2-1 空間概念
一、平面與空間的區別：
例 1.作一組兩兩互相垂直的直線時，這組直線在平面上只能有二條 (如圖一，代表”前後
”及“左右”)；而在空間中可以有三條(“前後”、”左右”、”上下”，如圖二)。
例 2.作一組兩兩距離為 1 的點時，這組點在平面上最多只有三點(如圖三)；而在空間中最 多可以有四點(如圖四)。
例 3.與一定點 P 等距離之所有點的軌跡，在平面上所形成的圖形為一圓；而在空間中所形 成的圖形為一球。
二、決定平面的條件：
1.不共線的三點。
2.一線及線外一點。
3.兩相交直線。
4.兩平行直線。
Ex1. 下列各條件，何者決定一個平面？
(A)不共線三點(B)一線及線外一點(C)相交於一點的二線 (D)二平行線(E)一個梯形 Ans：ABCDE
三、直線與平面 1.兩直線的關係：
2.直線與平面的關係：
左 右
前
後 ( 一 )
右 前
上
( 二 ) ( 三 ) ( 四 )
重 合 交 一 點 平 行
[ 共 平 面 ]
歪 斜 [ 不 共 平 面 ]
重 合
[ 線 在 面 上 ] 交 一 點 平 行
3.兩平面的關係：
四、垂直關係
1.直線與直線的垂直：
(1)給定一線 L 及線外一點 P，則恰有一線通過 P 點且與 L 垂直。
(2)給定一線 L 及線上一點 A，則有無限多直線通過 A 點且與 L 垂直。
2.直線與平面的垂直：
(1)定義：若直線 L 與平面 E 交於一點 A，且在 E 上過 A 點的每條直線都與 L 垂直，則稱 L 與 E 垂直，記成 LE。
(2)性質：
a.給定一線 L 及線上一點 A，則恰有一平面 E 與 L 垂直於 A。
b.給定一線 L 及線外一點 P，則恰有一平面 E 通過 P 點且與 L 垂直。
c.設平面 E 與 L 交於 A 點，若 E 上有二條通過 A 點的相異直線均與 L 垂直，
則 E 與 L 垂直。
d.給定一平面 E 及其上一點 A，則恰有一直線 L 過 A 且與 E 垂直。
e.給定一平面 E 及其外一點 P，則恰有一直線 L 過 P 且與 E 垂直。
3.平面與平面的垂直：
(1)定義：兩平面所夾的二面角等於 90時(直二面角)，稱此兩平面互相垂直。
(2)性質：
a.若直線 L 與平面 E 垂直，則空間中包含直線 L 的每個平面都與 E 垂直。
b.給定一平面 E 及任意一點 P，有無限多個平面過 P 且與 E 垂直。
Ex2. 下列敘述何者正確？
(A)垂直同一平面之兩相異直線必平行(B)垂直同一直線之兩相異平面必平行 (C)平行同一平面之兩相異平面必平行(D)平行同一直線之兩相異直線必平行 (E)平行同一平面的兩相異直線必平行 Ans：ABCD
Ex3. 有關空間之直線與平面，下列敘述何者正確？
(A)兩直線不相交便平行(B)兩平面不相交便平行(C) AB與平面 E 交於點 B，在 E 上 有一BC垂直 AB，則 ABE(D)包含相異三點的平面恰有一個
(E)三直線 L1，L2，L3，若 L1⊥L2，L2⊥L3，則 L1⊥L3可能成立 Ans：BE
Ex4. 下列有關空間的敘述，那些是正確的？
(A)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線垂直 (B)過已知平面外一點，「恰 有」一平面與此平面垂直(C)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線平行(D)過 已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面平行(E)過已知平面外一點，「恰有」一直 線與此平面平行 Ans：AD
平 行 相 交 於 一 直 線 重 合
五、二面角
1.在空間中，二相異平面 E1與 E2相交時，它們的公共點構成一直線，稱為平面 E1，E2的 交線。(如圖一)
2.如圖二，稱為二面角。PQ稱為此二面角的稜，而這兩個半平面稱為此二面角的兩邊或兩 面。
(一) (二)
3.在二面角的稜上任取一點 A，在二面角的兩面上分別作二射線 AB及 AC，使它們都與 二面角的稜垂直，則∠BAC 的度量就稱為此二面角的度量，而∠BAC 稱為此二面角 的一個平面角 ，另一為
Ex5. 如圖 ABCD 為正四面體，M 為CD的中點，則下列敘述何 者正確？(A)
CD與平面 ABM 垂直(B)BA＝BM (C)
