公式解與應用問題

公式解與應用問題

1 公式解與判別式

n 一元二次方程式ax²+bx+c=0 (a≠0) 利用配方法求解：

ax²+bx =-c x²+b

a x=-c a x²+2∙ b

2a x+(b

2a )²=-c

a +( b 2a )² (x+ b

2a )²=-c

a + b² 4a² (x+ b

2a )²=-4ac

4a² +b² 4a² (x+ b

2a )²=b²-4ac 4a² (1).當 b²-4ac>0 時

x+ b

2a =± b²-4ac 4a² X+ b

2a =± b²-4ac 2a X=-b

2a ± b²-4ac 2a X=-b± b²-4ac

2a 有兩個相異實根 (2).當 b²-4ac=0 時

(x+ b

2a )²=0 x=-b

2a (重根) (3).當 b²-4ac<0 時

(x+ b

2a )²<0 X 沒有實數解

【說明】

(1).x²+2x+1=0 a=1 b=2 c=1

b²-4ac=2²-4∙1∙1=0

∴ x=-b 2a =- 2

2∙1 =-1 (重根) (2). x²+3x+2=0

a=1 b=3 c=2

b²-4ac=3²-4∙1∙2=1>0

∴ x=-b± b²-4ac 2a

=-3± 3²-4∙1∙2 2∙1

=-3±1

2 =-1或 -2 (3). x²-2x+2=0

a=1 b=-2 c=2

b²-4ac=(-2)²-4∙1∙2=-4<0

∴ x 無解

n 一元二次方程式的判別式:一元二次方程式 ax²+bx+c=0 (a≠0)中，b²-4ac 稱 為一元二次方程式的判別式，當：

1. b²-4ac>0 時有相異兩實數解。

I. b²-4ac 是完全平方數時解是相 異兩有理數。

II. b²-4ac 不是完全平方數時解是 相異兩無理數。

2. b²-4ac=0 時有相同兩兩實數解。

3. b²-4ac<0 時有沒有實根。

範 例 講 解

(1).x²-7x+9=0 (2). 2x²+5x+1=0 (3).-x²+4x+12=0 (4).4x²+9=12x (5).6x²-7x+3=0 (6). 2(x-1)(x-3)=5x

Hw1.利用公式求下列一元二次方程式的解:

(1). x²-6x+8=0 (2). 3x²-2x=7 (3). 1-x-x²=0

(4). 3x²+18x+27=0 (5). 2x²+x+1=0 (6). -2x²-10x+5=0

Ex2.

(1).當 a 的值為下列哪些數時，方程式 2x²+ax+2=0 會有兩個相異的根?

-5，-4，-3，0，3，4，5 (2). 如果二次方程式 x²-kx+k-1=0 的兩根相

等，則 k=?

(3).方程式 x²-5x+1=0 的兩根為何? (A)沒有 實數解(B)一正根，一負根(C)二負根(D) 二正根。

(4).若 a、b、c 皆為有理數，且一元二次方程 式 ax²+bx+c=0 的根為有理數，則 b²-4ac

Hw2.

(1). 若方程式 x²+2x-k=0 的兩根為相異實 根，則 k 可為下列何數?

(A)0(B)-1(C)-2(D)-3。

(2).若二次方程式 ax²+4x+2=0 的二根相 等，則 11－_a =?

(3).一元二次方程式 3x²-4x-1=0 的兩根為 何? (A)相異兩實根(B)相等實根(C)沒有 實數解(D)以上皆非。

(4).下列哪一個一元二次方程式無解?

(A)-x²+8x-3=0 (B) 3x²+5x+7=0

Ex3.

(1).若方程式 x²-2x+k=0 有解，則 k 的最大整 數值為何?

(2).若方程式 4x²-12x+(a-3)=0 的兩根相 等，則方程式 ax²-13x+3=0 的解為何?

(3).設α、β為 x²+8x+5=0 之兩根，則 α+β=?αβ=?α²+β²=?

Hw3.

(1).設二次方程式 2x²+5x+k=0 有實數根，則 k 的最大正整數為何?

(2).若 x 的一元二次方程式 ax²+4x+2=0 有等 根，則 2a 的平方根為何?

(3).若 a、b 為方程式 x²-4x+2=0 的兩根，

則:a+b=?ab=?a²+b²=?

2 解應用問題

n 瞭解問題：先看清題意，並擬定解題的步驟和 策略。

n 選設未知數：假定一個未知的數或量為代數，

再利用關係推得其它未知的數或量。

n 列方程式:依題目所給的關係，將普通敘述轉 換為數學敘述(方程式)。

n 解方程式:化簡方程式並求出一元二次方程式 的解。

n 驗算:檢驗答案是否合理、是否合於題意。

【說明】三個連續正奇數，第一、第二兩數的積加上 第二、第三兩數的積為 242，求此三數。

【解】設三個連續奇數為x-2、x、x+2 列式得 (x-2)+x(x+2)=242 解方程式 x²-2x+x²+2x=242

2x²=242 x²=121

驗算 x=±11(負不合)

∴ 此三數為 11-2=9,11,11+2=13

範 例 講 解

(1). x²+4x-3=0 (2).x²+6x+10=0 (3).3x²-24x=5 (4).-x²+4=5x (5).3x²+5x+1=0 (6). 2x²+8x-14=0 (7).4

5x²+ 2

3x-1=0

Hw4.用配方法解下列一元二次方程式:

(1).x²-4x-1=0 (2).x²+8x+20=0 (3).x²+2x=168 (4).-x²+1=3x (5).3x²+4x-2=0 (6). 3x²+24x=15 (7). 4

3x²-12x+51=0

Ex5.

