02 三角函數

02 三角函數

CHAPTER

目 錄

02 三角函數

CHAPTER

2-1

有向角及其度量

三角函數的定義

廣義角的三角函數

學習評量

習題

2-2

習題

習題

2-4

三角函數的圖形

2-5

正弦定理與餘弦定理

2-4

習題

習題

有 向 角 及 其 度 量

0 2

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課本 P.

2-

2-1.1 有向角

一、廣義角

有向角中，旋轉角度打破 180 的限制稱為廣義 角。

由此可知，角度可為任意角，沒有範圍限制。

70

有 向 角 及 其 度 量

0 2

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課本 P.

2- 1

二、標準位置角

角將有向角的頂點置於直角坐標系的原點，始 邊置於 x 軸正向，此時的有向 角 稱為標準 位置。

2-1.1 有向角

70



有 向 角 及 其 度 量

0 2

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課本 P.

2- 1

二、標準位置角

　當標準位置角 的終邊落在第一、二、三、

四象限內者，分別稱為第一、二、三、四象限 角。若 的終邊落在坐標軸上，則稱 為象限 角。

2-1.1 有向角

71



 

課本P.

例題 1

如圖，標準位置角 之值何？又 為第幾象限角？

，

為第三象限角。

71

解

 

  

= 180 + 60 = 240



課本P.

隨堂練習

如圖，標準位置角 之值為何？又 為第幾象限 角？

為第一象限角。

1

解

 

  

= -(360 + 45 ) = -315



有 向 角 及 其 度 量

0 2

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課本 P.

2- 1

三、同界角

兩個有向角具有相同的始邊與終邊，則互稱為 同界角。

2-1.1 有向角

72

課本P.

定理

若 、 為同界角，則

，其中 n 為整數。

同界角的性質

1 ₂  ₁  ₂  360 n

課本P.

例題 2

下列何者為 的同界角：

(1) 因 ，

故 是 的同界角。

(2) 因 ，

故 是 的同界角。

(3) 因

，

故 不是 的同界角。

(4) 因 ，

故 是 的同界角。

73

解

 

    

-50 - 670 = -720 = (-2) 360

(1)











670

  

    

-50 - 1030 = -1080 = (-3) 360



1030

 

  

-50 - (-1030 ) = 980



  

    

-50 - 2110 = -2160 = (-6) 360 2110

  

課本P.

隨堂練習

下列何者為 的同界角：

(1)

(2)

(3)

(4) 不為 的整數倍。

故 、 、 皆為 的同界角

2

解





470

  

 

 

  

470 - 110 = 360

   

1190 - 110 = 1080 = 360 3

   

-610 - 110 = 720 = 360 (-2)

  

-950 - 110 = 1060 360



470   

(1) (2) (3) (4)

課本P.

例題 3

求下列各角的最小正同界角、最大負同界角，並判斷 其為第幾象限角？

因為兩個同界角的差為 的整數倍，所以只 要依 序

加減 ，就可求出所有同界角。

(1)

即 ， 故 的最小正同界角為 ，最大負 同界角為

又 與 有相同始邊及中邊，得 為第二

象限角 。

74

解

(1) 1210







   

 ³⁶⁰   ^-360   ^-360   ^-360  

1210 850 490 130 -230

   

130 = 1210 360 (-3) 230 = 1210   360(-4)



130 -230







130 1210



課本P.

例題 3

求下列各角的最小正同界角、最大負同界角，並判斷 其為第幾象限角？

(2)

即 ， 故 的最小正同界角為 ，最大負 同界角為

又 與 有相同始邊及中邊，得 為第三

象限角 。

74

解

(1)   (2)

 

   

 ⁺³⁶⁰  ⁺³⁶⁰  ⁺³⁶⁰  ⁺³⁶⁰ 

1180 -820 -460 -100 260

100 = -1180   360 3 260 = -1180   360 4



260 -100

-1180





-1180 ^260 -1180



課本P.