AB 與CD垂直(D)∠AMB＞∠ADB(E)平面 ACD 與平面 BCD 的二 面角(銳角)大於 60oAns：ACDE
Ex6. 如圖，將一張正方形的紙 ABCD 沿著對角線 BD摺起，
使得∠ABC＝60。，則二平面 ABD 與 BCD 的夾角為？
Ans： 2
Ex7. 設四面體 ABCD 中， AC＝ AD＝BC＝ BD＝5， AB＝4，CD＝6，若平面 ACD 與平面 BCD 的夾角為 θ，則 sinθ 之值為？Ans：
2 3
4.從一面至另一面之面積投影比例為 cosθ(平行維度不變，垂直維度改變)
Ex8. 兩平面 E，F 相交於直線 AB，△ABC 在 E 上， AB＝13， AC ＝5，BC＝12，且 E 與 F 的夾角 30。，點 C 在 F 上的正射影 D，求：
(1)△ABD 的面積。(2)CD的長。(3) AD的長 Ans：15 3， 13 30 ，
13 133 5
六、三垂線定理：設直線 AB與平面 E 垂直於 B 點，在平面 E 上，直線 BC與直線 L 垂直於 C 點，則直線 AC 也與直線 L 垂直於 C 點。
三垂線定理的意義：若兩直線 L1，L2不共平面，如何判斷二者是否垂直呢?取一平面 E 包 含 L1，將 L2投影到平面 E 上，設其投影為 L3，則只要判斷 L1與 L3是否垂直即可。
彬註 1：強垂(EL)vs 弱垂(LL)
彬註 2：強+弱弱(成立)；弱+弱強(未必成立)
M A
B
C
D
A
B C
D
七、三平面的關係：空間中三相異平面的關係可為：
1.三平面平行
2.兩平面平行，第三平面與此二平面各交於一線(此二線平行) 3.三平面交於一線
4.三平面兩兩相交於一線，三線互相平行 5.三平面交於一點
八、空間中的面積、體積：
1.球半徑 r，球表面積 4πr2，球體積 3 3 4r
2.柱體體積=底面積×高、錐體體積=底面積×高÷3 3.正四面體，邊長=a
(1)表面積= 3a2
(2)高= a 3
6
(3)歪斜對邊中點距離= a 2
2
(4)體積= 3
12 2a
(5)內切球半徑=
4
1 高= a 12
6
(6)外接球半徑=
4
3 高= a 4
6
Ex10. 求一邊長 a 的正八面體的外接球半徑與內切球的半徑？Ans： a 2
2 ， a
6 6
Ex11. 不共面三射線OX ，OY ，OZ兩兩夾成 30。角，點 POX ，OP ＝2，P 至平面 YOZ 的投影為 Q，Q 到OY 的垂足為 R，QR交OZ 於點 S，求OR與PS 的長？
Ans： 3， 6 2
Ex12. 在一直二面角的稜上取二點 A，B， AC 和BD各在這個二面角的一個面內，並且 都垂直於稜 AB。設 AB＝8， AC ＝6，BD＝24，求CD的長。Ans：26
Ex13. 將長寬各 20，15 的長方形 ABCD 沿對角線 AC摺成直二面角，
求頂點 B 和 D 的距離。Ans： 337
Ex14. 長方體的一頂點 O，以 O 為頂點為三邊為OA，OB，OC ，若 AB＝3， AC ＝ 2，∠BAC＝60°，則OA2＝？OB2＝？OC2＝？Ans：3，6，1
Ex15. 下列空間敘述何者正確？
(A)相異兩點恰有一條直線通過此兩點，相異三點恰有一平面通過此三點 (B)作一組兩兩距離為 1 的點，則這組點最少四點，最多五點
(C)L1是平面 E1上的直線，L2是平面 E2上的直線，若 E1//E2，則 L1//L2
(D)設一直線 L 交一平面 E 於 A 點，若在 E 上過 A 點有一直線 L'與 L 垂直，則 L 垂 直平面 E 於 A 點(E)已知相異二平面 E，F 交於一直線 L，若 L 垂直另一平面 G，則 E、F 均垂直平面 G Ans：E
Ex16. 下列空間敘述何者正確？
(A)過直線 L 外一點 P，恰有一直線平行於已知直線 L(B)過平面 E 外一點 P，恰有 一直線平行於已知平面 E(C)過空間中任意一點 P，恰有一直線垂直已知直線 L(D) 過空間中任意一點 P，恰有一平面垂直已知直線 L(E)過空間中任意一點 P，恰有一 平面垂直已知平面 E Ans：AD
Ex17. 下列各敘述何者正確？
(A)空間中三平面可兩兩互相垂直(B)相異三平面 E1，E2，E3兩兩相交於不同之三直 線必平行(C)若直線 L 與平面 E 交於一點 P，則恰有一平面 F 包含 L 且垂直平面 E(D)二面角稜上的一點 A，過 A 在二面角的兩面上分別作射線 AB與 AC，則
