3.2 3.2 向量的乘法 向量的乘法

3.2 3.2 向量的乘法 向量的乘法

一 一 . . 内 积 内 积

二 二 . . 外 积 外 积

三 三 . . 混 合 积 混 合 积

一、内积

3.2 向量的乘法

设非零向量 = (a

, a

, a

), = (b

, b

, b

) 相互垂直，则由右图可知

2 2

2

|| || || ||

||

|| a   b   b   a 

即 (a

+ a

+ a

) + (b

+ b

+b

) = (b

- a

)

+ (b

- a

)

+ (b

- a

)

由此式可推出

a

b b a



定义 设向量

= (a

, a

, a

), = (b

, b

, b

)

= a

b

+ a

b

+ a

b

称为 与 的内积（或数量积） .

a  

记为

由定义可知，基向量 的内积为 i   j k  ,

, ,

2

1

2

2

 j  k 

i   

.

 0









 j j k k i

i      

向量的内积具有以下性质：

;

||

||

) 1

( a  

a 

证

; 0 0

) 2

( a   

; )

3

( a   b   b   a 

; ,

), (

) (

) (

) 4

(  a ^   b ^   a ^  b ^    R .

) (

) 5

( a   b   c   a   b   a   c 

性质 (2)—(5) 很容易用内积定义作出证明 .

由余弦定理可知

 cos

||

||||

||

2

||

||

||

||

||

||

2 2

2

b a

b a

b

a    

 









2 2

2

|| || || ||

||

||

cos

||

||||

||

2 a  b    a   b   a   b 

) (

2

) (

) (

) (

3 3 2

2 1

1

2 3 3

2 2 2

2 1 1

2 3 2

2 2

1 2

3 2

2 2

1

b a b

a b

a

b a

b a

b a

b b

b a

a a































. cos

||

||||

|| a b  b

a      

b j a || Pr _a 

 ||

|| b  || Pr j a  .



a

b a  b



则 若 || a  ||  0 , || b  ||  0 ,

||

||||

, ||

cos a b

b b a

a  

 

   



3 2

2 2

1 2

3 2

2 2

1

3 3 2

2 1

1

b b

b a

a a

b a b

a b

a











 

||

||

||

|| b

b a

a 





 

  e  

e 

.

3 0

3 2

2 1

1   







b a b a b a b a b a   

. 2 ,

, b a b a b

a        

 正正 正 正正正正正正正正正正

正 

例 1 . 设 || a  ||  11 , || b  ||  23 , || a   b  ||  30 , 正 || a   b  || . 解 || a   b  ||

 ( a   b  )

b a b

a b

a            

 || ||

|| ||

2 650 2

2

2

( )

||

|| a   b   a   b 

b a b

a b

a            

 || ||

|| ||

2 650 2

250 2a b  

. 20

||

||

400

||

|| a   b 

 正 a   b  

例 2 .

. Pr

, ) (

) (

), 12 , 4 , 3 ( ),

3 , 3 , 1 ( ),

1 , 2 , 2 (

d j c

b a b

c a d

c b

a

c

 

 

 

 

 



求





















解

), 18 , 10 ,

1 (

) 12 , 4 , 3 )(

3 6

2 ( )

3 , 3 , 1 )(

12 8

6 (























 d 

Pr 259 .

|| || 13

c

j d c d

c

  



 

 

例 3 . 内积的物理意义

一质点在力 的作用下从点 A 移动到 B ，力所做的 功 .

记 s   AB , 则

|| |||| || cos ,

W  s F  F s  

.

s F   



s

F 

A B

二 . 外积

定义 向量 与 的外积 是一个向量，

,

, sin

||

||||

||

||

||

) 1

( a   b   a  b   a  b   b

a b

a    正  正  )

2

( 所确定的平面垂直，且

正

a b正

b

a  

符合右手系 . 外积又称为向量积 .

a

b



c

    

外积的性质

; ,

) 1

( a   a   b  b   a   b 

; 0 0

, 0 )

2

( a   a      a   

; 0 //

) 3

( a  b   a   b   

; )

4

( a   b    b   a 

);

( )

( ) 5

(  a   b    a   b 

. (

) 6

( a   正 b   c   a   c   b   c 

外积的几何意义







 b a b a b

a   || ||  ||||  || sin  , 

||

h a ||

 || 

基向量的外积

,

2

1

2

2

 j  k 

i    ,

k j

i       j  k   i  , k   i    j ,

 





 

 



a

b

h

= 以 为邻边的平行四边形面 积 .

正 

利用坐标计算外积

则 设a  (a₁,a₂,a₃), b  (b₁,b₂,b₃),

) (

)

(a₁i a₂ j a₃k b₁i b₂ j b₃k b

a              

i b a j

b a i

b a k

b a j

b a k

b

a      

2 3 1

3 3

2 1

2 3

1 2

1     



k b a b

a j

b a b

a i

b a b

a   

) (

) (

)

( _{2 3}  _{3 2}  _{3 1}  _{1 3}  _{1 2}  _{2 1}



3 2

1

3 2

1

b b

b

a a

a

k j

i   



例1 求与

a   3 i   2  j  4 k 

b  i   j k 

 2





直的单位向量.

