97 年 數學科 學科能力測驗試卷

97 年 數學科 學科能力測驗試卷

__________科__________班　學號__________姓名__________

總 分 　　　

第 ﹕選 60 分 一部分 擇題（佔 ）

一 25 分 、單選題（佔 ）

說 ﹕第1 至5 題﹐每 ﹐每 5 分﹐答 ﹒ 明 題選出最適當的一個選項 題答對得 錯不倒扣

( 　 )1. 對

^x

而 27

^x

²

² 3

　 任意實數 言﹐

  

 

 

的 　(1)3 　 (2)

3 3

　(3)9 　 (4)27 　(5)

81 3

﹒ 最小值為

﹝ 第 CH1﹞ 二冊

( 　 )2. 在 ERA 　 職棒比賽中

值

ⁿ

是了解一個投手表現的重要統計數值﹒其計算方式如下﹕若此投手共主投

局

E

﹐ ERA 值

E

9 ﹐其總責任失分為 則其 為

n

 ﹒ 90 有一位投手在之前的比賽中共主投了

局 90 局 ERA 值 3.2﹒ 在 6 ﹐且這 中他的 為 最新的一場比賽中此投手主投

局 ERA 值 　(1)2.9 　 (2)3.0 　 (3)3.1 　 無責任失分﹐則打完這一場比賽後﹐此投手的 成為

(4)3.2 　(5)3.3﹒ ﹝ 第 CH1﹞ 一冊

( 　 )3. 有 30﹑50 　 一個圓形跑道分內﹑外兩圈﹐半徑分別為

公 尺

﹒ 今甲在內圈以等速行走﹑乙在外圈以等速跑步﹐且知甲每走一圈﹐乙恰跑了兩圈﹒若甲走了

45 公 　 (1)90 公 (2)120 公 (3)135 公 (4)150 公 (5)180 尺﹐則同時段乙跑了 尺　 尺　 尺　 尺　

公 ﹝ 第 CH1﹞ 尺﹒ 一冊

( 　 )4. 某 O 以 0 到 9 　 地區的車牌號碼共六碼﹐其中前兩碼為 外的英文大寫字母﹐後四碼為

的 4﹒ 例 AA1234﹐AB4434 阿拉伯數字﹐但規定不能連續出現三個 如﹕

為 AO1234﹐AB3444 為 A 可出現的車牌號碼﹔而 不可出現的車牌號碼﹒則所有第一碼為

且 4 的 　 (1)

25 9  ³

　(2)

25 9 10   ²

　(3)

25 900 

　(4)

25 990 

　 最後一碼為 車牌號碼個數為

(5)

25 999 

﹒ ﹝ 第 CH2﹞ 四冊

( 　 )5. 廣 小 站 小 　 場上插了一支紅旗與一支白旗﹐ 明 在兩支旗子之間﹒利用手邊的儀器﹐ 明

測 6 倍 小 往 10 出他與正東方紅旗間的距離為他與正西方白旗間距離的 ﹔ 明 正北方走了

公 4 尺之後再測量一次﹐發現他與紅旗的距離變成他與白旗距離的

倍 　 (1)60 公 (2)65 公 (3)70 ﹒試問紅白兩旗之間的距離最接近下列哪個選項﹖ 尺　 尺　

公 (4)75 公 (5)80 公 ﹝ 第 CH2﹞ 尺　 尺　 尺﹒ 二冊

二 35 分 、多選題（佔 ）

說 ﹕第6 至 12 明

題

﹐ 每

題 的五個選項各自獨立﹐其中至少有一個選項是正確的﹒每題皆不倒扣﹐五個選項全部答對者得

5 分 2.5分 ﹐只錯一個選項可得 ﹐錯兩個或兩個以上選項不給分﹒

( 　 )6. 試

^x

軸 (1)

y x   100

　 　 問﹕在坐標平面上﹐下列哪些選項中的函數圖形完全落在 的上方﹖　

(2)

y x  ²  1

　(3)

y   2 sin x

　 (4)

y  2 ^x

　(5)