∠BAC 的度量就是此二面角的度量(E)空間中三平面 E，F，G 且 E 與 F 交於一直線 L，若 E⊥G，F⊥G，則 L⊥G Ans：AE
Ex18. 關於空間中相異三直線 L1，L2，L3下列何者正確？
(A)L1，L2，L3可兩兩互相垂直(B)L1，L2，L3可能互相平行(C)L1，L2可能不在同 一平面上(D)若 L1，L2，L3在同一平面上，則此三直線分割平面最少 4 個區域，最 多 8 個區域 Ans：ABC
2-2 空間坐標系
一、空間坐標系 1.平面：(a，b)
空間：(a，b，c) (右手系)
2.平面座標系分成四個象限；空間座標系分成八個卦限。
3.點對軸 的投影點(歸零)與對稱點(變號)
點 P(a，b，c)到 x 軸投影點 Q(a，0，0)，對稱點 R(a，-b，-c) 點 P(a，b，c)到 y 軸投影點 Q(0，b，0)，對稱點 R(-a，b，-c) 點 P(a，b，c)到 z 軸投影點 Q(0，0，c)，對稱點 R(-a，-b，c) 4.點對面 的投影點(歸零)與對稱點(變號)
點 P(a，b，c)到 xy 平面投影點 Q(a，b，0)，對稱點 R(a，b，-c) 點 P(a，b，c)到 yz 平面投影點 Q(0，b，c)，對稱點 R(-a，b，c) 點 P(a，b，c)到 zx 平面投影點 Q(a，0，c)，對稱點 R(a，-b，c)
Ex19. 點(2，-1，-3)在 x，y，z 軸及 xy 平面，yz 平面，zx 平面之正射影坐標？
Ans：(2,0,0)，(0,-1,0)，(0,0,-3)，(2,-1,0)，(0,-1,-3)，(2,0,-3)
Ex20. 點(-2，3，4)關於 x 軸，xy 平面之正射影坐標及對稱點坐標分別為何？
Ans：(-2,0,0)，(-2,-3,-4)；(-2,3,0)，(-2,3,-4)
二、距離公式：
1.空間中兩點 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2) 1 2 2 2
2 1 2 2 1 2
1P (x x ) (y y ) (z z )
P
2.點到軸 的距離
點 P(a，b，c)到 x 軸的距離= b2c2
點 P(a，b，c)到 y 軸的距離= c2a2
點 P(a，b，c)到 z 軸的距離= a2b2
3.點到面 的距離
點 P(a，b，c)到 xy 平面的距離=|c|
點 P(a，b，c)到 yz 平面的距離=|a|
點 P(a，b，c)到 zx 平面的距離=|b|
Ex21. 設有兩點 P1(2，3，4)，P2(-2，8，24)，試求 P1P2 =？Ans：21
Ex22. 設 A(1，1，1)，B(1，2，3)，C(3，3，0)，△ABC 在 xy 平面之正射影為
△ABC，求：(1)△ABC 為何種三角形?(2)△ABC為何種三角形？Ans：直角，
鈍角
Ex23. A(1，2，-1)，B(-3，2，1)。在 x 軸上找一點 P，使得PAPB，則 P 點坐標為 何？Ans：(-1，0，0)
Ex24. 設點 P 在 xy 平面上，且與三點 A(-4，8，2)，B(2，5，5)，C(2，0，2)皆等距，
則 P 點坐標為何？Ans：(
5
1
， 5 23，0)
x y
b a
( a , b )
y x
z
ac b ( a , b , c )
Ex25. 已知一正四面體，其中三頂點坐標分別為(0，0，0)，(2，0，0)及(1，1， 2 )，
則另一頂點之坐標為何？Ans：(1，-1， 2 )，(1，
3 5 ，
3
2 )
三、分點公式：
1.同二維平面上之分點公式
2.內分點(A-P-B)、外分點(P-A-B 或 A-B-P) 3.重心(算術平均)：到三頂點距離平方和最小 4.內心(加權平均)：到三邊等距
Ex26. 設 A(7，3，4)、B(1，0，6)、C(4，6，-1)，於空間中取一點 P，
使得PA2 PB2 PC2為最小，則 P 點坐標為何？Ans：(4，3，3)
Ex27. 設 A(3，4，5)、B(2，6，1)，P、Q 為 xy 平面上任一點，則 (1)APBP之最小值為何？Ans： 41
(2)|AQBQ|之最大值為何？Ans： 21
Ex28. (1)設 P 點向三坐標軸引垂線垂足均在各軸的正向部分，且到 x，y，z 軸之距離順 序為 5， 34 ， 41，求 P 點坐標？Ans：P(5，4，3)
(2)設線段QR在 xy 平面，yz 平面，zx 平面上之正射影長分別為 5， 34， 41， 求QR之長？Ans：5 2
