第 第 1 章 章 章 章 三角 三角 三角 三角比 比 比 比

高中數學(2)習作甲 1-1 直角三角形的邊角關係 4

第 第

第 第 1 章 章 章 章 三角 三角 三角 三角比 比 比 比

1-1 直角三角形的邊角關係 直角三角形的邊角關係 直角三角形的邊角關係 直角三角形的邊角關係

例題例題

例題例題 1 直角三角形的三角比直角三角形的三角比直角三角形的三角比(一) 直角三角形的三角比

直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，兩股長 BC =5^，AC=12，試求 sinA，cosA，tanA。

解解

解解 由畢氏定理得 AB² = +5² 12² =169，∴ AB=13

故 5

sinA=13， 12

cosA=13 ，tan 5 A=12

例題例題

例題例題 2 直角三角形的三角比直角三角形的三角比直角三角形的三角比(二) 直角三角形的三角比

直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，斜邊 AB=8^{，cos 3}

A= 4，試求：

(1) AC (2) tan A

解 解 解

解 (1) 已知 3

cos 8 4

AC AC

A= AB = = ，∴ AC=6

(2) 由畢氏定理得 BC² =AB²−AC² =28，∴ BC=2 7

故 2 7 7

tanA= 6 = 3

例題 例題 例題

例題 3 商數關係商數關係商數關係 商數關係

已知 θ 為銳角且 sin cos sin cos 2

θ θ

θ θ

+ =

− ，試求 tan θ 之值 解解

解解 已知 sin cos sin cos 2

θ θ

θ θ

+ =

− ，移項得 sin θ＋cos θ＝2 sin θ －2 cos θ

3 cos θ＝sin θ，
sin

3 tan

cos

θ θ

= θ = 故 tan θ＝3

例題 例題 例題

例題 4 平方關係平方關係平方關係、商數關係平方關係 商數關係商數關係商數關係 已知 0°＜θ ＜90°且 3

cosθ =5，試求 sin θ 與 tan θ

解 解 解

解 由平方關係 sin²

θ

θ

2

2 3

sin 1

θ

  ，∴ ² 9 16

sin 1

25 25 θ = − =

4

sinθ = ±5，但負號不合,∴ 4 sinθ =5

由商數關係得

4

sin 5 4

tan cos 3 3

5

θ θ

=

θ

高中數學(2)習作甲 1-1 直角三角形的邊角關係 5

例題例題

例題例題 5 平方關係平方關係平方關係、餘角關係平方關係 餘角關係餘角關係餘角關係

直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，已知 5

cosA=13，試求 sinA，sinB，cosB

解 解 解

解 由平方關係得

2

2 5

sin 1

A 13 +  =

 

² 25 144

sin 1

169 169

A= − = ，
12

sinA= ±13，但負號不合，∴ 12 sinA=13

由餘角關係得 5

sin sin ( 90 ) cos B= ° −A = A=13 cos cos ( 90 ) sin 12

B= ° −A = A=13

例題例題

例題例題 6 平方關係平方關係平方關係 平方關係

已知 0°＜θ ＜90°，若 7 sin cos

θ+ θ =5，試求：

(1) sin θ cos θ (2) sin³

θ

θ

解解 (1) ² 49 ( sin cos )

θ+ θ = 25

^{2 2} 49

sin cos 2 sin cos θ+ θ+ θ θ =25

49 24

1 2 sin cos 2 sin cos

25 25

θ θ θ θ

+ =
= ，∴ 12

sin cos θ θ =25

(2) sin³θ +cos³θ =( sinθ +cos ) ( sinθ ²θ −sin cosθ θ +cos²θ) 7 12 91 5 1 25 125

 

= × − =

 

例題 例題 例題

例題 7 簡易恆等式簡易恆等式簡易恆等式 簡易恆等式

已知 0°＜θ ＜90°，試證明： cos cos

2 tan 1 sin 1 sin

θ θ θ

θ ⁻ θ ⁼

− +

證 證 證

證 cos cos cos (1 sin ) cos (1 sin ) 1 sin 1 sin (1 sin ) (1 sin )

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

+ − −

− =

− + − +

2

cos sin cos cos sin cos 1 sin

θ θ θ θ θ θ

θ

+ − +

= −

2

2 sin cos cos

θ θ

=

θ

2 tan cos

θ θ

=

θ

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例題例題

例題例題 8 使用計使用計使用計算機求三角比使用計算機求三角比算機求三角比算機求三角比、角度角度角度角度 使用計算機求解下列各題：

(1) sin23°，tan71°30'。（四捨五入取到小數點後第四位）

(2) 已知 sin θ＝0.4，cos

φ

φ

解 解 解

解 (1) 按計算機得 sin23° ≈ 0.390731128，取近似值 0.3907 按計算機得 tan71°30' ≈ 2.988684963，取近似值 2.9887 (2) 按計算機得 θ ≈ 23.57817848，取近似值 23.6°

按計算機得 φ ≈ 45.572996，取近似值 45.6°

例題 例題 例題

例題 9 三角測量三角測量三角測量(一)（直角三角形的邊角關係三角測量 直角三角形的邊角關係直角三角形的邊角關係） 直角三角形的邊角關係

如右圖，直角三角形 ABC 為一座三角公園的示意圖，已知其中一邊 BC 長 50 公尺，∠ABC＝60°，試求此公園的周長為多少公尺？

解解

解解 50 1

cos 60

2 BC

AB AB

° = = = ，∴ AB=100

tan 60 3

50 AC AC

° = BC = = ，∴ AC=50 3

故△ABC 周長（即公園周長）為 100 50 50 3+ + =150 50 3+ （公尺）（約 236.6 公尺）

例題例題

例題例題 10 三角測量三角測量三角測量(二)（直角三角形的邊角關係三角測量 直角三角形的邊角關係直角三角形的邊角關係，使用計算機直角三角形的邊角關係 使用計算機使用計算機使用計算機）

如右圖，將長度為 180 公分的竹竿的一端靠在右方牆上，測得另一端 與地面夾角為 53°，試求牆的高度約為多少公分？

（四捨五入取到小數點後第一位）

解 解 解

解 設牆高為 h 公分，則 sin 53

180

° = h

h＝180 sin53°≈180 × 0.79863551＝143.7543918 取 h ≈ 143.8

故牆的高度約為 143.8 公分