隨堂練習

求下列各角的最小正同界角、最大負同界角，並判斷 其為第幾象限角？

(1)

故 的最小正同界角為 ，最大負 同界角為

得 為第二象限角。

(2)

故 的最小正同界角為 ，最大負 同界角為

得 為第二象限角。

3

解









(1) (2)  

 

 ^-360   ^-360  

510 150 -210



 





 

 ⁺³⁶⁰   ⁺³⁶⁰

-700 -340 20



  





有 向 角 及 其 度 量

0 2

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課本 P.

2-

2-1.2 角的度量

一、度度量（亦稱六十分制）

將一圓周分為 360 等分，每一等分所對的圓心 角

稱為一度，記作 。將 分為 60 等分，

每一等

分稱為一分，記作 再分為 60 等分，每 一等

分稱為一秒，記作 。

即 ;

而一圓周長 = ; 一平角 = ; 一 直角 =

75



1 ;1

 



1



 

1 = 60 1 = 60 



360 180 90

有 向 角 及 其 度 量

0 2

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課本 P.

2-

2-1.2 角的度量

二、弧度量（亦稱弳度制）

在圓周上截取與半徑等長的弧，稱此弧所對的 圓心角為一弧度（ radian ），或稱為一弳。如 圖 2-6 所示，當弧 之長為半徑 r 時，

之度量即為一弧度。通常弧度的單位 可以省略不寫，即 1 弧度＝ 1 弳＝ 1 。

75

AB

^AOB

課本P.

定理

設圓的圓心為 O ，半徑為 r ，圓周上一弧 的長 為 L ，

所對應的圓心角為 （弧度），

則 。

弧度量

PQ



= L

 r

PQ

課本P.

公式

(1) ( 弧度 ) =

(2) 1 ( 弧度 ) =

(3) = ( 弧度 ) 弧度與度的互換公式

 ^{180 }

 

    

 

 

180 57.2958 57 17 45





1 180



課本P.

例題 4

將下列各角化成以弧度為單位：

(1) (2)

(3)

76

解

(1)

 (2)



     π7π

210 = -210 1 = -210 = 180 6

    π7π

105 = 105 1 = 105 = 180 12

     

67 30 = 67.5 = 67.5 1 = 67.5 = 180 8

(3)

課本P.

隨堂練習

將下列各角化成以弧度為單位：

(1) (2)

4

解



(1)450 (2)





   π5π

450 450 =

180 2

   π4π -240 -240 = -

180 3

課本P.

例題 5

將下列各角化成以度為單位：

(1) (2)

(3)

77

解

(1) 3π (2) - 4

11π 6

 

   11π11π180

= = 330

6 6π

 

   3π3π180

- = - = -135

4 4π

 

   

    

180 540

2 = 2 = -

ππ

(3) 2

課本P.

隨堂練習

將下列各角化成以度為單位：

(1) (2) (3)

5

解

- 3π

(1) 5 (2) 3π - 10

  

- 3π3= - 180 = -108

5 5

  

- 3π3= - 180 = -54

10 10

(3) -3

 

   

    

   

180 540

-3 = -3 = -

ππ

課本P.

例題 6

為第幾象限角？並求其最小正同界角及最 大負

同界角。

依序加減 即可求出同界 角。

即 ； 。

故最小正同界角為 ，最大負同界角為 ，

又 ，所以 為第四象限 角。

77

解

17 π 3





360 = 2

^-2π-2π-2π  

17 11 5 1

πππ-π

3 3 3 3

17  5

π= 2 2π+π

3 3 17  1

π= 3 2π+ (-π)

3 3

5 π

3  1

3 π

5 π= 300 3

17 π 3

課本P.

隨堂練習

為第幾象限角？並求其最小正同界角及 最大負同界角。

即 ； 。

故最小正同界角為 ，最大負同界角為 ，

又 ，所以 為第 四象限角。

6

解

-π25 4

+2π+2π+2π+2π   

25 17 9 1 7

-π-π-π-ππ

4 4 4 4 4

1 25 

-π= -π+ 3 2π

4 4 7 25 

π= -π+ 4 2π

4 4

7 π 4

-π1 4

7 

π= 315 4

-π25 4

課本P.

