單元 36: 旋轉體的體積
( 課本 x 5.7)
一. 旋轉體的形成
設函數 f(x) 在閉區間 [a; b] 上為非負. 令 R 為 f(x) 在 [a; b] 上所圍成的區域, 如圖示.
接著, 將區域 R 繞 x-軸旋轉, 可得一實體 S, 並稱此實 體為旋轉體 (solid of revolution), 以及 x-軸為旋轉 軸 (axis of revolution), 如圖示.
二. 旋轉體的體積
可根據下述的圓碟法 (disc method) 求旋轉體 S 的體 積.
(1) n 等分 [a; b], 得子區間的寬 x = b a
n , 並對於 i = 1; : : : ; n, 令 xi 為第 i 個子區間內的一點.
(2) 對於 i = 1; : : : ; n, 分別以 f(xi) 為高, x 為寬, 形成 n 個長方條.
(3) 將此 n 個長方條繞 x-軸旋轉, 得 n 個圓碟, 且對於 i = 1; : : : ; n, 第 i 個圓碟的體積為
f2(xi)x 如圖示.
(4) 根據圖示, 得 S 的體積
n 個圓碟的體積和
= [f2(x1) + + f2(xn)]x (1) 剛好為函數 f2(x) 在 [a; b] 上的黎曼和.
因此, 根據前單元所述的事實: f 在 [a; b] 上的定積分就 是 f 在 [a; b] 上的黎曼和的極限, 亦即,
Z b
a f(x)dx = limn!1[f(x1) + + f(xn)]x 由圖示以及 (1) 式, 得
S 的體積 = lim
n!1[f2(x1) + + f2(xn)]x
= Z b
a f2(x)dx (2)
註 .
根據圖示, 可視 f(x) 為旋轉半徑, dx 為圓碟厚度, 故f2(x)dx
就為一個圓碟的體積. 因此將這些薄圓碟的體積累加, 並 取極限, 即可得
S 的體積 =
Z b
a (旋轉半徑)2dx
一個與直觀相符的公式. 其它許多積分的公式也都有此種 現象, 方便於了解及記憶.
例 1.
令 R 為f(x) = x2 + x
與 x-軸所圍出的區域, 且 S 為 R 繞 x-軸所得出的旋轉 體. 試求 S 的體積.
<解> (i) 求交點決定積分上下界以及圍出的區域 R. 因 為 x-軸乃相當於 y = 0, 故令
x2 + x = 0 並解 x. 經由因式分解, 得
x( x + 1) = 0
故
x = 0; 1
根據求得的二個交點, 以及一為開口向下的拋物線, 另一 為 x-軸, 得圍出的區域 R, 如圖示.
(ii) 因為繞 x-軸, 故根據圖示, 得
旋轉半徑: f(x) = x2 + x
因此, 由 (2) 式以及微積分基本定理, S 的體積 =
Z 1
0 ( x2 + x)2dx
= Z 1
0 (x4 2x3 + x2)dx
= 1
5x5 1
2x4 + 1
3x3 1
0
= 1 5
1
2 + 1 3
= 30
推廣 1.
若函數 x = f(y) 在 [c; d] 上為非負, 亦即, 自變數為 y, 定義域乃 y-軸上的閉區間 [c; d], 且圖形在 y-軸的右邊 .令 R 為 f(y) 在 [c; d] 上所圍出的區域, 且 S 為 R 繞 y-軸後所得的旋轉體, 如圖示.
接著, n 等分 [c; d], 得子區間的長度 y = d c
n , 並且 對於 i = 1; : : : ; n, 以第 i 個子區間中任何一點 yi 的函 數值 f(yi) 為高, 子區間長度 y 為寬, 形成 n 個長方 條, 經由繞 y-軸後, 得第 i 個薄圓碟的體積為
f2(yi)y
因此, 經由黎曼和的極限過程, 得 S 的體積 = lim
n!1[f2(y1) + + f2(yn)]y
= Z d
c f2(y)dy (3)
注意, 繞 y-軸時, 需將半徑表成 y 的函數, 並對 y 積分.
