高中基礎數學統整講義

第九回 三角函數(1)

基本定義與性質

高中基礎數學統整講義

一、三角函數的定義

1. 銳角銳角銳角銳角的的的的三角函數三角函數三角函數三角函數：：：：

設 ABC∆ 為一直角三角形，如下圖所示，其中 C∠ 為直角， AB 為斜邊，兩股AC與BC分別

為 A∠ 的鄰邊與對邊，設∠A=θ，BC=a，AC =b，AB=c，定義下列三角函數：

(1) A∠ 的正弦

c a AB BC =

=

=

= 斜邊

θ 對邊 sin

(2) A∠ 的餘弦

c b AB AC =

=

=

= 斜邊

θ 鄰邊 cos

(3) A∠ 的正切

b a AC BC =

=

=

= 鄰邊

θ 對邊 tan

(4) A∠ 的餘切

a b BC AC =

=

=

= 對邊

θ 鄰邊 cot

(5) A∠ 的正割

b c AC AB =

=

=

= 鄰邊

θ 斜邊 sec

(6) A∠ 的餘割

a c BC AB =

=

=

= 對邊

θ 斜邊 csc

2. 廣義角的三角函數廣義角的三角函數廣義角的三角函數廣義角的三角函數：：：：

1. 設θ 為坐標平面上之一廣義角，如下圖所示，其頂點在原點 O 上，以 x 軸正向為始邊，在 其終邊上取一異於 O 點之點 P(x,y)，令OP=r(r>0)，定義廣義角θ 的三角函數如下：(比值 須有意義時才能定義)

(1) r

= y θ sin

(2) r

= x θ cos

(3) x

= y θ tan

(4) y

= x θ cot

(5) x

= r θ sec

(6) y

= r θ csc

C A

B

b

a c

θ

) , ( x y P

Q R

O x

y

r

θ

1 θ

sin cos θ

θ

tan cot θ

θ

sec csc θ

二、三角函數的性質

3. 三角函數的基本關係三角函數的基本關係三角函數的基本關係三角函數的基本關係：：：： 1. 三角函數的倒數關係倒數關係倒數關係： 倒數關係 (1) θ θ

csc sin = 1

(2) θ θ sec cos = 1

(3) θ θ cot tan = 1

(4) θ θ tan cot = 1

(5) θ θ cos sec = 1

(6) θ θ sin csc = 1

2. 三角函數的商數關係商數關係商數關係： 商數關係 (1)

θ θ θ

cos

tan = sin (2)

θ θ θ

sin cot =cos

3. 三角函數的餘角關係餘角關係餘角關係：如右圖：餘角關係 ∠A+∠B=90°，則 (1)sin(90°−θ)=cosθ sinB=cosA

(2)cos(90°−θ)=sinθ cosB=sinA (3)tan(90°−θ)=cotθ tanB=cotA (4)cot(90°−θ)=tanθ cotB=tanA (5)sec(90°−θ)=cscθ secB=cscA (6)csc(90°−θ)=secθ cscB=secA

4. 三角函數的平方關係平方關係平方關係： 平方關係 (1)sin²θ +cos²θ =1 (2)1+tan²θ =sec²θ (3)1+cot²θ =csc²θ

5. 三角恆等式輔助記憶圖形(Johnson 六邊形)：

(1)倒數關係：對角線 (2)商數關係：

遠 近

(3)平方關係：倒三角形(陰影部份)

C A

B

b

a c

4. 廣義角三角函數輔助記憶圖形廣義角三角函數輔助記憶圖形廣義角三角函數輔助記憶圖形廣義角三角函數輔助記憶圖形(「「「才「才」才才」」字訣」字訣字訣)：字訣：： ：

橫：sin,csc函數在一、二象限為正 (三、四象限為負)。

豎：cos,sec函數在一、四象限為正 (二、三象限為負)。

撇：tan,cot函數在一、三象限為正 (二、四象限為負)。

5. 補補補補角角角角／／／／餘角關係式餘角關係式餘角關係式餘角關係式：：：：

將下列各式以θ 之三角函數表示：【★訣竅訣竅訣竅：訣竅：：將：將將將θ 當作銳角，當作銳角當作銳角當作銳角，，依，依依角所在依角所在角所在象限決定正負號角所在象限決定正負號象限決定正負號★】 象限決定正負號 1. (1) sin(−θ)= ， (2) cos(−θ)= ，

(3) tan(−θ)= ， (4) cot(−θ)= ， (5) sec(−θ)= ， (6) csc(−θ)= 。

2. (1) sin(180° −θ)= ， (2) cos(180° −θ)= ， (3) tan(180° −θ)= ， (4) cot(180° −θ)= ， (5) sec(180° −θ)= ， (6) csc(180° −θ)= 。

3. (1) sin(180 + )° θ = ， (2) cos(180 + )° θ = ， (3) tan(180 + )° θ = ， (4) cot(180 + )° θ = ， (5) sec(180 + )° θ = ， (6) csc(180 + )° θ = 。

4. (1) sin(90° −θ)= ， (2) cos(90° −θ)= ， (3) tan(90° −θ)= ， (4) cot(90° −θ)= ， (5) sec(90° −θ)= ， (6) csc(90° −θ)= 。