解

1 2 3

1 2 3

i j k

c a b a a a

b b b

  

  

  

2 1

1

4 2

3







k j

i   

, 5 10

 





, 5 5 5

10

||

|| c 







|| ||

c

e c

  

c 

 

5 1 5

2





 



 



 



例

在 顶 点 为 A ( 1 ,  1 , 2 ) _、 B ( 5 ,  6 , 2 ) _和 )

1 ,

3 , 1

( 

C _{的 三 角 形 中 ， 求} AC _{边 上 的 高} BD . 解

A

B

D C

) 3 , 4 , 0

( 

 AC

) 0 , 5 , 4 ( 

 AB

三角形 ABC 的面积为

||

2 ||

1 AC AB

S   15

12

16

2

1  

 ,

2

 25

||

|| AC  4

 (  3 )

 5 , ¹ _{|| ||}

S  2  AC  BD

 BD



 5

2 1 2

25

例 3 设单位向量 OA 与三个坐标轴夹角相等，

B 是点 M(1,-3,2) 关于 N(-1,2,1) 的对称点 . 求 OA  OB.

解 设  ,  ,  是 OA 的方向角，则 OA = (cos  , cos  , cos  ).

由  ⁼  =  _可得

cos

 + cos

 + cos

 = 3 cos

 =1.

3 , cos    1

1 1

1

设点 B 的坐标是 (x, y, z), 则点 N 是 MB 的中点

，且

. 2 1

, 2 2 2

, 3 2 1

1      

 y z

x

. 0 ,

7 ,

3  



 y z

x

OB = (-3, 7, 0),

).

10 , 3 , 7 1 (  





0 7

3 3

1 3

1 3

1













k j

i OB

OA

 



设

O

L

F 

作用 于这杠杆上

P

F 

与

OP



F 

对支点

O

M 

，它的模

||

|||

|

||

|| M   OQ F 



||

|||

| OP F



M 

的 方 向 垂 直 于 OP _与 F 

所 决 定 的 平 面 , 指 向 符 合 右 手 系 .

L

F

P Q O



例 4

外积的物理意义

定义 设 已 知 三 个 向 量 a  _{、 b} ^ _、 c  _{， 数 量} ( _a   ) _b  _c  称 为 这 三 个 向 量 的 混 合 积 ， 记 为 [ c a  b  ] _.

]

[ c a   b   ( a   b  )  c 

3 2

1

3 2

1

3 2

1

c c

c

b b

b

a a

a



3 ,

2

1i a j a k

a

a       b b₁i b₂ j b₃k,





设

1 2 3 ,

c c i    c j c k  

这是混合积的坐标表达式

三、混合积

混合积的几何意义与性质：

(1)

向 量 的 混 合 积 ]

[ c a   b   ( a   b  )  c  _{是 这 样} 的 一 个 数 ， 它 的 绝 对 值 表 示 以 向 量 a  _、 b 

、 c  _{为 棱} 的 平 行 六 面 体 的 体 积

a

c

b b

a  

] [

) 2

( a   b  c  ( a   b  )  c   ( b   c  )  a  ^

^{ }

^

^

^

（ 3 ） 三 向 量 a  _、 b 

、 c  _{共 面 }

1 2 3

a a a

已 知

[ a   b  c ]  2

计 算

[( a   b  )  ( b   c  )]  ( c   a  )

解 [( a   b  )  ( b   c  )]  ( c   a  )

) (

)]

[ a   b   a   c   b   b   b   c   c   a 



c c

b c

c c

a c

b

a                     

 ( ) ( ) 0 ( )

a c

b a

a c

a a

b

a                     

 ( ) ( ) 0 ( )

 0  0

 0  0 _{ ( a} ^ _{ b} ^ _{)  c} ^ c

b

a     

 2 ( )  2 [ a   b  c ]

例 5

例 6

已知不在一平面上的四点 A ( x

, y

, z

) _、 )

, ,

( x

y

z

B _、 C ( x

, y

, z

) _、 D ( x

, y

, z

)

四面体的体积.

解

AB

AC

AD

] 6 [

1 AB AC AD V 

) ,

,

( x

x

y

y

z

z

AB    



) ,

,

(x₃ x₁ y₃ y₁ z₃ z₁

AC    

) ,

,

( x

x

y

y

z

z

AD    

1 4

1 4

1 4

1 3

1 3

1 3

1 2

1 2

1 2

6 1

z z

y y

x x

z z

y y

x x

z z

y y

x x

V

























式中正负号的选择和行列式的符号一致 .