例 2.
令 R 為y = x2 與
y = 4
在第一象限內所圍出的區域, 且 S 為 R 繞 y-軸所得的 旋轉體. 試求旋轉體 S 的體積.
<解> 二函數, 一為開口向上的拋物線, 一為水平線, 故 得第一象限內所圍出的區域 R, 如圖示. 因為是繞 y-軸 旋轉, 故需將 R 的右邊界
y = x2; x 0 表成 y 的函數, 並由上邊界
y = 4 得 R 為
x = py 在 [0; 4] 上所圍成的區域.
因此, 根據圖示, 得
旋轉半徑: x = py; 0 y 4 且由 (3) 式以及微積分基本定理,
S 的體積 =
Z 4 0 [p
y ]2 dy
= Z 4
0 ydy
= 1
2y2 4
0 = 8
推廣 2.
洗衣機法 (washer method)設在閉區間 [a; b] 上, 函數 f 與 g 均連續, 非負, 且 f(x) g(x).
令 R 為 f 與 g 在 [a; b] 上所圍出的區域.
將 R 繞 x-軸, 得一中空的旋轉體 S, 如圖所示.
經由 n 等分 [a; b], 以及旋轉組成 R 的第 i 個長方條, 得一中空的薄圓碟, 如圖示, 且體積為
[f2(xi) g2(xi)]x 最後, 經由黎曼和的極限過程, 得中空旋轉體
S 的體積 = lim
n!1f[f2(x1) g2(x1)] + + [f2(xn) g2(xn)]gx
= Z b
a [f2(x) g2(x)]dx
或根據幾何的觀點, 上述的圓碟法, 以及積分的加減法則, 得中空的旋轉體
S 的體積 = 外部大的旋轉體體積
內部小的旋轉體體積
= Z b
a f2(x)dx Z b
a g2(x)dx
= Z b
a [f2(x) g2(x)]dx
註 .
經由直觀, 累加的角度, 中空薄圓碟的體積為[(外半徑)2 (內半徑)2]dx 故中空旋轉體
S 的體積 =
Z b
a [(外半徑)2 (內半徑)2]dx (4) 切勿犯如下的錯誤, 中空旋轉體
S 的體積 6=
Z b
a [f(x) g(x)]2dx 6= Z b
a [外半徑 內半徑]2dx
例 3.
令 R 為f(x) = q25 x2 與
g(x) = 3
所圍出的區域, 且 S 為 R 繞 x-軸而得的旋轉體. 試求 S 的體積.
<解> (i) 求交點決定積分上下界以及圍出的區域 R. 令
q
25 x2 = 3
並解 x. 經由兩邊平方, 得
25 x2 = 9 亦相當於
x2 = 16 故
x = 4; 4
又二函數的圖形, 一為圓心 (0; 0), 半徑 5 的上半圓, 另 一為水平線, 並根據上述求得的二交點的 x 作標, 得所圍 出的區域 R, 如圖示.
(ii) 決定旋轉半徑. 因為是繞 x-軸, 而得的中空旋轉體, 故由圖示, 得
外半徑: f(x) =
q
25 x2 以及
內半徑: g(x) = 3
因此, 根據洗衣機法, 亦即, (4) 式, 得中空旋轉體 S 的體積 =
Z 4
4[(外半徑)2 (內半徑)2]dx
= Z 4
4
"q
25 x2 2 32
#
dx
再根據微積分基本定理, 由上式得 S 的體積 =
Z 4
4(16 x2)dx
= 16x 1
3x3 4
4
= 64 64 3
64 + 64 3
= 128
3 + 128 3
= 256 3
或因為被積函數為一偶函數, 故根據微積分基本定理, 以 及偶函數的定積分性質, 由上式得
S 的體積 =
Z 4
4(16 x2)dx
= 2 Z 4
0 (16 x2)dx
= 2 16x 1
3x3 4
0
= 2 64 64 3
= 256 3
