二、因式分解 2-1

(1)

二、因式分解

2-1 因式與倍式

如同因數與倍數的概念，如果代數式 A 可以寫成代數式 B 與代數式 C 的乘積，即

A  B ^ C。

此時，我們說 B 與 C 是 A 的因式，而 A 是 B 與 C 的倍式。例如：由

2 3 2 ( 1)( 2)

x  x  x x ，可知 x1與 x2皆為 x²3x 的因式，而2

2 3 2

x  x 為x1與x2的倍式；由 x² y² (x y x y )(  )，可知 x y 與 x y 皆為x² y²的因式，而x² y²為 x y 與 x y 的倍式。下面就讓我們先從多項式的除法來認識因式與倍式。

【多項式的除法^】

在小學時，我們會以下列的長除法（直式算法）來求出58 除以 13 的商數為4，餘數 6：

同時，我們也知道：

58  13 ^ 4  6

類似於自然數的除法，多項式的除法運算也有直式算法（長除法）；

為了簡化計算，也常使用分離係數法。事實上，這兩種方法的差別在於計算過程中，有沒有將文字符號寫出來而已。

【範例1】求(x²4x2) (  的商式及餘式。x 1)

【解】 方法一：直式算法方法二：分離係數法 13 11 ） 142 11 32 33 1 4

13 ） 58 52 6

x3 x1 ） x²4x2 x²x 3x2 3x3 1

(2)

答：商式為

x  3

^，餘式為

 1

^。

在自然數的除法，我們有下列的規則：

被除數  除數 ^ 商數  餘數，

其中，商數和餘數為非負整數，且餘數小於除數。同樣的，在多項式的除法中，我們也有類似的規則：

被除式  除式 ^ 商式  餘式，

其中，除式不為零多項式，商式的次數等於被除式的次數減去除式的次數，

且餘式的次數要小於除式的次數或為零多項式。

在完成多項式的除法後，為了驗證所得結果是否正確，除了重新檢視運算過程外，也常用上述「被除式 = 除式 ^ 商式  餘式」的概念來驗算。

例如： ⁽^x^¹⁾⁽^x^{  }^{3) ( 1)} （除式^商式  餘式）

 _x²_₄_x_{ }_{3 1}

 x²4x2 　　　（被除式）

【範例2】求(2x³5x²    的商式及餘式。x 5) (x 2)

【解】

答：商式為2x² x  1，餘式為 7。

使用分離係數法時，當除式或被除式缺項時，需要補0。

【範例3】求(3x² 2)^(2x  1)的商式及餘式。

【解】　　因為3x² 2 3x²  0 x 2，所以用3  0  2 來表示 3x² 2。

211

12 ） 2515 24

11

12

15

12

7

21 ） 3 0 2 3

2 x (x1)

3 (x1)

(3)

答：商式為³ 2x  ³

4，餘式為2³ 4。

【範例4】求(6x³7x²4x 8) (3x²  的商式及餘式。x 2)

【解】

答：商式為2x  3，餘式為 3x  2。

【範例5】求(3x³ 8x² 7x  2)^(x² 2x  1)的商式及餘式。

【解】

答：商式為3x  2，餘式為 0。

【類題練習1】求下列各除法運算的商式及餘式：

(1) (2x²   x 5) (x 3) (2) ( 6 x²5x 1) (2x1) (3) (x⁴  1) (x1) (4) ⁽²^x² ^⁵^x⁾^⁽^x^⁵⁾

當餘式為零多項式時，我們稱除式整除被除式，例如：在範例5 中，

x² 2x  1 整除 3x³ 8x² 7x  2。這時，x² 2x  1 與 3x  2 為 3x³ 8x² 7x  2 的因式，而3x³ 8x² 7x  2 為 x² 2x  1 與 3x  2 的倍式；而在範例 4 中，

所得到的餘式 3x  2 不為零多項式，所以3x²  x 2與 2x  3 都不是

32

121 ） 3872 363

242

0

23

312 ） 6748 624

908

936

32

(4)

3 2

6x 7x 4x8的因式。

我們知道兩個x 的一次式乘積展開後成為 x 的二次多項式。反過來說，

如果能將一個x 的二次式寫成兩個 x 的一次式的乘積，我們稱這樣的過程 為這個二次式的因式分解。

在高中的課程中，我們也會將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積，這樣的過程也稱為這個多項式的因式分解。例如：