公式

若一扇形的半徑為 r ，圓心角為 弧度，弧長 為 L ，扇形的周長為 T ，面積為 A ，則

(1) (2) (3)

扇形公式



1

1

= =

2  2

A r rL

=  L r

= + 2 = = 1

 2

T L r r rL

課本P.

例題 7

設一扇形半徑為 6 公分，圓心角為 求此扇形 的、周

長及面積。

先把 弧度，即 弧度。

由公式知：

弧長

（公分）。

周長 （公分）。

面積 （平方公分）。

79

解





60 60 = 60

 

180 3

 



= = 6 = 2

 ^π3 L rπ

=  + + = 2 + 6 + 6 = 12 + 2 T PQ OP OQππ

1 1  

= = 6 2 = 6

2 2  

T rL

課本P.

隨堂練習

設一扇形半徑為 12 公分，圓心角為 ，求此 扇形的面積及其周長。

弧 度，

故扇形面積 （平方公分）。

周長 （公分）。

7

解



  3

135 = 135 = 180 4



 

2 2

1 1 3

= = 12 = 54

2 2 4

  A rπ

 3 

= + 2 = 12 + 12 2 = 9 + 24 4

 

T L r

課本P.

例題 8

設一扇形半徑為 12 公分，圓心角為 公分求此扇形 的

面積及圓心角。

扇形面積 ( 平方公分 )

而圓心角 ( 弧度 )

79

解

8

 

1 1

= = 12 8 = 48

2 2  

A rL

8  2

= =

12 3

 

 ^L r

課本P.

隨堂練習

設一扇形圓心角為 ，面積為 平方公分，求此 扇形

的半徑及周長。

面積 ，故半 徑

=4 ( 公分）。

周長 （公分）。

8

解

 5 

= 4 + 4 2 = 5 + 8 4

Tπ π

5 4

π 8

課本P.

習題 2-1

1. 試問下列各角置於標準位置時，其終邊位於何象限

解

(1) - 830



 

 _{(4) }

(1)

(2)

(3)

(4)

課本P.

習題 2-1

3. 將下列各角化成以弧度為單位：

解

(1) - 190





(1)

(2)

課本P.

習題 2-1

4. 將下列各角化成以度為單位：

解

(1) 7 6

 (2) 2



(1)

(2)

課本P.

習題 2-1

5. 一扇形之圓心角為 ，半徑為 8 公分，求此扇 形之弧長、周長及面積。

解

225



課本P.

習題 2-1

6. 一扇形之弧長為 公分，所對應之圓心角為

求此扇形之半徑

及面積

。 解

10 120



課本P.

習題 2-1

7. 有一時鐘，分針的長度為 4 公分，則由 5 點 25 分到 6 點其分針所掃出扇形之面積為何？

解

三 角 函 數 的 定 義

0 2

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課本 P.

2- 2

在直角三角形 ABC 中，若 為直角，則

為斜邊，而 、 分別稱為 的鄰 邊與對邊

，假設 ， ， ，定義 的六

個三角函數值如下：

(1)= ，稱為 的正弦函數值（ sin e ）。

(2) = ，稱為 的餘弦函數值 (cosine)

2-2.1 銳角三角函數的定義

82

C

AC BC

^A



AB c AC  b BC  a

^A

a

c

A

b c

A

三 角 函 數 的 定 義

0 2

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課本 P.

2- 2

(3)= ，稱為 的正切函數 值（ tangent ）。

(4) = ，稱為 的餘切函數值 (cotangent)

(5) = ，稱為 的正割 函數值 (secant)

2-2.1 銳角三角函數的定義

82

b

A

A

b

c

A

b a

三 角 函 數 的 定 義

0 2

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課本 P.