Ex29. 平面 E 與平面 F 所夾銳角 θ，E 上一個三角形的邊長為 5，12，13 且此三角形在平 面 F 上的正射影也是一個三角形，面積為 15 3，則 θ＝？Ans：
6
Ex30. 如圖，四面體 ABCD，已知BCBD， AD平面 BCD 且BC＝7， AB＝24， AD＝15，(1) AC 的長度為？
(2)若平面 ABD 和平面 ACD 所夾二面角的度量為 θ，
則 sinθ 的值為？Ans：25，
20 7
Ex31. 如圖，二半平面 E，F 交於一直線OT ，A 是半平面 E 上一 點，A 在半平面 F 之正射影為 B，已知∠AOB＝45。，E，F 所成的二面角為 60。，∠AOT＝θ，求 sinθ 之值？
3 6
Ex32. 如圖，過 L 之二平面 E1，E2所成二面角之一為 60o，若 A 點在 E1上但不在 L 上， AB與 L 所夾銳角為 30o， AB＝2，試求
AB在 E2上的投影 A'B的長度？Ans：
2 13
D
C B
A
Ex33. 如圖，長方體 ABCDEFGH， AE＝1， AB＝3， AD＝ 5，
(1)螞蟻從 F 點爬到 D 點其爬行所經最短的距離 (2)蚊子從 A 點飛到 G 點，其飛行所經最短的距離？
Ans： 41， 35
Ex34. 三射線OX ，OY ，OZ 互相垂直，A，B，C 三點分別在
OX ，OY ，OZ 上，△ABC，△OBC，△OCA，△OAB 的面積分別為 S，S1，S2，S3；試證：S2＝S12＋S22＋S32
Ex35. 平面 E 上一三角形 ABC，其外心 O，由平面外一點 P 引線段PA，PB， PC，若
PA＝ PB＝PC，試證OPE
Ex36. 平面 ABC 外一點 P 到△ABC 的三邊距離相等，O 是△ABC 內部一點 且OP平面 ABC。求證：O 是△ABC 內心
Ex37. 長方體相鄰三邊OA，OB，OC的長分別為 8，6，2 (1)作CH AB於 H，求OH 與CH ？Ans：24
5 ， 26 5 (2)求△ABC 的面積？Ans：26
(3)四面體 OABC 之體積？Ans：16 (4)求點 O 到平面 ABC 的距離？Ans：24
13 Ex38. 下列有關空間的敘述，何者正確？
(A)垂直 x 軸的直線上任兩點必有相同的 x 坐標(B)垂直 xy 平面的直線上任兩點必有 相同的 x 坐標(C)點(a，b，c)則 x 軸的距離為 b2＋c2 (D)點(a，b，c)則 xy 平面的 距離為 c(E)點(a，b，c)則原點的距離為 a2＋b2＋c2 Ans：ABCE
Ex39. 設 A(10，3，4)，B(4，15，3)，點 P 在 x 軸上移動，點 Q 在 y 軸上移動，
則 AP＋PQ＋QB的最小值為？Ans：25
Ex40. 設 A(2，－1，5)，B(5，4，－3)，C(－1，3，4)，D(2，6，－2)，
P(a，b，c)，則PA2＋PB2＋PC2＋PD2的最小值為？Ans：94
Ex41. 正四角錐 V－ABCD，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，已 知VA＝VB＝VC＝VD＝2，求點 V 的坐標 Ans：(1，1， 2)
A B
C
x y
z
O A
B C
D
F E G
H
Ex42. 點 A(5，4，7)，B(2，6，1)，C(－1，1，9)，求△ABC 的面積與點 A 到 BC的距 離 Ans：
2 49 ，
2 7
2-3 空間向量的坐標表示法
一、空間向量：
PQ ：Q 點座標-P 點座標(後減前)設 P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，則
PQ =(x2-x1，y2-y1，z2-z1)|
PQ |= (x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2加法：
PQQR
PR減法：
PQOQ
OP二、方向餘弦：
1.向量
PQ 與 x 軸、y 軸、z 軸正向的夾角(0~π)，若分別為 α、β、γ 稱為方向角 cosα、cosβ、cosγ 稱為此向量的方向餘弦cosα= 2
1 2 2 1 2 2 1 2
1 2
) (
) (
)
(x x y y z z
x x
cosβ= 2
1 2 2 1 2 2 1 2
1 2
) (
) (