2 2

x    (x x1)(x2)

3 6 2 11 6

x  x  x  = ⁽^x^¹⁾⁽^x^²⁾⁽^x^³⁾

在國中階段做因式分解時，我們只考慮因式的係數為有理數（整數或分數）的情形。但從此以後，我們將不再要求因式的係數一定是有理數。

在2-2 至 2-4 節中，我們將介紹幾個常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式，並且在2-5 節中補充利用配方法做因式分解。

【重點整理】

1. 判別兩多項式是否為因倍式關係時，可使用除法所得餘式是否為 0 來判斷。

【家庭作業】

基礎題

1. 求下列各除法運算的商式及餘式：

(9x218x 8) (3x4) (7x²11x 3) (2x3) (x3  1) (x 1) (x³2x  1) (x 5)

4 3 2

(x 2x   x 4) (x 3x2) (x⁴ 1) (x² 1) 2. 已知³^x³ ^⁶^x^¹³^³⁽^ax^^b⁾⁽^x² ^²^x^²⁾^¹，求a、b 的值。

3. 已知某多項式除以⁽²^x^¹⁾，可得商式⁽^x² ^{ x}² ^¹⁾，餘式3，求此多項式。

因式分解

乘積展開因式分解

乘積展開

(5)

4. 已知4x³13xk可被⁽²^x^¹⁾整除，求k 的值。

5. 已知一長方體的體積為x³ 4x² x6、長為x3且寬為x2，求此長方體的高。

進階題

6. 若多項式 A 除以²^x^¹得商式B，餘式為 3；多項式 B 除以x 得餘2 式為 ，求多項式 A 除以2 ⁽²^x^¹⁾⁽^x^²⁾所得的餘式。

7. 求以x1除(x²1)¹⁰x²  所得的餘式。x 1

(6)

2-2 提公因式作因式分解

【從各項提公因式】

如果發現多項式的每一項都有共同的因式時，我們可先將此公因式提出。

【範例1】因式分解下列多項式：

(1) x² 5x (2) (a b )²2(a b ) (3) (x2 )y ²(2y x )³

【解】 (1)

x

²

 5 x

^

x x    5 x

^

x x (  5)

(2) (a b )² 2(a b )  (a b)( a b) 2( a b)

 (a b)[(a b) 2]

 (a b)(a b 2) (3) (x2 )y ²(2y x )³  (x2 )y ² (x 2 )y ³

 (x2 ) [1 (y ²  x 2 )]y

 (x2 ) (1y ²  x 2 )y

【類題練習 1】因式分解下列多項式：

(1) ⁴^x²^⁶^x (2) 7(a b )² 3(a b ) (3) (x y )²(y x )³

【分組提公因式】

當各項沒有公因式時，可嘗試分組或去括號重新分組，使得每組之間有公因式。

(1)

x

³

 x

²

  x 1

^{(2) 2}^xy^⁵^x^⁴^y^¹⁰ (3) 2ax²3x2ax3 (4) xy(1z²)z x( ² y²)

【解】 (1) ^x³^^x² ^{ }^x ¹ x x²(  1) (x1)

 (x1)(x²1)

(7)

(2) 方法一：

2xy5x4y10 (2xy5 ) (4x  y10)

 x y(2  5) 2(2y5)

 (2y5)(x2) 方法二：

2xy5x4y10 (2xy4 ) (5y  x10) （交換律）

 2 (y x 2) 5(x2)

 (x2)(2y5) (3) 方法一：

2ax23x2ax3 (2ax² 3 ) (2x  ax3)

 x ax(2  3) (2ax3)

(2ax3)(x1) 方法二：

2ax23x2ax3 ₍₂_ax²__{2 ) (3}_ax _ _x_₃₎

2 (ax x 1) 3(x1)

(x1)(2ax3) (4) 可嘗試去括號展開後，再重新分組。

2 2 2

(1 ) ( )

xy z z x  y  xy xyz ² zx² zy²

 (xy zx ²) ( xyz²zy²)

 (x y zx )yz xz y(  )

 (x y xz )yz y xz(  )

 (y xz x yz )(  )

【類題練習2】因式分解下列多項式：

(1)

x

³

 x

²

  x 1

^{(2) 2}^xy^³^x^⁴^y^⁶ (3) 5ax²2x5ax2 (4) ab(1c²)c a( ² b²)

