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✐ 數學傳播 45 卷 2 期, pp. 18-20
從運動學的觀點看描繪函數圖形 的教學
張海潮
無論是在高三下自然組的 (多項式) 微積分課或是大一上期中考之前的微積分, 描繪 y = f(x) 的函數圖形都是教學的重點。
通常教師會提示描繪的前置作業, 要求學生逐步完成下列步驟:
(一) 計算 f′(x), 將定義域分解成 f′ >0, f′ <0 的區間, 並同時紀錄臨界點, 即 f′(x) = 0 的點。
(二) 讓學生了解在 f′ >0 (f′ <0) 的區間上, f (x) 的圖形是遞增 (遞減) 的。
(三) 對每一個臨界點, 在其左、 右判斷 f′ 的正負, 來決定該點是否確是極大值或極小值。
(四) 計算 f′′(x), 將定義域分解成 f′′ >0, f′′ <0 的區間, 並同時紀錄 f′′(x) = 0 的解。
(五) 讓學生了解在 f′′ >0 的區間上, f (x) 的圖形是上凹或凹口向上, 而在 f′′<0 的區 間, 圖形是下凹或凹口向下。
(六) 對 f′′(x) = 0 的解, 在其左右判斷 f′′ 的正負, 如果正負號相反, 則稱此點是一個反 曲點。
(三)′ 如果臨界點處, 凹口向下, 便是極大值, 而若凹口向上, 便是極小值。
本文的目的是想從平面運動直觀的來看函數圖形的屬性, 主要是要理解上述 (二) 、 (五) 兩個步驟。 我們把 y = f (x) 的函數圖形看成是質點在坐標平面上的運動軌跡, x 想成是時間,
圖一 運動軌跡是 (x, f (x)), 即水平運動是 x, 鉛垂方向的
運動是 f (x)。 速度向量是 (x, f (x)) 對時間 x 的微 分, 即 V = (1, f′(x)), 加速度向量是速度向量對 x 的微分, 因此是 A = (0, f′′(x))。
先說步驟 (二) 。 假設在時段 (a, b) 上, f′(x) <
0, 這代表鉛垂速度小於 0, 因此是下墜的情形, 如圖 一所示 :
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✐ 從運動學的觀點看描繪函數圖形的教學 19
當時間 x 進行, 質點在水平方向以速度 1 向右前進, 而相關的鉛垂速度始終小於 0, 代表持續 下墜, 因此鉛垂的位置 f (x) 也處於遞減的狀態。 同理, 若是 f′(x) 在時段上 (a, b) 恆正, 就代 表鉛垂的位置 f (x) 處於遞增。
接下來談步驟 (五) , 當 f′′(x) 在時段 (a, b) 上小於 0 時, 我們要解釋函數圖形 (或平面 運動軌跡) 為什麼凹口向下。
首先, 我們以線段 M 連接 (α, f (α)) 和 (β, f (β)), 其中 a < α < β < b。 此時, 圖形分 成三種情形, 分別是 f (α) < f (β), f (α) = f (β) 和 f (α) > f (β), 如圖二、 三、 四所示:
圖二 圖三 圖四
我們以圖二為例來說明現象 (五.1) (圖三、 四的說明類似):
(五.1) 在時段 (a, b), 如果 f′′(x) 恆負, 則上述連接 (α, f (α)) 和 (β, f (β)) 的線段 M, 除了 端點, 均落在函數圖形 (運動軌跡) 的下方。 注意到圖二, 在時段 (α, β), 鉛垂方向從 f (α) 上 升到 f (β), 平均速度是線段 M 的斜率: f(β) − f (α)
β − α 。 因為 f′′(x) < 0, 因此 f′(α) 一路遞 減到 f′(β), 而有
f′(α) > f(β) − f (α)
β − α > f′(β), (1) ((1) 式對圖三、 四也同樣成立)
從 (1) 式可以合理宣稱在 α, β 之間有 γ 滿足 f′(γ) = f(β) − f (α)
β − α (註), 亦即在 (γ, f (γ)) 的切線與 M 平行, 如圖五所示:
圖五
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✐ 20 數學傳播 45 卷 2 期 民 110 年 6 月
因此, 鉛垂方向的速度從 f′(α) 遞減到平均速度 f′(γ) = f(β) − f (α)
β − α 又再遞減到 f′(β), 而相應的鉛垂位置從 f (α) 變化到 f (β)。
在討論函數圖形和線段 M 的關係時, 一方面將圖形看成軌跡 (x, f (x)), 另一方面將 M 看成是等速直線運動
x, f(α) +f(β) − f (α)
β − α (x − α)
的軌跡, 後者的鉛垂速度是前者的鉛 垂平均速度 f(β) − f (α)
β − α , x 均代表時間。 我們要比較同一時間兩個運動的鉛垂位置差。 不難 看出, 在時間 α 時, 及 α 後 γ 前, 前者的鉛垂速度比較大, 因此鉛垂位置差逐漸加大, 而到了 時間 γ 及 γ 後, 鉛垂位置差逐漸縮小, 最後到了時間 β, 兩者的位置再度重合。
從以上的論証, 不難看出在圖五中, 線段 M 完全落在圖形的下方, 這是 f′′ 恆負的結果。
另外, 如果在圖五中, 令 β 趨近 α, 則 M 趨近過 (α, f (α)) 的切線, 如圖六所示:
圖六 我們因此看到下面的現象
(五.2) 當 f′′(x) 在時段 (a, b) 恆負時, α ∈ (a, b), 則在 (α, f (α)) 的切線會完全在圖形 y= f (x) 的上方。
(五.1) 和 (五.2) 合併, 以圖形和切線及割線的上下關係說明了當 f′′ 恆負時, 凹口向下的 現象。 當然, 當 f′′ 恆正時, 同理會有凹口向上的情形。
以上是對圖形遞增 (f′ >0) 遞減 (f′ <0) 上凹 (f′′ >0) 下凹 (f′′ <0) 利用平面運動 的說明, 雖然不很嚴謹, 但是希望在教學現場可以透過鉛垂的速度 f′ 和加速度 f′′ 來了解函數 圖形的幾何特徵。
註: 當 f′(α) > f(β) − f (α)
β − α > f′(β), 導出必有 γ, α < γ < β 使 f′(γ) = f(β) − f (α) β − α , 稱為連續函數 (此處是 f′) 的介值定理 (Intermediate Value Theorem), 其內容和高中學的 勘根定理是一樣的。
—本文作者為台大數學系退休教授—