5. (1) sin(90 + )° θ = ， (2) cos(90 + )° θ = ， (3) tan(90 + )° θ = ， (4) cot(90 + )° θ = ， (5) sec(90 + )° θ = ， (6) csc(90 + )° θ = 。

6. (1) sin(270° −θ)= ， (2) cos(270° −θ)= ， (3) tan(270° −θ)= ， (4) cot(270° −θ)= ， (5) sec(270° −θ)= ， (6) csc(270° −θ)= 。

7. (1) sin(270 + )° θ = ， (2) cos(270 + )° θ = ， (3) tan(270 + )° θ = ， (4) cot(270 + )° θ = ， (5) sec(270 + )° θ = ， (6) csc(270 + )° θ = 。

I

X Y

II III IV

sin, csc

tan, cot cos, sec

6. 特殊角特殊角特殊角特殊角的的的的三角函三角函三角函三角函數數數數值值：值值：：：(若函數值不存在若函數值不存在若函數值不存在，若函數值不存在，則以，，則以則以 X 表示則以 表示表示) 表示

θ sin θ cos θ tanθ cot θ secθ cscθ

0°

° 15

18°

° 30

36°

° 45

° 60

° 75

90°

180°

270°

7. 常用特殊角之角度與弧度對照表常用特殊角之角度與弧度對照表常用特殊角之角度與弧度對照表常用特殊角之角度與弧度對照表：：： ：

度(deg) 0 ° 15 ° 30 ° 45 ° 60 ° 75 ° 90 ° 弧度(rad)

度(deg) 90 ° 120 ° 135 ° 150 ° 180 ° 270 ° 360 ° 弧度(rad)

【例題 1】設 sinθ+ cosθ= 3

2，求 sin ³θ+ cos ³θ。[23/27]

解：

【類題 1】設 x 為一實數，θ 為一銳角，且滿足

5 7 2

3 cos ₂2

+ +

= +

x x

θ x ，

4

secθ = 9，求 x。[1/2 或-7/4]

解：

【例題 2】(1)設θ 為一銳角，且滿足方程式2cos²θ +3cosθ −2=0，則 2

θ ＝？[30°]

(2)設θ 為一銳角，且cosθ +2sinθ =2，則sin ＝？[3/5] θ 解：

【類題 2】(1)設0°<θ <90°，試以tanθ 表示sec 。[θ 1+tan²θ ] (2)設0°<α <90°，若tanα =a，則

tanα2

＝？[ 2

1

1 a

a + +

] 解：

【例題 3】設0°<θ<90°，若無窮級數 cosθ+ cos ²θ+ cos ³θ+……的和為 1，則θ＝？[60°] 解：

【類題 3】已知 sinθ– cosθ= 2

1 ，求以 tanθ及 cotθ為根的整係數二次方程式。[3x²−8x+ = ] 3 0

解：

【例題 4】設θ 為一銳角，且其餘切為 2，試求：(1) sin , cosθ θ 之值；[ 1 2 , 5 5]

(2) θ θ

θ θ

cos sin

2

cos sin

2 +

− 之值。[0]

解：

【類題 4】設θ 為一銳角，且sinθ +cosθ = 2，試求：(1) secθ +cscθ 之值；[2 2]

(2) sin , cosθ θ 之值。[ 2 2 2 , 2 ] 解：

【例題 5】△ABC 中，∠C＝90°，∠B 為最小角，且三邊長成等差數列，求 sinA 之值。[4 5] 解：

【類題 5】設圓 O 之半徑為 48， OC ＝50， OC 交圓 O 於 A 點， CD 切圓 O 於 D 點，B 為 A

點到 OD 的垂足，如下圖，求 AB (化為最簡分數)。[336

25 ] 【103.學測】

解：

【例題 6】若θ 為第三象限角，則 2

θ 為第幾象限角？[二或四]

解：

【類題 6】設θ 為第三象限角，已知cscθ =− 3，則sec ＝？[θ 6

− 2 ] 解：

【例題 7】設θ 為第二象限角，且滿足方程式2tanθ −3cotθ =−1，則sin ＝？[θ 3 13] 解：

【類題 7】(1)設P(sinθcosθ_，tanθsecθ)在第二象限，則Q(cosθ_，sinθ)在第 象限內；[二]

(2)a≠0，若點 P(-3a，4a)在θ終邊上，則

θ θ tan 1

sin

− - _θ

θ cot 1

cos

+ =？[ 96

±35] 解：

【例題 8】(1)求 cos1170°tan1110°+ sec540°csc(–1890°) + sin1590°cos(–1860°) + tan1395°cot(–960°) (2)化簡

) 270 cos(

) 360 ( tan ) 180

sin( ²

θ θ θ

+

°

−

°

−

°

- sin(540 ) ) 270 ( csc ) 90

cos( ²

θ θ θ

−

°

−

°

−

° 。[15 4 3

12 ; 1

+ − ]

解：

【類題 8】設a=cos140°，試以 a 表示cot310°。[

1 a2

a

− ]