從前面的例子我們可以看出，某些多項式可能有不只一種分組的方

(8)

式來做因式分解。

【重點整理】

1. 若代數式各項有公因式時，先將此公因式提出來做因式分解。

2. 若代數式各項沒有公因式時，可嘗試分組或去括號重新分組，再提公因式來做因式分解。

【家庭作業】

基礎題

1. 因式分解下列多項式：

ax x

2 3a b² 6ab²

x x

x( 2)2 (a2)(b 3) 4(2a)(3b)

3(a 3) (a2 3 )a 2ab a 6b3 進階題

4 2 ) 2

(x ²  x (x2)³ (2x)(x² 4x1) x

a b bx

ax )² ( )³

(    x³2x² 2x1

(9)

2-3 十字交乘法作因式分解

在多項式的乘法運算中，我們學過

(ax b cx d )(  )acx2(ad bc x bd )  ，其中各項的係數可以用十字交乘的方式來求得

因此，我們可以嘗試利用上面的方法來因式分解二次多項式。

(1) x² x 90 (2) 6x y² ² xy15

【解】 (1) x² x 90 (x9)(x10)

(2) 6x y² ² xy15 (3xy5)(2xy3)

【類題練習1】因式分解下列多項式：

(1) 5x²2x51 (2) 380 x x  ²

(1) 3 1 3

2  x4 

x (2) ² ¹⁰ ¹ x  3 x

【解】 (1) 方法一:

3 1 3

2 x4 

x  ² 1 1

(1 ) (1 )

3 3

x   x 

9 10 x

x

 



3 5

2 3

xy xy

 



1 1/3





 x x ac bd

adbc a b c d

常數項項係數

x^項係數

(10)

 1 ( 1)( )

x x3 方法二: ^x²^{ x}₃⁴ ^₃¹  (3 4 1)

3 1 ₂



 x x

 (3 1)( 1) 3

1 x x

(2) ² ¹⁰ ¹

x  3 x  (3 10 3) 3

1 ₂



 x x

 (3 1)( 3) 3

1 x x

在範例2 第(1)題中， 1 ( 1)( )

x x3 和 ⁽³ ¹⁾⁽ ¹⁾

3

1 x x 都是

3 1 3

2  x4 

x 的

因式分解。事實上，在範例2 第(2)題中， ⁽³ ¹⁾⁽ ³⁾

3

1 x x 、 1

( )( 3) x3 x 和 (3 1)(1 1)

x 3x 都是 ² ¹⁰ 1

x  3 x 的因式分解。換句話說，若多項式的係數有分數時，可將原多項式改寫成1 ²

(ax bx c)

d   的形式，其中 a、b、c、d 為整 數，再對ax²bx c 做因式分解。

【類題練習2】因式分解下列多項式：

(1) ² ² ⁵ ³

x 2x (2) 6 ² 13 5x  5 x1

【重點整理】

1. 我們可嘗試引用十字交乘

3 1 3 x x

 

 3 1

1 x x

 



ac bd

adbc a b c d

(11)

來做因式分解。

【家庭作業】

基礎題

33

2 14x

x 5x²5x10

2 10

2  x3 

x 9x²35x4

2 2

7a 14ab105b 2(x y )²3(y x ) 5

pq x q p

x² (  )  ax²(a b x b )  進階題

4 2

4x 13x 12 ⁽^{a b a b}^ ⁾⁽ ^{  }^{4) 12}

xy y

x y

x 4 )( 4 ) 6

(    1) 1

2 (  x

a a x 7

) ( 3 ) 1

(x² x ²  x² x  (x²3x5)(x²3x 1) 3

(12)

2-4 利用乘法公式做因式分解

對於某些多項式，我們可直接利用乘法公式來作因式分解。

【完全平方公式】

2 2 2

(a b ) a 2ab b

2 2 2

(a b ) a 2ab b

2 2 2 2

(a b c  ) a b  c 2ab2bc2ca

【範例1】利用完全平方公式，因式分解下列各式：

(1) a²6a9 (2) 4x² 12xy9y² (3) (x2 )y ²6(x2 )(y y x ) 9(x y )² (4) a² b²c²2ab2bc2ca