)
(x x y y z z y
y
cosγ= 2
1 2 2 1 2 2 1 2
1 2
) (
) (
)
(x x y y z z z
z
Ex43. 設點 A(－2，1，0)，B(0，2，－1)，而
AB 的方向角為 α，β，γ，則tan2tan2tan2 之值為？Ans：
2 21
2.性質：
cos2α+cos2β+cos2γ=1 sin2α+sin2β+sin2γ=2 cos2α+cos2β+cos2γ=-1
Ex44. 空間中一向量 a 與 x 軸，y 軸，z 軸正向之夾角依次為 α，β，γ (α，β，γ 均非象限角)，
求(1)sin2α＋sin2β＋sin2γ 之值？Ans：2 (2)求 2 2 sin2
9 sin
4 sin
1 的最小值？Ans：18
三、向量加法、減法、係數積、平行(仿平面向量)
Ex45. 空間中三點 A，B，C，下列何者使 A，B，C 三點共線？
(A)
OA2
OB3OC
0(B)3
OA
OBOC
0(C)2
OA3
OBOC
0(D) 0
3 2 3
4 3
1
OA
OB OC
(E)
OA
OB OC
3 1 3
2
Ans：ACE
四、分點公式(仿平面向量)
內分點：A-P-B，AP:PBm:n，O 任意點；
OBn m OA m n m OP n
外分點：A-B-P 或 P-A-B，AP:PBm:n，O 任意點；
OP mnn
OAmmn
OBEx46. 設 A(2，－5，－1)，B(3，0，－4)，若 P 在 AB上，且 AP：PB＝3：5，
求 P 的坐標？Ans： )
2 ,7 2 , 25 2 (1 8), ,17 8 , 25 8 (19
Ex47. 設 A(4，1，3)，B(6，3，4)，C(4，5，6)為空間中三點，若△ABC 中，∠A 的分 角線交BC於 D 點，外角平分線交 BC於 E 點，求 D，E 之坐標
Ans： )
4 ,19 4 ,15 4 (21
D ，E(9，0，1)
五、重心 G(算術平均)、內心 I(加權平均)、外心 O、垂心 H：
△ABC，P 任意點， AB=c， BC=a， AC =b )
3(
1
PA PB PCPG
c b a
PC c PB b PA PI a
|2
2|
1
AOAB AB ； | |22 1
AOAC AC
AB AH AC AB ACAH
外重垂共線：尤拉線
Ex48. 設 A(4，1，3)，B(6，4，3)，C(2，7，3)為空間中三點，
(1)△ABC 的重心坐標為？Ans：(4，4，3)
(2)設 P AB且 AP：PB＝2：5，則 P 點坐標為？Ans： ,3) 7 ,13 7 (32
六、內積：若a(a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)
，則
3 3 2 2 1
cos 1
|
|
|
|a b ab a b a b
b
a
0
b
a a b
|2
| a a a
Ex49. 設 A(－4，2，2)，B(－2，3，1)，C(－5，5，7) (1)求
AB
AC(2)∠BAC＝θ，則 cosθ＝？Ans：-4；210
4
Ex50. 設二向量 a＝(1，－2，－3)，b＝(－1，1，1)，求 t 之值，使 a＋ tb 最小 Ans：t=2
Ex51. 設三向量 a ＝(6，2，4)，b＝(－1，2，－1)， c ＝(2，－1，1)，求 x，y 使| a ＋xb＋y c |有最小值 m，則數對(x，y)＝？m＝？Ans： )
11 , 54 11 (34
， 11 8
七、內積應用 1.夾角：
若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)
，夾角 θ，
則 2
3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1
3 3 2 2 1
cos 1
b b b a a a
b a b a b a b
a b a
Ex52. 設 a ＝(1，0，k)，b＝(1，－1，0)， a 與b之夾角為 θ，
若 cosθ＝
3
1，則 k 之值為？Ans：
2
14
Ex53. 設 a ＝(2，－1，－2)，b＝(1，2，2)， c ＝ a ＋tb， 若c 平分 a ，b的夾角時，t＝？Ans：1
2.正射影：
向量 a 在向量b上的正射影為 b b
b a b
a b
cos ( 2 )