2- 2

(6)= ，稱為 的餘割函數

值 (cosecant)  

2-2.1 銳角三角函數的定義

82

c

A

課本P.

例題 1

直角 中，若 為直角， ＝ 3 ， ＝ 4 ，求

的六個三角函數值。

利用畢氏定理求得

由三角函數定義可得 :

，

，

，

83

解

 ABC C

_A

2 2

= 3 + 4 = 5 AB

= = 4 5 sinA BC

AB

= = 3 5 cosA AC

AB

= = 4 3 tanA BC

AC

= = 3 4 cot A AC

BC

= = 5 3 sec A AB

AC

= = 5 4 csc A AB

BC

課本P.

隨堂練習

已知直角 中， ， ，且 ＝ 9 ，

求 、 的長。

　　 由 ，得

=15

，

故 ，

1

解

= 12

= 15 BC

AB

ABC 



= 5

cosA AC

AB BC

9 3

= = c 5 cosA

2 2

= 15 - 9 = 12 BC

課本P.

例題 2

已知 為銳角，而且正弦函數的值為 ，求其他五個 三

角函數值。

由題意知 ，　　　

作一直角三角形，使 的對邊為 1 ，斜邊為 5 ，

由畢氏定理知 的鄰邊為 ，如圖所示。

則 ，

，

，

83

解

 ¹

5 1

 5 sin





2 2

5 - 1 = 24 = 2 6



= = 2 6

 ^AC 5 cos AB

1 6

= = =

2 6 12

 ^BC tan AC

= 2 6



cot 5

= 2 6



sec csc = 5

課本P.

隨堂練習

已知直角 中， ， ，求此角其餘的

三角函數值。

由三角函數定義得 = 。

取 ， ，

再利用畢氏定理求得斜邊 。

故 ， ， ， ，　

2

解

ABC 



= 12 tanB

=

tanB AC

BC AC  5 BC  12

2 2

= 12 + 5 = 13 AB

= 5

sinB 13 12

= 13

cosB 12

= 5

cotB 13

= 12

secB 13

= 5 cscB

課本P.

例題 3

阿青嫂擁有飼養一萬多隻雞的雞舍，由於臺灣夏季高溫 炎熱，雞隻容易生病，加上近年原物料、電費不斷上漲

，經過多方思考後，決定委託太陽能發電系統業者在雞 舍屋頂架設太陽能板，以減少屋頂曝晒，使雞隻保持健 康，並減少電費開支。業者保持太陽能面板應朝向南方

，且約與地面夾角為 時，才能達最佳發電效率，

在此

條件下，雞舍屋頂南北向長度為 8 公尺，所架設的太陽 能板之最高點及最低點的高度差為何？（

，取至小數點後第二位）

由題意可得示意圖如右，設高度為

則 ，得 ( 公尺 )

84

解

23

 

 

= 23 0.4245 8

h tan h







課本P.

隨堂練習

小明家有一塊長 3 公尺、寬 2 公尺的空地，他想自製 一

組水平長度為 2 公尺、與地面夾角為 的溜滑梯，

則

溜滑梯的梯子高度及滑梯部分各為幾公尺？（

， ， ，取至 小數點後第二位）

由題意可得示意圖如右，設梯子高度為 ，滑梯 長度

為

，則 ，得 （公尺）。

，得 （公尺）。

3

解



 

40 0.7660 cos

 

40 0.8391

tan sec40 1.305

 

= 40 0.8391 2

h tan

h x

 1.68 h

= sec40  1.305 2

x x  2.61

三 角 函 數 的 定 義

0 2

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課本 P.

2- 2

對一些特別的角度 ，我們知道包含 的直 角三

角形之邊長比，可求出其三角函數。

1. : 作直角三角形如圖 2-11 ，可 得對邊：

鄰邊：斜邊的邊長比為 。

故得 ， ，

， ，

2-2.2 特別角的三角函數值

85

 



1 : 3 : 2

 1 30 = 2

sin

cos 2

 1 3

30 = = 3 2 tan



30 = 3

cot

 2 2 3

30 = = 3 3

sec

三 角 函 數 的 定 義

0 2

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課本 P.