【解】 (1) a²6a9



_a²_{   }₂ _a _{3 3}²



(a3)²

(2) 4x² 12xy9y²



(2 )x ² 2 (2 ) (3 ) (3 )x  y  y ²



(2x3 )y ²

(3) (x2 )y ²6(x2 )(y y x ) 9( x y )²



(x2 )y ²  2 (x 2 ) [3(y  x y )] [3( x y )]²



[(x2 ) 3(y  x y )]²



( 2 x 5 )y ² （或寫成(2x5 )y ²） (4) a²b²c² 2ab2bc2ca



(a² 2ab b ²) (2 bc2 )ca c²



(a b )² 2 (c b a )c²



(a b )² 2 (c a b ) c²

(13)



(a b c  )²

【類題練習1】利用完全平方公式，因式分解下列各式：

(1) a² 10a25 (2) 16x² 40xy25y² (3) (x y )² 10(x y y x )(  ) 25(x y )² (4) a² b² c²2ab2bc2ac

【平方差公式】

2 2 ( )( )

a b  a b a b 

【範例2】利用平方差公式，因式分解下列各式：

(1) x²  (x 2 )y ² (2) 9 ( a2)² (3) x² y²2yz z ²

【解】 (1) x² (x 2 )y ²



[x (x 2 )][y x (x 2 )]y



(x x 2 )(y x x 2 )y



(2x2 )( 2 )y  y



2(x y )( 2 ) y



4 (y x y ) (2) 9 ( a 2)²



3² (a2)²



[3 ( a2)][3 ( a 2)]



(3 a 2)(3 a 2)



(a5)(1a)

(3) x² y² 2yz z ²



x² (y² 2yz z ²)

(14)



x²(y z )²



[x (y z x)][  (y z)]



(x y z x y z  )(   )

【類題練習2】利用平方公式，因式分解下列各式：

(1) a⁴ 2a² 1 (2) (2x1)² 4(2x 1) 4 (3) a² b² 2b1 (4) x⁴y⁴

【完全立方公式】

3 3 2 3 2 3 ( )3

a  a b ab b  a b

3 3 2 3 2 3 ( )3

a  a b ab b  a b

【範例3】利用完全立方公式，因式分解下列各式：

(1) x³ 3x² 3x1 (2) ⁸^x³ ^¹²^x²^y^⁶^xy² ^ ^y³ (3) 2727x9x² x³

【解】 (1) x³3x²3x1x³3x²13x1²1³ )3

1 ( 

 x

(2) ⁸^x³^¹²^x²^y^⁶^xy² ^^y³ ^⁽²^x⁾³^³^⁽²^x⁾²^^y^³^⁽²^x⁾^^y² ^^y³

)3

2 ( x y



(3) 2727x9x² x³ 3³33²x33x²x³ )3

3 ( x



【類題練習3】完全立方公式，因式分解下列各式：

(1) x³ 3x² 3x1 (2) ⁸^x³ ^¹²^x²^y^⁶^xy² ^ ^y³ (3) 2727x9x² x³ (4) ²⁷^x³ ^⁵⁴^x²^y^³⁶^xy² ^⁸^y³

(15)

【立方差與立方和】

2 2

(a b a )( ab b )  a³b³

2 2

(a b a )( ab b )  a³b³

【範例4】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：

(1) x³1 (2) a³8b³ (3) x⁶ y⁶

【解】 (1) x³1



_x³_₁³



(x1)(x²   x 1 1 )²



(x1)(x²  x 1) (2) a³ 8b³



a³ (2 )b ³



[a(2 )][b a² a (2 ) (2 ) ]b  b ²



(a2 )(b a² 2ab4 )b² (3) x⁶ y⁶



( )x^{3 2}( )y^{3 2}



(x³ y³)(x³y³)



(x y x )( ²xy y ²)(x y x )( ²xy y ²)

【類題練習4】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：

(16)

(1) ^x³ ^₂₇¹ (2) 8a³ 125b³

(3) x³x² 2 (4) a⁶64b⁶

在範例4 的第(3)題中，也可以將

x

⁶

 y

⁶寫成

( ) x

^{2 3}

 ( ) y

^{2 3}，因此得到：

6 6

x  y  ( ) x

^{2 3}

 ( ) y

^{2 3}

 ( x

²

 y

²

)[( ) x

^{2 2}

 x y

² ²

 ( ) ] y

^{2 2}

 ( x

²

 y

²

)( x

⁴

 x y

² ²

 y

⁴

)

