三組平行線定理及其一個猜想

數學傳播 37卷2期, pp. 93-95

三組平行線定理及其一個猜想

劉步松

如圖一, 平面上給定三組平行線, 分別是 a1//a₂, b₁//b₂ , c₁//c₂ , 處在不同組的兩條直 線都是相交的。 設 a1 與 b2 的交點為 A, b1 與 c2 的交點為 B, c1 與 a2 的交點為 C; a2 與 b₁ 的交點為 D, b2 與 c1 的交點為 E, c2 與 a1 的交點為 F , 則有如下兩個結論:

(1) 若 A, B, C 三點不共線, 則 S△ABC = S_△DEF; (2) 若 A, B, C 三點共線, 則 D, E, F 三點也共線。

圖一

這個定理是筆者在研究四邊形的性質時發現的, 感覺它條件簡單, 結論中, a, b, c 三個字 母具有輪換性, 下標1和2也是輪換的, 從而是非常優美的一個定理。

下面證明這個定理。

在直角坐標系中, 設 A, B, C, D, E, F 的座標依次為 A(x1, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), D(x^′₁, y^′₁), E(x^′₂, y₂^′), F (x^′₃, y^′₃),利用平行線的斜率相等:

因為 AF//DC , 所以 y₃^′ − y1

x^′₃− x1

= y3− y1^′

x₃− x^′₁,因為 AE//BD, 所以 y₂^′ − y1

x^′₂− x1

= y₁^′ − y2

x^′₁ − x2

,

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因為 CE//F B , 所以 y₂^′ − y3

x^′₂− x3

= y₂− y^′3

x₂− x^′3

。 將上面三個等式分別去分母可得下面三個等式:

x^′₃y₃− x^′3y₁^′ − x1y₃+ x₁y₁^′ = x₃y₃^′ − x3y₁− x^′1y^′₃+ x^′₁y₁ (1) x^′₂y^′₁− x^′2y2− x1y₁^′ + x1y2= x^′₁y₂^′ − x^′1y1− x2y^′₂+ x2y1 (2) x^′₂y₂− x^′2y₃^′ − x3y₂+ x₃y₃^′ = x₂y₂^′ − x2y₃− x^′3y^′₂+ x^′₃y₃ (3) 將上面三個等式相加, 消項後並移項可得:

x1y2 + x2y3+ x3y1− x2y1− x3y2 − x1y3 = x^′₁y₂^′ + x^′₂y^′₃+ x^′₃y₁^′ − x2y₁^′ − x^′3y^′₂− x^′1y₃^′

寫成行列式的形式: 

x₁ y₁ 1 x₂ y₂ 1 x₃ y₃ 1

=  

x^′₁ y^′₁ 1 x^′₂ y^′₂ 1 x^′₃ y^′₃ 1

(4)

而 S△ABC = ¹₂  

x1 y1 1 x₂ y₂ 1 x₃ y₃ 1

, S△DEF = ¹₂  

x^′₁ y₁^′ 1 x^′₂ y₂^′ 1 x^′₃ y₃^′ 1

, 由於 (4) 式成立, 所以有 S_△ABC = S_△DEF。 從而結論 (1) 成立; 如果 A, B, C 三點共線, 則

x₁ y₁ 1 x₂ y₂ 1 x3 y3 1

= 0, 由

(4) 式也有  

x^′₁ y^′₁ 1 x^′₂ y^′₂ 1 x^′₃ y^′₃ 1

= 0, 從而 D, E, F 三點也共線, 證畢。 

筆者在幾何畫板上已驗證, 對於四、 五、 六、 七組平行線時, 類似的定理也成立。 因此筆者 猜想有如下的定理成立。

平面上有 n 組平行線滿足: a11//a₁₂, a₂₁//a₂₂ , . . . , a_n1//a_n2。 記 a11 與 a22 的交點 為 A1, a₂₁ 與 a32 的交點為 A2, a₃₁ 與 a42 的交點為 A3,· · · , an1 與 a12 的交點為 An; a₁₂ 與 a21的交點為 B1, a₂₂ 與 a31 的交點為 B2, a₃₂ 與 a41 的交點為 B3,· · · , an2 與 a11 的交 點為 Bn。 則多邊形 A1A₂· · · An的面積等於多邊形 B1B₂· · · Bn 的面積。 圖二畫出了 n = 5 的情形。

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A1A2A3A4A5 的面積 = 59.67 厘米² B1B2B3B4B5 的面積 = 59.67 厘米²

圖二 下面用三組平行線定理解決一個實際問題。

圖三 圖四

如圖三, 對任意四邊形 ABCD, 若 △ABC、 △BCD、 △CDA、 △DAB 的垂心依次 為 E、 F 、 G、 H, 則有四邊形 EF GH 的面積等於四邊形 ABCD 的面積。

證: 如圖四, 對 △ABD 和 △F GE 使用三組平行線定理。 記直線 AE 為 a1, 直線 DF 為 a2, 直線 F B 為 b1, 直線 AG 為 b2, 直線 DG 為 c1, 直線 BE 為 c2。 因為 E 為 △ABC 的垂心, 所以 AE ⊥ BC, 因為 F 為 △BCD 的垂心, 所以 DF ⊥ BC, 從而 AE//DF , 即 a1//a₂, 同理可證, b1//b₂, c₁//c₂, 由三組平行線定理有 S△ABD = S_{△F GE}。 同理可證, S_△BCD = S_△GHE, 這樣便有四邊形 EF GH 的面積等於四邊形 ABCD 的面積。

從上面的證明看到, 利用三組平行線定理證明四邊形的這個性質是非常簡潔的。

—本文作者為中國江蘇省邳州市運河高等師範學校—