3.柯西不等式：( ) ( )( 2 32) 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 3 2 2 1
1b a b a b a a a b b b
a
Ex54. 設 x，y，zR，已知 2x－y＋2z＝6，則 x2＋y2＋z2之 min？Ans：4
Ex55. △ABC 之邊長分別為 AB＝3， AC ＝5，BC＝6，若△ABC 內部一點 P 到三邊
AB， AC ，BC的距離分別為 x，y，z，求 x2＋y2＋z2之 min？Ans：
5 16
4.空間中三角形面積：設a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)
，則 a 與b所張的三角形面積
= 2 2 ( )2 2
1 a b ab 方積減積方
= 2 1 2 2 1 2
3 1 1 3 2 2 3 3
2 ) ( ) ( )
2 (
1 a b a b a b a b a b a b
=
2
2 1
2 1 2
1 3
1 3 2
3 2
3 2
2 1
b b
a a b b
a a b b
a
a
= a b 2
1 外積長
Ex56. 設 A(1，2，3)，B(3，1，4)，C(2，3，5)，試求△ABC 之面積？Ans：
2 3 3
5.體積：a(a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)
，c(c1,c2,c3)
所張的平行六面體體積為行列式
3 2 1
3 2 1
3 2 1
c c c
b b b
a a a
的絕對值(亦可表成(a )b c) 若求四面體，則再÷6
可應用在四點共面(四點換三向量，體積=0 即共面) 八、外積：
) , , (a1 a2 a3
a ，b (b1,b2,b3)
的外積定義成( , , )
2 1
2 1 1 3
1 3 3 2
3 2
b b
a a b b
a a b b
a a
以符號a b表之
(1)外積是一個向量，內積是一個數 (2)若a 0或b0或a //b ，則a b0
(3)若a b0，則外積為a 、b之公垂向量
(4)外積長為 a 、b所張平行四邊形面積，|ab||a||b|sin
Ex57. 設u1=(2，－3，－1)，u2＝(1，－2，0)， u ＝(x，y，z)，若u1⊥u ，u2⊥u
，則
(1)x：y：z＝？Ans：2：1：1
(2)若| u |＝1，則 u ＝？Ans：( 2 , 1 , 1 )
Ex58. 下者何者，可以表示某空間向量的方向角？(A) 4
， 3 2
， 3 2
(B) 4
， 4
， 2
(C) 4
3
， 3
， 3
(D) 6
， 3
， 2
(E)
3 cos－11 ，
4 cos－1 1，
12
cos－1 119 Ans：
ABCDE
Ex59. 空間中三點 P(6，－4，4)，Q(2，1，2)，R(3，－1，4)，則下列何者正確？
(A)
QP
QR＝18(B)cos∠PQR＝5
－1
(C)sin∠PQR＝
5 1
(D)P 點到直線QR的距離為 3(E)△PQR 的面積＝
2
9 Ans：ACDE
Ex60. 設i＝(1，0，0)， j ＝(0，1，0)，k＝(0，0，1)，
且a ＝2i－ j ＋2k，b＝i－ j ，c ＝ a ＋tb (tR) (1)若 a ⊥ c ，則 t＝？
(2)若(2 a －b)// c ，則 t＝？
(3)當| c |有最小值時，t＝？Ans：-3；
2
1
； 2
3
Ex61. 設 a ＝(1，0，－2)，b
＝(x，y，z)，若 x2＋y2＋z2＝16，則 a ．b的最大值為？
Ans：4 5
Ex62. 設 x，y，z 三點分別為在空間坐標系中 x 軸，y 軸，z 軸上的點，求∠XOY 在 xy 平 面上的平分線與∠YOZ 在 yz 平面上的平分線的夾角 Ans：
3 2 3
or
Ex63. 若三向量 a ＝(1，2，－1)，b＝(4，1，－)， c ＝(－1，2，＋3)，兩兩 垂直，則＝？Ans：-2
Ex64. 在空間坐標中，設 xy 平面為一鏡面，有一光線通過點 P(1，2，1)，射向面鏡面上 的點 O（0，0，0），經鏡面反射後通過 R。若OR＝2OP，求 R 的坐標
Ans：(-2，-4，2)
Ex65. 設a＝(1，0，2)，b＝(2，－1，1)，求與 a，b同時垂直且長度 2 的向量