2- 2

2. : 作直角三角形如圖 2-12 ， 可得對邊

鄰邊：斜邊的邊長比為 。

3. : 作直角三角形如圖 2-12 ，可 得對邊

鄰邊：斜邊的邊長比為 。

2-2.2 特別角的三角函數值

85



1 :1 : 2



3 :1 : 2

課本P.

例題 4

求 之值 。

所求 =

86

解

2  ²  ³ 

8sin 30 - 4cos 45 + 5tan 45

2 2 3

1 2

8( ) - 4( ) + 5(1) = 5

2 2

課本P.

隨堂練習

求 之值 。

所求 =

4

解

    

sec45 sin45 cos60 cot45

 2 1  3

2 + 1 =

2 2 2

課本P.

例題 5

求 之值 。

所求 =

87

解

ππππππ

3tan csc + sec cos - cos csc

6 3 3 4 3 6

 1  2  1 1   2

3 + 2 - 2 = 3 + 2 - 1 = 1 + 2

2 3

3 3 2

課本P.

隨堂練習

求 之值 。

所求 =

5

解

  

  

1 + 1 - 

6 3

 

sin cos

  

  

  

1 1 3

1 + 1 - =

2 2 4

三 角 函 數 的 定 義

0 2

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課本 P.

2- 2

1. 餘角關係： (1)

(2) (3) (4) (5) (6) 2. 平方公式 : (1)

(2) (3)

2-2.3 三角函數的關係式

87

  )

(90  = 

sin cos

  )

(90  = 

cos sin

  )

(90  = 

tan cot

  )

(90  = 

cot tan

  )

(90  = 

sec csc

  )

(90  = 

csc sec

2

 

 

sin cos 

2







2







三 角 函 數 的 定 義

0 2

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課本 P.

2- 2

3. 倒數關係：

(1) 和 互為倒數，即 。

(2) 和 互為倒數，即 。

(3) 和 互為倒數，即 。

4. 商數關係 : (1)

(2)

2-2.3 三角函數的關係式

87

sin2





^

^{ }

tanθ= sinθ

cosθ cotθ= cosθ

sinθ

cos2







 

tan2







 

課本P.

例題 6

利用餘角關係，將下列三角函數值以小於 之角度 的

三角函數值表示：

(1) (2) (3)

89

解

 45

   

sin70 = sin(90 - 20 ) = cos20



(1) sin70 (2) tan60  (3) csc72 

   

tan60 = tan(90 - 30 ) = cot30

   

csc72 = csc(90 - 18 ) = sec18

課本P.

隨堂練習

求 之值 。

原式

6

解

   

tan22 - sec35 - cot68 + csc55

     

   

= tan22 - sec35 - cot(90 - 22 ) + csc(90 - 35 )

= tan22 - sec35 - tan22 + sec35

= 0

課本P.

例題 7

求 之值 。

原式

=1+1-1=0

89

解

2    ²  ²  ²  2  

sin 40 = csc33 sec 48 - tan 48 + cos 40 + cot 33 = cos20

     

2 2 2 2 2 2

= (sin 40 + cos 40 ) + (sec 48 - tan 48 ) - (csc 33 - cot 33 )

課本P.

隨堂練習

求 之值 。

原式

=-1+1=0

7

解

2  2   2  2 

cot 57 - csc 57 cos 55 + sin 55

2



  )

  

= -(csc 57 - cot 57 (sin 55 cos55 )

課本P.

例題 8

設 為銳角，求 之值

。

由倒數關係式可知

所求

90

解

1 1

1 + cos + 1 + sec



 

1 1 cos

1 + sec 1 + cos cos + 1



  

1  cos 1 + cos 1 + cos = 1



 

課本P.

