所以總邊數為 16。
由歐拉公式可知, 圖形 G2 的區域數為 r = 2 + e − v = 2 + 16 − 14 = 4。 由於 G1
中的直線可無限延伸, 無限大的區域與 G2 的無限大區域不同, 因此必須做一些修正, 才能得到 G1 真正的區域數。 修正方式如下 : 扣除 G2 無限大區域後, 加回 G1 直線無限延伸所圍的區 域, 例如 Ap1p2B, Bp2p6C, . . . 等, 共有 2 × 4 = 8 個, 所以共有 4 − 1 + 8 = 11 個區域。
對於一般的情形我們有如下定理 :
定理3([6]) : 平面相異 n 條直線 (其中任兩條均不平行, 任三條均不共點), 將平面分割成 n2+ n + 2
2 個區域。
證明: 首先我們將原圖形 G1 的各直線以適當線段取代以保留原直線上的交點, 得圖枝 G2, 因 原圖形 G1 中任兩條直線均不平行, 所以任兩條直線必有一交點, 因此在 G2 中, 任兩條取代原 直線的線段有一共同頂點, 而圖枝 G2 上的每個頂點皆在取代直線的線段上, 所以 G2 上任兩 頂點必連通, 故 G2 為一連通平面圖枝。 接著我們計算圖枝 G2 的頂點數與邊數。
頂點數 (v) : 因任兩條線段有一交點且無三線共點情形, 所以頂點數為 C2n+ 2 × n。
邊數 (e) : 因取代直線後的各線段上的邊數為線段內交點數加 1, 又無三線共點, 故每一交點分
屬兩條線段, 所以總邊數為 2C2n+ n = n2。
另一個計算方式是先計算一條線段上的邊數, 再計算總邊數。 因為任兩條線段有 1 個交點 且無三線共點, 所以任一線段跟其他 n − 1 條線段有 n − 1 個相異交點, 這 n − 1 個交點將此 線段分割成 n 個邊, 圖形一共有 n 條線段, 所以總邊數為 n2。
由歐拉公式可知, 圖形 G2 的區域數為 r = 2 + e − v = 2 + n2− (C2n+ 2n)。 由於 G1
中的直線可無限延伸, 無限大的區域與 G2 的無限大區域不同, 因此必須做一些修正, 才能得到 G1 真正的區域數。 修正方式如下 : 扣除 G2 無限大區域後, 加回 G1 直線無限延伸所圍的區 域共有 2n 個, 所以共有 2 + n2− (C2n+ 2n) − 1 + 2n = n2+ n + 2
2 個區域, 得證。
五、 歐拉公式解問題3
問題3: 圓上有 n 個相異點, 將其互相連接使得連接後圓內無三弦共點, 則可將圓的內部分成多 少個區域?
這個問題在數學傳播第 63 期 [1] 中, 王子俠老師以遞迴關係與數學歸納法給出問題的答 案, 我們使用歐拉定理重新證明。
先考慮圓上 5 點相連接形成的連通平面圖枝, 如下圖所示:
我們分別計算它的頂點數與邊數:
頂點數 (v) : 因為圓上任選四點相連可得一組相交的弦且圓內無三弦共點, 所以圓內頂點數為 C45, 圖枝的頂點數為 C45+ 5 = 10。 邊數 (e) : 圓內接五邊形共有 C25− 5 = 5 條對角線, 各 對角線的邊數為它的交點數加 1, 又圓內無 3 弦共點, 因此每一交點分屬兩條對角線, 所以對 角線上的總邊數為 2C45+ 5 = 15。 圓上相鄰頂點的邊的總數為 2 × 5 = 10, 所以圖枝的邊數 為 15 + 10 = 25。 由歐拉公式可知, 此圖枝的區域數為 r = 2 + e − v = 2 + 25 − 10 = 17。
扣除無限大區域 1, 所以圓內區域數為 16。
對於一般的情形, 我們有如下定理:
定理4([1]) : 圓上有 n 個相異點, 將其互相連接使得連接後圓內無三弦共點, 則可將圓的內部 分成 C4n+ C2n+ 1 區域。
證明: 因圓內任一頂點皆在圓的弦上, 又弦與圓相連接, 所以圖枝的任兩頂點連通, 因此我們可 視本圖形為一連通平面圖枝。 先分別計算圖枝的頂點數與邊數。
頂點數 (v) : 因為圓上任選四點相連可得一組相交的弦且圓內無三弦共點, 所以圓內頂點數為 C4n, 圖枝頂點數為 C4n+ n。 邊數 (e) : 圓內接 n 邊形共有 C2n− n 條對角線, 各對角線的邊 數為它的交點數加 1, 又圓內無 3 弦共點, 因此每一交點分屬兩條對角線, 故對角線上的總邊 數為 2C4n+ C2n− n。 圓上相鄰頂點的總邊數為 2 × n, 所以圖枝的邊數為 2C4n+ C2n+ n。
由歐拉公式可知, 此圖枝的區域數為
r = 2 + e − v = 2 + (2C4n+ C2n+ n) − (C4n+ n) = C4n+ C2n+ 2.
扣除無限大區域 1, 所以圓內區域數為 C4n+ C2n+ 1, 得證。
六、 結語
問題 1, 2 是高中課本常見的組合問題, 基本的做法是建立它的遞迴關係來解出問題的答 案。 本文介紹的歐拉公式是解決這類問題的另一個方式, 它在兩百多年前由歐拉所發現, 這公式 說明了一個連通平面圖枝中點的個數、 邊的個數以及區域數所存在的一個關係。 因此, 只要圖形 可化為連通平面圖枝, 在計算完它的頂點數與邊數後, 我們就能藉由歐拉公式得到它的區域數。
參考資料
1. 王子俠。 一組弦可將圓分成幾部分? 數學傳播季刊, 16(3), 72-74, 1992。
2. 張鎮華。 完美圖。 數學傳播季刊, 17(4), 21-26, 1993。
3. 許閎揚。 海龜按照某固定規則平面移動所形成軌跡問題的探討。 高中數學學科中心電子報, 148 期, 2019.07。
4. 許閎揚。 平面上頂點用直線相連後的區域數公式。 高中數學學科中心電子報, 149 期, 2019.08。
5. R. Brualdi, Introductory Combinatorics. 5th ed., Pearson, 2009.
6. R. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik. (1994). Concrete Mathematics : A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley Professional, 2nd edition, 1994.
—本文作者任教彰化藝術高中—