y  log x

﹒ ﹝ 第 CH3﹞ 二冊

( 　 )7. 某 20 個 40 位 25 人 15 人 　 高中共有 班級﹐每班各有 學生﹐其中男生 ﹐女生 ﹒若從全校

800 人 80 人 　 (1) 中以簡單隨機抽樣抽出 ﹐試問下列哪些選項是正確的﹖

每 班至少會有一人被抽中　

(2) 抽 (3) 已 小 是 小 是 小 出來的男生人數一定比女生人數多　 知 文 男生﹐ 美 女生﹐則 文

被 小 被 (4) 抽中的機率大於 美 抽中的機率　

若 學 生 甲 和 學 生 乙 在 同 一 班

﹐ 學生丙在另外一班﹐則甲﹑乙兩人同時被抽中的機率跟甲﹑丙兩人同時被抽中的機率一樣　

(5) 學

A

和

B

是 1 生 學生 兄弟﹐他們同時被抽中的機率小於

100 ﹒ ﹝ 第 CH3﹞ 四冊

( 　 )8. 已

a ₁

﹐

a ₂

﹐

a ₃

為

b ₁

﹐

b ₂

﹐

b ₃

　 知 一等差數列﹐而

為 　 (1)

a 1  a 2

與

a 2  a 3

一等比數列﹐且此六數皆為實數﹒試問下列哪些選項是正確的﹖

可 (2)

b 1  b 2

與

b 2  b 3

可 (3) 若

a 1  a 2  0

﹐

a 2  a 3  0

　 (4) 能同時成立　 能同時成立　 則

若

b b _{1 2}  0

﹐

b b 2 3  0

　 (5) 若

b 1

﹐

b ₂

﹐

b 3

皆

b ₁  b ₂

﹐

b ₁

整

b ₂

﹒ 則 為正整數且 則 除

﹝ 第 CH2﹞ 一冊

( 　 )9. 已

A

﹐

B

兩

A

﹐

B

兩 　 知在一容器中有 種菌﹐且在任何時刻 種菌的個數乘

積 為定值

10 10

﹒ 為了簡單

起

見 ﹐科學 用 記 錄 家

P A  ^log   n A

來

A

菌 資料 ﹐其中

n _A

為

A

個數的

菌 　(1)

1  P _A  10

　 (2) 當

P _A  5

時

B

菌 的個數﹒試問下列哪些選項是正確的﹖ ﹐ 的個數與

A

菌 相 的個數

同

　 果 週 五測得 示 週 (3) 如 上 一測得

P _A

值 4 而 週

P _A

值 8﹐ 表 上 五 為 上 為

A

菌 週 的個數是上

一 的 的

A

菌 2 倍 (4) 若 天

P _A

值 昨天 1﹐ 則 天

A

個數的 　 今 比 增 今 加

菌 昨天 多了 10 個 (5) 假 科學 家將

B

菌 控制 為5 萬 比 　 設 的個數

個 ﹐ 則 此時

5  P _A  5.5

﹒

﹝ 第 CH1﹞ 二冊

( 　 )10. 已 　 知實

係 數多項式

^{f x}  

^與

^{g x}   ^{ x 3  x 2  2}

^{有 0 次數大於}

的 因 公

式

﹒

試  問 下 列哪些選項是正確的﹖ 　 (1)

^{g x}   ^{ 0}

^{恰 根 (2)}

^{f x}   ^{ 0}

^有一實

必

有 根 ^{﹐則此實 根必 為} 實 　 (3) 若

^{f x}   ^{ 0}

^與

^{g x}   ^{ 0}

^{有 根 1 　 (4) 若}

^{f x}   ^{ 0}

^{與 共同實}

  ⁰

g x 

有 根 共同實

﹐

則 ^{式為一次式}

^{f x}  

^與

^{g x}  

^{的 因 (5) 若}

^{f x}   ^{ 0}

^{與 最高公}

  ⁰

g x 

沒

有 根 ^{式為二次式} 共 ^﹒ 同 實 ﹐則

^{f x}  

^與

^{g x}  

^{的 因 最高公}

﹝ 第 CH3﹞ 一冊

( 　 )11. 設 　

坐 空 條直線 式分別 標 為 間中三

L ₁

﹐

L ₂

﹐

L 3

的 程

₁

3 4 方

:1 6 8

x y z

L

    ﹔

2

3 4 :1 3 4

x y z

L

    ﹔

₃

:

1 3 4

x y z

L

  ﹒ 　 (1)

L 1

與

L ₂

相 　 試問下列哪些選項是正確的﹖ 交

(2)

L ₂

與

L 3

平 (3) 點

^P  ^{0, 3, 4  } 

與

^Q  ^0,0,0 

的 行　 距離

即 點 距離　 為

P

到

L 3

的 短 最

(4) 直 線

0

: 3 4

4 3

x

L y z

 

  

 

 



與

直 垂 　 直 線 直 線

L ₁

﹐

L ₂

皆 (5) 三

L ₁

﹐

L ₂

﹐

L 3

共 平面﹒

﹝ 第 CH2﹞ 三冊

( 　 )12. 設

 : x ²  y ²  10 x   9 0

為 　 (1)



　 坐標平面上的圓﹒試問下列哪些選項是正確的﹖

的 心 圓

坐 標

為 與 距離等 於

  ^5,0

　 (2)



上 點 直線

L x : 3  4 y  15 0 

的 遠 4 　 (3) 直 的 最 線

1 : 3 4 15 0

L x  y  

與



相 　 (4)



上 切 恰有兩個

點 直線 與

L 2 : 3 x  4 y  0

的 2 　 距離等於

(5)



上 恰有四個

點 直線 與

L 3 : 3 x  4 y   5 0

的 2﹒ ﹝ 第 CH3﹞ 距離等於 三冊

第 ﹕選 二部分

填 題（ 40 分 佔 ）

說 ﹕第A至H題 每 5 分﹐答 ﹐未 明 ﹐ 題完全答對給 錯不倒扣

完 全 答 對不給分 ﹒

A. 令

^A  ^{ 1,6,0} 

^﹐

^B  ^{3, 1, 2  } 

^﹐

^C  ^{4, 4,5} 

^{為 坐標}

空 點 空 且 間中三 ﹒若

_D

為 間中 點 滿足 的 一

3 DA      4 DB  2 DC  0

^{﹐ 點}

^D

^的 ____________﹒ ﹝ 第 CH2﹞ ^{則 坐標為} 三冊

B. 在 坐標平面上﹐

設 直 ﹐ 點 段 坐標為 線

_A

為

3 x y   0

上 點

_B

為

x

軸 ﹒若 線

_AB

的 點 一 上一 中

7,6 2

 

 

 ﹐ 點

A

的 ____________﹐ 點

B

的 ____________﹒ ﹝ 第 CH1﹞ 則 坐標為 坐標為 一冊

C. 坐 標平面上﹐以

原

點 的圓上 相異點 有 三 個

O

為 心

^A   ^1,0

^﹐

B

﹐

C

﹐

_{AB BC }

圓 且

﹒ 已知

銳

角 三 形 為 角

OAB

的 積 3 面

10 ﹐ △

OAC

的 積 則 面

為 化 ____________﹒ （ 為最 簡 分 數）

﹝ 第 CH3﹞ 二冊

D. 設

F ₁

與

F ₂

為 雙曲線 坐標平面上

2

:

2

1 8

x y

   的 兩個

焦

點 ﹐且 ﹒若

^P  ^{ 4,1} 

為



上 點

 F PF _{1 2}

一

的

角 與 交 點 平分 線

^x

軸 於

D

﹐

D

的

^x

坐 ____________﹒ ﹝ 第 CH1﹞ 則 標為 四冊

E. 設

^O  ^0,0,0 

^{為 坐標}

空 長 體 頂點 ﹐且知 間中某 方 的一個

 ^{2, 2,1} 

^﹐

 ^{2, 1, 2  } 

^﹐

 ^{3, 6,6 } 

為 長 此

方 中與 此 方 包含頂點 體

O

相 的三 頂點 ﹒若平面

E x by cz d :   