解：

【例題 9】設a=sin(−870°)，b=cos430°，c=tan1310°，d =cos(−1900°)，e=sin(−2095°)， 試求 a、b、c、d、e 之大小順序。[ c e b d a> > > > ]

解：

【類題 9】(1)求下列各點之直角坐標： [6, 240 ]A ° ： B[ 3, 270 ]° ：

(2)求下列各點之極坐標： ( 2, 2)C − ： D(1+ 3, 1− 3)： 解：

【例題 10】如圖，設 A，B 的極坐標分別為〔3，50°〕，〔2，170°〕，而 O 為極，試求：

(1) AB 之長；(2)△AOB 面積。[ 19 ；3 3 2 ] 解：

【類題 10】如圖，設直角三角形 ABC 之三邊長為 AB ＝3， BC ＝5， CA ＝4，以斜邊 BC 為

一邊向外作出正方形 BCDE，令∠ABE＝θ，試求 sinθ＋cosθ

1＋tan（90°＋θ） 之值。[ 3

−35] 解：

【類題 11】某機場基於飛航安全考量，限制機場附近建築物從機場中心地面到建築物頂樓的仰 角不得超過 8°。某建築公司打算在離機場中心 3 公里且地表高度和機場中心一樣高的地方蓋 一棟平均每樓層高 5 公尺的大樓。在符合機場的限制規定下，該大樓在地面上最多可以蓋幾 層？〔sin 8° 0.1392，cos 8° 0.9903，tan 8° 0.1405〕[84] 【95.指考乙】

解：

【類題 12】設 270°＜A＜360°且 3 sin A＋cos A＝2 sin 2004°。若 A＝m°，求 m。[306]【93.學測】

解：

【類題 13】如右圖，∠BAC＝θ，∠ABD＝∠ACD＝90°， AB ＝a， BD ＝b。下列選項何者可 以表示 CD？ (1) a sinθ＋b cosθ (2) a sinθ－b cosθ (3) a cosθ－b sinθ

(4) a cosθ＋b sinθ (5) a sinθ＋b tanθ [(2)] 【93.指考乙】

解：

【類題 14】令a=cos(π²)，試問下列哪一個選項是對的？[(2)]

(1)a= −1 (2) 1 ¹ a 2

− < ≤ − (3) ¹ 0 2 a

− < ≤ (4)0 ¹ a 2

< ≤ (5)¹ 1

2< ≤a 【98.學測】

解：

【類題 15】設θ1、θ2、θ3、θ4分別為第一、第二、第三、第四象限角，且都介於 0 與 2π之 間。已知 | cosθ1 |＝| cosθ2 |＝| cosθ3 |＝| cosθ4 |＝ 1

3 ，請問下列哪些選項是正確的？[(2)(3)]

(1)θ1＜π

4 (2)θ1＋θ2＝π (3) cosθ3＝－ 1

3 (4) sinθ4＝ 2 2

3 (5)θ4＝θ3＋π 2

【99.學測】

解：

【類題 16】請問 sin73°、sin146°、sin219°、sin292°、sin365°這五個數值的中位數是哪一個？[(5)]

(1) sin73° (2) sin146° (3) sin219° (4) sin292° (5) sin365° 【105.學測】

解：

【類題 17】試問有多少個實數x滿足 ³

2 x 2

π π

≤ ≤ 且cosx° ≤cosx？[(1)]

(1) 0個 (2) 1個 (3) 2個 (4) 4個 (5) 無 窮 多 個 【106.學測】

解：

【類題 18】在∆ABC中，已知50°≤ ∠ < ∠ ≤A B 60°。試選出正確的選項。[(1)(2)]

(1)sinA<sinB (2)sinB<sinC (3)cosA<cosB (4)sinC<cosC (5)AB<BC 【108.學測】

解：

【類題 19】已知兩個直角三角形三邊長分別為3, 4, 5、5,12,13，α β, 分別為它們的一角，如下 圖所示。試選出正確的選項。[(2)]

(1)sinα>sinβ>sin 30° (2)sinα>sin 30° >sinβ (3)sinβ >sinα>sin 30°

(4)sinβ >sin 30° >sinα (5)sin 30° >sinα>sinβ 【109.學測】

解：

【類題 20】坐標平面上，函數圖形y= − 3x³上有兩點P Q, 到原點距離皆為1。已知點P坐標為 (cos ,sin )θ θ ^，試問點Q座標為何？[(4)]

(1)(cos(−θ),sin(−θ)) (2)( cos , sin )− θ θ (3)(cos(−θ), sin )− θ

(4)( cos , sin(− θ −θ)) (5)(cos , sin )θ − θ 【109.學測】

解：

5 5

4 3

13

12 α β

【類題 21】已 知 45 < < 50° θ °， 且 設a= −1 cos²θ 、 ¹ cos

b cos θ

= θ − 、 ^tan₂

tan 1

c θ

= θ

+ 。 關 於 , ,a b c 三 個 數 值 的 大 小 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。 [(5)]

(1 )a< <b c (2)a< <c b (3)b<a<c (4)b< <c a (5)c<a<b 【109.指考甲】

解：