Ans： )
7 , 1 7 , 3 7
( 2
Ex66. 設 x，y，zR，x＋y＋z＝4，求 x，y，z 之值使 x2＋y2＋z2＋2x－4y 有最小值並求 此最小值 Ans：0，3，1；m=-2
Ex67. x，y，zR 且 (x－1)2 ＋ (y＋2)2 ＋ (z－3)2 ＝1，求 x＋y＋z 之 Max，min？
Ex68. 如圖為一平行六面體，其各稜長為 1，且
∠AOC＝∠AOD＝∠COD＝60°其中 O 為原點，邊OA在 x 軸上，
面 OABC 在 xy 平面上(1)求向量OC
，OD
，OF
的坐標表示法(2)求平行六面體的體積 Ans： ,0)
2 , 3 2
(1 ， )
3 , 6 6 , 3 2
(1 ， )
3 , 6 3
3 ,2 2
( ； 2
2
Ex69. 設 a ＝( 2 cosα， 2sinα，2)，b＝(－sinβ，cosβ，2)，若 α－β＝
4
則， a ．
b＝？Ans：5
Ex70. 如圖，長方體 ABCD－EFGH 中， AB＝4， AD＝2， AE＝3 則
AGCH
＝？Ans：-7Ex71. 設空間向量 a 的方向角為 α，β，γ，則 cos2α＋9cos2β+25cos2γ 的最小值為？
Ans：1
2-4 空間中的平面
(一個等號)Ex72. 一、定義：設 E 為一平面，L 為一直線。若 LE，
則稱 L 為平面 E 之法線。
在 L 上任取二點 P，Q，
PQ 稱為平面 E 之法線向量。二、經過點 P(x0，y0，z0)且法線向量為 n =(a，b，c)之平面方程式(點向式)為 a(x–x0)+b(y–y0)+c(z–z0)=0
彬註 1：決定一平面的二要素：法線向量 及平面上一點 彬註 2：法向量決定係數；點決定常數項
三、平面方程式的一般式：ax+by+cz=d，a，b，c，dR 四、平面方程式的截距式：
平面交三坐標軸於(a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c)，且 abc0；
則平面方程式為 1 c z b y a x
五、平面方程式的三點式：A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、若 A、B、C 不共
線；則過 A、B、C 的平面方程式為 0
1 3 1 3 1 3
1 2 1 2 1 2
1 1
1
z z y y x x
z z y y x x
z z y y x x
，(體積=0)
Ex73. 設 A(1，2，3)，B(3，0，1)為空間中兩點，則 AB的垂直平分面方程式為何？
Ans：x-y-z=-1
Ex74. 設點 A(1，2，3)在平面 E 上之正射影為 B(-1，3，5)，求平面 E 之方程式？Ans：
2x-y-2z=-15
Ex75. 求滿足下列條件的平面方程式
(1)過三點 A(1，2，3)，B(1，-2，2)，C(-1，1，1) (2)過 P(1，3，-1)而與 E：2x–y–z+3=0 平行
(3)過點(1，-2，1)，且與兩平面 3x+y+z–2=0，x–2y+z+4=0 均垂直 (4)過 A(1，-1，2)，B(6，0，-1)，且與平面 2x+2y–z–1=0 垂直 (5)垂直 xy 平面，且過點 A(2，-1，0)，B(3，0，5)
Ans：7x+2y-8z=-13；2x-y-z=0；3x-2y-7z=0；5x-y+8z=22；x-y=3
Ex76. 若空間中四點(0，0，0)，(1，1，0)，(2，0，2)與(0，3，a)共平面，求 a？
Ans：-3
Ex77. 在空間坐標中，E 為過(2，1，-1)，(1，2，-1)，及(1，1，3)的平面，F 為過 (1，0，1)及(0，-2，1)而與 E 垂直的平面，求 F 的方程式？Ans：2x-y-4z=-2
Ex78. 過定點 P(3，4，5)作一平面 E，則 E 與三坐標平面在第一卦限內所圍成之四面體 的最小體積為何？Ans：270
P Q
Ex79. 平面 E 之法向量為(3，-2，1)，且三截距和為 13，求平面 E 之方程式？
Ans： 5
2 78 3x yz
六、二平面的夾角
E1：a1x+b1y+c1z=d1n1=(a1，b1，c1) E2：a2x+b2y+c2z=d2n2=(a2，b2，c2)
cos=
2 1
2 1
n n
n n
(另一交角為)
(1)E1//E2n1=tn2
2 1 2 1 2 1