將 長 體截 成兩部分﹐其 鄰 中

O

的

那 ﹐則 一部 體

 ^{b c d , ,}  ^

____________﹒ ﹝ 第 CH2﹞ 分 三冊 是 個正立方

F. 設

^a

﹐

b

為

_b ² _{ 9 a}

﹐

a  2 b  280

﹐

^a

的 ____________﹒ 正整數﹒若 且 則 最小可能值為

﹝ 第 CH1﹞ 一冊

G. 坐 標平面上有一

質 點

沿 向 ^{進 在此平面上 一} 使 到 方

 ^u

^

 

^{1, 2 前 ﹒現 欲 置 直線}

L

﹐ 得此 質點碰

_L

時

依 學 入射角 ） 沿 向 ^進 應 光 原理 （ 等於 反射角 反射 ﹐之後 方

 ^v

^{ }



^2,1



^{前 ﹐則 直線}

L

的 向向 量 為 方

w 



____________﹒ ﹝ 第 CH1﹞ 三冊

H. 已

O 1 :  x  7   ²  y  1  ²  144

與

O 2 :  x  2   ²  y  13  ²  9

相 ﹐且 知坐標平面上圓 切 此 兩 圓

均 直線 與

: 5

L x  

相 ﹒若



為

L

為 切 以

準 的 ﹐且同時 通過 ﹐則 焦 坐標為 線 點 拋物線

O ₁

與

O ₂

的 心



的 _ 圓

___________﹒ （

化 為最 ﹝ 第 CH1﹞ 簡 四冊 分 數）

答 案 　

第 ﹕選 一部分 擇題

一 、單選題　

　1.(3)　2.(2)　3.(4)　4.(4)　5.(1)

二 、多選題　

　6.(2)(3)(4) 　 7.(4)(5) 　 8.(2)(4) 　 9.(2)(5) 　10.(1)(3)(5)　 11.(1)(2)(4)(5) 12.(1)(2)(4)

第 ﹕選 二部分

填 題　

　A.

 ^{ 7,30,18} 

　B.

 ^4,12 

﹔

  ^3,0

C.12

25 　D.

 2

　E.

 ^{ 2, 2,9} 

F. 225 　G.

 ^{1, 3 } 

 H. 1 53 5 5,

 

 

 

解 析 　

第 ﹕選 一部分 擇題

一 、單選題

1. 27

^x

²

² 3

  

 

 

當

x  0

時 ²⁷

^{2 3}

^

 

³

^{3 2 3}

^3

²

^{9 ﹒} ﹐其值最小為

2. 9 3.2 32 90

E

   

E

（ 分）

ERA 32 96 9 3

   ﹒ 3. 甲

： 乙

 30 :100 45 : x 

∴ 45 100 30 150

x

   （ 公尺）﹒

4. □□□□

↑ ↑

^{25 10}

 ³

^{1 9}



^{25 990.}

4 4 4 4 4

 

    

5. 如 圖﹐

設

_{AW  x}

﹐

_{AR  6 x}

則

 