(1).已知一直角三角形三邊長是連續整數，則 此三角形周長為多少?

(2).已知三個連續正奇數的平方和是 251，則 此三數中最小的數為多少?

Hw5.

(1).若一數的平方與其 2 倍的和等於 2，則此 數的值為何?

(2).邱家有三個兒子，分別為大寶、二寶及小 寶，已知三人的年齡為三個連續的奇數且 已知三人年齡的平方和為 515，求三人的 年紀分別為何?

Ex6.一直角三角形的斜邊長為 26 公分，兩股長 的差為 14 公分，則其兩股長分別為多少公 分?

Hw6.已知直角三角形斜邊長為 218 ，且兩股長 的和為 20，則此直角三角形的面積為何?

Ex7.

(1).某水果商買進一箱水梨，每 x 個裝一盒時 恰可裝滿 x 盒，賣掉 4 盒後，剩水梨 96 個，則水果商買進幾個水梨?

(2).一宴會中有若干人，若每個人與其餘的每 一個人都握手一次，已知他們總共握了 66 次手，則此宴會中共有多少人?

Hw7.

(1).荔枝每公斤賣 x 元，如果賣了(x+6)公斤 共得 720 元，則賣出荔枝多少公斤?

(2).學生若干人排成一中一小正方形隊形，然 後再合併成一個大正方形隊形，如果大正 方形隊形比中、小正方形隊形每邊分別多 2 人、9 人，求學生共有多少人?

Ex8.若將一正方形的一邊減少 3 公分，另一邊變 成原來的 2 倍，則所得新長方形的面積比原 正方形的面積多 7 平方公分，求原正方形的 邊長是多少公分?

Hw8.若將一正方形的一邊減少 3 公分，另一邊變 成原來的2

3倍，則所得的新長方形的面積比 原來正方形的面積少 4 平方公分，求原來正 方形的邊長?

Ex9.在圖(一)中，甲是一個邊長為 2 公分的正方 形，乙是一個長方形，且甲、乙兩圖的面積 相等。如果將甲疊在乙上面，使它們的兩個

Hw9.林老先生的農地由兩個 長方形重疊而成，且重 疊部分(如圖中斜線部

鄰邊對齊(如圖(二)所示)時，結果發現乙露出 的部分為正方形丙，請問正方形丙的邊長是 多少公分?

圖(一)

圖(二)

分)為正方形。若斜線部分闢成水池，且已 知農地總面積為 1003 平方公尺，則水池的 邊長為多少公尺?

Ex10.如圖，正方形 ABCD 的邊 長為 x，BE =1，且△ABE 與梯形 AECD 的面積比為 1:2，則正方形 ABCD 的邊 長是多少?

Hw10.影印紙中將 A3 的紙較 長的部分對摺剪開後，

所得兩張紙就為 A4 的 紙，此時 A3 與 A4 的矩 形互為放大縮小圖，若

取一張矩形 ABCD 的長， AB 為 x 公尺，寬 AD =1 公尺，長的部分對摺剪開後，所得 矩形為原長方形 ABCD 的縮小圖，請問此 時 x 的值為何?

Ex11.翰林國中的游泳池是 一個長為 100 公尺、寬 為 50 公尺的矩形，池畔 四周有等寬的走道(斜

線部分)，若走道總面積為 936 平方公尺，則 走道的寬度為何?

Hw11.如圖為邊長 70 公尺的正 方形土地，今在其內部開闢 二條等寬的交叉道路，其餘 空地(斜線區域)做為花 圃。已知花圃的面積為

3600 平方公尺，則圖中的 x 代表多少?

Ex12.翰翰用 31 公尺長的 籬笆沿著河岸想圍一 個長方形的花圃，緊鄰

著河岸的一邊不圍，如圖，已知花圃的面積 為 119 平方公尺，且長邊的長度不超過 15 公 尺，則花圃的短邊是多少公尺?

Hw12.某矩形的長為(5x+4)公分，寬為(x-3)公 分，且面積為 24 平方公分，則矩形周長為 多少公分?

Ex13.如圖，在長 15 公尺、寬 12 公尺的長方形紙片中截去四 個全等的正方形，剩下的圖 形面積為 144 平方公尺，則

所截去的正方形邊長為多少公尺?

Hw13.如圖，將一個邊長 20 公分 的正方形，截去四個全等的 等腰三角形。若斜線部分的 面積為 350 平方公分，則截

去的等腰三角形中，一個腰的長為多少公 分?

Ex14.電影院門票一張 220 元，每日可賣出 1800 張，如果票價每降低 1 元，則可多賣出 10 張，某日門票收入共 400000 元，請問該日 的門票為多少元?

Hw14. 珍珠奶茶一杯 35 元，平均每日賣出 240 杯，如果每杯降價 1 元，則每天多賣出 15 杯，若某日共售得 9660 元，且該日賣出的 杯數超過 400 杯，則當天共賣出多少杯?

Ex15.設 L、W 分別表示矩形的長與寬，且知 L W =

W W

L－ (這樣矩形叫作黃金矩形)，求黃金矩

形長與寬的比值 W

L =?

Hw15.如圖，C 點在 AB 上 且AB : AC = AC :

BC ，如果BC =1，求 AC 、BC 兩線段長 度自的比值。