事實上，

x

⁴

 x y

² ²

 y

⁴可以再分解，我們將在下一個單元裡，介紹它的分解方法。

【重點整理】

1. 我們可嘗試利用下列的乘法公式：

【完全平方公式】 a²2ab b ² (a b )²；

【平方差公式】 a²b² (a b a b )(  )；

【完全立方公式】 a³3a b² 3ab²b³ (a b )³；

【立方和、差公式】 a³b³(a b a )( ²ab b ²)，來做因式分解。

【家庭作業】

基礎題

1. 因式分解下列各式：

2 14 49

x  x 3x²12x12

2 4 ( ) 4( )2

x  x b a  a b 2x²18

1 2

(3 )

4 a _a⁴_₈_{a b}^{2 2}_₁₆_b⁴

(17)

3 3

2x 16y 8125x³

進階題

2. 因式分解下列各式：

2 2 6 9 2

x y  yz z ⁽¹^^ab⁾² ^⁽^a^^b⁾²

2 2

(a 1)(b  1) 4ab

9 4 3 2 4

1a₂  a

3 2 36

x x  x⁴x³ 4x² 3x3

3. 已知a b  ，3 ab ，求下列各式的值：2 a² b² 4a²ab4b² a³b³

(18)

2-5 利用配方法作因式分解

利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介紹的方法，可以處理一些特殊多項式的因式分解，這裡需要一些拆項(分項) 或補項(加減項)的技巧，要多練習。

【完全平方公式】 a²2ab b ² (a b )²

【平方差公式】 a² b² (a b a b )(  )

【完全立方公式】 a³3a b² 3ab²b³ (a b )³

【立方和、差公式】 a³ b³ (a b a )( ² ab b ²)

(1) x²  x4 5 (2) 3a²  a4 1

(3)

a

⁴

 a

²

 1

⁽⁴⁾9x⁴5x² 1

【解】 (1) x²  x4 5



_x²_{  }₂ _x ₂_₂² _₂²_₅



₍_x₂₎²₉



₍_x₂₎²₃²



(x5)(x1) (2) 3a²  a4 1



(3a²a²)a²4a1



₄_a²_₄_a_{ }₁ _a²



(2a1)² a²



(3a1)(a1)

(3) a⁴ a² 1



_a⁴₍_a²_a²₎_a²₁



_a⁴_₂_a²_{ }₁ _a²



(a² 1)² a²



(a²  1 a a)( ² 1 a)

(19)



(a²  a 1)(a² a 1) (4) 9x⁴5x²1



9x⁴(5x²x²)x²1



₉_x⁴_₆_x² _{ }₁ _x²



(3x² 1)²x²



(3x²  1 x)(3x²  1 x)



(3x²  x 1)(3x²  x 1) 事實上，在範例1 的第(3)題中，所見到的

2 2

(a  a 1)(a  a 1)



_a⁴ __a² _₁ 也是一個常見的乘法公式。

【類題練習1】因式分解下列各式：

(1) x²  x2 3 (2) 5a²  a12 4

(3)

a

⁴

 a b

^{2 2}

 b

⁴ (4) 9x⁴11x² 4

(1) x³ (2) y³ x⁴4

【解】 (1) 雖然可以直接引用立方差公式來因式分解，我們也可以用補項的概念來因式分解x³ 。y³

3 3

x y



x³3x y² 3xy²y³3x y² 3xy²



(x y )³3 (xy x y )



(x y )[(x y )²3 ]xy

(20)



(x y x )( ²2xy y ²3 )xy



(x y x )( ²xy y ²)

(2) 很顯然，x⁴4無法直接使用平方差公式來分解。所以，我們嘗試用補項的方法來克服困難。

4 4

x 



_x⁴_₄_x² _₄_₄_x²



(x²2)²(2 )x ²



(x² 2 2 )(x x² 2 2 )x



(x²2x2)(x²2x2)

在國中時期，因為我們要求因式分解後的各個因式的係數皆為有理數，

所以有些二次式無法分解。如果允許因式的係數可為任意實數，那麼我們就可以用配方法來分解它。

【範例3】因式分解x²4x1。

【解】 x² 4x1



_x²_₄_x_₄_₄_₁



(x2)² 3



₍_x_₂₎²__{( 3)}²



₍_x_{ }₂ ₃₎₍_x_{ }₂ ₃₎

【類題練習2】利用配方法的技巧，來因式分解下列各式：

(1) x²8x9 (2) x³y³ (3) x⁴64

【重點整理】