2 6 2 10 2

BR  x 

 36 x ²  100

2 2 10 2

BW  x 

 x ²  100

∵

_{BR  4 BW}

∴

^{BR 2  16 BW 2  36 x 2  100 16 }  ^{x 2  100} 

2 75 5 3

x    x

紅

_{7 x  35 3}

≒60.6﹒ 白兩旗之間的距離為

二 、多選題

6. (1)╳﹒

(2)○﹒

(3)○﹐

^{y   2 sin x  0}

﹒

(4)○﹐

^{y  2 x  0}

﹒

(5)╳﹒

7. (1)╳﹕不 一定﹒

(2)╳﹕不 20 人 60 人 一定﹐有可能男生 ﹐女生 ﹒

(3)╳﹕每 人抽中之機率

均 為 80 1

800 10 ﹒

(4)○﹕ 機 均 率

為 80 79

800 799 ﹒

(5)○﹕

A

﹐

B

同 時被抽中﹒

　 80 79 80 80 1 　　 800 799 800 800 100    ﹒

8. (1)╳﹕不 公 0

a ₁  a ₂  a ₃

 公 0

a ₁  a ₂  a ₃

﹒ 可能﹐ 差大於 差小於

(2)○﹕ 取

b 1   2

﹐

b ₂  4

﹐

b ₃   8

﹒ (3)╳﹕取

a 1   10

﹐

a ₂  5

﹐

a ₃  20

﹒

(4)○﹕ 取

b 1  a

﹐

b ₂  ar

﹐

b ₃  ar ²

b b ₁   ₂ a r ²    0 r 0

∴

b b ₂   ₃ a r ^{2 3}  0

﹒

(5)╳﹕取

b 1  4

﹐

b ₂  6

﹐

b ₃  9

∴ 公 3 比

r

 2 ﹐

4 | 6 

﹒ 但

9. (1)╳ ∵﹕

n n A  B  ^{10 10}

∴

1  n _A  10 ¹⁰

(2)○﹕

n n A  B  ^{10 10}  ^{0 log}    n A  ^{log10 10}

^log  n n A  B   ^{log10 10}  0  P _A  10

﹒

^log   n A  ^log   n B  ¹⁰

∴

P A  P B  ¹⁰  P A  ⁵

∴

P B  ⁵

﹒

(3)╳﹕

P A  ^log   n A

^{4 log}    n A  n A  ^{10 4}

^{8 log}    n A _  n A _  ^{10 8}

8 4

4

10 10

10  週五

週一 倍 ﹒

(4)╳﹕10

¹

10 10

A A

P P



 （ 倍）﹒

(5)○﹕

¹⁰

10

¹⁰ ₄ ⁵

10 2 10

A B A

5 10

n n

  

n

  



P _A  ^log   n _A  ^{log 2 10}   ⁵    5 log 2 5.3010 

﹒

10.

^{g x}   ^{ x 3  x 2   2}  ^{x  1}   ^{x 2  2 x  2} 

(1)○﹕

^{g x}   ^{ 0}

^{的 根 實}

為 1﹒

(2)╳﹕若

^{f x}   ^{ x 2  2 x  2}

^﹐

^{f x}   ^{ 0}

^{無 根 則 實}

﹒

(3)○﹕ 若 因 公

式

為 根

x  1

﹐ 為1﹒ 則共同實

(4)╳﹕實

根 因 為1﹐ 最 式為

x  1

﹒ 高公

 若

^{f x}   ^{ g x}  

^﹐

^{f x}   ^{ 0}

^與

^{g x}   ^{ 0}

^{有 根 共同實}

﹐ 最 高

公 因 式可能為三次式﹒

(5)○﹕ 無 根 實

﹐ 最

高 因 公 式為

_x ² _{ 2 x  2}

﹒

11. (1)○﹕

L 1

﹐

L 2

有 公共

點

 ^{0, 3, 4  } 

^且

 _{d 1}

_//

 _{d 2}

∴

L ₁

﹐

L 2

相 ﹒ 交

(2)○﹕

  d ₂



d ₃

﹐

L 3

上 點

 ^0,0,0 

^不

L 2

上 一 ^在

∴

L 2 // L 3

﹒

(3)╳﹕

^PQ 

^



^{0,3, 4}



﹐

 d 3





1,3, 4



_{PQ d}   _{ 3  0}

﹐ 表

示 垂 ﹐ 直

PQ 

^與

L 3

不

∴

PQ

非

最 距離﹒ 短

(4)○﹕

d  L





^{0, 4, 3}



_﹐

 _{d 1}

_

_

_{1, 6,8}

_

_﹐

 _{d 2}

_

_

_{1,3, 4}

_

1 0

d d L  

 

^且

_{d d}   _{L  2  0}

又

L

和

L ₁

﹐

L

和

L ₂

均

有 公 共 點

 ^{0, 3, 4  } 

∴

L

和

L ₁

﹐

L ₂

均 垂直

﹒

(5)○﹕ 由(1)

L 1

﹐

L 2

相 ﹐ 交

由 (2)

L ₂ // L ₃

₁

: 3 6 4 8

x t

L y t

z t

 

   

   



3

: 3 4

x t

L y t

z t

 

  

  



令 3 6 3 1, 1 4 8 4

t t

t t t t

t t

 

     

   



交

 ^{1,3, 4} 

點

∴

L ₁

﹐

L 2

﹐

L 3

共 平面﹒

12.