c c b b a
a
(2)E1E2n1n2=0
Ex80. 兩平面 E1：x+ky+z–12=0，E2：x+y+kz+5=0，則 (1)若 E1與 E2之夾角為 60，則 k=？Ans：0 或 4 或-2 (2)若 E1E2，則 k=？Ans：
2
1 (3)若 E1//E2，則 k=？Ans：1
Ex81. 空間中三點 A( 3，1，2 3)，B(3， 3，-2)，C(0，0，0)，
(1)△ABC 的面積為何?(2)平面 ABC 與 yz 平面所夾之銳角，則=？
(3)△ABC 在 yz 平面上之投影的面積為何？Ans：8；
3
；4
七、點到平面的距離、二平行面的距離：
1.給定一平面 E：ax+by+cz+d=0 及一點 P0(x0，y0，z0)，
d(P，E)= 0 2 0 2 02 c b a
d cz by ax
2.若 E1：ax+by+cz+d1=0，E2：ax+by+cz+d2=0，
d(E1，E2)= 21 22 2 c b a
d d
Ex82. A(1，2，3)，B(-2，1，4)，若 AB與 E：2x+y–2z+8=0 交於 P 點，求 d(A，E)，d(B，E)及AP :PB之比。Ans：2；1；2：1
Ex83. 設 x，y，zR，且滿足 x+2y+2z–3=0，試求 (x3)2(y2)2 (z4)2 之最小值？
Ans：2
Ex84. (1)二平行平面 x–2y+2z–1=0 與 x–2y+2z+5=0 間之距離為何？
(2)與平面 2x+2y+z–3=0 平行且距離為 2 的平面方程式為何？
Ans：2；2x+2y+z=9 或 2x+2y+z=-3
Ex85. 設 A(1，2，3)，B(3，-2，-1)，C(-1，3，0)，D(2，1，-2)，求 (1)四面體 ABCD 過 D 之高，其長為何？Ans：
61 122 8
(2)四面體 ABCD 之體積為何？Ans：
3 16
八、二面角的平分面
平面 E1：a1x+b1y+c1z+d1=0 與平面 E2：a2x+b2y+c2z+d2=0 所夾二面角的平分面方程式為
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1
1 1 1 1
c b a
d z c y b x a c
b a
d z c y b x a
Ex86. 設 E1：2x–y+2z+1=0，E2：2x+2y–z–5=0，則 E1與 E2所成二面角之平分面方程式 為何？Ans：4x+y+z=4 或 y-z=2
九、點對平面的投影點(類似二維平面上，點對線的投影點) 點 P(x0，y0，z0)對平面 E：ax+by+cz+d=0 的投影點為
) ,
,
(x0a y0b z0c ，其中 0 2 02 02 c b a
d cz by ax
十、點對平面的對稱點(類似二維平面上，點對線的對稱點) )
2 , 2 , 2
(x0 a y0 b z0 c ，其中 0 2 02 02 c b a
d cz by ax
Ex87. A(3，-2，1)，B(1，-1，3)，平面 E：4x–2y+4z–3=0，求線段 AB在 E 上之正射 影長？Ans：
3 5 4
Ex88. 若點 A(1，2，3)，平面 E：x–2y+2z=4，求 (1)點 A 在平面 E 之正射影為何？Ans： 10 16 29
( , , ) 9 9 9 (2)點 A 對於平面 E 之對稱點為何？Ans： 11 14 31
( , , ) 9 9 9
十一、平面族
設 E1：a1x+b1y+c1z+d1=0，E2：a2x+b2y+c2z+d2=0，E1不平行 E2， 則過 E1、E2之交線之所有平面(平面族)為
k1E1+k2E2=0 (k1，k2R，且 k12+k220) (1)若 k1=0，k20，則表示 E2本身
(2)若 k2=0，k10，則表示 E1本身
(3)若 k10，且 k20，可化成E1+E2=0 或 E1+E2=0 Ex89. 平面 E 包含 x+2y–3z+2=0 與 3x–2y+z–5=0 之交線，
(1)若 E 通過點(1，-1，2)，則 E 之方程式為何？Ans：17x-6y-z=21
(2)若 E 與平面 2x+y–z–1=0 垂直，則 E 之方程式？Ans：18x-20y+16z=41
Ex90. 設 E1：x=0，E2：y+z+1=0，試求包含 E1與 E2之交線且與平面 y+z–7=0 夾銳角為