隨堂練習

求 之值 。

所求

8

解



 

1 sin5

= + = 1

1 + sin5 sin5 + 1

 

1 1

1 + sin5 + 1 + csc5

課本P.

例題 9

設 為銳角，已知 ，求 之值 。

原式 ( 分子、分母同除以 )

90

解

2cos + 3sin 5cos sin

 

  



cos tan = 2

cos sin

2 + 3

cos cos cos sin 5cos cos

 

 

  

 

 2 + 3tan 2 + 3 2 8

= =

5 tan 5 - 2 3



 

課本P.

隨堂練習

設 為銳角，已知 ，求 之值 。

原式 ( 分子、分母同除以 )

9

解

 cot = 3 5cos + 3sin

5cos 3sin

 

  



cos sin 5 + 3

sin sin cos sin

5 3

sin sin

 

 

  

 

sin

 



5cot + 3 5 3 + 3 18 3

= = =

5cot 3 5 3 - 3 12 2



 

課本P.

例題 10

設 為銳角，證明 。

( 因為 ) 。

91

解

tan + cot = 1

sin cos

 

 



2 2

sin  cos sin cos

tan + cot = =

cos sin sin cos

   

 

   

 1

sin cos  sin + cos = 1² ²

課本P.

隨堂練習

設 為銳角，證明 。

10

解

 sec² + csc² = sec csc² ²

2 2

2 2

2 2 2 2

1 1 

 sin cos

sec + csc = +

cos sin sin cos

 

 

   

2 2 2 2

1  1  1

= sin cos  cos  sin 

2 2

= sec csc  

課本P.

例題 11

設 為銳角，已知 ，求 。

將 兩邊平方，

得 ，

， 故 。

由商數關係式可知

92

解

sin cos = 1

   3



 

sin cos 1 9

tan + cot = =

cos sin sin cos 4

 

 

   

2 2 1

sin 2sin cos + cos =

     9

tan + cot 

sin cos = 1

   3

1 2sin cos = 1

   9

sin cos = 4

  9

課本P.

隨堂練習

設 為銳角，已知 ，求 。

將 兩邊平 方，

得 ，

， 故 。

11

解

 4

sin + cos =

  3 sin + cos 

sin + cos = 4

  3

1 + 2sin cos = 16

  9

2 2 16

sin + 2sin cos + cos =

    9

sin cos = 7

  18

課本P.

習題 2-2

1. 直角 中， ， ，若 ＝ 10 ，求

、 長及 、 之值。

解

ABC C = 90 3

sin =

A 5 AB

AC BC ^{tanA secA}

課本P.

習題 2-2

1. 直角 中， ， ，若 ＝ 10 ，求

、 長及 、 之值。

解

ABC C = 90 3 sin =

A 5 AB

AC BC ^{tanA secA}

課本P.

習題 2-2

2. 試求下列各式的值：

(1) 。

(2) 。

(1)

(2) 解

2  1 2  2  2 

tan 60 - sec 60 + 4tan 45 - 4sin 30 2

2 ππππ 

3tan sin sec + cos

6 4 4 3

課本P.

習題 2-2

3. 利用三角函數的各種關係式求下列各式的值：

(1) 。

(2)

。

(3)

。

(1)

(2) (3) 解



 



2 ππππ 2 2 2

sin csc - cot + cos

9 7 7 9

     

sin 3 cos 4 tan 5 cot 5 sec 4 csc 3

課本P.

習題 2-2

4. 警隊中一狙擊手進行訓練，需在大樓高度為 25 公尺 的屋頂上，瞄準地面上的目標。若經由儀器判斷其與 目標的直線距離為 50 公尺，則子彈發射的角度應和水 平線夾幾度角？

解

課本P.

習題 2-2

5. 已知 ，求 之 解 值。

cot = 3

 4 4cos + 5sin 4cos 5sin

 

  

課本P.

習題 2-2

6. 已知 ，求下列各式的 值：

解

sin - cos = 1

  2

(1) sin cos  (2) tan + cot  (1)

(2)