x ²  y ²  10 x   9 0

 ^{x 5}  ^{2 y 2 16}

   

﹒

圓

心

^O   ^5,0

^﹐ 4 ^半徑

(1)○﹒

(2)○﹕

^O   ^5,0

^代

L

成 示

L

通 圓 ^入 立﹐表 過

心

∴ 最

遠 距離 4﹒ 為

(3)╳﹕

 1  2 2

15 0 15

, 6 4

3 4

d O L

    

 ∴ 不

相 ﹒ 切

(4)○﹕

 2  2 2

, 15 3

3 4

d O L

 



∴ 恰 有兩

點 到

L ₂

的 2﹒ 距離為

(5)╳﹕

 3  2 2

, 15 5 2 3 4

d O L

  



∴ 恰 3 點 有

﹒

第 ﹕選 二部分

填 題

A. 設

^{D x y z}  ^{, ,} 



^{1 ,6 ,}



DA 

  

x

 

y z

 ^{3 , 1 , 2} 

DB        x y z



^{4 , 4 ,5}



DC 

 

x



y



z

 

3 DA     4 DB  2 DC    3 1 x ,6   y z ,

   

4 3 x , 1 y , 2 z 2 4 x , 4 y ,5 z 0

           

∴

  3 3 x   12 4 x   8 2 x     0 x 7

^{18 3  y   4 4 y   8 2 y    0 y 30}

   3 z 8 4 z  10 2  z    0 z 18

∴

^D  ^{ 7,30,18} 

﹒ B. 令

^{A t t}  ^,3 

^﹐

^{B t}  ^,0 

AB

中

點 3 7

, ,6 2 2 2

t t

 

t

   

   

   

得 7

2 2 7

t t

    

t t



3

6 4 3

2

t

    

t t

∴

^A  ^4,12 

﹐

^B   ^3,0

﹒

C. 令

^B  ^{cos ,sin}

^{ }



^﹐

0    



90

﹐

C  cos 2 ,sin 2

 



△

OAB

面

積 1 3

1 1 sin

2 10

     

∴ 3 4 sin cos

5 5

     ﹒

△

OAC

面

積 1

1 1 sin 2

2 

   

¹



^{2sin cos}



^{3 4 12}

2   5 5 25

     ﹒

D. 由 的 雙曲線

光 原理 知 過 的 學

 F PF _{1 2}

被

P

點 切線 所平分

過

^P  ^{ 4,1} 

^的

切 為 線 4

1 1 8

x y

   

2 2 0 x y

   

﹐ 令

^{y     0 x 2}

∴

D

的

^x

坐

 2

﹒ 標為

E. 令

^A  ^{2, 2,1} 

﹐

^B  ^{2, 1, 2  } 

﹐

^C  ^{3, 6,6 } 

3

OA 

﹐

OB  3

﹐

OC  9

﹒

∴ 平 必過

_OC

的 點

D

面 三等分

 

1 1, 2, 2

OD  

3

OC



D





^{3, 6,6}



^{3 1, 2, 2}

 

OC 

    取

 ^N

^



^{1, 2, 2}



﹒

∴

^{x  2 y  2 z k   0}

 ^{1, 2, 2 } 

代 得

k   9

入

∴

^{x  2 y  2 z     9 0 x 2 y  2 z  9}

∴

 ^{b c d , ,}   ^{  2, 2,9} 

﹒ F. 令

a k  ²

  ²

2 9 9 2 3 3

b  a  k  k   b k

 

2 2 6 6 280

a  b k   k k k   

取

k  15

∴

_{a  15} ² _{ 225}

﹒ G.

L

的

法 量為 向

  



 _v

^

 

^{ }

^v

^{   }



^{3, 1}



方

向 量 向

 ^{1, 3 } 

^

 

^{ }

^v

^



^{1, 3}

 ^

方

向 量 向

  ^3,1

∴

 ^w

^



^{1, 3}



﹒

H. 由 的定 義 拋物線

知

﹐ 焦點 為 切點 二 圓 的

F

即

由

分 公式 點 8 7 52 1 1 53

, ,

5 5 5 5

F

   

F

  ﹒